William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

8.5 Mikroskopowy model dielektryka

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

omawiać polaryzację dielektryka w jednorodnym polu elektrycznym;
opisywać wpływ spolaryzowanego dielektryka na pole elektryczne między okładkami kondensatora;
wyjaśniać zjawisko przebicia elektrycznego.

Wpływ dielektryka na pojemność elektryczną możemy lepiej zrozumieć, jeśli przyjrzymy się jego zachowaniu na poziomie molekularnym. Jak wiemy z poprzednich rozdziałów, każdą cząsteczkę można zaklasyfikować jako polarną (ang. polar) lub apolarną (ang. nonpolar). W izolowanych cząsteczkach apolarnych ładunki dodatnie i ujemne są rozłożone symetrycznie, natomiast w cząsteczkach polarnych rozkład ładunków jest nierównomierny (Ilustracja 8.19). Innymi słowy, cząsteczki polarne mają trwały elektryczny moment dipolowy (ang. electric-dipole moment), a cząsteczki apolarne nie. Dla przykładu cząsteczka wody jest polarna, a cząsteczka tlenu – apolarna. Cząsteczki apolarne mogą nabrać właściwości cząsteczek polarnych w obecności zewnętrznego pola elektrycznego. Efekt ten nazywamy polaryzacją indukowaną (ang. induced polarization).

Na rysunku znajdują się trzy schematy atomu. Na pierwszym z nich widać atom niespolaryzowany, czyli jądro atomowe składające się z neutronów i dodatnio naładowanych protonów otoczone okrągłą chmurą równomiernie rozłożonych elektronów. Drugi schemat przedstawia ten sam atom w zewnętrznym polu elektrycznym. Atom staje się wtedy spolaryzowany. Po stronie ujemnego ładunku zewnętrznego znajduje się jądro atomowe, natomiast otaczająca je chmura elektronów jest rozciągnięta w taki sposób, że większość elektronów znajduje się po stronie dodatniego ładunku zewnętrznego. Trzeci schemat przedstawia spolaryzowany atom w zewnętrznym polu elektrycznym z mniejszą ilością szczegółów. Atom przedstawiony jest jako chmura z ładunkiem dodatnim po jednej stronie (od strony ujemnego ładunku zewnętrznego), a ładunkiem ujemnym po drugiej stronie (od strony dodatniego ładunku zewnętrznego). — Ilustracja 8.19 Schemat polaryzacji. W niespolaryzowanym atomie (lub cząsteczce) naładowana ujemnie chmura elektronów równomiernie rozkłada się wokół dodatnio naładowanego jądra atomowego (jąder), natomiast w spolaryzowanym atomie (lub cząsteczce) po jednej stronie przeważają ładunki dodatnie, a po drugiej ujemne. Układ jako całość pozostaje jednak obojętny elektrycznie. Polaryzacja może być spowodowana obecnością zewnętrznego pola elektrycznego. Niektóre cząsteczki i atomy mają jednak stałą polaryzację (są dipolami elektrycznymi) nawet w przypadku braku zewnętrznego pola elektrycznego. Takie cząsteczki i atomy nazywamy polarnymi.

Na początku przyjrzyjmy się dielektrykowi złożonemu z cząsteczek polarnych. W sytuacji braku zewnętrznego pola elektrycznego dipole elektryczne skierowane są w losowych kierunkach, tak jak przedstawiono na Ilustracji 8.20 (a). Kiedy jednak dielektryk zostanie umiejscowiony w zewnętrznym polu elektrycznym ${\vec{E}}_{0}$ , cząsteczki polarne ustawiają się zgodnie z liniami pola, tak jak pokazano to w części (b). Przeciwne ładunki sąsiadujących ze sobą dipoli w środku dielektryka wzajemnie się znoszą, więc staje się on obojętny elektrycznie (symbolizują to przerywane okręgi). Sytuacja zmienia się jednak tuż przy górnej i dolnej granicy dielektryka (w obszarach zaznaczonych prostokątami o przerywanych bokach), gdzie z powodu jednakowego ustawienia dipoli ładunki nie mają par, z którymi mogłyby się znieść. Powstałe w ten sposób indukowane ładunki powierzchniowe (ang. induced surface charges) $+ Q_{i}$ i $- Q_{i}$ wytwarzają dodatkowe pole elektryczne ${\vec{E}}_{i}$ , tak zwane indukowane pole elektryczne (ang. induced electrical field), skierowane w przeciwnym kierunku niż pole zewnętrzne ${\vec{E}}_{0}$ , tak jak to przedstawiono w części (c) Ilustracji 8.20.

