Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

10.5 Obliczanie momentu bezwładności

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 110.5 Obliczanie momentu bezwładności

Menu
Spis treści
  1. Przedmowa
  2. Mechanika
    1. 1 Jednostki i miary
      1. Wstęp
      2. 1.1 Zakres stosowalności praw fizyki
      3. 1.2 Układy jednostek miar
      4. 1.3 Konwersja jednostek
      5. 1.4 Analiza wymiarowa
      6. 1.5 Szacowanie i pytania Fermiego
      7. 1.6 Cyfry znaczące
      8. 1.7 Rozwiązywanie zadań z zakresu fizyki
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 2 Wektory
      1. Wstęp
      2. 2.1 Skalary i wektory
      3. 2.2 Układy współrzędnych i składowe wektora
      4. 2.3 Działania na wektorach
      5. 2.4 Mnożenie wektorów
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 3 Ruch prostoliniowy
      1. Wstęp
      2. 3.1 Położenie, przemieszczenie, prędkość średnia
      3. 3.2 Prędkość chwilowa i szybkość średnia
      4. 3.3 Przyspieszenie średnie i chwilowe
      5. 3.4 Ruch ze stałym przyspieszeniem
      6. 3.5 Spadek swobodny i rzut pionowy
      7. 3.6 Wyznaczanie równań ruchu metodą całkowania
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    4. 4 Ruch w dwóch i trzech wymiarach
      1. Wstęp
      2. 4.1 Przemieszczenie i prędkość
      3. 4.2 Przyspieszenie
      4. 4.3 Rzuty
      5. 4.4 Ruch po okręgu
      6. 4.5 Ruch względny w jednym i dwóch wymiarach
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    5. 5 Zasady dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 5.1 Pojęcie siły
      3. 5.2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
      4. 5.3 Druga zasada dynamiki Newtona
      5. 5.4 Masa i ciężar ciała
      6. 5.5 Trzecia zasada dynamiki Newtona
      7. 5.6 Rodzaje sił
      8. 5.7 Rozkłady sił działających na ciała
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    6. 6 Zastosowania zasad dynamiki Newtona
      1. Wstęp
      2. 6.1 Rozwiązywanie zadań związanych z zasadami dynamiki Newtona
      3. 6.2 Tarcie
      4. 6.3 Siła dośrodkowa
      5. 6.4 Siła oporu i prędkość graniczna
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    7. 7 Praca i energia kinetyczna
      1. Wstęp
      2. 7.1 Praca
      3. 7.2 Energia kinetyczna
      4. 7.3 Zasada zachowania energii mechanicznej
      5. 7.4 Moc
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    8. 8 Energia potencjalna i zasada zachowania energii
      1. Wstęp
      2. 8.1 Energia potencjalna układu
      3. 8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
      4. 8.3 Zasada zachowania energii
      5. 8.4 Wykresy energii potencjalnej
      6. 8.5 Źródła energii
      7. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
    9. 9 Pęd i zderzenia
      1. Wstęp
      2. 9.1 Pęd
      3. 9.2 Popęd siły i zderzenia
      4. 9.3 Zasada zachowania pędu
      5. 9.4 Rodzaje zderzeń
      6. 9.5 Zderzenia w wielu wymiarach
      7. 9.6 Środek masy
      8. 9.7 Napęd rakietowy
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    10. 10 Obroty wokół stałej osi
      1. Wstęp
      2. 10.1 Zmienne opisujące ruch obrotowy
      3. 10.2 Obroty ze stałym przyspieszeniem kątowym
      4. 10.3 Związek między wielkościami w ruchach obrotowym i postępowym
      5. 10.4 Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      6. 10.5 Obliczanie momentu bezwładności
