William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

obliczać moment bezwładności dla wysoce symetrycznych brył sztywnych,
stosować twierdzenie Steinera do wyznaczania momentu bezwładności wokół dowolnej osi równoległej do osi, względem której znany jest moment bezwładności,
obliczać moment bezwładności dla złożonych obiektów.

W poprzednim podrozdziale zdefiniowaliśmy moment bezwładności, ale nie pokazaliśmy, jak go obliczyć. Poniżej pokazujemy, jak obliczyć moment bezwładności dla kilku standardowych obiektów oraz jak wykorzystać znane momenty bezwładności, aby znaleźć moment bezwładności dla przesuniętej osi lub dla układu złożonego. Ta wiedza bardzo przydaje się, gdy chcemy zastosować ogólne równanie do złożonych układów (to umiejętności, które są kluczowe dla bardziej zaawansowanych kursów fizyki i inżynierii).

Moment bezwładności

Zdefiniowaliśmy moment bezwładności dla punktów materialnych jako: $I = \sum_{i} m_{i} r_{i}^{2}$ , gdzie $r_{i}$ jest odległością $i$ -tego punktu od osi obrotu, a $m_{i}$ oznacza masę $i$ -tego punktu. Tak więc, wartość momentu bezwładności będzie zależała od wyboru osi, czyli od rozkładu masy względem osi. Aby się o tym przekonać, weźmy prosty przykład dwóch mas na końcu bezmasowej (o nieistotnie małej masie) sztangi i obliczmy moment bezwładności względem dwóch różnych osi (patrz Ilustracja 10.23). W tym przypadku sumowanie jest proste: dwie masy na końcach sztangi można uważać za masy punktowe, a zatem suma ma tylko dwa składniki.

W przypadku osi przechodzącej przez środek sztangi, każda z dwóch mas $m$ jest w takiej samej odległości $R$ od osi, dając moment bezwładności:

I_{1} = m R^{2} + m R^{2} = 2 m R^{2} .

W przypadku, gdy oś umieścimy na jednym z końców sztangi, moment bezwładności jest równy:

I_{2} = m \cdot 0^{2} + m {(2 R)}^{2} = 4 m R^{2} .

Na podstawie tego wyniku możemy stwierdzić, że znacznie trudniej będzie obrócić sztangę wokół osi przechodzącej przez jej koniec niż wokół osi w połowie jej długości.

Rysunek A przedstawia sztangę o długości 2 R z masami m na obu końcach. Sztanga obraca się wokół osi obrotu przechodzącej przez środek sztangi. Rysunek B pokazuje sztangę o długości 2 R z masami m na końcach. Sztanga obraca się wokół osi przechodzącej przez jeden z końców sztangi.

Ilustracja 10.23 (a) Oś obrotu przechodzi przez środek sztangi; (b) Oś obrotu przechodzi przez jeden z końców sztangi. Prędkość kątowa wynosi

ω

.

W tym przykładzie mamy dwie masy punktowe, więc suma była łatwa do obliczenia. Jednakże, aby poradzić sobie z obiektami, które nie są punktowe, musimy dokładnie przemyśleć każde z pojęć użytych w równaniu. Równanie wymaga zsumowania wkładów pochodzących od każdego „kawałka masy” znajdującego się w określonej odległości od osi obrotu. Ale co dokładnie oznacza ów każdy „kawałek masy”? Przypomnijmy, że w naszym wyprowadzeniu tego równania każda masa miała tę samą wartość prędkości, co oznacza, że każdy kawałek musiał mieć jednakową odległość $r$ od osi obrotu. Niestety, nie jest to możliwe. Zatem, musimy zastąpić nasz „kawałek masy” nieskończenie małym fragmentem $d m$ , jak pokazano na Ilustracji 10.24.

Rysunek pokazuje punkt dm umieszczony na osi X w odległości r od środka.

Ilustracja 10.24 Idea użycia nieskończenie małego kawałka masy do obliczenia jego udziału w całkowitym momencie bezwładności.

Potrzeba użycia nieskończenie małego kawałka $d m$ sugeruje, że możemy napisać równanie na moment bezwładności całkując wkłady pochodzące od nieskończenie małych mas, zamiast liczyć dyskretną sumę skończonej liczby mas. Wówczas równanie:

I = \sum_{i} m_{i} r_{i}^{2} zmienia się w równanie I = \int r^{2} d m .

