William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

10.6 Moment siły

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

opisywać, jak wartość momentu siły zależy od wartości ramienia siły i kąta, jaki tworzy wektor siły z ramieniem siły;
określać znak (dodatni lub ujemny) momentu siły używając reguły prawej dłoni;
obliczać poszczególne momenty siły wokół wspólnej osi i sumować je w celu uzyskania wypadkowego momentu siły.

Ważną wielkością związaną z dynamiką ruchu obrotowego ciała sztywnego jest moment siły, nazywany też momentem obrotowym. Efekty jego działania można obserwować na co dzień w naszym najbliższym otoczeniu. Moment siły odczuwamy używając dużego klucza do wykręcenia trudnej do odkręcenia śruby. Działa on w niewidoczny sposób, gdy naciskamy pedał gazu w samochodzie nadając silnikowi dodatkowy moment obrotowy. Za każdym razem, gdy spacerujemy, czy biegniemy, towarzyszy temu moment siły przyłożony do naszego ciała. W tym podrozdziale zdefiniujemy moment siły i metody jego obliczania dla brył sztywnych obracających się wokół stałej osi.

Definicja momentu siły

Do tej pory zdefiniowaliśmy wiele zmiennych obrotowych będących odpowiednikami zmiennych w ruchu postępowym. Zastanówmy się teraz, co jest odpowiednikiem siły. Ponieważ siły zmieniają ruch postępowy obiektów, odpowiednikiem w ruchu obrotowym musi być wielkość zmieniająca ruch obrotowy obiektu wokół osi. Jest to moment siły (ang. torque).

W codziennym życiu obracamy różne obiekty wokół ich osi, przez co intuicyjnie wiemy już wiele o momencie siły. Zastanówmy się na przykład, jak obracamy drzwi, aby je otworzyć. Po pierwsze, wiemy, że drzwi otwierają się powoli, jeśli naciskamy na nie zbyt blisko zawiasów. Łatwiejsze jest otwieranie drzwi przez naciskanie z dala od zawiasów. Po drugie, wiemy, że powinniśmy naciskać prostopadle do płaszczyzny drzwi. Jeśli naciskamy równolegle do płaszczyzny drzwi, nie jesteśmy w stanie ich otworzyć. Po trzecie, im większa jest siła, tym skuteczniej otwieramy drzwi; im mocniej naciskamy, tym szybciej drzwi ustępują. Pierwszy punkt oznacza, że im dalej od osi obrotu znajduje się punkt przyłożenia siły, tym większe jest przyspieszenie kątowe drzwi. Drugi oznacza, że skuteczność zależy od kąta, pod którym siła jest przyłożona. Trzeci oznacza, że musimy uwzględnić także wartość siły. Zauważmy, że dla obrotów w płaszczyźnie możliwe są dwa kierunki obrotu: zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara albo przeciwny, a tym samym dwa kierunki momentu siły. Ilustracja 10.31 przedstawia obroty w lewo.

Rysunek A jest schematyczną ilustracją otwierania i zamykania drzwi z siła F zastosowaną w odległości r od zawiasów pod kątem 90 stopni. Rysunek B jest schematycznym wykresem otwierania drzwi z siłą mniejszą niż F z zastosowaniem odległości r od zawiasów pod kątem 90 stopni. Rysunek C jest schematycznym obrazem otwierania drzwi z siłą mniejszą niż F z zastosowaniem mniejszej odległości r od zawiasów pod kątem 90 stopni. Rysunek D jest schematycznym obrazem otwierania drzwi z siłą F zastosowaną w odległości r od zawiasów pod kątem theta, który jest mniejszy od 90 stopni. — Ilustracja 10.31 Od wartości momentu siły zależy skuteczność obrotu lub skrętu. Na rysunku przedstawiono to na przykładzie otwierania drzwi (widok z góry). Moment siły ma zarówno wartość, jak i kierunek. (a) i (b) Obroty w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara są wytwarzane przez siłę $\vec{F}$ , działającą w odległości $r$ od zawiasów (punkt obrotu). (b) Zmniejszenie wartości siły zmniejsza wartość momentu siły, trudniej otworzyć drzwi. (c) Ta sama siła jak w (a) i (b) powoduje mniejszy moment sił, gdy jest przyłożona w mniejszej odległości od zawiasów. d) Mniejszy moment siły jest wytwarzany przez tę samą siłę co w (a), przyłożoną w tej samej odległości co w (a), ale pod kątem $θ$ mniejszym niż $90^{\circ}$ .

