Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 110.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • stosować twierdzenie o równoważności pracy i energii do analizy ruchu obrotowego i obliczania, jaką pracę należy wykonać nad układem, aby obrócić go o określony kąt wokół stałej osi;
  • wyznaczać, wykorzystując twierdzenie o równoważności pracy i energii, prędkość kątową obracającej się bryły sztywnej;
  • wyznaczać moc dostarczaną obracającej się bryle sztywnej, biorąc pod uwagę moment obrotowy siły i prędkość kątową;
  • weryfikować uzyskane wartości zmiennych kątowych i zastosowane równania;
  • wskazywać związek otrzymanych wyników i użytych praw z odpowiednimi zmiennymi i prawami w ruchu postępowym.

Do tej pory szeroko omówiliśmy zagadnienia kinematyki i dynamiki ruchu obrotowego brył sztywnych wokół stałej osi. W tym ostatnim podrozdziale zdefiniujemy pracę i moc w ruchu obrotowym wokół stałej osi, co ma istotne znaczenie zarówno w fizyce jak i w technice. Wprowadzenie pracy i mocy sprawia, że nasz opis ruchu obrotowego staje się prawie kompletny, z wyjątkiem toczenia się ciał i momentu pędu, które zostaną omówione w podrozdziale Moment pędu. Zaczynamy tę część od wprowadzenia twierdzenia o pracy i energii w ruchu obrotowym.

Praca w ruchu obrotowym

Teraz, gdy wiemy już, jak wyznaczać energię ruchu obrotowego bryły sztywnej, możemy przejść do wyznaczenia pracy wykonanej nad ciałem sztywnym obracającym się wokół stałej osi. Rysunek poniżej przedstawia bryłę sztywną, która została obrócona o kąt dθdθ od AA do BB w wyniku działania siły FF. Siła zewnętrzna FF jest przyłożona w punkcie P, określonym przez wektor położenia rr. Przedstawiona bryła sztywna obraca się wokół stałej osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku i przechodzącej przez punkt OO. Ponieważ oś obrotu nie zmienia swojego położenia, koniec wektora rr zakreśla okrąg o promieniu rr, stąd wektor dsds jest prostopadły do wektora rr.

Rysunek przedstawia ciało sztywne z rotacją wokół stałej osi prostopadłej do strony, przechodzącej przez punkt oznaczony jako O. Obracająca się oś jest sztywna, tak więc wektor r przemieszcza się po okręgu o promieniu r, a wektor ds jest prostopadły do wektora r. Siła zewnętrzna F działa w punkcie P i tworzy z obracającym się ciałem sztywnym kąt dtheta.
Ilustracja 10.39 Obrót ciała sztywnego o kąt d θ d θ od punktu A A do B B w wyniku działania siły zewnętrznej F F , przyłożonej w punkcie P P .

Punkt PP wykonując obrót o kąt d θ d θ przemieści się o wektor d s d s

d s = d θ × r . d s = d θ × r .

Stosując definicję pracy otrzymujemy:

W = F d s = F ( d θ × r ) = ( r × F ) d θ , W= F d s = F ( d θ × r ) = ( r × F ) d θ ,

gdzie skorzystaliśmy z tożsamości a(b×c)=b(c×a)a(b×c)=b(c×a). Ponieważ r×F=Mr×F=M, otrzymujemy wyrażenie na pracę w ruchu obrotowym (ang. rotational work):

W = M d θ . W= M d θ .
10.27

Całkowita praca wykonana nad ciałem sztywnym jest całką z sumy momentów pędu obliczonej po kącie obrotu ciała sztywnego. Różniczka pracy (praca wykonana, aby obrócić ciało o kąt dθdθ) wyraża się zależnością:

d W = ( i M i ) d θ , d W= ( i M i ) d θ,
10.28

gdzie w sumowaniu występują jedynie składowe momentu siły wzdłuż osi obrotu. W przypadku bryły sztywnej wszystkie jej punkty obracają się wokół tej samej osi, tak więc praca siły zewnętrznej jest równa momentowi siły pomnożonemu przez wspólny kąt dθdθ. Wielkość iMiiMi jest wypadkowym momentem sił zewnętrznych działających na bryłę.

Podobnie, poprzez sumowanie energii kinetycznej każdej cząstki tworzącej bryłę sztywną, wyznaczyliśmy energię kinetyczną bryły sztywnej obracającej się wokół ustalonej osi. Ponieważ twierdzenie o pracy i energii Wi=ΔEkiWi=ΔEki jest ważne dla każdej cząstki, jest słuszne również dla sumy cząstek, a w konsekwencji dla całej bryły.

