Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 110.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • obliczać, w celu wyznaczenia przyspieszenia kątowego, moment siły dla układu ciał obracających się wokół ustalonej osi;
  • wyjaśniać, jak zmiany momentu bezwładności układu wpływają na przyspieszenie kątowe przy stałej wartości momentu siły;
  • analizować dynamikę ruchu obrotowego na podstawie wszystkich informacji omawianych do tej pory.

Do tej pory analizowaliśmy energię kinetyczną ruchu postępowego i ruchu obrotowego, ale nie powiązaliśmy ich jeszcze z siłami i momentami sił działających na układ. W tym podrozdziale wprowadzimy równanie analogiczne do drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu postępowego i zastosujemy je do analizy dynamiki ciał sztywnych obracających się wokół stałej osi.

Równanie Newtona dla ruchu obrotowego

Dotychczas wiele z omówionych wielkości używanych do opisu ruchu obrotowego ma swoje odpowiedniki w wielkościach opisujących ruch postępowy. Ostatnią taką wielkością, którą omawialiśmy, był moment siły – obrotowy odpowiednik siły. Powstaje pytanie: czy dla ruchu obrotowego istnieje równanie analogiczne do drugiego prawa Newtona dla ruchu postępowego, F=maF=ma, które zawiera moment siły? Aby odpowiedzieć na to pytanie, przeanalizujmy na początek ruch cząstki punktowej o masie mm poruszającej się dookoła pewnej osi, po okręgu o promieniu rr. Niech na tę cząstkę działa stała co do wartości siła FF (patrz rysunek).

Rysunek pokazuje stół z idealnie gładkim blatem zapewniającym brak tarcia. Obiekt o masie m utrzymuje się pozbawionym tarcia poziomym stole przymocowany sznurkiem w punkcie obrotu o długości r. Na obiekt działa siła F prostopadle do sznurka r.
Ilustracja 10.37 Leżący na idealnie gładkim stole (brak tarcia) przywiązany do sznurka krążek porusza się po okręgu o promieniu rr. Siłą dośrodkową jest siła naprężenia sznurka. Na krążek działa prostopadła do promienia siła FF, nadająca mu stałe przyspieszenie styczne.

Zastosujmy drugą zasadę dynamiki dla ruchu postępowego, aby określić przyspieszenie liniowe naszej cząstki. Siła ta powoduje, że cząstka porusza się z przyspieszeniem stycznym o wartości a=F/ma=F/m. Wartość przyspieszenia stycznego jest proporcjonalna do wartości przyspieszenia kątowego, zgodnie z zależnością a=rεa=rε. Wstawiając to wyrażenie do równania dla drugiej zasady dynamiki dla ruchu postępowego otrzymujemy:

F = m r ε . F = m r ε .

Mnożąc obie strony przez rr otrzymujemy:

r F = m r 2 ε . r F = m r 2 ε .

Zauważmy, że lewa strona tego równania jest momentem siły liczonym względem osi obrotu, gdzie rr jest ramieniem siły, a FF jest wartością siły. Siła FF jest prostopadła do promienia rr. Przypomnijmy, że moment bezwładności cząstki punktowej jest równy I=mr2I=mr2. Moment siły prostopadłej do promienia okręgu w naszym przypadku (Ilustracja 10.37) można zapisać jako:

M = I ε . M = I ε .

Moment siły działającej na cząstkę jest równy momentowi bezwładności liczonemu względem osi obrotu pomnożonemu przez przyspieszenie kątowe. Możemy uogólnić to równanie na równanie dla ciała sztywnego obracającego się wokół ustalonej osi.

Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego

Jeśli więcej niż jeden moment siły działa na ciało sztywne obracające się wokół stałej osi, wówczas suma momentów siły jest równa momentowi bezwładności pomnożonemu przez przyspieszenie kątowe:

i M i = I ε . i M i = I ε .
10.26

Iloczyn IεIε jest wielkością skalarną i może być dodatni lub ujemny (przeciwny lub zgodny z ruchem wskazówek zegara), zależnie od znaku wypadkowego momentu siły. Należy pamiętać o konwencji, że przyspieszenie kątowe przeciwne do ruchu wskazówek zegara jest dodatnie. Zatem, jeśli ciało sztywne obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara pod wpływem dodatniego momentu siły (przeciwnego do ruchu wskazówek zegara), to jego przyspieszenie kątowe jest dodatnie.