10.20

Jest to ogólna postać równania, pozwalająca na obliczenie momentów bezwładności ciał o złożonych kształtach. W pozostałej części tego rozdziału pokażemy szczegółowo, na konkretnych przykładach, jak liczyć moment bezwładności dla ciał sztywnych o wybranych kształtach.

Moment bezwładności cienkiego pręta względem osi przechodzącej przez jego środek

Rozważmy jednorodny cienki pręt o masie $m$ i długości $L$ , tak jak to pokazano na rysunku (Ilustracja 10.25). Zakładamy, że pręt jest tak cienki a jego pole przekroju poprzecznego tak niewielkie, że pręt może być traktowany jako struna rozciągnięta wzdłuż linii prostej. Naszym zadaniem jest obliczenie momentu bezwładności tego pręta względem osi obrotu, która jest prostopadła do pręta i przechodzi przez jego środek. Skierujmy osie układu współrzędnych tak, by oś $z$ była osią obrotu, a oś $x$ prostą, na której leży pręt, tak jak pokazano na rysunku. Wykonamy teraz całkowanie wzdłuż osi $x$ .

Rysunek pokazuje cienki pręt obracający się wokół osi obrotu przechodzącej przez jego środek. Część pręta o długości dx ma masę dm.

Ilustracja 10.25 Obliczanie momentu bezwładności dla jednorodnego pręta względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego środek.

Wybierzmy mały fragment pręta o długości $d x$ i masie $d m$ . Moment bezwładności jest całką po rozkładzie mas. Jak na razie umiemy jedynie wykonać całkowanie po zmiennych przestrzennych, nie po masie. Musimy zatem znaleźć sposób na powiązanie masy ze zmiennymi przestrzennymi. Dokonamy tego używając pojęcia liniowej gęstości masy (ang. linear mass density) $λ$ , czyli masy liczonej na jednostkę długości. Ponieważ pręt jest jednorodny, gęstość pręta jest stała; możemy zatem napisać:

λ = \frac{m}{l} czyli m = λ l .

Różniczkując obustronnie otrzymujemy:

d m = d (λ l) = λ d l,

ponieważ $λ$ jest wielkością stałą. Zauważmy, że element pręta $d l$ leży całkowicie wzdłuż osi $x$ i ma długość $d x$ ; czyli $d l = d x$ . Możemy zatem napisać, że $d m = λ (d x)$ , otrzymując zmienną całkowania, z którą umiemy już sobie poradzić. Odległość każdego fragmentu masy $d m$ od osi obrotu jest określona przez zmienną $x$ , jak to pokazano na rysunku. Łączymy to wszystko razem i otrzymujemy:

I = \int r^{2} d m = \int x^{2} d m = \int x^{2} λ d x .

Określmy teraz granice całkowania. Zgodnie z rysunkiem, pręt rozciąga się od $x = − L / 2$ do $x = L / 2$ , mamy zatem:

I = \int_{- L / 2}^{L / 2} x^{2} λ d x = {[λ \frac{x^{3}}{3}]}_{- L / 2}^{L / 2} = \frac{λ}{3} [{(\frac{L}{2})}^{3} - {(\frac{- L}{2})}^{3}] = \frac{λ}{3} \cdot \frac{L^{3}}{8} \cdot 2 = \frac{1}{12} m L^{2} .

Przejdźmy teraz do obliczenia momentu bezwładności dla tego samego jednorodnego, cienkiego pręta, ale względem innej osi, tak abyśmy mogli porównać wyniki. Spodziewamy się, że moment bezwładności będzie mniejszy względem osi przechodzącej przez środek pręta niż względem osi przechodzącej przez jego koniec, podobnie jak w przypadku sztangi omawianej na początku tego podrozdziału. Spodziewamy się tego, ponieważ większość masy jest rozłożona dalej od osi obrotu.

Moment bezwładności cienkiego pręta względem osi przechodzącej przez jeden z jego końców

Rozpatrzmy teraz ten sam jednorodny pręt o masie $m$ i długości $L$ , lecz tym razem umieścimy oś obrotu na jednym z jego końców (patrz Ilustracja 10.26). Wyznaczmy moment bezwładności pręta względem tej osi. Zdefiniujemy $d m$ jako nieskończenie mały fragment masy naszego pręta. Podobnie jak poprzednio otrzymamy:

I = \int r^{2} d m = \int x^{2} d m = \int x^{2} λ d x .