Rysunek a przedstawia dielektryk jako zbiór dipoli elektrycznych, czyli cząsteczek o ładunku dodatnim z jednej strony, a ujemnym z drugiej. Cząsteczki są obrócone w losowych kierunkach. Rysunek b przedstawia ten sam dielektryk w polu E z indeksem dolnym 0, zaznaczonym strzałką skierowaną w dół. Teraz wszystkie dipole obrócone są w tym samym kierunku, to znaczy pionowo, z ładunkiem ujemnym na górze i ładunkiem dodatnim na dole. Okręgami przerywanymi zaznaczono pary przeciwnych biegunów sąsiadujących dipoli, co symbolizuje, że ładunki te znoszą się. Najwyższa warstwa ładunków ujemnych oraz najniższa warstwa ładunków dodatnich zostały zaznaczone przerywanymi prostokątami, co wskazuje, że ładunki nie mają z czym się znieść. Rysunek c przedstawia tę samą sytuację z pominięciem ładunków, które się zniosły. Dielektryk znajduje się w polu E z indeksem dolnym 0 skierowanym w dół. Na górnej krawędzi dielektryka zebrały się ładunki ujemne oznaczone minus Q z indeksem dolnym i, a na dolnej krawędzi ładunki dodatnie oznaczone plus Q z indeksem dolnym i. Wytwarzają one w dielektryku indukowane pole elektryczne E z indeksem dolnym i skierowane w górę. — Ilustracja 8.20 Dielektryk złożony z cząsteczek polarnych: (a) w sytuacji braku zewnętrznego pola elektrycznego; (b) w obecności zewnętrznego pola elektrycznego ${\vec{E}}_{0}$ . Prostokąty o przerywanych bokach wskazują obszary bezpośrednio przylegające do okładek kondensatora. (c) Indukowane pole elektryczne ${\vec{E}}_{i}$ wewnątrz dielektryka wytworzone przez indukowane ładunki powierzchniowe $Q_{i}$ . Zauważmy, że tak naprawdę poszczególne cząsteczki nie są dokładnie równoległe do linii zewnętrznego pola elektrycznego z powodu fluktuacji termicznych.

Ten sam efekt zachodzi, kiedy cząsteczki dielektryka są apolarne. W tym przypadku wytwarza się indukowany elektryczny moment dipolowy (ang. induced electric-dipole moment), ponieważ zewnętrzne pole ${\vec{E}}_{0}$ powoduje rozsunięcie ładunków dodatnich i ujemnych w cząsteczce. Indukowane dipole cząsteczek apolarnych układają się zgodnie z liniami pola ${\vec{E}}_{0}$ , tak samo jak stałe dipole cząsteczek polarnych (co przedstawiono w części (b) Ilustracji 8.20). Pole elektryczne w dielektryku jest więc osłabione niezależnie od tego, czy cząsteczki dielektryka są polarne, czy apolarne.

Zatem kiedy przestrzeń pomiędzy okładkami kondensatora płaskiego, takiego jak na Ilustracji 8.21 (a), wypełnia dielektryk, pojawia się w nim pole elektryczne ${\vec{E}}_{0}$ wywołane ładunkiem swobodnym (ang. free charge) $Q_{0}$ na okładkach kondensatora oraz pole elektryczne ${\vec{E}}_{i}$ pochodzące od ładunku indukowanego $Q_{i}$ na brzegach dielektryka. Wypadkowe pole elektryczne $\vec{E}$ w dielektryku jest sumą wektorową tych dwóch pól (co przedstawiono w części (b) Ilustracji 8.21)

\vec{E} = {\vec{E}}_{0} + {\vec{E}}_{i} .

8.13

Wypadkowe pole elektryczne można interpretować jako pole elektryczne wytworzone przez ładunek efektywny (ang. effective charge) $Q_{0} - Q_{i}$ w kondensatorze.

Rysunek a przedstawia kondensator bez dielektryka. Składa się on z dwóch pionowych okładek. Na jednej z nich gromadzą się ładunki dodatnie oznaczone znakami plus, a na drugiej ładunki ujemne oznaczone znakami minus. Linie pola elektrycznego E z indeksem dolnym 0 skierowane są od okładki naładowanej dodatnio do okładki naładowanej ujemnie. Rysunek b przedstawia ten sam kondensator wypełniony dielektrykiem. Na krawędzi dielektryka sąsiadującej z okładką dodatnią gromadzi się mniejszy ładunek ujemny oznaczony znakami minus, a na krawędzi sąsiadującej z okładką ujemną ładunek dodatni oznaczony znakami plus. Linie pola elektrycznego E są w tym przypadku rozstawione rzadziej. — Ilustracja 8.21 Pole elektryczne: (a) ${\vec{E}}_{0}$ w kondensatorze próżniowym; (b) $\vec{E}$ w kondensatorze z dielektrykiem.

W większości dielektryków wypadkowe pole elektryczne $\vec{E}$ jest proporcjonalne do pola ${\vec{E}}_{0}$ wytworzonego przez ładunek swobodny kondensatora. Przy użyciu tych dwóch pól elektrycznych można zapisać definicję względnej przenikalności elektrycznej dielektryka

ε_{r} = \frac{E_{0}}{E} .

8.14

${\vec{E}}_{0}$ i ${\vec{E}}_{i}$ mają przeciwne zwroty, dlatego natężenie $E$ jest mniejsze niż natężenie $E_{0}$ , a zatem $ε_{r} > 1$ . Po podstawieniu Równania 8.14 do Równania 8.13 i przekształceniu otrzymujemy następujące wyrażenie na pole elektryczne indukowane w dielektryku

{\vec{E}}_{i} = (\frac{1}{ε_{r}} - 1) {\vec{E}}_{0} .

8.15

Kiedy natężenie zewnętrznego pola elektrycznego przekroczy pewną granicę, rozpoczyna się proces jonizacji cząsteczek dielektryka. Jonizacja to wytrącenie co najmniej jednego elektronu. Każdy taki elektron staje się swobodny i niezwiązany ze strukturą cząsteczkową lub atomową. W wyniku jonizacji dielektryk uzyskuje zdolność przewodnictwa elektrycznego, co pozwala na transport ładunków z jednej okładki kondensatora na drugą. Zjawisko to nosi nazwę przebicia elektrycznego (ang. dielectric breakdown). Ilustracja 8.1 przedstawia charakterystyczny kształt losowych ścieżek pozostawianych przez ładunek podczas przebicia elektrycznego izolatora. Wartość krytyczną $E_{c}$ natężenia pola elektrycznego, przy której cząsteczki izolatora ulegają jonizacji, nazywamy wytrzymałością dielektryczną (ang. dielectric strength) materiału. Wytrzymałość dielektryczna ogranicza wielkość napięcia, jakie można przyłożyć do kondensatora przy danej odległości między okładkami. Na przykład wytrzymałość dielektryczna powietrza wynosi $E_{c} = 3 MV ∕ m$ , a więc dla kondensatora wypełnionego powietrzem o okładkach oddalonych od siebie o $d = 1 mm$ maksymalna różnica potencjałów, jaką można bezpiecznie przyłożyć bez wywołania przebicia elektrycznego, wynosi $U = E_{c} d = 3 \cdot 10^{6} V ∕ m \cdot 10^{- 3} m = 3 kV$ .

Granica ta rośnie jednak do $60 kV$ , jeśli ten sam kondensator wypełnimy teflonem, którego wytrzymałość dielektryczna wynosi około $60 MV ∕ m$ . Ograniczenie ze względu na wytrzymałość dielektryczną sprawia, że maksymalny ładunek, jaki można zgromadzić na wyżej opisanym kondensatorze wypełnionym powietrzem, wynosi zaledwie $Q_0 = \epsilon_{\text{r}}^{\text{powietrze}} C_0 \cdot \SI{3}{\kilo\volt}$ , a w przypadku kondensatora z teflonem ładunek może wynosić nawet

\begin{multiline} Q &= \epsilon_{\text{r}}^{\text{teflon}} C_0 \cdot \SI{60}{\kilo\volt} = \epsilon_{\text{r}}^{\text{teflon}} \cdot \frac{Q_0}{\epsilon_{\text{r}}^{\text{powietrze}} \cdot \SI{3}{\kilo\volt}} \cdot \SI{60}{\kilo\volt} \\ &= 20 \cdot \frac{\epsilon_{\text{r}}^{\text{teflon}}}{\epsilon_{\text{r}}^{\text{powietrze}}} Q_0 = 20 \cdot \frac{\num{2,1}}{\num{1,00059}} Q_0 = 42 Q_0 \text{,} \end{multiline}

czyli około 42 razy więcej. W Tabeli 8.1 przedstawiono typowe wartości względnej przenikalności elektrycznej oraz wytrzymałości dielektrycznej dla różnych materiałów. Zwróćmy uwagę, że względna przenikalność elektryczna $ε_{r}$ dla próżni wynosi dokładnie 1 (warunki w próżni stanowią punkt odniesienia), a dla powietrza w warunkach normalnych (ciśnienie normalne i temperatura pokojowa) osiąga wartości bliskie jedności. Wartości te są tak zbliżone, że właściwości kondensatora wypełnionego powietrzem są praktycznie takie same jak właściwości kondensatora próżniowego (z wyjątkiem odporności na przebicie elektryczne).

Substancja	Względna przenikalność elektryczna ( $ε_{r}$ )	Wytrzymałość dielektryczna ( $E_{\text{c}}$ [ $\text{}\cdot10^6\si{\volt\per\metre}$ ])
Próżnia	$1$	$\infty$
Suche powietrze ( $1 atm$ )	$1,000 59$	$3$
Teflon	$2,1$	$60$ – $173$
Parafina	$2,3$	$11$
Olej silikonowy	$2,5$	$10$ – $15$
Polistyren	$2,56$	$19,7$
Nylon	$3,4$	$14$
Papier	$3,7$	$16$
Szkło krzemionkowe	$3,78$	$8$
Szkło	$4$ – $6$	$9,8$ – $13,8$
Beton	$4,5$	–
Bakelit	$4,9$	$24$
Diament	$5,5$	$2000$
Szkło borokrzemowe	$5,6$	$14$
Mika	$6$	$118$
Guma neoprenowa	$6,7$	$15,7$ – $26,7$
Woda	$80$	–
Kwas siarkowy	$84$ – $100$	–
Dwutlenek tytanu	$86$ – $173$	–
Tytanian strontu	$310$	$8$
Tytanian baru	$1200$ – $10 000$	–
Modyfikowany miedzią tytanian wapnia	$\prefop{>} \num{250000}$	–

Tabela 8.1 Przykładowe wartości względnej przenikalności elektrycznej i względnej wytrzymałości dielektrycznej różnych substancji w temperaturze pokojowej.

Mimo wysokich względnych przenikalności elektrycznych nie wszystkie wymienione w tabeli substancje są dobrymi izolatorami. Na przykład woda ma wysoką względną przenikalność elektryczną, wynoszącą około $80$ . Składa się z cząsteczek polarnych, w których elektrony częściej znajdują się bliżej jąder tlenu niż jąder wodoru. Z tego powodu ma ona niewielki ładunek ujemny po stronie tlenu, a dodatni po stronie wodoru. Dzięki temu cząsteczka może się łatwo ustawić zgodnie z liniami zewnętrznego pola elektrycznego, co sprawia, że woda ma wysoką względną przenikalność elektryczną. Jednak polarne właściwości cząsteczek wody sprawiają też, że wiele substancji dobrze się w niej rozpuszcza, co ma niepożądany skutek polegający na tym, że nawet niewielka koncentracja jonów swobodnych w wodzie przewodzi prąd.

Przykład 8.11

Pole elektryczne i indukowany ładunek powierzchniowy

Załóżmy, że odległość pomiędzy okładkami kondensatora z Przykładu 8.10 wynosi

2 mm

, a powierzchnia każdej z okładek

4,5 \cdot 10^{- 3} m^{2}

. Obliczmy

pole elektryczne między okładkami przed wsunięciem teflonu oraz po wsunięciu;
ładunek powierzchniowy indukowany na brzegach teflonu.

Strategia rozwiązania

Jeśli chodzi o część (a), wiemy, że napięcie na kondensatorze próżniowym wynosi

U_{0} = 40 V

, więc do obliczenia pola elektrycznego wykorzystujemy zależność

U = E d

oraz Równanie 8.14. Znając natężenie pola elektrycznego, możemy w części (b) zastosować wyrażenie na natężenie pola elektrycznego w pobliżu naładowanej okładki:

E = σ ∕ ε_{0}

, gdzie

σ

jest jednorodną gęstością powierzchniową ładunku. Wykorzystujemy wartość ładunku swobodnego

Q_{0} = 8 \cdot 10^{- 10} C

otrzymaną w Przykładzie 8.10.

Rozwiązanie

Pole elektryczne $E_{0}$ pomiędzy okładkami kondensatora próżniowego wynosi
$E_{0} = \frac{U_{0}}{d} = \frac{40 V}{2 \cdot 10^{- 3} m} = 2 \cdot 10^{4} V ∕ m .$
Pole elektryczne $E$ dla kondensatora z teflonem wynosi
$E = \frac{1}{ε_{r}} E_{0} = \frac{1}{2,1} \cdot 2 \cdot 10^{4} V ∕ m = 9,5 \cdot 10^{3} V ∕ m .$
Ładunek efektywny na okładkach kondensatora stanowi różnicę pomiędzy ładunkiem swobodnym $Q_{0}$ a ładunkiem indukowanym $Q_{i}$ . Ładunek efektywny jest związany z istnieniem pola elektrycznego w teflonie. Zatem
$E = \frac{1}{ε_{0}} σ = \frac{1}{ε_{0}} \cdot \frac{Q_{0} - Q_{i}}{S} .$
Po przekształceniu tego równania możemy obliczyć $Q_{i}$ , które wynosi
$\begin{multiline} Q_{\text{i}} &= Q_0 - \epsilon_0 SE \\ &= \SI{8e-10}{\coulomb} - \SI{8,85e-12}{\coulomb\squared\per\newton\per\metre\squared} \cdot \SI{4,5e-3}{\metre\squared} \cdot \SI{9,5e3}{\volt\per\metre} \\ &= \SI{4,2e-10}{\coulomb} = \SI{0,42}{\nano\coulomb} \text{.} \end{multiline}$

Przykład 8.12

Dielektryk wsunięty do kondensatora podłączonego do akumulatora

Po podłączeniu kondensatora próżniowego o pojemności elektrycznej

C_{0}

do akumulatora o napięciu

U_{0}

ładunek na okładkach wynosi

Q_{0}

, a pole elektryczne

E_{0}

. Między okładki kondensatora bez odłączania akumulatora wsunięto dielektryk o względnej przenikalności elektrycznej

ε_{r}

, tak jak to przedstawiono na Ilustracji 8.22.

Obliczmy pojemność elektryczną $C$ , napięcie $U$ i pole elektryczne $E$ między okładkami po wsunięciu dielektryka.
Określmy postać ładunku swobodnego $Q$ zgromadzonego na okładkach kondensatora z dielektrykiem i ładunku indukowanego $Q_{i}$ na powierzchni dielektryka w zależności od początkowego ładunku na okładkach $Q_{0}$ .

Rysunek a przedstawia kondensator połączony ze źródłem prądu. Z kondensatorem równolegle połączony jest woltomierz wskazujący napięcie V z indeksem dolnym 0. Na okładkach kondensatora zgromadzone są ładunki plus Q z indeksem dolnym 0 i minus Q z indeksem dolnym 0. Rysunek b przedstawia ten sam układ po wsunięciu dielektryka między okładki kondensatora. Napięcie wskazywane przez woltomierz to wciąż V z indeksem dolnym 0. Na okładkach kondensatora zgromadzone są ładunki plus Q i minus Q, a na powierzchniach dielektryka przylegających do okładek odpowiednio ładunki minus Q z indeksem dolnym i oraz plus Q z indeksem dolnym i. — Ilustracja 8.22 Między okładki naładowanego kondensatora wsunięto dielektryk bez odłączania akumulatora.

Strategia rozwiązania

Określamy znane wielkości:

U_{0}

,

C_{0}

,

E_{0}

,

ε_{r}

i

Q_{0}

. Naszym zadaniem jest wyrażenie za ich pomocą szukanych wielkości.

Rozwiązanie

Pojemność elektryczna kondensatora z dielektrykiem wynosi $C = ε_{r} C_{0}$ . Ponieważ akumulator cały czas jest podłączony, różnica potencjałów pomiędzy okładkami nie zmienia się, a więc $U = U_{0}$ . Pole elektryczne w kondensatorze z dielektrykiem jest zatem takie samo jak w pustym kondensatorze, co bezpośrednio wynika z równości
$E = \frac{U}{d} = \frac{U_{0}}{d} = E_{0} .$
Dla kondensatora z dielektrykiem ładunek swobodny na okładkach wynosi
$Q = C U = (ε_{r} C_{0}) U_{0} = ε_{r} (C_{0} U_{0}) = ε_{r} Q_{0} .$
Pole elektryczne $E$ w kondensatorze z dielektrykiem pochodzi z ładunku efektywnego $Q - Q_{i}$ (część (b) Ilustracji 8.22). Ze względu na to, że $E = E_{0}$ , otrzymujemy
$\frac{Q - Q_{i}}{ε_{0} S} = \frac{Q_{0}}{ε_{0} S} .$
Przekształciwszy powyższe równanie, otrzymujemy wyrażenie na ładunek indukowany $Q_{i}$
$Q_{i} = Q - Q_{0} = ε_{r} Q_{0} - Q_{0} = (ε_{r} - 1) Q_{0} .$

Znaczenie

Zauważmy, że dla substancji o względnej przenikalności elektrycznej większej niż 2 (Tabela 8.1) ładunek indukowany na powierzchni dielektryka jest większy niż ładunek na okładkach kondensatora próżniowego. Odwrotnie jest w przypadku gazów, na przykład powietrza, których względna przenikalność elektryczna jest mniejsza od 2.

Sprawdź, czy rozumiesz 8.8

Kontynuując rozważania z Przykładu 8.12, wykaż, że energia zgromadzona w kondensatorze z dielektrykiem podłączonym do akumulatora wynosi $E_C = \epsilon_{\text{r}} E_{C\sep 0}$ (a więc jest większa niż energia $E_{C\sep 0}$ kondensatora próżniowego pod tym samym napięciem). Porównaj ten wynik z zależnością $E = E_0 / \epsilon_{\text{r}}$ otrzymaną wcześniej dla izolowanego, naładowanego kondensatora.

Sprawdź, czy rozumiesz 8.9

Powtórz obliczenia z Przykładu 8.10 dla przypadku, gdy dielektryk zostaje wsunięty do kondensatora przy podłączonym akumulatorze.