William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

stosować twierdzenie o równoważności pracy i energii do analizy ruchu obrotowego i obliczania, jaką pracę należy wykonać nad układem, aby obrócić go o określony kąt wokół stałej osi;
wyznaczać, wykorzystując twierdzenie o równoważności pracy i energii, prędkość kątową obracającej się bryły sztywnej;
wyznaczać moc dostarczaną obracającej się bryle sztywnej, biorąc pod uwagę moment obrotowy siły i prędkość kątową;
weryfikować uzyskane wartości zmiennych kątowych i zastosowane równania;
wskazywać związek otrzymanych wyników i użytych praw z odpowiednimi zmiennymi i prawami w ruchu postępowym.

Do tej pory szeroko omówiliśmy zagadnienia kinematyki i dynamiki ruchu obrotowego brył sztywnych wokół stałej osi. W tym ostatnim podrozdziale zdefiniujemy pracę i moc w ruchu obrotowym wokół stałej osi, co ma istotne znaczenie zarówno w fizyce jak i w technice. Wprowadzenie pracy i mocy sprawia, że nasz opis ruchu obrotowego staje się prawie kompletny, z wyjątkiem toczenia się ciał i momentu pędu, które zostaną omówione w podrozdziale Moment pędu. Zaczynamy tę część od wprowadzenia twierdzenia o pracy i energii w ruchu obrotowym.

Praca w ruchu obrotowym

Teraz, gdy wiemy już, jak wyznaczać energię ruchu obrotowego bryły sztywnej, możemy przejść do wyznaczenia pracy wykonanej nad ciałem sztywnym obracającym się wokół stałej osi. Rysunek poniżej przedstawia bryłę sztywną, która została obrócona o kąt $d θ$ od $A$ do $B$ w wyniku działania siły $\vec{F}$ . Siła zewnętrzna $\vec{F}$ jest przyłożona w punkcie P, określonym przez wektor położenia $\vec{r}$ . Przedstawiona bryła sztywna obraca się wokół stałej osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku i przechodzącej przez punkt $O$ . Ponieważ oś obrotu nie zmienia swojego położenia, koniec wektora $\vec{r}$ zakreśla okrąg o promieniu $r$ , stąd wektor $d \vec{s}$ jest prostopadły do wektora $\vec{r}$ .

Rysunek przedstawia ciało sztywne z rotacją wokół stałej osi prostopadłej do strony, przechodzącej przez punkt oznaczony jako O. Obracająca się oś jest sztywna, tak więc wektor r przemieszcza się po okręgu o promieniu r, a wektor ds jest prostopadły do wektora r. Siła zewnętrzna F działa w punkcie P i tworzy z obracającym się ciałem sztywnym kąt dtheta. — Ilustracja 10.39 Obrót ciała sztywnego o kąt $d θ$ od punktu $A$ do $B$ w wyniku działania siły zewnętrznej $\vec{F}$ , przyłożonej w punkcie $P$ .

Punkt $P$ wykonując obrót o kąt $d \vec{θ}$ przemieści się o wektor $d \vec{s}$

d \vec{s} = d \vec{θ} \times \vec{r} .

Stosując definicję pracy otrzymujemy:

W = \int \sum \vec{F} \cdot d \vec{s} = \int \sum \vec{F} \cdot (d \vec{θ} \times \vec{r}) = \int (\vec{r} \times \sum \vec{F}) d \vec{θ},

gdzie skorzystaliśmy z tożsamości $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a})$ . Ponieważ $\vec{r} \times \sum \vec{F} = \sum \vec{M}$ , otrzymujemy wyrażenie na pracę w ruchu obrotowym (ang. rotational work):

W = \int \sum \vec{M} \cdot d \vec{θ} .

10.27

Całkowita praca wykonana nad ciałem sztywnym jest całką z sumy momentów pędu obliczonej po kącie obrotu ciała sztywnego. Różniczka pracy (praca wykonana, aby obrócić ciało o kąt $d θ$ ) wyraża się zależnością:

d W = (\sum_{i} M_{i}) d θ,

10.28

gdzie w sumowaniu występują jedynie składowe momentu siły wzdłuż osi obrotu. W przypadku bryły sztywnej wszystkie jej punkty obracają się wokół tej samej osi, tak więc praca siły zewnętrznej jest równa momentowi siły pomnożonemu przez wspólny kąt $d θ$ . Wielkość $\sum_{i} M_{i}$ jest wypadkowym momentem sił zewnętrznych działających na bryłę.

Podobnie, poprzez sumowanie energii kinetycznej każdej cząstki tworzącej bryłę sztywną, wyznaczyliśmy energię kinetyczną bryły sztywnej obracającej się wokół ustalonej osi. Ponieważ twierdzenie o pracy i energii $W_{i} = Δ E_{ki}$ jest ważne dla każdej cząstki, jest słuszne również dla sumy cząstek, a w konsekwencji dla całej bryły.