Powyższe równanie (Równanie 10.26) jest drugim prawem Newtona dla dynamiki ruchu obrotowego i mówi nam, jaki jest związek momentu siły z momentem bezwładności i przyspieszeniem kątowym. Nazywamy je drugą zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego (ang. Newton’s second law for rotation). Korzystając z tego równania możemy rozwiązać całą grupę zagadnień związanych z siłami i obrotami. Nic dziwnego, że formuła opisująca skutki działania momentu siły na ciało sztywne (a więc obrót) zawiera moment bezwładności, ponieważ jest to wielkość, która określa, jak łatwo lub trudno jest zmienić ruch obrotowy obiektu.

Wyprowadzenie drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego w postaci wektorowej

Podobnie jak poprzednio, kiedy wyznaczaliśmy przyspieszenie kątowe, możemy również wyznaczyć wektor momentu siły. Drugie prawo dynamiki F=maF=ma określa związek między siłą wypadkową a wielkością kinematyczną ruchu postępowego obiektu. Równoważnik tego równania dla ruchu obrotowego można otrzymać stosując zależność pomiędzy przyspieszeniem kątowym, położeniem i wektorem przyspieszenia stycznego:

a = ε × r . a = ε × r .

Policzmy iloczyn wektorowy r×ar×a wykorzystując własności iloczynu wektorowego (należy pamiętać, że rε=0rε=0):

r × a = r × ( ε × r ) = ε ( r r ) r ( r ε ) = ε r 2 . r × a = r × ( ε × r ) = ε ( r r ) r ( r ε ) = ε r 2 .

Policzmy teraz wypadkowy moment siły:

( r × F ) = r × ( m a ) = m r × a = m r 2 ε . ( r × F ) = r × ( m a ) =m r × a =m r 2 ε .

Ponieważ mr2mr2 jest momentem bezwładności masy punktowej, otrzymujemy:

M = I ε . M =I ε .

Jest to równanie wyrażające drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego zapisane w postaci wektorowej. Wektor momentu siły ma ten sam kierunek, co wektor przyspieszenia kątowego.

Zastosowanie równań dynamiki ruchu obrotowego

Zanim zastosujemy równanie dynamiki ruchu obrotowego do opisu konkretnych codziennych sytuacji, ustalmy ogólną strategię rozwiązywania zadań w tej kategorii.

Strategia rozwiązywania zadań: dynamika ruchu obrotowego

  1. Przeanalizuj sytuację i ustal, czy mamy do czynienia z działaniem momentów sił i na jakie ciała one działają. Wykonaj starannie szkic sytuacyjny.
  2. Określ, jakie wielkości będą analizowane i jakie wartości będą wyznaczane.
  3. Narysuj diagram sił, tj. wszystkie zewnętrzne siły działające na rozpatrywany w zadaniu układ.
  4. Określ punkt obrotu. Jeśli obiekt jest w stanie równowagi, musi być w równowadze dla wszystkich możliwych punktów obrotu – wybierz ten, który upraszcza obliczenia.
  5. Zastosuj równanie M = I ε M =I ε , tj. drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego. Należy użyć właściwego wzoru dla momentu bezwładności i wyliczyć momenty wszystkich sił względem wybranego punktu (osi) obrotu. Jak zwykle, sprawdź sensowność rozwiązania.

