Rozdz. 1 Zadania trudniejsze - Fizyka dla szkół wyższych. Tom 2

Zadania trudniejsze

Pewne wahadło wykonano z podlegającego rozszerzalności cieplnej pręta o długości $L$ o pomijalnej masie oraz z ciężarka o pomijalnym rozmiarze.

Udowodnij, że gdy temperatura wzrośnie o $d T$ , to okres drgań wahadła zwiększy się $α d T ∕ 2$ razy;
Zegar z mosiężnym wahadłem pokazuje poprawny upływ czasu w temperaturze $10 ° C$ . Czy w temperaturze $30 ° C$ będzie chodził wolniej, czy szybciej? Ile wynosi jego błąd w sekundach na dzień?

122.

W temperaturze kilkuset kelwinów pojemność cieplna miedzi jest w przybliżeniu opisana empirycznym równaniem $c = α + β T + δ T^{- 2}$ , gdzie $α = 349 J ∕ (kg K)$ , $β = 0,107 J ∕ (kg K^{2})$ , a $δ = 4,58 \cdot 10^{5} J kg K$ . Ile ciepła należy dostarczyć, aby podnieść temperaturę $2 kg$ miedzi od $20 ° C$ do $250 ° C$ ?

123.

W kalorymetrze o pomijalnej pojemności cieplnej znajduje się $200 g$ pary wodnej w temperaturze $150 ° C$ oraz $100 g$ lodu o temperaturze $- 40 ° C$ . Ciśnienie jest stale utrzymywane na poziomie $1 atm$ . Ile wynosi temperatura końcowa oraz ile lodu, wody i pary wodnej pozostanie w kalorymetrze?

124.

Astronauta na spacerze kosmicznym jest osłonięty od Słońca i ubrany w kombinezon kosmiczny, który można uznać za doskonale biały ( $e = 0$ ) poza małą łatką z materiału w postaci flagi narodowej o rozmiarach $\SI{5}{\centi\metre}\times\SI{8}{\centi\metre}$ . Łatka ma zdolność emisyjną równą $0,3$ . Kombinezon pod łatką ma $0,5 cm$ grubości, posiada przewodność cieplną $k = 0,06 W ∕ (m ° C)$ , a temperatura jego wewnętrznej powierzchni wynosi $20 ° C$ . Ile wynosi temperatura łatki oraz jaka jest szybkość utraty ciepła przepływającego przez nią? Załóż, że łatka jest na tyle cienka, że jej zewnętrzna powierzchnia jest w tej samej temperaturze, co powierzchnia kombinezonu pod nią. Załóż także, że temperatura przestrzeni kosmicznej to $0 K$ . Uzyskane równanie będzie bardzo trudne do rozwiązania w sposób analityczny, dlatego możesz je rozwiązać w sposób numeryczny za pomocą kalkulatora graficznego, programu obliczeniowego lub metodą prób i błędów za pomocą zwykłego kalkulatora.

125.

Celem tego zadania jest obliczenie przyrostu warstwy lodu w funkcji czasu. Oznacz grubość warstwy lodu przez $L$ .

Wyznacz równanie na $d L ∕ d T$ w zależności od $L$ , temperatury $T$ ponad lodem oraz właściwości lodu (które możesz pozostawić w formie symboli);
Rozwiąż to równanie różniczkowe, zakładając, że w $t=\SI{0}{\second}$ grubość lodu wynosi $L=\SI{0}{\metre}$ . Jeżeli znasz metody obliczania równań różniczkowych, przekształć równanie do formy $d L ∕ d T$ pomnożone przez prostą funkcję $L$ z jednej strony równania. Scałkuj obie strony równania po czasie;
Czy woda zamarznie do samego dna naczynia?

126.

Oszacuj temperaturę Ziemi. Załóż, że planeta jest idealną kulą o jednorodnej temperaturze. Pomiń efekt cieplarniany. Promieniowanie cieplne Słońca ma natężenie (stała słoneczna $S$ ) równe około $1370 W ∕ m^{2}$ w odległości orbity ziemskiej.

Zakładając, że promienie Słońca są równoległe, na jaką powierzchnię musi padać $S$ , by określić całkowite promieniowanie przechwytywane przez Ziemię? Najłatwiej będzie podać powierzchnię w zależności od promienia Ziemi $R$ ;
Załóż, że Ziemia odbija ok. $30 %$ energii słonecznej, która na nią pada. Innymi słowy albedo Ziemi wynosi $A = 0,3$ . Oblicz szybkość absorpcji promieniowania słonecznego przez Ziemię wyrażoną przez $S$ , $A$ oraz $R$ ;
Oblicz temperaturę, przy której Ziemia wypromieniowuje energię z taką samą szybkością. Załóż, że w zakresie długości fal podczerwieni, w których Ziemia wypromieniowuje energię, jej zdolność emisyjna $e$ jest równa $1$ . Czy twój wynik pokazuje, że efekt cieplarniany jest ważny?
Jak ten wynik zależy od wartości pola powierzchni Ziemi?

127.

Rozwiąż poprzednie zadanie, uwzględniając tym razem w sposób uproszczony efekt cieplarniany. Załóż, że atmosfera jest pojedynczą warstwą – otaczającą Ziemię sferyczną powłoką o zdolności emisyjnej $e = 0, 77$ dla podczerwieni emitowanej przez Ziemię i atmosferę (parametry warstwy ustalono w ten sposób, aby uzyskać poprawny wynik). Efekt cieplarniany związany jest z faktem, że atmosfera ziemska jest przezroczysta dla światła widzialnego, ale dość mocno absorbuje promieniowanie podczerwone. W obliczeniach załóż, że do powierzchni Ziemi dociera jedynie światło widzialne ze Słońca. Załóż także, że promień atmosfery jest w przybliżeniu równy promieniowi Ziemi, ale skoro jest ona sferą wokół Ziemi, to promieniuje ona podczerwień zarówno w stronę powierzchni Ziemi, jak i w kierunku przestrzeni kosmicznej, zatem jej powierzchnia jest dwukrotnie większa niż powierzchnia Ziemi. Występują tu trzy strumienie promieniowania cieplnego: promieniowanie świetlne absorbowane przez Ziemię, promieniowanie podczerwone z powierzchni Ziemi, które absorbuje atmosfera zgodnie ze swoją emisyjnością, oraz promieniowanie podczerwone z atmosfery, z którego połowa absorbowana jest przez Ziemię, a druga połowa wypromieniowana w kierunku przestrzeni kosmicznej. Skorzystaj z metody rozwiązania zastosowanej w poprzednim zadaniu i znajdź równania opisujące powierzchnię Ziemi i atmosferę, a następnie wyznacz z nich dwie nieznane temperatury: powierzchni oraz atmosfery.

Wyraź moc promieniowania podczerwonego powierzchni Ziemi w funkcji promienia ziemskiego, stałej $σ$ oraz nieznanej temperatury powierzchni Ziemi $T_{Z}$ ;
Jaka jest moc promieniowania Ziemi absorbowanego przez atmosferę?
Wyraź moc promieniowania podczerwonego atmosfery jako funkcję jej temperatury $T_{a}$ ;
Zapisz równanie, które mówi, że moc promieniowania, jakie atmosfera absorbuje z Ziemi, równa jest mocy promieniowania, jakie atmosfera emituje;
Połowa mocy wyemitowanej przez atmosferę dociera do Ziemi. Zapisz równanie, które mówi, że moc promieniowania, jakie absorbuje Ziemia z atmosfery oraz ze Słońca, równa jest mocy, jaką Ziemia emituje;
Rozwiąż oba równania według nieznanej temperatury Ziemi.