Jednak tym razem mamy inne granice całkowania. Pręt rozciąga się od $x = 0$ do $x = L$ , ponieważ oś jest umieszczona na końcu pręta w $x = 0$ . Dlatego otrzymujemy:

I = \int_{0}^{L} x^{2} λ d x = {[λ \frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{L} = \frac{λ}{3} (L^{3} - 0^{3}) = \frac{λ}{3} \cdot L^{3} = \frac{1}{3} m L^{2} .

Rysunek przedstawia cienki pręt obracający się wokół osi obrotu przechodzącej przez jego koniec. Część pręta o długości dx ma masę dm.

Ilustracja 10.26 Obliczanie momentu bezwładności dla jednorodnego pręta względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego koniec.

Zauważmy, że „bezwładność obrotowa” pręta przy obrotach względem jego końca jest czterokrotnie większa niż „bezwładność obrotowa” dla obrotów wokół jego środka.

Twierdzenie Steinera

Podobieństwo między procesem obliczania momentu bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego środek i względem osi przechodzącej przez jego koniec jest uderzające i sugeruje, że może istnieć prostsza metoda wyznaczenia momentu bezwładności pręta wokół dowolnej osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy. Taka oś jest nazywana osią równoległą (ang. parallel axis). Istnieje twierdzenie pozwalające nam wyznaczyć moment bezwładności względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy, jeżeli znamy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy. Jest to twierdzenie Steinera (ang. parallel axis theorem, Steiner's theorem), które podamy tu bez dowodu.

Twierdzenie Steinera

Moment bezwładności względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy jest sumą momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy oraz iloczynu masy i kwadratu odległości pomiędzy osiami:

I_{oś równoległa} = I_{środek masy} + m d^{2} .

10.21

Zastosujmy to twierdzenie do wyznaczenia momentu bezwładności rozważanego poprzednio pręta:

I_{koniec} = I_{środek masy} + m d^{2} = \frac{1}{12} m L^{2} + m {(\frac{L}{2})}^{2} = (\frac{1}{12} + \frac{1}{4}) m L^{2} = \frac{1}{3} m L^{2} .

Wynik ten jest zgodny z poprzednimi, znacznie dłuższymi obliczeniami. To przydatne twierdzenie zastosujemy też w kolejnych przykładach.

Sprawdź, czy rozumiesz 10.5

Jaki jest moment bezwładności walca o promieniu $R$ i masie $m$ liczony względem osi przechodzącej przez punkt na jego powierzchni, jak pokazano na poniższym rysunku? Oś jest prostopadła do płaszczyzny rysunku.

Rysunek przedstawia cylinder o promieniu R, który obraca się wokół osi przechodzącej przez punkt na powierzchni.

Moment bezwładności jednorodnej tarczy względem osi przechodzącej przez jej środek

Całkowanie w celu wyznaczenia momentu bezwładności obiektu dwuwymiarowego jest nieco trudniejsze, ale na tym poziomie studiów zwykle wykonuje się jeden przykład, mianowicie wyznaczenie momentu bezwładności jednorodnej cienkiej tarczy obracającej się wokół osi przechodzącej przez jej środek (Ilustracja 10.27).

Rysunek przedstawia jednorodny krążek o promieniu r obracający się wokół osi Z przechodzącej przez jego środek.

Ilustracja 10.27 Obliczanie momentu bezwładności cienkiej tarczy względem osi przechodzącej przez jej środek.

Ponieważ tarcza jest cienka, możemy założyć, że jej masa rozmieszczona jest całkowicie w płaszczyźnie $x y$ . Zaczynamy od zdefiniowania powierzchniowej gęstości masy (ang. surface mass density), czyli masy na jednostkę powierzchni. Ponieważ tarcza jest jednorodna, to gęstość powierzchniowa $σ$ jest stała:

σ = \frac{m}{S} czyli σ S = m, stąd d m = σ (d S) .