      7. 10.6 Moment siły
      8. 10.7 Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
      9. 10.8 Praca i energia kinetyczna w ruchu obrotowym
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    11. 11 Moment pędu
      1. Wstęp
      2. 11.1 Toczenie się ciał
      3. 11.2 Moment pędu
      4. 11.3 Zasada zachowania momentu pędu
      5. 11.4 Precesja żyroskopu
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    12. 12 Równowaga statyczna i sprężystość
      1. Wstęp
      2. 12.1 Warunki równowagi statycznej
      3. 12.2 Przykłady równowagi statycznej
      4. 12.3 Naprężenie, odkształcenie i moduł sprężystości
      5. 12.4 Sprężystość i plastyczność
      6. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    13. 13 Grawitacja
      1. Wstęp
      2. 13.1 Prawo powszechnego ciążenia
      3. 13.2 Grawitacja przy powierzchni Ziemi
      4. 13.3 Energia potencjalna i całkowita pola grawitacyjnego
      5. 13.4 Orbity satelitów i ich energia
      6. 13.5 Prawa Keplera
      7. 13.6 Siły pływowe
      8. 13.7 Teoria grawitacji Einsteina
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    14. 14 Mechanika płynów
      1. Wstęp
      2. 14.1 Płyny, gęstość i ciśnienie
      3. 14.2 Pomiar ciśnienia
      4. 14.3 Prawo Pascala i układy hydrauliczne
      5. 14.4 Prawo Archimedesa i siła wyporu
      6. 14.5 Dynamika płynów
      7. 14.6 Równanie Bernoulliego
      8. 14.7 Lepkość i turbulencje
      9. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  3. Fale i akustyka
    1. 15 Drgania
      1. Wstęp
      2. 15.1 Ruch harmoniczny
      3. 15.2 Energia w ruchu harmonicznym
      4. 15.3 Porównanie ruchu harmonicznego z ruchem jednostajnym po okręgu
      5. 15.4 Wahadła
      6. 15.5 Drgania tłumione
      7. 15.6 Drgania wymuszone
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    2. 16 Fale
      1. Wstęp
      2. 16.1 Fale biegnące
      3. 16.2 Matematyczny opis fal
      4. 16.3 Prędkość fali na naprężonej strunie
      5. 16.4 Energia i moc fali
      6. 16.5 Interferencja fal
      7. 16.6 Fale stojące i rezonans
      8. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
    3. 17 Dźwięk
      1. Wstęp
      2. 17.1 Fale dźwiękowe
      3. 17.2 Prędkość dźwięku
      4. 17.3 Natężenie dźwięku
      5. 17.4 Tryby drgań fali stojącej
      6. 17.5 Źródła dźwięków muzycznych
      7. 17.6 Dudnienia
      8. 17.7 Efekt Dopplera
      9. 17.8 Fale uderzeniowe
      10. Podsumowanie rozdziału
        1. Kluczowe pojęcia
        2. Najważniejsze wzory
        3. Podsumowanie
        4. Pytania
        5. Zadania
        6. Zadania dodatkowe
        7. Zadania trudniejsze
  4. A Jednostki
  5. B Przeliczanie jednostek
  6. C Najważniejsze stałe fizyczne
  7. D Dane astronomiczne
  8. E Wzory matematyczne
  9. F Układ okresowy pierwiastków
  10. G Alfabet grecki
  11. Rozwiązania zadań
    1. Rozdział 1
    2. Rozdział 2
    3. Rozdział 3
    4. Rozdział 4
    5. Rozdział 5
    6. Rozdział 6
    7. Rozdział 7
    8. Rozdział 8
    9. Rozdział 9
    10. Rozdział 10
    11. Rozdział 11
    12. Rozdział 12
    13. Rozdział 13
    14. Rozdział 14
    15. Rozdział 15
    16. Rozdział 16
    17. Rozdział 17
  12. Skorowidz nazwisk
  13. Skorowidz rzeczowy
  14. Skorowidz terminów obcojęzycznych