Przykład 10.16

Wyznaczenie wpływu rozkładu masy na ruch obrotowy karuzeli

Wyobraź sobie ojca kręcącego karuzelą na placu zabaw (Ilustracja 10.38). Działa on z siłą 250 N na brzeg karuzeli o masie 200,0 kg. Promień karuzeli wynosi 1,50 m. Oblicz przyspieszenie kątowe karuzeli spowodowane przyłożeniem tej siły:
  1. gdy nikogo nie ma na karuzeli;
  2. gdy dziecko o masie 8,0 kg siedzi w odległości 1,25 m od środka; załóż, że karuzela jest jednorodną tarczą, a tarcie można zaniedbać.
Rysunek przedstawia mężczyznę popychającego pokrywę karuzeli pod kątem i prostopadle do jej promienia.
Ilustracja 10.38 Aby uzyskać maksymalny moment siły, mężczyzna popycha karuzelę przykładając siłę do punktów leżących na jej obrzeżu, prostopadle do promienia karuzeli.

Strategia rozwiązania

Wypadkowy moment pędu dany jest wyrażeniem M = I ε M =I ε . Aby wyznaczyć εε, musimy najpierw wyliczyć moment siły MM (który jest taki sam w obu przypadkach) i moment bezwładności II (większy w drugim przypadku).

Rozwiązanie

  1. Moment bezwładności jednorodnej tarczy względem jej środka jest równy
    12mR2.12mR2.
    Dla danych z zadania m=50kgm=50kg i R=1,50mR=1,50m otrzymujemy:
    I=0,50050,0kg(1,50m)2=56,25kgm2.I=0,50050,0kg(1,50m)2=56,25kgm2.
    Wyznaczając wypadkowy moment sił zauważamy, że działająca siła jest prostopadła do promienia, a tarcie jest nieistotnie, zatem:
    M=rFsinθ=1,50m250,0N=375Nm.M=rFsinθ=1,50m250,0N=375Nm.
    Wstawiając tę wartość do wzoru na przyspieszenie kątowe otrzymujemy:
    ε=MI=375,0Nm56,25kgm2=6,67rads2.ε=MI=375,0Nm56,25kgm2=6,67rads2.
  2. Spodziewamy się, że w tej sytuacji przyspieszenie kątowe karuzeli będzie mniejsze, ponieważ moment bezwładności jest większy, gdy na karuzeli jest dziecko. Aby wyznaczyć całkowity moment bezwładności II, najpierw wyznaczamy moment bezwładności dziecka IdId. Zastąpimy dziecko masą punktową w odległości 1,25 m od osi obrotu. Wówczas:
    Id=mR2=18,0kg(1,25m)2=28,13kgm2.Id=mR2=18,0kg(1,25m)2=28,13kgm2.
    Całkowity moment bezwładności jest sumą momentów bezwładności karuzeli i dziecka (liczonych względem tej samej osi):
    I=28,13kgm2+56,25kgm2=84,38kgm2.I=28,13kgm2+56,25kgm2=84,38kgm2.
    Ostatecznie otrzymujemy:
    ε=MI=375,0N84,38kgm2=4,44rads2.ε=MI=375,0N84,38kgm2=4,44rads2.

Znaczenie

Zgodnie z oczekiwaniami, przyspieszenie kątowe jest mniejsze, gdy dziecko znajduje się na karuzeli, niż wtedy, gdy karuzela jest pusta. Otrzymane przyspieszenia kątowe są dość duże częściowo z powodu faktu, że tarcie uznano za nieistotne. Gdyby na przykład ojciec naciskał prostopadle przez 2,00 s, nadałby pustej karuzeli prędkość kątową 13,3 rad/s, a tylko 8,89 rad/s, gdyby było na niej dziecko. Jeśli chodzi o liczby obrotów na sekundę, prędkość kątowa wynosi odpowiednio 2,12 obr/s i 1,41 obr/s.

Sprawdź, czy rozumiesz 10.7

Moment bezwładności łopatek wentylatora silnika odrzutowego jest równy 30,0kgm230,0kgm2. W ciągu 10 s od rozpoczęcia ruchu, obracając się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, osiągnęły one częstotliwość 20 obr/s.

  1. Jaki moment siły należy przyłożyć do łopatek w celu osiągnięcia w tym czasie tego przyspieszenia kątowego?
  2. Jaki jest wymagany moment siły, aby łopatki osiągnęły częstotliwość 20 obrotów na sekundę w ciągu 20 sekund?
Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.