Rozważmy teraz, jak zdefiniować momenty siły w ogólnym trójwymiarowym przypadku.

Definicja momentu siły

Momentem siły $\vec{F}$ względem punktu $O$ , działającym w punkcie $P$ , nazywamy wielkość wektorową $\vec{M}$ zdefiniowaną jako iloczyn wektorowy wektora położenia punktu $P$ (wektor $\vec{r}$ ) względem punktu $O$ i wektora siły $\vec{F}$ (patrz Ilustracja 10.32):

\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} .

10.23

Rysunek przedstawia układ współrzędnych XYZ. Siła F jest pokazana w płaszczyźnie XY i jest równoległa do osi X. Wektor r leży w płaszczyźnie XY. zaczyna się w początku układu i kończy na początku wektora F. Wektor dla momentu obrotowego znajduje się w przecięciu punktu r i wektora v. Jest prostopadły do płaszczyzny XY i skierowany w stronę osi Z. — Ilustracja 10.32 Moment siły $\vec{M}$ jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory $\vec{r}$ i $\vec{F}$ . Jego zwrot określić można przy pomocy reguły prawej dłoni.

Z definicji iloczyn wektorowy $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ jest wektorem prostopadłym do wektorów $\vec{r}$ i $\vec{F}$ . Jego wartość jest równa:

| \vec{M} | = | \vec{r} \times \vec{F} | = r F \sin θ,

gdzie $θ$ jest kątem pomiędzy wektorami $\vec{r}$ i $\vec{F}$ . W układzie jednostek SI jednostką momentu siły jest $N \cdot m$ . Wielkość $r_{⊥} = r \sin θ$ jest odległością punktu $O$ od prostej, na której leży siła $\vec{F}$ . Nazywamy ją ramieniem siły (ang. arm force). Im większa wartość ramienia siły, tym większa wartość momentu siły. Tak więc wartość momentu siły można przedstawić jako:

| \vec{M} | = r_{⊥} F .

10.24

Iloczyn wektorowy $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ wskazuje nam także znak momentu siły $\vec{M}$ . Przedstawiony na Ilustracji 10.32 iloczyn wektorowy $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ skierowany jest wzdłuż dodatniej części osi $z$ ; w oparciu o przyjętą konwencję uważamy go za dodatni. Jeśli ma zwrot przeciwny, to mówimy, że ma wartość ujemną.

Jeśli weźmiemy pod uwagę krążek, który może swobodnie obracać się wokół osi przechodzącej przez jego środek, jak pokazano na Ilustracji 10.33, to możemy zobaczyć, jak kąt między promieniem $\vec{r}$ a siłą $\vec{F}$ wpływa na wartość momentu siły. Jeśli kąt jest równy zero, moment siły wynosi zero. Jeśli kąt wynosi $90^{\circ}$ , to moment siły jest maksymalny. Moment siły przedstawiony na Ilustracji 10.33 jest dodatni i skierowany przed płaszczyznę rysunku, wzdłuż dodatniego zwrotu osi $z$ . W wyniku działania tego momentu siły krążek obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara – w tym samym kierunku, co działanie momentu siły nadającej dodatnie przyspieszenie kątowe.

Rysunek pokazuje obracający się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara krążek, wokół osi przechodzącej przez środek. — Ilustracja 10.33 Krążek może swobodnie obracać się wokół osi przechodzącej przez jego środek. Wartość momentu siły działającego na krążek wynosi $r F \sin θ$ . Gdy $θ = 0^{\circ}$ , moment siły wynosi zero, a krążek nie obraca się. Gdy $θ = 90^{\circ}$ , moment siły jest maksymalny, a krążek obraca się z maksymalnym przyspieszeniem kątowym.

Jeżeli na ciało sztywne obracające się wokół danej osi działają różne siły i związane z nimi momenty sił, to wypadkowy moment sił będzie sumą wektorową poszczególnych momentów siły.

\vec{M} = \sum_{i} {\vec{M}}_{i}

10.25

Obliczanie wartości wypadkowego momentu siły w przypadku obrotów ciał sztywnych wokół stałej osi

W poniższych przykładach obliczamy moment siły zarówno dla przykładów czysto rachunkowych, jak i dla występujących w ruchu obrotowym ciała sztywnego.

Najpierw przedstawimy strategię rozwiązywania zadań.