Twierdzenie o pracy i energii

Twierdzenie o pracy i energii w ruchu obrotowym (ang. work-energy theorem for rotation) wokół stałej osi ma postać:

W_{A B} = E_{kB} - E_{kA},

10.29

gdzie

E_{k} = \frac{1}{2} I ω^{2},

a praca wykonana przez wypadkową siłę nad ciałem sztywnym obracającym się od punktu A do punktu B wyraża się zależnością:

W_{A B} = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} (\sum_{i} M_{i}) d \vec{θ} .

10.30

Pokażemy teraz, w jaki sposób wykorzystać powyższe zależności w analizie ruchu obrotowego.

Strategia rozwiązywania zadań: twierdzenie o pracy i energii w ruchu obrotowym

Określ siły działające na bryłę i narysuj diagram sił. Wyznacz moment siły dla każdej z nich.
Wyznacz pracę wykonaną przez każdy z momentów siły w czasie obrotu bryły.
Zastosuj twierdzenia o równoważności pracy i energii, przyrównując pracę wykonaną nad ciałem do zmiany jego energii kinetycznej ruchu obrotowego.

Spójrzmy na dwa przykłady, w których zastosujemy twierdzenie o energii i pracy do analizy ruchu obrotowego.

Przykład 10.17

Praca i energia w ruchu obrotowym

Do koła zamachowego o momencie bezwładności

30, 0 k g \cdot m^{2}

, obracającego się wokół nieruchomej osi, przyłożono moment siły o wartości

12, 0 N \cdot m

. Jeżeli w chwili początkowej koło nie obracało się, to jaka jest wartość jego prędkości kątowej po 8 obrotach?

Strategia rozwiązania

Stosujemy twierdzenie o pracy i energii. Z opisu problemu wiemy, jaka jest wartość momentu siły i przemieszczenie kątowe koła zamachowego. Zatem możemy wyznaczyć końcową prędkość kątową.

Rozwiązanie

Koło zamachowe wykonało 8 obrotów, co stanowi

16 π

radianów. Praca została wykonana przez stały moment siły i jej wartość wynika z informacji w zadaniu. Stąd możemy wyznaczyć końcową prędkość kątową. Praca wyniosła:

W_{A B} = M (θ_{B} - θ_{A}) .

Zastosujmy teraz twierdzenie o pracy i energii:

W_{A B} = M (θ_{B} - θ_{A}) = \frac{1}{2} I ω_{B}^{2} - \frac{1}{2} I ω_{A}^{2} .

Podstawiając wartości $M = 12, 0 N \cdot m$ , $θ_{B} - θ_{A} = 16, 0 π r a d$ , $I = 30, 0 k g \cdot m^{2}$ oraz $ω_{A} = 0$ otrzymujemy:

12, 0 N \cdot m \cdot 16, 0 π r a d = \frac{1}{2} \cdot 30, 0 k g \cdot m^{2} \cdot ω_{B}^{2} - 0,

stąd wartość prędkości kątowej koła zamachowego po 8 obrotach wynosi:

ω_{B} = 6, 3 r a d / s .

Znaczenie

Twierdzenie o pracy i energii stanowi skuteczny sposób analizy ruchu obrotowego, ponieważ łączy moment siły z energią kinetyczną ruchu obrotowego.

Przykład 10.18

Praca w ruchu obrotowym: Krążek

Nawinięty wokół krążka sznurek (Ilustracja 10.40) jest ciągnięty pionowo w dół z siłą

\vec{F}

o wartości 50 N. Promień krążka

R = 0, 10 m

, a jego moment bezwładności

I = 2, 5 \cdot 10^{- 3} k g \cdot m^{2}

. Jeżeli sznurek nie ślizga się po krążku, to jaka jest prędkość kątowa krążka po odwinięciu się 10 m sznurka? Załóż, że początkowo krążek się nie obracał.

RysunekA przedstawia sznurek nawinięty na krążek o promieniu R. Krążek jest ściągany w dół siła F. RysunekB pokazuje ciało swobodne ściągane w dół siłą F oraz Mg i pchane w górę siłą B. — Ilustracja 10.40 (a) Sznurek nawinięty na krążek o promieniu $R$ . (b) Diagram sił.

Strategia rozwiązania

Patrząc na rysunek widzimy, że zarówno moment siły ciążenia

m \vec{g}

jak i moment siły

{\vec{F}}_{R}

związanej z reakcją łożysk są równe zero, ponieważ przyłożone są one w punkcie, przez który przechodzi oś obrotu, czyli ich odległość od osi obrotu wynosi zero. W czasie obrotów krążka siła

\vec{F}

działa w stałej odległości

R

od osi obrotu, zatem działa ona na drodze

s = R θ

.

Rozwiązanie

Ponieważ moment siły ma wartość

M = R F

, możemy napisać:

W = M θ = (F R) θ = F s .