Twierdzenie o pracy i energii

Twierdzenie o pracy i energii w ruchu obrotowym (ang. work-energy theorem for rotation) wokół stałej osi ma postać:

W A B = E kB E kA , W A B = E kB E kA ,
10.29

gdzie

E k = 1 2 I ω 2 , E k = 1 2 I ω 2 ,

a praca wykonana przez wypadkową siłę nad ciałem sztywnym obracającym się od punktu A do punktu B wyraża się zależnością:

W A B = θ 1 θ 2 ( i M i ) d θ . W A B = θ 1 θ 2 ( i M i ) d θ .
10.30

Pokażemy teraz, w jaki sposób wykorzystać powyższe zależności w analizie ruchu obrotowego.

Strategia rozwiązywania zadań: twierdzenie o pracy i energii w ruchu obrotowym

  1. Określ siły działające na bryłę i narysuj diagram sił. Wyznacz moment siły dla każdej z nich.
  2. Wyznacz pracę wykonaną przez każdy z momentów siły w czasie obrotu bryły.
  3. Zastosuj twierdzenia o równoważności pracy i energii, przyrównując pracę wykonaną nad ciałem do zmiany jego energii kinetycznej ruchu obrotowego.

Spójrzmy na dwa przykłady, w których zastosujemy twierdzenie o energii i pracy do analizy ruchu obrotowego.

Przykład 10.17

Praca i energia w ruchu obrotowym

Do koła zamachowego o momencie bezwładności 30,0kgm230,0kgm2, obracającego się wokół nieruchomej osi, przyłożono moment siły o wartości 12,0Nm12,0Nm. Jeżeli w chwili początkowej koło nie obracało się, to jaka jest wartość jego prędkości kątowej po 8 obrotach?

Strategia rozwiązania

Stosujemy twierdzenie o pracy i energii. Z opisu problemu wiemy, jaka jest wartość momentu siły i przemieszczenie kątowe koła zamachowego. Zatem możemy wyznaczyć końcową prędkość kątową.

Rozwiązanie

Koło zamachowe wykonało 8 obrotów, co stanowi 16π16π radianów. Praca została wykonana przez stały moment siły i jej wartość wynika z informacji w zadaniu. Stąd możemy wyznaczyć końcową prędkość kątową. Praca wyniosła:
W A B = M ( θ B θ A ) . W A B = M ( θ B θ A ) .

Zastosujmy teraz twierdzenie o pracy i energii:

W A B = M ( θ B θ A ) = 1 2 I ω B 2 1 2 I ω A 2 . W A B = M ( θ B θ A ) = 1 2 I ω B 2 1 2 I ω A 2 .

Podstawiając wartości M=12,0NmM=12,0Nm, θBθA=16,0πradθBθA=16,0πrad, I=30,0kgm2I=30,0kgm2 oraz ωA=0ωA=0 otrzymujemy:

12 , 0 N m 16 , 0 π r a d = 1 2 30 , 0 k g m 2 ω B 2 0 , 12,0 N m 16,0π r a d = 1 2 30,0 k g m 2 ω B 2 0,

stąd wartość prędkości kątowej koła zamachowego po 8 obrotach wynosi:

ω B = 6 , 3 r a d / s . ω B =6,3 r a d / s .

Znaczenie

Twierdzenie o pracy i energii stanowi skuteczny sposób analizy ruchu obrotowego, ponieważ łączy moment siły z energią kinetyczną ruchu obrotowego.

Przykład 10.18

Praca w ruchu obrotowym: Krążek

Nawinięty wokół krążka sznurek (Ilustracja 10.40) jest ciągnięty pionowo w dół z siłą FF o wartości 50 N. Promień krążka R=0,10mR=0,10m, a jego moment bezwładności I=2,5103kgm2I=2,5103kgm2. Jeżeli sznurek nie ślizga się po krążku, to jaka jest prędkość kątowa krążka po odwinięciu się 10 m sznurka? Załóż, że początkowo krążek się nie obracał.
RysunekA przedstawia sznurek nawinięty na krążek o promieniu R. Krążek jest ściągany w dół siła F. RysunekB pokazuje ciało swobodne ściągane w dół siłą F oraz Mg i pchane w górę siłą B.
Ilustracja 10.40 (a) Sznurek nawinięty na krążek o promieniu R R . (b) Diagram sił.

Strategia rozwiązania

Patrząc na rysunek widzimy, że zarówno moment siły ciążenia mgmg jak i moment siły FRFR związanej z reakcją łożysk są równe zero, ponieważ przyłożone są one w punkcie, przez który przechodzi oś obrotu, czyli ich odległość od osi obrotu wynosi zero. W czasie obrotów krążka siła FF działa w stałej odległości RR od osi obrotu, zatem działa ona na drodze s=Rθs=Rθ.

Rozwiązanie

Ponieważ moment siły ma wartość M=RFM=RF, możemy napisać:
W = M θ = ( F R ) θ = F s . W = M θ = ( F R ) θ = F s .

Jako że siła działa w stałej odległości 1,0 m, na podstawie twierdzenia o pracy i energii otrzymujemy:

WAB=EkBEkA,Fs=12Iω20,50,0N1,0m=122,510-3kgm2ω2.WAB=EkBEkA,Fs=12Iω20,50,0N1,0m=122,510-3kgm2ω2. \begin{align} W_{A\sep B} &= K_B - K_A \text{,} \\ F s &= \frac12 I \omega^2 - 0 \text{,} \\ \SI{50,0}{\newton} \cdot \SI{1,0}{\metre} &= \frac12 \cdot \SI[inter-unit-product = ⋅]{2,5e-3}{\kilo\gram\metre\squared} \cdot \omega^2 \text{.} \end{align}

Rozwiązując to równanie otrzymujemy:

ω = 200 , 0 r a d / s . ω=200,0 r a d / s .

Moc w ruchu obrotowym

Moc pojawia się w każdej dyskusji na temat praktycznych zastosowań ruchu obrotowego w inżynierii i fizyce. Moc w ruchu obrotowym jest równie ważna jak moc w ruchu postępowym i można ją opisać w podobny sposób jak w ruchu postępowym, gdy działa stała siła. Moc stałej siły w ruchu postępowym wyraża się wzorem P=FvP=Fv. Jeżeli wypadkowy moment siły jest stały w czasie całego przesunięcia kątowego, to równanie na pracę upraszcza się i wartość momentu siły może być wyłączona przed całkę. W dalszych rozważaniach będziemy zakładać, że moment siły jest stały. Możemy zatem zastosować definicję mocy wyprowadzoną w rozdziale Praca i energia kinetyczna. Tamże, moc chwilowa (lub po prostu moc) definiowana była jako szybkość wykonywania pracy:

P = d W d t . P= d W d t .

Jeżeli działa stały moment siły, to równanie na pracę przybiera postać W=MθW=Mθ, a równanie na moc:

P = d W d t = d d t ( M θ ) = M d θ d t , P= d W d t = d d t ( M θ ) =M d θ d t ,

czyli

P = M ω . P = M ω .
10.31

Przykład 10.19

Moment obrotowy śruby łodzi

Silnik łodzi pracujący z mocą 9,0104Nm/s9,0104Nm/s obraca się wykonując 300 obr/min. Jaki moment siły działa na wał śruby napędowej?

Strategia rozwiązania

Mamy podaną liczbę obrotów na minutę i zużycie energii. Dzięki tym danym możemy łatwo obliczyć moment siły.

Rozwiązanie

300 , 0 o b r / m i n = 31 , 4 r a d / s , 300,0 o b r / m i n =31,4 r a d / s ,
M = P ω = 9 , 0 10 4 N m / s 31 , 4 r a d / s = 2864 , 8 N m . M= P ω = 9 , 0 10 4 N m / s 31 , 4 r a d / s =2864,8 N m .

Znaczenie

Warto zauważyć, że radian jest jednostką bezwymiarową, ponieważ zgodnie z definicją jest to iloraz dwóch długości. Dlatego też nie pojawia się w odpowiedzi.

Sprawdź, czy rozumiesz 10.8

Moment siły o wartości 500kNm500kNm działający na turbinę wiatrową utrzymuje ją w ruchu obrotowym z prędkością 6 rad/s. Jaka jest wartość mocy potrzebna do podtrzymania obrotów turbiny?

Wielkości opisujące ruch obrotowy i postępowy.

Ruch obrotowy Ruch postępowy Zależności między wielkościami obrotowymi
i postępowymi (rr – promień okręgu)
θ θ x x θ = s / r θ=s / r
ω ω v v ω = v / r ω=v / r
ε ε a s a s ε = a s / r ε= a s / r
a d a d a d = v 2 / r a d = v 2 / r
Tabela 10.6 Zmienne obrotowe i postępowe – podsumowanie
Ruch obrotowy Ruch postępowy
θ k = θ 0 + ω t θ k = θ 0 + ω t x = x 0 + v t x = x 0 + v t
ω k = ω 0 + ε t ω k = ω 0 + ε t v k = v 0 + a t v k = v 0 + a t
θ k = θ 0 + ω 0 t + 1 2 ε t 2 θ k = θ 0 + ω 0 t + 1 2 ε t 2 x k = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 x k = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2
ω k 2 = ω 2 0 + 2 ε ( Δ θ ) ω k 2 = ω 2 0 + 2 ε ( Δ θ ) v k 2 = v 2 0 + 2 a ( Δ x ) v k 2 = v 2 0 + 2 a ( Δ x )
Tabela 10.7 Równania kinematyki dla ruchu obrotowego i postępowego
Ruch obrotowy Ruch postępowy
I = i m i r i 2 I = i m i r i 2 m m
E k = 1 2 I ω 2 E k = 1 2 I ω 2 E k = 1 2 m v 2 E k = 1 2 m v 2
i M i = I ε i M i = I ε i F i = m a i F i =m a
W A B = θ A θ B ( i M i ) d θ W A B = θ A θ B ( i M i ) d θ W = F d s W= F d s
P = M ω P = M ω P = F v P= F v
Tabela 10.8 Równania dynamiki w ruchu obrotowym i postępowym
Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.