Obszar zajmowany przez tarczę można uznać za złożony z szeregu cienkich pierścieni, z których każdy ma szerokość $d r$ i masę $d m$ równomiernie rozłożoną na okręgu o promieniu $R$ , tak jak to pokazano na Ilustracji 10.27. Powierzchnia każdego pierścienia $d S$ jest zatem iloczynem długości każdego pierścienia ( $2 π r$ ) i jego szerokości $d r$ :

S = π r^{2}, stąd d S = d (π r^{2}) = π d (r^{2}) = 2 π r d r .

Powierzchnia tarczy jest sumą powierzchni wszystkich cienkich pierścieni o promieniu od 0 do $R$ , które są naszym granicami całkowania dla $d r$ , tzn. całkujemy od $r = 0$ do $r = R$ . Biorąc to wszystko po uwagę otrzymujemy:

\begin{multiline} I &= \int_0^R r^2 \sigma \cdot 2 \pi r \d r = 2\pi \sigma \int_0^R r^3\d r = 2\pi \sigma [\frac{r^4}{4}]_0^R \\ &= 2\pi \sigma (\frac{R^4}{4} - \frac{0}{4}) = 2\pi \cdot \frac{m}{S} \cdot \frac{R^4}{4} \\ &= 2 \pi \cdot \frac{m}{\pi R^2} \cdot \frac{R^4}{4} = \frac12 mR^2 \text{.} \end{multiline}

Zauważmy, że wynik jest zgodny z rezultatem podanym na Ilustracji 10.20.

Obliczanie momentu bezwładności układów złożonych

Rozpatrzmy teraz obiekt złożony, taki jak na rysunku poniżej. Rysunek przedstawia cienką tarczę na końcu cienkiego pręta. Nie można tego łatwo scałkować w celu wyznaczenia momentu bezwładności, ponieważ nie jest to obiekt o jednolitym kształcie. Jeśli jednak wrócimy do pierwotnej definicji momentu bezwładności jako sumy, możemy przypuścić, że moment bezwładności obiektu złożonego można wyznaczyć jako sumę momentów bezwładności każdej z jego części:

I_{całkowite} = \sum_{i} I_{i} .

10.22

Należy dodać, że momenty bezwładności obiektów w (Równaniu 10.22) dotyczą momentów bezwładności liczonych względem wspólnej osi. W przypadku tego obiektu byłby to pręt o długości $L$ obracający się wokół jego końca, oraz cienki krążek o promieniu $R$ , obracający się wokół osi przesuniętej od środka masy krążka o odległość $L + R$ . Oznaczmy masę pręta jako $m_{p}$ , a masę krążka jako $m_{k}$ .

Rysunek pokazuje krążek o promieniu R powiązany z prętem o długości L.

Ilustracja 10.28 Obiekt złożony składający się z krążka zawieszonego na końcu pręta. Oś obrotu jest prostopadła do płaszczyzny rysunku i przechodzi przez punkt

A

.

Oś przechodzi przez koniec pręta, więc jego moment bezwładności względem tej osi jest równy $m_{p} L / 2$ . Aby wyznaczyć moment bezwładności krążka względem podanej osi, musimy zastosować twierdzenie Steinera. Moment bezwładności krążka liczony względem osi przechodzącej przez jego środek masy ma wartość $m_{k} R^{2} / 2$ ; po zastosowaniu twierdzenia Steinera $I_{oś równoległa} = I_{środek masy} + m d^{2}$ otrzymamy:

I_{oś równoległa} = \frac{1}{2} m_{k} R^{2} + m_{k} {(L + R)}^{2} .

Dodając moment bezwładności pręta do momentu bezwładności krążka przy przesuniętej osi obrotu stwierdzimy, że moment bezwładności dla przedmiotu złożonego jest równy:

I_{całkowity} = \frac{1}{3} m_{p} L^{2} + \frac{1}{2} m_{k} R^{2} + m_{k} {(L + R)}^{2} .

Obliczanie momentu bezwładności przy rozwiązywaniu zadań

Rozpatrzmy teraz kilka praktycznych zastosowań obliczeń momentu bezwładności.

Przykład 10.11

Dziecko na karuzeli

Dziecko o masie 25 kg siedzi na karuzeli w odległości

r = 1, 0 m

od jej osi obrotu (Ilustracja 10.29). Karuzelę możemy rozpatrywać jako jednolitą tarczę o promieniu 2,0 m i masie 500 kg. Wyznacz moment bezwładności tego układu.

Rysunek kręcącego się na karuzeli dziecka. Karuzela ma promień o długości 2 metrów. Dziecko stoi metr od środka.