Jako że siła działa w stałej odległości 1,0 m, na podstawie twierdzenia o pracy i energii otrzymujemy:

\begin{align} W_{A\sep B} &= K_B - K_A \text{,} \\ F s &= \frac12 I \omega^2 - 0 \text{,} \\ \SI{50,0}{\newton} \cdot \SI{1,0}{\metre} &= \frac12 \cdot \SI[inter-unit-product = ⋅]{2,5e-3}{\kilo\gram\metre\squared} \cdot \omega^2 \text{.} \end{align}

Rozwiązując to równanie otrzymujemy:

ω = 200, 0 r a d / s .

Moc w ruchu obrotowym

Moc pojawia się w każdej dyskusji na temat praktycznych zastosowań ruchu obrotowego w inżynierii i fizyce. Moc w ruchu obrotowym jest równie ważna jak moc w ruchu postępowym i można ją opisać w podobny sposób jak w ruchu postępowym, gdy działa stała siła. Moc stałej siły w ruchu postępowym wyraża się wzorem $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ . Jeżeli wypadkowy moment siły jest stały w czasie całego przesunięcia kątowego, to równanie na pracę upraszcza się i wartość momentu siły może być wyłączona przed całkę. W dalszych rozważaniach będziemy zakładać, że moment siły jest stały. Możemy zatem zastosować definicję mocy wyprowadzoną w rozdziale Praca i energia kinetyczna. Tamże, moc chwilowa (lub po prostu moc) definiowana była jako szybkość wykonywania pracy:

P = \frac{d W}{d t} .

Jeżeli działa stały moment siły, to równanie na pracę przybiera postać $W = M θ$ , a równanie na moc:

P = \frac{d W}{d t} = \frac{d}{d t} (M θ) = M \frac{d θ}{d t},

czyli

P = M ω .

10.31

Przykład 10.19

Moment obrotowy śruby łodzi

Silnik łodzi pracujący z mocą

9, 0 \cdot 10^{4} N \cdot m / s

obraca się wykonując 300 obr/min. Jaki moment siły działa na wał śruby napędowej?

Strategia rozwiązania

Mamy podaną liczbę obrotów na minutę i zużycie energii. Dzięki tym danym możemy łatwo obliczyć moment siły.

Rozwiązanie

300, 0 o b r / m i n = 31, 4 r a d / s,

M = \frac{P}{ω} = \frac{9, 0 \cdot 10^{4} N \cdot m / s}{31, 4 r a d / s} = 2864, 8 N \cdot m .

Znaczenie

Warto zauważyć, że radian jest jednostką bezwymiarową, ponieważ zgodnie z definicją jest to iloraz dwóch długości. Dlatego też nie pojawia się w odpowiedzi.

Sprawdź, czy rozumiesz 10.8

Moment siły o wartości $500 k N \cdot m$ działający na turbinę wiatrową utrzymuje ją w ruchu obrotowym z prędkością 6 rad/s. Jaka jest wartość mocy potrzebna do podtrzymania obrotów turbiny?

Wielkości opisujące ruch obrotowy i postępowy.

Ruch obrotowy	Ruch postępowy	Zależności między wielkościami obrotowymi i postępowymi ( $r$ – promień okręgu)
$θ$	$x$	$θ = s / r$
$ω$	$v$	$ω = v / r$
$ε$	$a_{s}$	$ε = a_{s} / r$
	$a_{d}$	$a_{d} = v^{2} / r$

Tabela 10.6 Zmienne obrotowe i postępowe – podsumowanie

Ruch obrotowy	Ruch postępowy
$θ_{k} = θ_{0} + \bar{ω} t$	$x = x_{0} + \bar{v} t$
$ω_{k} = ω_{0} + ε t$	$v_{k} = v_{0} + a t$
$θ_{k} = θ_{0} + ω_{0} t + \frac{1}{2} ε t^{2}$	$x_{k} = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$
$ω_{k}^{2} = ω^{2}_{0} + 2 ε (Δ θ)$	$v_{k}^{2} = v^{2}_{0} + 2 a (Δ x)$

Tabela 10.7 Równania kinematyki dla ruchu obrotowego i postępowego

Ruch obrotowy	Ruch postępowy
$I = \sum_{i} m_{i} r_{i}^{2}$	$m$
$E_{k} = \frac{1}{2} I ω^{2}$	$E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$
$\sum_{i} {\vec{M}}_{i} = I \vec{ε}$	$\sum_{i} {\vec{F}}_{i} = m \vec{a}$
$W_{A B} = \int_{θ_{A}}^{θ_{B}} (\sum_{i} M_{i}) d θ$	$W = \int \vec{F} \cdot d \vec{s}$
$P = M ω$	$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$

Tabela 10.8 Równania dynamiki w ruchu obrotowym i postępowym