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:
  • obliczać moment bezwładności dla wysoce symetrycznych brył sztywnych,
  • stosować twierdzenie Steinera do wyznaczania momentu bezwładności wokół dowolnej osi równoległej do osi, względem której znany jest moment bezwładności,
  • obliczać moment bezwładności dla złożonych obiektów.

W poprzednim podrozdziale zdefiniowaliśmy moment bezwładności, ale nie pokazaliśmy, jak go obliczyć. Poniżej pokazujemy, jak obliczyć moment bezwładności dla kilku standardowych obiektów oraz jak wykorzystać znane momenty bezwładności, aby znaleźć moment bezwładności dla przesuniętej osi lub dla układu złożonego. Ta wiedza bardzo przydaje się, gdy chcemy zastosować ogólne równanie do złożonych układów (to umiejętności, które są kluczowe dla bardziej zaawansowanych kursów fizyki i inżynierii).

Moment bezwładności

Zdefiniowaliśmy moment bezwładności dla punktów materialnych jako: I=imiri2I=imiri2, gdzie riri jest odległością ii-tego punktu od osi obrotu, a mimi oznacza masę ii-tego punktu. Tak więc, wartość momentu bezwładności będzie zależała od wyboru osi, czyli od rozkładu masy względem osi. Aby się o tym przekonać, weźmy prosty przykład dwóch mas na końcu bezmasowej (o nieistotnie małej masie) sztangi i obliczmy moment bezwładności względem dwóch różnych osi (patrz Ilustracja 10.23). W tym przypadku sumowanie jest proste: dwie masy na końcach sztangi można uważać za masy punktowe, a zatem suma ma tylko dwa składniki.

W przypadku osi przechodzącej przez środek sztangi, każda z dwóch mas mm jest w takiej samej odległości RR od osi, dając moment bezwładności:

I 1 = m R 2 + m R 2 = 2 m R 2 . I 1 = m R 2 + m R 2 = 2 m R 2 .

W przypadku, gdy oś umieścimy na jednym z końców sztangi, moment bezwładności jest równy:

I 2 = m 0 2 + m ( 2 R ) 2 = 4 m R 2 . I 2 = m 0 2 + m ( 2 R ) 2 = 4 m R 2 .

Na podstawie tego wyniku możemy stwierdzić, że znacznie trudniej będzie obrócić sztangę wokół osi przechodzącej przez jej koniec niż wokół osi w połowie jej długości.

Rysunek A przedstawia sztangę o długości 2 R z masami m na obu końcach. Sztanga obraca się wokół osi obrotu przechodzącej przez środek sztangi. Rysunek B pokazuje sztangę o długości 2 R z masami m na końcach. Sztanga obraca się wokół osi przechodzącej przez jeden z końców sztangi.
Ilustracja 10.23 (a) Oś obrotu przechodzi przez środek sztangi; (b) Oś obrotu przechodzi przez jeden z końców sztangi. Prędkość kątowa wynosi ω ω .

W tym przykładzie mamy dwie masy punktowe, więc suma była łatwa do obliczenia. Jednakże, aby poradzić sobie z obiektami, które nie są punktowe, musimy dokładnie przemyśleć każde z pojęć użytych w równaniu. Równanie wymaga zsumowania wkładów pochodzących od każdego „kawałka masy” znajdującego się w określonej odległości od osi obrotu. Ale co dokładnie oznacza ów każdy „kawałek masy”? Przypomnijmy, że w naszym wyprowadzeniu tego równania każda masa miała tę samą wartość prędkości, co oznacza, że każdy kawałek musiał mieć jednakową odległość rr od osi obrotu. Niestety, nie jest to możliwe. Zatem, musimy zastąpić nasz „kawałek masy” nieskończenie małym fragmentem dmdm, jak pokazano na Ilustracji 10.24.

Rysunek pokazuje punkt dm umieszczony na osi X w odległości r od środka.
Ilustracja 10.24 Idea użycia nieskończenie małego kawałka masy do obliczenia jego udziału w całkowitym momencie bezwładności.

Potrzeba użycia nieskończenie małego kawałka dmdm sugeruje, że możemy napisać równanie na moment bezwładności całkując wkłady pochodzące od nieskończenie małych mas, zamiast liczyć dyskretną sumę skończonej liczby mas. Wówczas równanie:

I = i m i r i 2 zmienia się w równanie I = r 2 d m . I= i m i r i 2 zmienia się w równanieI= r 2 d m.
10.20

Jest to ogólna postać równania, pozwalająca na obliczenie momentów bezwładności ciał o złożonych kształtach. W pozostałej części tego rozdziału pokażemy szczegółowo, na konkretnych przykładach, jak liczyć moment bezwładności dla ciał sztywnych o wybranych kształtach.

Moment bezwładności cienkiego pręta względem osi przechodzącej przez jego środek

Rozważmy jednorodny cienki pręt o masie mm i długości LL, tak jak to pokazano na rysunku (Ilustracja 10.25). Zakładamy, że pręt jest tak cienki a jego pole przekroju poprzecznego tak niewielkie, że pręt może być traktowany jako struna rozciągnięta wzdłuż linii prostej. Naszym zadaniem jest obliczenie momentu bezwładności tego pręta względem osi obrotu, która jest prostopadła do pręta i przechodzi przez jego środek. Skierujmy osie układu współrzędnych tak, by oś zz była osią obrotu, a oś xx prostą, na której leży pręt, tak jak pokazano na rysunku. Wykonamy teraz całkowanie wzdłuż osi xx.