Strategia rozwiązywania zadań: wyznaczanie wypadkowego momentu siły

Wybierz układ współrzędnych z punktem obrotu lub osią obrotu jako początkiem wybranego układu współrzędnych.
Określ kąt między wektorem położenia punktu, w którym przyłożona jest siła, a wektorem siły.
Oblicz iloczyn wektorowy $\vec{r} \times \vec{F}$ , aby określić, czy moment siły względem punktu obrotu lub osi obrotu jest dodatni czy ujemny.
Wyznacz wartość momentu siły $M$ korzystając z wartości $r_{⊥}$ i $F$ .
Przypisz odpowiedni znak, dodatni lub ujemny, do obliczonej wartości $M$ .
Dodaj wszystkie momenty sił, aby wyznaczyć wartość wypadkowego momentu siły. Założyliśmy tutaj, że mamy do czynienia z układem liniowym, dlatego wartość wypadkowego momentu siły może być obliczona jako suma wszystkich momentów sił. Jest to przykład popularnej w fizyce zasady superpozycji, którą stosuje się tylko dla układów liniowych. W rzeczywistości jednak większość układów to układy nieliniowe, dla których z tej zasady skorzystać nie możemy.

Przykład 10.14

Obliczanie momentu siły

Na rysunku poniżej pokazano cztery siły o różnych orientacjach w danym układzie współrzędnych

x y

, przyłożone w określonych miejscach. Znajdź moment siły dla każdej z nich (względem początku układu współrzędnych), a następnie wyznacz wypadkowy moment siły.

Rysunek pokazuje cztery siły tworzące momenty obrotowe wykreślone na układzie współrzędnych XY. Odległości na osi X i Y wyrażone są w metrach. Wektor dla siły o wielkości 40 N rozpoczyna się w punkcie (4,0), jest równoległy do osi Y i skierowany w kierunku dodatnim. Wektor dla siły o wartości 20 N rozpoczyna się w punkcie (0,-3), jest równoległy do osi X i skierowany w kierunku ujemnym. Inny wektor z siłą o wielkości 20 N rozpoczyna się w punkcie (0,1), i jest skierowany w lewo ku górnej części wykresu tworząc kąt 60 stopni z osią X . Wektor dla siły o wielkości 30 N rozpoczyna się w punkcie (-5,0) i jest skierowany w lewo ku dołowi wykresu tworząc kąt 53 stopni z osią X. — Ilustracja 10.34 Cztery siły przyczyniające się do wypadkowego momentu siły.

Strategia rozwiązania

W tym zadaniu mamy obliczyć wypadkowy moment sił. Wszystkie znane wielkości – wartości sił z kierunkami ich działania oraz ramionami sił – podano na rysunku. Celem jest wyznaczenie wartości każdego momentu siły i wypadkowego momentu poprzez zsumowanie poszczególnych momentów sił. Uważaj, aby przypisać prawidłowy znak każdemu momentowi, używając iloczynu wektorowego wektora

\vec{r}

i wektora

\vec{F}

.

Rozwiązanie

Wartość momentu siły wyznaczymy z zależności

| \vec{M} | = r_{⊥} F

, a znak ustalimy na podstawie iloczynu wektorowego

\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}

.

Dla siły o wartości 40 N przyłożonej w pierwszej ćwiartce otrzymujemy: $M_{1} = 4 m \cdot 40 N \cdot \sin 90^{\circ} = 160 N \cdot m$ . Iloczyn wektorowy $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ skierowany jest przed rysunek, jest więc dodatni.
Dla siły o wartości 20 N przyłożonej w trzeciej ćwiartce: $M_{2} = - 3 m \cdot 20 N \cdot \sin 90^{\circ} = - 60 N \cdot m$ . Iloczyn wektorowy $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ jest skierowany za rysunek, moment ujemny.
Dla siły o wartości 30 N przyłożonej w trzeciej ćwiartce otrzymamy: $M_{3} = 4 m \cdot 30 N \cdot \sin 53^{\circ} = 120 N \cdot m$ . Iloczyn wektorowy $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ jest skierowany przed rysunek, moment dodatni.
Dla siły o wartości 20 N przyłożonej w drugiej ćwiartce otrzymamy: $M_{4} = 1 m \cdot 20 N \cdot \sin 30^{\circ} = 10 N \cdot m$ . Iloczyn wektorowy $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ jest skierowany przed rysunek, moment dodatni.
Wartość wypadkowego momentu sił jest równa:
$M_{wyp} = \sum_{i = 1}^{4} M_{i} = 160 N \cdot m - 60 N \cdot m + 120 N \cdot m + 10 N \cdot m = 230 N \cdot m$ .