Ilustracja 10.29 Obliczanie momentu bezwładności dla dziecka na karuzeli.

Strategia rozwiązania

W tym zadaniu mamy obliczyć moment bezwładności całego układu. Mamy podaną masę i odległość dziecka do osi obrotu, a także masę i promień karuzeli. Ponieważ masa i rozmiar dziecka są znacznie mniejsze niż karuzeli, możemy rozpatrywać dziecko jako masę punktową. Wprowadźmy oznaczenia dla danych:

m_{d} = 25 k g

,

r_{d} = 1, 0 m

,

m_{k} = 500 k g

,

r_{k} = 2, 0 m

.

Naszym celem jest wyznaczenie całkowitego momentu bezwładności układu $I_{całkowity} = \sum_{i} I_{i}$ .

Rozwiązanie

Moment bezwładności dziecka

I_{d} = m_{d} r^{2}

, a karuzeli

I_{k} = m_{k} r^{2} / 2

, stąd:

\begin{multiline} I_{\text{całkowity}} &= \SI{25}{\kilo\gram} \cdot (\SI{1}{\metre})^2 + \frac12 \cdot \SI{500}{\kilo\gram} \cdot (\SI{2}{\metre})^2 \\ &= \SI[inter-unit-product = ⋅]{25}{\kilo\gram\metre\squared} + \SI[inter-unit-product = ⋅]{1000}{\kilo\gram\metre\squared} = \SI[inter-unit-product = ⋅]{2025}{\kilo\gram\metre\squared} \text{.} \end{multiline}

Znaczenie

Wartość

I_{całkowity}

powinna być zbliżona do momentu bezwładności pustej karuzeli, ponieważ karuzela ma dużo większą masę niż położona dalej od osi obrotu masa dziecka.

Przykład 10.12

Pręt i cienka powłoka sferyczna

Wyznacz moment bezwładności układu: pręt połączony z cienką powłoką sferyczną. Obliczeń dokonaj dla dwóch przypadków pokazanych na rysunku poniżej. Oś jest prostopadła do rysunku i umieszczona w punkcie A. Pręt ma długość 0,5 m i masę 2,0 kg. Promień sfery wynosi 20,0 cm i ma ona masę 1,0 kg. Rysunek A przedstawia dysk o promieniu R połączony z prętem o długości L. Punkt A znajduje się na końcu pręta przeciwnie do dysku. Rysunek B pokazuje dysk o promieniu R połączony z prętem o długości L. Punkt B znajduje się na końcu pręta połączonego z dyskiem.

Rysunek A przedstawia dysk o promieniu R połączony z prętem o długości L. Punkt A znajduje się na końcu pręta przeciwnie do dysku. Rysunek B pokazuje dysk o promieniu R połączony z prętem o długości L. Punkt B znajduje się na końcu pręta połączonego z dyskiem.

Strategia rozwiązania

Ponieważ w obu przypadkach mamy złożony obiekt, możemy użyć twierdzenia Steinera do wyznaczenia momentu bezwładności względem każdej osi. W przypadku (a) środek masy sferycznej powłoki znajduje się w odległości

L + R

od osi obrotu. W przypadku (b) środek masy sferycznej powłoki znajduje się w odległości R od osi obrotu. W obu przypadkach moment bezwładności pręta jest momentem bezwładności liczonym względem osi przechodzącej przez jego koniec. Informacje na temat momentów bezwładności poszczególnych obiektów można znaleźć w podrozdziale Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym.