Rysunek pokazuje cienki pręt obracający się wokół osi obrotu przechodzącej przez jego środek. Część pręta o długości dx ma masę dm.
Ilustracja 10.25 Obliczanie momentu bezwładności dla jednorodnego pręta względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego środek.

Wybierzmy mały fragment pręta o długości dxdx i masie dmdm. Moment bezwładności jest całką po rozkładzie mas. Jak na razie umiemy jedynie wykonać całkowanie po zmiennych przestrzennych, nie po masie. Musimy zatem znaleźć sposób na powiązanie masy ze zmiennymi przestrzennymi. Dokonamy tego używając pojęcia liniowej gęstości masy (ang. linear mass density) λλ, czyli masy liczonej na jednostkę długości. Ponieważ pręt jest jednorodny, gęstość pręta jest stała; możemy zatem napisać:

λ = m l czyli m = λ l . λ= m l czylim=λl.

Różniczkując obustronnie otrzymujemy:

d m = d ( λ l ) = λ d l , d m= d ( λ l ) =λ d l,

ponieważ λλ jest wielkością stałą. Zauważmy, że element pręta dldl leży całkowicie wzdłuż osi xx i ma długość dxdx; czyli dl=dxdl=dx. Możemy zatem napisać, że dm=λ(dx)dm=λ(dx), otrzymując zmienną całkowania, z którą umiemy już sobie poradzić. Odległość każdego fragmentu masy dmdm od osi obrotu jest określona przez zmienną xx, jak to pokazano na rysunku. Łączymy to wszystko razem i otrzymujemy:

I = r 2 d m = x 2 d m = x 2 λ d x . I= r 2 d m= x 2 d m= x 2 λ d x.

Określmy teraz granice całkowania. Zgodnie z rysunkiem, pręt rozciąga się od x=L/2x=L/2 do x=L/2x=L/2, mamy zatem:

I = L / 2 L / 2 x 2 λ d x = [ λ x 3 3 ] L / 2 L / 2 = λ 3 [ ( L 2 ) 3 ( L 2 ) 3 ] = λ 3 L 3 8 2 = 1 12 m L 2 . I= L / 2 L / 2 x 2 λ d x= [ λ x 3 3 ] L / 2 L / 2 = λ 3 [ ( L 2 ) 3 ( L 2 ) 3 ] = λ 3 L 3 8 2= 1 12 m L 2 .

Przejdźmy teraz do obliczenia momentu bezwładności dla tego samego jednorodnego, cienkiego pręta, ale względem innej osi, tak abyśmy mogli porównać wyniki. Spodziewamy się, że moment bezwładności będzie mniejszy względem osi przechodzącej przez środek pręta niż względem osi przechodzącej przez jego koniec, podobnie jak w przypadku sztangi omawianej na początku tego podrozdziału. Spodziewamy się tego, ponieważ większość masy jest rozłożona dalej od osi obrotu.

Moment bezwładności cienkiego pręta względem osi przechodzącej przez jeden z jego końców

Rozpatrzmy teraz ten sam jednorodny pręt o masie mm i długości LL, lecz tym razem umieścimy oś obrotu na jednym z jego końców (patrz Ilustracja 10.26). Wyznaczmy moment bezwładności pręta względem tej osi. Zdefiniujemy dmdm jako nieskończenie mały fragment masy naszego pręta. Podobnie jak poprzednio otrzymamy:

I = r 2 d m = x 2 d m = x 2 λ d x . I= r 2 d m= x 2 d m= x 2 λ d x.

Jednak tym razem mamy inne granice całkowania. Pręt rozciąga się od x=0x=0 do x=Lx=L, ponieważ oś jest umieszczona na końcu pręta w x=0x=0. Dlatego otrzymujemy:

I = 0 L x 2 λ d x = [ λ x 3 3 ] 0 L = λ 3 ( L 3 0 3 ) = λ 3 L 3 = 1 3 m L 2 . I= 0 L x 2 λ d x= [ λ x 3 3 ] 0 L = λ 3 ( L 3 0 3 ) = λ 3 L 3 = 1 3 m L 2 .
Rysunek przedstawia cienki pręt obracający się wokół osi obrotu przechodzącej przez jego koniec. Część pręta o długości dx ma masę dm.
Ilustracja 10.26 Obliczanie momentu bezwładności dla jednorodnego pręta względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego koniec.

Zauważmy, że „bezwładność obrotowa” pręta przy obrotach względem jego końca jest czterokrotnie większa niż „bezwładność obrotowa” dla obrotów wokół jego środka.

Twierdzenie Steinera

Podobieństwo między procesem obliczania momentu bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego środek i względem osi przechodzącej przez jego koniec jest uderzające i sugeruje, że może istnieć prostsza metoda wyznaczenia momentu bezwładności pręta wokół dowolnej osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy. Taka oś jest nazywana osią równoległą (ang. parallel axis). Istnieje twierdzenie pozwalające nam wyznaczyć moment bezwładności względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy, jeżeli znamy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy. Jest to twierdzenie Steinera (ang. parallel axis theorem, Steiner's theorem), które podamy tu bez dowodu.

Twierdzenie Steinera

Moment bezwładności względem osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy jest sumą momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy oraz iloczynu masy i kwadratu odległości pomiędzy osiami:

I oś równoległa = I środek masy + m d 2 . I oś równoległa = I środek masy +m d 2 .
10.21

Zastosujmy to twierdzenie do wyznaczenia momentu bezwładności rozważanego poprzednio pręta:

I koniec = I środek masy + m d 2 = 1 12 m L 2 + m ( L 2 ) 2 = ( 1 12 + 1 4 ) m L 2 = 1 3 m L 2 . I koniec = I środek masy +m d 2 = 1 12 m L 2 +m ( L 2 ) 2 = ( 1 12 + 1 4 ) m L 2 = 1 3 m L 2 .

Wynik ten jest zgodny z poprzednimi, znacznie dłuższymi obliczeniami. To przydatne twierdzenie zastosujemy też w kolejnych przykładach.

Sprawdź, czy rozumiesz 10.5

Jaki jest moment bezwładności walca o promieniu RR i masie mm liczony względem osi przechodzącej przez punkt na jego powierzchni, jak pokazano na poniższym rysunku? Oś jest prostopadła do płaszczyzny rysunku.

Rysunek przedstawia cylinder o promieniu R, który obraca się wokół osi przechodzącej przez punkt na powierzchni.

Moment bezwładności jednorodnej tarczy względem osi przechodzącej przez jej środek

Całkowanie w celu wyznaczenia momentu bezwładności obiektu dwuwymiarowego jest nieco trudniejsze, ale na tym poziomie studiów zwykle wykonuje się jeden przykład, mianowicie wyznaczenie momentu bezwładności jednorodnej cienkiej tarczy obracającej się wokół osi przechodzącej przez jej środek (Ilustracja 10.27).

Rysunek przedstawia jednorodny krążek o promieniu r obracający się wokół osi Z przechodzącej przez jego środek.
Ilustracja 10.27 Obliczanie momentu bezwładności cienkiej tarczy względem osi przechodzącej przez jej środek.

Ponieważ tarcza jest cienka, możemy założyć, że jej masa rozmieszczona jest całkowicie w płaszczyźnie xyxy. Zaczynamy od zdefiniowania powierzchniowej gęstości masy (ang. surface mass density), czyli masy na jednostkę powierzchni. Ponieważ tarcza jest jednorodna, to gęstość powierzchniowa σσ jest stała:

σ = m S czyli σ S = m , stąd d m = σ ( d S ) . σ= m S czyliσS=m,stąd d m=σ ( d S ) .

Obszar zajmowany przez tarczę można uznać za złożony z szeregu cienkich pierścieni, z których każdy ma szerokość drdr i masę dmdm równomiernie rozłożoną na okręgu o promieniu RR, tak jak to pokazano na Ilustracji 10.27. Powierzchnia każdego pierścienia dSdS jest zatem iloczynem długości każdego pierścienia (2πr2πr) i jego szerokości drdr:

S = π r 2 , stąd d S = d ( π r 2 ) = π d ( r 2 ) = 2 π r d r . S=π r 2 ,stąd d S= d ( π r 2 ) =π d ( r 2 ) =2πr d r.

Powierzchnia tarczy jest sumą powierzchni wszystkich cienkich pierścieni o promieniu od 0 do RR, które są naszym granicami całkowania dla drdr, tzn. całkujemy od r=0r=0 do r=Rr=R. Biorąc to wszystko po uwagę otrzymujemy:

I=0Rr2σ2πrdr=2πσ0Rr3dr=2πσr440RI=2πσR4404=2πmSR44I=2πmπR2R44=12mR2.I=0Rr2σ2πrdr=2πσ0Rr3dr=2πσr440RI=2πσR4404=2πmSR44I=2πmπR2R44=12mR2. \begin{multiline} I &= \int_0^R r^2 \sigma \cdot 2 \pi r \d r = 2\pi \sigma \int_0^R r^3\d r = 2\pi \sigma [\frac{r^4}{4}]_0^R \\ &= 2\pi \sigma (\frac{R^4}{4} - \frac{0}{4}) = 2\pi \cdot \frac{m}{S} \cdot \frac{R^4}{4} \\ &= 2 \pi \cdot \frac{m}{\pi R^2} \cdot \frac{R^4}{4} = \frac12 mR^2 \text{.} \end{multiline}I=0Rr2σ2πrdr=2πσ0Rr3dr=2πσr440R=2πσR4404=2πmSR44=2πmπR2R44=12mR2.

Zauważmy, że wynik jest zgodny z rezultatem podanym na Ilustracji 10.20.

Obliczanie momentu bezwładności układów złożonych

Rozpatrzmy teraz obiekt złożony, taki jak na rysunku poniżej. Rysunek przedstawia cienką tarczę na końcu cienkiego pręta. Nie można tego łatwo scałkować w celu wyznaczenia momentu bezwładności, ponieważ nie jest to obiekt o jednolitym kształcie. Jeśli jednak wrócimy do pierwotnej definicji momentu bezwładności jako sumy, możemy przypuścić, że moment bezwładności obiektu złożonego można wyznaczyć jako sumę momentów bezwładności każdej z jego części:

I całkowite = i I i . I całkowite = i I i .
10.22

Należy dodać, że momenty bezwładności obiektów w (Równaniu 10.22) dotyczą momentów bezwładności liczonych względem wspólnej osi. W przypadku tego obiektu byłby to pręt o długości LL obracający się wokół jego końca, oraz cienki krążek o promieniu RR, obracający się wokół osi przesuniętej od środka masy krążka o odległość L+RL+R. Oznaczmy masę pręta jako mpmp, a masę krążka jako mkmk.

Rysunek pokazuje krążek o promieniu R powiązany z prętem o długości L.
Ilustracja 10.28 Obiekt złożony składający się z krążka zawieszonego na końcu pręta. Oś obrotu jest prostopadła do płaszczyzny rysunku i przechodzi przez punkt A A .

Oś przechodzi przez koniec pręta, więc jego moment bezwładności względem tej osi jest równy mpL/2mpL/2. Aby wyznaczyć moment bezwładności krążka względem podanej osi, musimy zastosować twierdzenie Steinera. Moment bezwładności krążka liczony względem osi przechodzącej przez jego środek masy ma wartość mkR2/2mkR2/2; po zastosowaniu twierdzenia Steinera Ioś równoległa=Iśrodek masy+md2Ioś równoległa=Iśrodek masy+md2 otrzymamy:

I oś równoległa = 1 2 m k R 2 + m k ( L + R ) 2 . I oś równoległa = 1 2 m k R 2 + m k ( L + R ) 2 .

Dodając moment bezwładności pręta do momentu bezwładności krążka przy przesuniętej osi obrotu stwierdzimy, że moment bezwładności dla przedmiotu złożonego jest równy:

I całkowity = 1 3 m p L 2 + 1 2 m k R 2 + m k ( L + R ) 2 . I całkowity = 1 3 m p L 2 + 1 2 m k R 2 + m k ( L + R ) 2 .

Obliczanie momentu bezwładności przy rozwiązywaniu zadań

Rozpatrzmy teraz kilka praktycznych zastosowań obliczeń momentu bezwładności.

Przykład 10.11

Dziecko na karuzeli

Dziecko o masie 25 kg siedzi na karuzeli w odległości r=1,0mr=1,0m od jej osi obrotu (Ilustracja 10.29). Karuzelę możemy rozpatrywać jako jednolitą tarczę o promieniu 2,0 m i masie 500 kg. Wyznacz moment bezwładności tego układu.
Rysunek kręcącego się na karuzeli dziecka. Karuzela ma promień o długości 2 metrów. Dziecko stoi metr od środka.
Ilustracja 10.29 Obliczanie momentu bezwładności dla dziecka na karuzeli.

Strategia rozwiązania

W tym zadaniu mamy obliczyć moment bezwładności całego układu. Mamy podaną masę i odległość dziecka do osi obrotu, a także masę i promień karuzeli. Ponieważ masa i rozmiar dziecka są znacznie mniejsze niż karuzeli, możemy rozpatrywać dziecko jako masę punktową. Wprowadźmy oznaczenia dla danych: md=25kgmd=25kg, rd=1,0mrd=1,0m, mk=500kgmk=500kg, rk=2,0mrk=2,0m.

Naszym celem jest wyznaczenie całkowitego momentu bezwładności układu Icałkowity=iIiIcałkowity=iIi.

Rozwiązanie

Moment bezwładności dziecka Id=mdr2Id=mdr2, a karuzeli Ik=mkr2/2Ik=mkr2/2, stąd:
Icałkowity=25kg1m2+12500kg2m2Icałkowity=25kgm2+1000kgm2=2025kgm2.Icałkowity=25kg1m2+12500kg2m2Icałkowity=25kgm2+1000kgm2=2025kgm2. \begin{multiline} I_{\text{całkowity}} &= \SI{25}{\kilo\gram} \cdot (\SI{1}{\metre})^2 + \frac12 \cdot \SI{500}{\kilo\gram} \cdot (\SI{2}{\metre})^2 \\ &= \SI[inter-unit-product = ⋅]{25}{\kilo\gram\metre\squared} + \SI[inter-unit-product = ⋅]{1000}{\kilo\gram\metre\squared} = \SI[inter-unit-product = ⋅]{2025}{\kilo\gram\metre\squared} \text{.} \end{multiline}Icałkowity=25kg1m2+12500kg2m2=25kgm2+1000kgm2=2025kgm2.

Znaczenie

Wartość IcałkowityIcałkowity powinna być zbliżona do momentu bezwładności pustej karuzeli, ponieważ karuzela ma dużo większą masę niż położona dalej od osi obrotu masa dziecka.

Przykład 10.12

Pręt i cienka powłoka sferyczna

Wyznacz moment bezwładności układu: pręt połączony z cienką powłoką sferyczną. Obliczeń dokonaj dla dwóch przypadków pokazanych na rysunku poniżej. Oś jest prostopadła do rysunku i umieszczona w punkcie A. Pręt ma długość 0,5 m i masę 2,0 kg. Promień sfery wynosi 20,0 cm i ma ona masę 1,0 kg. Rysunek A przedstawia dysk o promieniu R połączony z prętem o długości L. Punkt A znajduje się na końcu pręta przeciwnie do dysku. Rysunek B pokazuje dysk o promieniu R połączony z prętem o długości L. Punkt B znajduje się na końcu pręta połączonego z dyskiem.

Strategia rozwiązania

Ponieważ w obu przypadkach mamy złożony obiekt, możemy użyć twierdzenia Steinera do wyznaczenia momentu bezwładności względem każdej osi. W przypadku (a) środek masy sferycznej powłoki znajduje się w odległości L+RL+R od osi obrotu. W przypadku (b) środek masy sferycznej powłoki znajduje się w odległości R od osi obrotu. W obu przypadkach moment bezwładności pręta jest momentem bezwładności liczonym względem osi przechodzącej przez jego koniec. Informacje na temat momentów bezwładności poszczególnych obiektów można znaleźć w podrozdziale Moment bezwładności i energia kinetyczna w ruchu obrotowym.

Rozwiązanie

  1. I całkowity = i I i = I pręt + I powłoka , I całkowity = i I i = I pręt + I powłoka , I sfera = I środek masy + m sfera ( L + R ) 2 = 2 5 m sfera R 2 + m sfera ( L + R ) 2 , I sfera = I środek masy + m sfera ( L + R ) 2 = 2 5 m sfera R 2 + m sfera ( L + R ) 2 , I całkowity = I pręt + I sfera = 1 3 m pręt L 2 + 2 5 m sfera R 2 + m sfera ( R + L ) 2 , I całkowity = I pręt + I sfera = 1 3 m pręt L 2 + 2 5 m sfera R 2 + m sfera ( R + L ) 2 , I całkowity = 1 3 2 , 0 k g ( 0 , 5 m ) 2 + 2 5 1 , 0 k g ( 0 , 2 m ) 2 + 1 , 0 k g ( 0 , 5 m + 0 , 2 m ) 2 , I całkowity = 1 3 2,0 k g ( 0 , 5 m ) 2 + 2 5 1,0 k g ( 0 , 2 m ) 2 +1,0 k g ( 0 , 5 m + 0 , 2 m ) 2 , I całkowty = 0 , 167 k g m 2 + 0 , 016 k g m 2 + 0 , 490 k g m 2 = 0 , 673 k g m 2 . I całkowty =0,167 k g m 2 +0,016 k g m 2 +0,490 k g m 2 =0,673 k g m 2 .
  2. I sfera = 2 5 m sfera R 2 + m sfera R 2 , I sfera = 2 5 m sfera R 2 + m sfera R 2 , I całkowity = I pręt + I sfera = 1 3 m pręt L 2 + 2 5 m sfera R 2 + m sfera R 2 , I całkowity = I pręt + I sfera = 1 3 m pręt L 2 + 2 5 m sfera R 2 + m sfera R 2 , I całkowity = 1 3 2 , 0 k g ( 0 , 5 m ) 2 + 2 5 1 , 0 k g ( 0 , 2 m ) 2 + 1 , 0 k g ( 0 , 2 m ) 2 , I całkowity = 1 3 2,0 k g ( 0 , 5 m ) 2 + 2 5 1,0 k g ( 0 , 2 m ) 2 +1,0 k g ( 0 , 2 m ) 2 , I całkowity = 0 , 167 k g m 2 + 0 , 016 k g m 2 + 0 , 04 k g m 2 . I całkowity =0,167 k g m 2 +0,016 k g m 2 +0,04 k g m 2 .

Znaczenie

Wykorzystanie twierdzenia Steinera ułatwia obliczenie momentu bezwładności obiektów złożonych. Widzimy, że moment bezwładności jest większy w przypadku (a) niż w przypadku (b). Dzieje się tak, ponieważ w przypadku (b) oś obrotu jest bliżej środka masy systemu. Prostą analogią jest tu moment bezwładności pręta. Moment bezwładności względem końca wynosi mL2/3mL2/3, a moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy wynosi mL2/12mL2/12.

Przykład 10.13

Prędkość kątowa wahadła. Wahadło w kształcie pręta (Ilustracja 10.30) wychylono o kąt 30°, a następnie puszczono swobodnie. Wahadło ma długość 30 cm i masę 300 g. Jaka jest jego prędkość kątowa w najniższym punkcie?

Rysunek pokazuje wahadło w kształcie pręta o masie 300 gramów i długości 30 centymetrów. Wahadło wychylone jest o kąt 30 stopni.
Ilustracja 10.30 Wahadło w kształcie pręta puszczone swobodnie.

Strategia rozwiązania

Zmiana energii potencjalnej wahadła jest równa zmianie jego energii kinetycznej ruchu obrotowego Δ E p +Δ E k =0Δ E p +Δ E k =0.

Rozwiązanie

W maksymalnym wychyleniu energia potencjalna wahadła wynosi E p =mghŚM=mg(L/2)cosθ E p =mghŚM=mg(L/2)cosθ. W najniższym położeniu E p =mgL/2 E p =mgL/2.

W maksymalnym wychyleniu energia kinetyczna wahadła wynosi E k =0 E k =0, a w najniższym E k =Iω2/2 E k =Iω2/2. Tak więc:

Δ E p + Δ E k = 0 [ m g L 2 ( 1 cos θ ) 0 ] + ( 0 1 2 I ω 2 ) = 0 , Δ E p + Δ E k =0 [ m g L 2 ( 1 cos θ ) 0 ] + ( 0 1 2 I ω 2 ) =0,

stąd:

1 2 I ω 2 = m g L 2 ( 1 cos θ ) . 1 2 I ω 2 =mg L 2 ( 1 cos θ ) .

Wyliczając z powyższych równań ωω otrzymujemy:

ω = m g L I ( 1 cos θ ) = m g L 1 / 3 m L 2 ( 1 cos θ ) = g 3 L ( 1 cos θ ) . ω = m g L I ( 1 cos θ ) = m g L 1 / 3 m L 2 ( 1 cos θ ) = g 3 L ( 1 cos θ ) .

Wstawiając wartości numeryczne otrzymujemy:

ω = 9 , 8 m / s 2 3 0 , 3 m ( 1 cos 30 ) = 3 , 6 r a d / s . ω= 9 , 8 m / s 2 3 0 , 3 m ( 1 cos 30 ) =3,6 r a d / s .

Znaczenie

Należy zauważyć, że prędkość kątowa wahadła nie zależy od jego masy.
Cytowanie i udostępnianie

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.