Znaczenie

Zauważmy, że moment każdej siły działającej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara jest dodatni, podczas gdy moment siły działającej w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara jest ujemny. Moment obrotowy jest większy, gdy siła lub ramię siły są większe.

Przykład 10.15

Obliczanie momentu siły działającej na ciało sztywne

Na rysunku poniżej przedstawiono trzy siły o różnej wartości i kierunku, działające na koło zamachowe. Dane są:

| {\vec{F}}_{1} | = 20 N

,

| {\vec{F}}_{2} | = 30 N

,

| {\vec{F}}_{3} | = 30 N

oraz

r = 0, 5 m

. Wyznacz wypadkowy moment tych sił względem osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku i przechodzącej przez środek koła.

Rysunek przedstawia koło zamachowe z trzema działającymi siłami różnie zlokalizowanymi w pod różnymi kątami. Siła F3 znajduje się w centrum, jest prostopadła do osi rotacji. Siła F2 działa w lewym narożniku i jest prostopadła do osi obrotu. Siła F1 jest zastosowana w centrum i tworzy kąt 30 stopni z osią obrotu. — Ilustracja 10.35 Trzy siły działające na koło zamachowe.

Strategia rozwiązania

Korzystając z iloczynu wektorowego wyliczamy momenty sił dla każdej z sił z osobna. Następnie wyznaczamy moment wypadkowy jako sumę momentów siły dla poszczególnych sił.

Rozwiązanie

Rozwiązanie rozpocznijmy od wyznaczenia momentu siły

{\vec{F}}_{1}

. Widzimy, że siła

{\vec{F}}_{1}

tworzy kąt

90^{\circ} + 60^{\circ}

z wektorem

\vec{r}

. Zatem wartość momentu siły

{\vec{F}}_{1}

wyraża się zależnością:

| {\vec{M}}_{1} | = r F_{1} \sin 150^{\circ} = 0, 5 m \cdot 20 N \cdot 0, 5 = 5, 0 N \cdot m .

Następnie wyliczamy moment dla siły ${\vec{F}}_{2}$ . Kąt pomiędzy siłą ${\vec{F}}_{2}$ i wektorem $\vec{r}$ wynosi $90^{\circ}$ , a iloczyn wektorowy skierowany jest w stronę rysunku, więc jest ujemny. Jego wartość wynosi:

| {\vec{M}}_{2} | = - r F_{2} \sin 90^{\circ} = - 0, 5 m \cdot 30 N = - 15, 0 N \cdot m .

W przypadku siły ${\vec{F}}_{3}$ widzimy, że jest prostopadła do wektora $\vec{r}$ , zatem $\vec{r} \times {\vec{F}}_{3} = 0$ . Tak więc siła ${\vec{F}}_{3}$ nie przyczynia się do momentu wypadkowego.

Wartość wypadkowego momentu pędu jest zatem równa:

M_{wyp} = \sum_{i = 1}^{3} M_{i} = 5 N \cdot m - 15 N \cdot m + 0 N \cdot m = - 10 N \cdot m .

Znaczenie

Oś obrotu koła zamachowego przechodzi przez środek masy. Koło zamachowe umieszczone jest na stałej osi, a więc nie może poruszać się ruchem postępowym. Gdyby koło nie było zamocowane na nieruchomej osi i położono by go na chropowatej powierzchni (występuje tarcie między kołem a powierzchnią) wówczas siły

{\vec{F}}_{1}

i

{\vec{F}}_{2}

spowodowałyby ruch koła po tej powierzchni. W takim przypadku każdy punkt koła uczestniczyłby w dwóch ruchach jednocześnie: w ruchu postępowym i w ruchu obrotowym.

Sprawdź, czy rozumiesz 10.6

Duży statek oceaniczny opływając wybrzeże zderza się ze skałą, osiada na mieliźnie i przechyla się, tak jak to pokazano na Ilustracji 10.36. Zespół ratowniczy ma za zadanie obrócić statek w celu ustawienia go pionowo na wodzie. Dlatego w punkcie $A$ należy przyłożyć siłę o wartości $5, 0 \cdot 10^{5} N$ . Oblicz, jaki jest moment tej siły względem podłoża (patrz rysunek).