Rozwiązanie

$I_{całkowity} = \sum_{i} I_{i} = I_{pręt} + I_{powłoka},$ $I_{sfera} = I_{środek masy} + m_{sfera} {(L + R)}^{2} = \frac{2}{5} m_{sfera} R^{2} + m_{sfera} {(L + R)}^{2},$ $I_{całkowity} = I_{pręt} + I_{sfera} = \frac{1}{3} m_{pręt} L^{2} + \frac{2}{5} m_{sfera} R^{2} + m_{sfera} {(R + L)}^{2},$ $I_{całkowity} = \frac{1}{3} \cdot 2, 0 k g \cdot {(0, 5 m)}^{2} + \frac{2}{5} \cdot 1, 0 k g \cdot {(0, 2 m)}^{2} + 1, 0 k g \cdot {(0, 5 m + 0, 2 m)}^{2},$ $I_{całkowty} = 0, 167 k g \cdot m^{2} + 0, 016 k g \cdot m^{2} + 0, 490 k g \cdot m^{2} = 0, 673 k g \cdot m^{2} .$
$I_{sfera} = \frac{2}{5} m_{sfera} R^{2} + m_{sfera} R^{2},$ $I_{całkowity} = I_{pręt} + I_{sfera} = \frac{1}{3} m_{pręt} L^{2} + \frac{2}{5} m_{sfera} R^{2} + m_{sfera} R^{2},$ $I_{całkowity} = \frac{1}{3} \cdot 2, 0 k g \cdot {(0, 5 m)}^{2} + \frac{2}{5} \cdot 1, 0 k g \cdot {(0, 2 m)}^{2} + 1, 0 k g \cdot {(0, 2 m)}^{2},$ $I_{całkowity} = 0, 167 k g \cdot m^{2} + 0, 016 k g \cdot m^{2} + 0, 04 k g \cdot m^{2} .$

Znaczenie

Wykorzystanie twierdzenia Steinera ułatwia obliczenie momentu bezwładności obiektów złożonych. Widzimy, że moment bezwładności jest większy w przypadku (a) niż w przypadku (b). Dzieje się tak, ponieważ w przypadku (b) oś obrotu jest bliżej środka masy systemu. Prostą analogią jest tu moment bezwładności pręta. Moment bezwładności względem końca wynosi

m L^{2} / 3

, a moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy wynosi

m L^{2} / 12

.

Przykład 10.13

Prędkość kątowa wahadła. Wahadło w kształcie pręta (Ilustracja 10.30) wychylono o kąt 30°, a następnie puszczono swobodnie. Wahadło ma długość 30 cm i masę 300 g. Jaka jest jego prędkość kątowa w najniższym punkcie?

Rysunek pokazuje wahadło w kształcie pręta o masie 300 gramów i długości 30 centymetrów. Wahadło wychylone jest o kąt 30 stopni.

Ilustracja 10.30 Wahadło w kształcie pręta puszczone swobodnie.

Strategia rozwiązania

Zmiana energii potencjalnej wahadła jest równa zmianie jego energii kinetycznej ruchu obrotowego

Δ E_{p} + Δ E_{k} = 0

.

Rozwiązanie

W maksymalnym wychyleniu energia potencjalna wahadła wynosi

E_{p} = m g h_{ŚM} = m g (L / 2) \cos θ

. W najniższym położeniu

E_{p} = m g L / 2

.

W maksymalnym wychyleniu energia kinetyczna wahadła wynosi $E_{k} = 0$ , a w najniższym $E_{k} = I ω^{2} / 2$ . Tak więc:

Δ E_{p} + Δ E_{k} = 0 ⟹ [m g \frac{L}{2} \cdot (1 - \cos θ) - 0] + (0 - \frac{1}{2} I ω^{2}) = 0,

stąd:

\frac{1}{2} I ω^{2} = m g \frac{L}{2} \cdot (1 - \cos θ) .

Wyliczając z powyższych równań $ω$ otrzymujemy:

ω = \sqrt{m g \frac{L}{I} (1 - cos θ)} = \sqrt{m g \frac{L}{1 / 3 m L^{2}} (1 - cos θ)} = \sqrt{g \frac{3}{L} (1 - cos θ)} .

Wstawiając wartości numeryczne otrzymujemy:

ω = \sqrt{9, 8 m / s^{2} \cdot \frac{3}{0, 3 m} \cdot (1 - \cos 30^{\circ})} = 3, 6 r a d / s .

Znaczenie

Należy zauważyć, że prędkość kątowa wahadła nie zależy od jego masy.

10.5 Obliczanie momentu bezwładności

Moment bezwładności

Moment bezwładności cienkiego pręta względem osi przechodzącej przez jego środek

Moment bezwładności cienkiego pręta względem osi przechodzącej przez jeden z jego końców

Twierdzenie Steinera

Moment bezwładności jednorodnej tarczy względem osi przechodzącej przez jej środek

Obliczanie momentu bezwładności układów złożonych

Obliczanie momentu bezwładności przy rozwiązywaniu zadań

Dziecko na karuzeli

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Pręt i cienka powłoka sferyczna

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie