William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania

7.1 Elektryczna energia potencjalna

29.

Rozważ sytuację, w której obok nieruchomego ładunku $Q_{1} = + 5 µC$ porusza się inny ładunek $Q_{2}$ (o wielkości $+ 3 µC$ i masie $6 µg$ ).

Oblicz energię potencjalną ładunku $Q_{2}$ w odległości $4 cm$ od ładunku źródłowego $Q_{1}$ ;
Jaką prędkość uzyska ładunek $Q_{2}$ w punkcie odległym o $8 cm$ od ładunku $Q_{1}$ , jeśli w położeniu początkowym $4 cm$ spoczywał? Uwaga: Ładunek $Q_{1}$ jest cały czas nieruchomy.

30.

Dwa ładunki, $Q_{1} = + 2 µC$ oraz $Q_{2} = + 2 µC$ , są umieszczone symetrycznie po obu stronach początku osi $x$ w punktach $x = \pm 3 cm$ . Załóżmy, że ładunek $Q_{3} = + 4 µC$ o masie $10 mg$ porusza się wzdłuż osi $y$ . Jeżeli ładunek $Q_{3}$ zaczyna ruch w punkcie $y = 2 cm$ , to jaką prędkość osiąga w punkcie $y = 4 cm$ ?

31.

Do utworzenia atomu wodoru elektron musi zostać przeniesiony z nieskończoności w położenie o odległości $\SI{5,29e-11}{\metre}$ od protonu (jest to średni promień atomu wodoru). Ile wynosi praca potrzebna do utworzenia atomu wodoru?

32.

Jaka jest średnia moc wyjściowa defibrylatora, który w ciągu $\SI{10}{\milli\second}$ oddaje $\SI{400}{\joule}$ energii?
Dlaczego defibrylator nie powoduje poważnych oparzeń na skórze, jeśli ma tak dużą moc wyjściową?

7.2 Potencjał elektryczny i różnica potencjałów

33.

Znajdź stosunek prędkości elektronu i anionu wodoru (atom wodoru z dodatkowym elektronem), które są przyspieszone tym samym napięciem. Załóż, że prędkości są nierelatywistyczne, a masa jonu wodoru jest w przybliżeniu równa masie obojętnego atomu wodoru, $1,67 \cdot 10^{- 27} kg$ .

34.

Elektrony przyspieszane w rurze próżniowej napięciem $40 kV$ uderzają w folię miedzianą, w wyniku czego wytwarzane jest promieniowanie X. Jakie są maksymalne prędkości elektronów w przybliżeniu nierelatywistycznym?

35.

Pokaż, że jednostki natężenia pola, $V ∕ m$ oraz $N ∕ C$ , są rzeczywiście równoważne.

36.

Jakie pole elektryczne panuje między metalowymi płytami oddalonymi od siebie o $1 cm$ , naładowanymi do napięcia $1,5 \cdot 10^{4} V$ ?

37.

Natężenie pola między dwoma płytami przewodnika odległymi o $4 cm$ wynosi $7,5 \cdot 10^{4} V$ .

Jaka różnica potencjałów panuje między płytami?
Płyta o niższym potencjale zostaje uziemiona (jej potencjał wynosi zero). Jaki potencjał panuje w punkcie odległym od niej o $1 cm$ (czyli $3 cm$ od drugiej płyty)?

38.

Napięcie między dwoma powierzchniami błony komórkowej o grubości $9 nm$ wynosi $80 mV$ . Jakie pole elektryczne panuje wewnątrz błony? Załóż, że pole to jest jednorodne (wynik jest zaskakująco duży, ale poprawny).

39.

Dwie płyty metalowe, z których jedna jest uziemiona i ma potencjał równy $0 V$ , są ustawione równolegle w odległości $10 cm$ od siebie.

Jakie natężenie pola panuje między płytami, skoro w odległości $8 cm$ od płyty uziemionej zmierzono potencjał $450 V$ ?
Jakie napięcie panuje między płytami?

40.

Znajdź największe napięcie, jakie może występować między dwiema równoległymi płytami przewodzącymi, oddzielonymi warstwą powietrza o grubości $0,5 cm$ , jeśli wytrzymałość elektryczna na przebicie wynosi $3 \cdot 10^{6} V ∕ m$ .

41.

Elektron jest przyspieszany w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu $2 \cdot 10^{6} V ∕ m$ .

Jaką energię kinetyczną otrzymuje elektron po przebyciu drogi $0,4 m$ ?
Na jakiej drodze musiałby być przyspieszany ten elektron, aby osiągnąć energię $50 GeV$ ?

42.

Wykorzystaj całkową zależność różnicy potencjałów od natężenia pola, aby wyprowadzić ogólny wzór na różnicę potencjałów między punktami $r = r_{a}$ oraz $r = r_{b}$ dla ładunku punktowego umieszczonego w początku układu odniesienia. Przez $r$ oznaczamy tutaj współrzędną radialną w sferycznym układzie współrzędnych.

43.

Linie pola elektrycznego są w pewnym obszarze prostopadłe do osi $z$ układu współrzędnych i zależą od odległości $S$ od osi, jak $E = α ∕ S$ , gdzie $α$ jest stałą. Znajdź wzór na różnicę potencjałów między punktami $P_{1}$ i $P_{2}$ . Wyraźnie zasygnalizuj, po jakiej krzywej całkujesz.

44.

Jednokrotnie zjonizowane cząsteczki gazu są przyspieszane napięciem $13 V$ . W jakiej temperaturze średnia energia kinetyczna cząsteczek tego gazu byłaby równa energii kinetycznej przyspieszanych jonów? (To zadanie wymaga wiedzy z zakresu termodynamiki/teorii kinetycznej gazów).

7.3 Obliczanie potencjału elektrycznego

45.

Na powierzchni plastikowej kulki o średnicy $0,5 cm$ , używanej do pokazów fizycznych, zgromadzono ładunek $40 pC$ rozłożony jednorodnie na powierzchni kulki. Jaki potencjał ma kulka tuż przy powierzchni?

46.

W jakiej odległości od ładunku punktowego o wartości $1 µC$ potencjał wynosi $100 V$ ? W jakiej odległości potencjał jest równy $200 V$ ?

47.

Potencjał ładunku punktowego w odległości $15 m$ od niego wynosi $500 V$ . Jaki jest znak i wartość ładunku?

48.

W wyniku rozszczepienia jądro atomowe rozpada się mniej więcej na połowy.

Jaki potencjał wytwarza nowo powstałe jądro o $46$ protonach w odległości $2 \cdot 10^{- 14} m$ od niego?
Jaką energię potencjalną w $MeV$ ma drugie jądro umieszczone w tym punkcie?

49.

Badawczy generator Van de Graaffa ma czaszę o średnicy $2 m$ , na której można zgromadzić ładunek $5 mC$ .

Jaki potencjał może wytworzyć czasza tuż przy powierzchni?
W jakiej odległości od jej środka potencjał wynosi $1 MV$ ?
Zjonizowany atom tlenu o trzech brakujących elektronach zostaje wpuszczony w obszar pola elektrycznego wytwarzanego przez generator. Jaką energię potencjalną w $MeV$ ma jon tlenu w punkcie znalezionym w części (b)?

50.

Elektrostatyczny rozpylacz do farby malarskiej zbudowany jest m.in. z metalowej kulki o średnicy $0,2 m$ , do której przyłożono napięcie $25 kV$ . Dzięki temu zjonizowane cząsteczki farby są odpychane od kulki w kierunku malowanej powierzchni.

Jaki ładunek jest zgromadzony na kuli w rozpylaczu?
Jaki ładunek musi nieść kropla farby o masie $0,1 mg$ , aby paść na malowaną powierzchnię z prędkością $10 m ∕ s$ ?

51.

Jaka różnica potencjałów panuje między punktami odległymi o $10 cm$ i $20 cm$ od ładunku $3 µC$ ?
Do położenia o jakiej odległości od ładunku źródłowego należałoby przenieść ten drugi punkt, aby zwiększyć różnicę potencjałów dwukrotnie?

52.

Znajdź potencjały w punktach $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ , $P_{4}$ pochodzące od dwóch ładunków z rysunku.

53.

Dwa ładunki $- 2 µC$ i $+ 2 µC$ są umieszczone w odległości $4 cm$ od siebie wzdłuż osi $z$ , symetrycznie po obu stronach początku osi, przy czym ładunek dodatni znajduje się po dodatniej stronie osi. Dwa punkty $P_{1}$ i $P_{2}$ znajdują się $3 cm$ i $30 cm$ od początku układu pod kątem $30 °$ względem osi $z$ . Oblicz potencjały w punktach $P_{1}$ i $P_{2}$ na dwa sposoby:

używając dokładnego wzoru na potencjał dwóch ładunków punktowych;
korzystając z przybliżonego wzoru na potencjał dipola.

54.

Narysuj wykres zależności potencjału wytworzonego przez pręt długości $1 m$ jednorodnie naładowany ładunkiem o gęstości liniowej $1 C ∕ m$ w funkcji odległości od środka pręta wzdłuż jego symetralnej. Przyjmij zakres zmienności odległości od $\SI{0,1}{\metre}$ do $\SI{1}{\metre}$ ;
Na tym samym wykresie naszkicuj przebieg zależności od odległości potencjału ładunku punktowego o wartości $1 C$ , umieszczonego w środku pręta;
Który potencjał jest większy bliżej środka?
Jak zmienia się rozbieżność między potencjałami, gdy wzrasta odległość? Zinterpretuj tę obserwację.

7.4 Obliczanie natężenia na podstawie potencjału

55.

W pewnym obszarze powierzchnie stałego potencjału (tzw. powierzchnie ekwipotencjalne) są zlokalizowane w punktach o składowej $z = const$ . Powierzchnie są równoodległe, a wielkości potencjału tych powierzchni wynoszą: $V = 100 V$ dla $z = 0 m$ , $V = 200 V$ dla $z = 0,5 m$ , $V = 300 V$ dla $z = 1 m$ . Jakiego typu pole elektryczne panuje w tym obszarze? Jakie jest natężenie tego pola?

56.

Funkcja potencjału w pewnym obszarze ma postać $V = - x y^{2} z + 4 x y$ . Jaka jest funkcja natężenia pola w tym obszarze?

57.

Oblicz wektor natężenia pola w dowolnym punkcie przestrzeni, wytworzonego przez nieskończony przewód naładowany jednorodnie.

7.5 Powierzchnie ekwipotencjalne i przewodniki

58.

Dwie metalowe płyty o bardzo dużych rozmiarach są rozsunięte na odległość $2 cm$ , a pomiędzy nimi panuje napięcie $12 V$ . Przyjmij, że jedna z płyt jest uziemiona, a druga ma potencjał $12 V$ .

Naszkicuj przebieg powierzchni ekwipotencjalnych dla $0 V$ , $4 V$ , $8 V$ i $12 V$ ;
Na tym samym rysunku naszkicuj przebieg linii pola. Pokaż, że rzeczywiście są prostopadłe do linii stałego potencjału.

59.

Na bardzo dużej płaskiej powierzchni izolatora rozłożono równomiernie ładunek nadmiarowy o gęstości powierzchniowej $- 3 nC ∕ m^{2}$ .

Czy wraz ze wzrostem odległości od powierzchni potencjał rośnie, czy maleje? Potrafisz to wyjaśnić, nie wykonując żadnych obliczeń? Czy położenie punktu odniesienia ma tutaj znaczenie?
Jakiego kształtu są powierzchnie ekwipotencjalne wokół płaszczyzny?
Jaka odległość dzieli dwie powierzchnie o stałym potencjale $1 V$ ?

60.

Cienka metalowa sfera o promieniu $2 cm$ jest obdarzona ładunkiem $+ 5 µC$ , który gromadzi się równomiernie na powierzchni sfery. Sfera jest przymocowana do statywu wykonanego z izolatora i otoczona większą metalową powłoką o promieniu wewnętrznym $5 cm$ i promieniu zewnętrznym $6 cm$ . Na zewnętrzną powłokę dostarczamy teraz ładunek $- 5 µC$ , który rozkłada się równomiernie na wewnętrznej powierzchni powłoki. Jeśli przyjmiemy zerowy potencjał w nieskończoności, to jaki potencjał ma

zewnętrzna powierzchnia powłoki;
sfera zamknięta w środku;
obszar pomiędzy sferami;
obszar wewnątrz mniejszej sfery;
obszar na zewnątrz całego układu?

61.

Układ dwóch nieskończonych płyt o gęstościach $\pm 30 µC ∕ m^{2}$ ustawiono w odległości $5 mm$ od siebie.

Znajdź potencjał w dowolnym punkcie;
W pobliżu ujemnie naładowanej płyty pojawia się elektron, który bez prędkości początkowej zaczyna przyspieszać w kierunku płyty dodatniej. Z jaką prędkością w nią uderzy?

62.

Pręt aluminiowy w kształcie długiego walca o promieniu $R$ naładowany jest jednorodnie ładunkiem o gęstości liniowej $λ$ . Znajdź

natężenie pola;
potencjał wewnątrz i na zewnątrz pręta.
Narysuj zależności potencjału i natężenia od odległości od pręta.

63.

Dwie równoległe płyty kwadratowe o szerokości $10 cm$ oddalono na odległość $1,5 mm$ od siebie i naładowano ładunkiem $5 \cdot 10^{- 9} C$ o przeciwnych znakach. Jakie napięcie panuje między płytami?

64.

Gęstość powierzchniowa ładunku zgromadzonego na powierzchni metalowej rury wynosi $σ$ . Jaki jest potencjał na zewnątrz i wewnątrz rury? Przyjmij średnicę rury równą $2 a$ .

65.

Dwie koncentryczne powłoki kuliste, wykonane z przewodnika, naładowano ładunkami $Q$ i $- Q$ (rysunek). Grubość wewnętrznej powłoki jest pomijalna. Jakie napięcie panuje między powłokami?

66.

Na rysunku przedstawiono dwie koncentryczne powłoki metalowe o zaniedbywalnych grubościach i promieniach $R_{1}$ oraz $R_{2}$ . Powłoki są naładowane ładunkami $q_{1}$ i $q_{2}$ , przy czym oba ładunki są dodatnie. Jaki potencjał panuje w obszarze

$r \leq R_1$ ;
$R_1 < r \leq R_2$ ;
$r > R_{2}$ ?

67.

Lity cylindryczny przewodnik o promieniu $a$ jest otoczony metalową powłoką cylindryczną o promieniu wewnętrznym $b$ . Cylinder w środku ma ładunek $Q$ , a zewnętrzna powłoka cylindryczna ma ładunek $- Q$ . Przyjmując, że długość obu przewodników $L$ jest znacznie większa od promieni $a$ i $b$ , jaka różnica potencjałów występuje między powierzchniami przewodników?

7.6 Zastosowanie elektrostatyki

68.

Jakie natężenie ma pole w odległości $5 m$ od środka czaszy generatora Van de Graaffa, która jest naładowana ładunkiem $3 mC$ ? Zauważ, że pole wytwarzane przez sferę jest równoważne polu ładunku punktowego umieszczonego w środku;
Jaka siła działa na ładunek $2 µC$ przenoszony na pasie transmisyjnym, który znajduje się w takiej samej odległości od środka czaszy?

69.

Jakie muszą być kierunek i wartość natężenia pola elektrycznego, które utrzymuje elektron w bezruchu tuż nad powierzchnią Ziemi?
Na podstawie wyniku z części (a) przedyskutuj, jaka jest relacja między siłą oddziaływania grawitacyjnego a siłą oddziaływania elektrostatycznego.

70.

Najprostsza i powszechnie wykorzystywana metoda przyspieszania elektronów jest zobrazowana na poniższym rysunku. W polu elektrycznym wytwarzanym między dwiema naładowanymi przeciwnie płytkami umieszczane są elektrony (zazwyczaj emitowane przez termokatodę), które od płytki ujemnej przyspieszane są w kierunku płytki dodatniej, gdzie przez niewielki otwór mogą opuścić obszar pola.

Oblicz przyspieszenie elektronu, jeśli natężenie pola między płytkami wynosi $2,5 \cdot 10^{4} N ∕ C$ ;
Wyjaśnij, dlaczego elektron nie zostanie przyciągnięty z powrotem w kierunku dodatniej płyty po przejściu przez otwór?

71.

W liczniku Geigera (nazywanym także licznikiem Geigera-Müllera) cienki metalowy drucik charakteryzuje wysokie napięcie względem otaczającego go metalowego cylindra. Promieniowanie jonizujące, które wpada w obszar licznika, wybija elektrony z cząsteczek gazu wypełniającego wnętrze licznika, a te następnie są przyspieszane w kierunku drucika, po drodze wywołując jonizację kolejnych cząsteczek. W efekcie dochodzi do wyładowania lawinowego w liczniku, które jest rejestrowane jako sygnał elektryczny. Załóżmy, że cylinder w naszym liczniku Geigera ma promień $R$ , a wewnętrzny drucik o promieniu $a$ ma potencjał $V_{0}$ mierzony względem cylindra. Przeanalizuj punkt $P$ znajdujący się wewnątrz licznika w odległości $r_P$ od osi drucika i daleko od końców zewnętrznego cylindra.

Wyprowadź wzór na natężenie pola w punkcie $P$ przy założeniu nieskończenie długiego przewodu;
Znajdź wzór na potencjał w punkcie $P$ wewnątrz licznika;
Podstaw dane: $V_{0} = 900 V$ , $a = 3 mm$ , $R = 2 cm$ i oblicz wielkość natężenia pola i potencjału w odległości $1 cm$ od środka licznika.

72.

Praktyczne ograniczenie wielkości natężenia pola w powietrzu to $3 \cdot 10^{6} N ∕ C$ . W polach o większym natężeniu dochodzi do jonizacji cząsteczek powietrza i wytworzenia iskry (mamy przebicie).

Jaki dystans pokonałby proton przyspieszany polem o takim natężeniu, zanim osiągnąłby prędkość światła (pomiń efekty relatywistyczne)?
Czy z praktycznego punktu widzenia jest sensowne pozostawienie powietrza wewnątrz akceleratorów?

73.

W celu utworzenia atomu helu do cząstki alfa, zawierającej dwa protony i dwa neutrony, unieruchomionej w pewnym położeniu, trzeba dołączyć dwa elektrony. Przenosimy je z dużej odległości, jeden po drugim, w pobliże cząstki alfa. Pierwszy elektron jest przeniesiony na odległość $0,6 \cdot 10^{- 10} m$ od cząstki alfa i unieruchomiony w tym miejscu, dopóki drugi elektron nie zostanie przeniesiony na tę samą odległość, ale po drugiej stronie. Końcowa konfiguracja tych trzech cząstek widoczna jest poniżej.

Jaką pracę należy wykonać na każdym etapie tworzenia atomu?
Jaka jest całkowita energia potencjalna układu: cząstka alfa ‒ dwa elektrony w wytworzonym atomie helu?

74.

Znajdź energię układu ośmiu ładunków, każdego o wartości $+ 3 µC$ , umieszczonych w wierzchołkach sześcianu o krawędzi $2 cm$ .

75.

Prawdopodobieństwo zajścia fuzji jądrowej wielokrotnie się zwiększa, jeśli doprowadzimy do maksymalnego zbliżenia dwóch jąder atomowych. Wymaga to jednak pokonania siły kulombowskiej wzajemnego odpychania obu jąder. Można tego dokonać dzięki energii kinetycznej jonów gazu o wysokiej temperaturze, które zderzają się z jądrami i nadają im w ten sposób duży pęd i energię kinetyczną, albo w zderzeniach jąder ze sobą, np. w akceleratorze.

Oblicz energię potencjalną dwóch jąder wodoropodobnych (o ładunku o wartości jednego ładunku elementarnego), znajdujących się w odległości $10^{- 12} m$ od siebie;
Przy jakiej temperaturze cząsteczki zjonizowanego gazu uzyskałyby energię kinetyczną równą energii potencjalnej jąder (trzeba wykorzystać wzór z teorii kinetycznej gazów)?

76.

Jądro helu ma ładunek dodatni równy $+ 2 e$ i masę $6,64 \cdot 10^{- 27} kg$ .

Oblicz jego energię kinetyczną przy prędkości równej $\SI{2}{\percent}$ prędkości światła;
Ile to elektronowoltów?
Jakie napięcie byłoby potrzebne do osiągnięcia takiej energii kinetycznej?

77.

Elektron wpada w obszar między dwiema dużymi płytami aluminiowymi, odległymi o $2 cm$ od siebie, między którymi panuje napięcie $200 V$ . Załóż, że pole elektryczne jest jednorodne. Elektron przelatuje przez dziurkę wywierconą w płycie naładowanej ujemnie z prędkością $4 \cdot 10^{5} m ∕ s$ i jest przyspieszany w kierunku płyty dodatniej. Jaka jest prędkość elektronu w punkcie odległym o

$0,1 cm$ ;
$0,5 cm$ ;
$1 cm$ ;
$1,5 cm$ od płyty ujemnej;
tuż przed uderzeniem w płytę dodatnią?

78.

W jakiej odległości od siebie znajdują się dwie płyty, między którymi panuje pole o natężeniu $4,5 \cdot 10^{3} V ∕ m$ , jeśli przyłożono do nich różnicę potencjałów w wysokości $\SI{15e3}{\volt}$ ?

79.

Odpowiedz na poniższe pytania.

Czy pole między dwiema przewodzącymi płytami przekroczy granicę wytrzymałości elektrycznej dla suchego powietrza, która wynosi $3 \cdot 10^{6} V ∕ m$ , jeśli odległość między płytami to $2 mm$ , a napięcie przyłożone do nich wynosi $5 \cdot 10^{3} V$ ?
W jakiej najmniejszej odległości można ustawić płyty przy takim napięciu?

80.

Ściany i błony komórkowe, które rozdzielają przeciwne jony w komórkach biologicznych, doznają bardzo wysokich natężeń pola elektrycznego. Jakie napięcie panuje po obu stronach ściany komórkowej o grubości $8 nm$ , jeśli natężenie pola przenikającego przez ścianę wynosi $5,5 MV ∕ m$ ? Załóż, że pole jest stałe.

81.

Podwójnie zjonizowana cząsteczka pewnego gazu jest przyspieszana do energii $32 keV$ w polu elektrycznym wytwarzanym między dwiema płytami rozstawionymi na odległość $2 cm$ . Jakie natężenie pola występuje między płytami?

82.

Temperatura w środku Słońca wynosi prawdopodobnie ok. $15$ miliardów stopni Celsjusza ( $1,5 \cdot 10^{7} ° C$ ). Jakim napięciem musiałaby być przyspieszona jednokrotnie zjonizowana cząsteczka, aby uzyskać energię równą średniej energii kinetycznej plazmy we wnętrzu Słońca?

83.

Uderzenie pioruna w drzewo powoduje przepływ ładunku w wysokości $20 C$ przy różnicy potencjałów $100 MV$ .

Jaka energia zostaje wyzwolona w wyniku uderzenia pioruna?
Jaką masę wody o temperaturze początkowej $15 ° C$ można by zagotować, dostarczając takiej energii?
Spróbuj wyjaśnić, jakich zniszczeń mogłoby dokonać parowanie soków wewnątrz drzewa.

84.

Jaki potencjał wytwarza proton w punkcie odległym o $\SI{5,3e-11}{\metre}$ (jest to średnia odległość między elektronem i protonem w atomie wodoru)?

85.

Na powierzchni kuli zgromadzono ładunek $1 C$ . W jakiej odległości od środka kuli potencjał wynosi $5 MV$ ?
Co powiesz na temat możliwości izolacji elektrycznej takiego ładunku?

86.

Jaką wartość i znak ma ładunek punktowy wytwarzający potencjał $- 2 V$ w punkcie odległym o $1 mm$ ?

87.

W jednym z pierwszych eksperymentów fizyki jądrowej, przeprowadzonym przez Ernesta Rutherforda na początku XX wieku, cienka folia ze złota była bombardowana cząstkami alfa, które w wyniku odpychania kulombowskiego odbijały się od jąder złota. Jeżeli energie kinetyczne cząstek alfa wynosiły $5 MeV$ , to na jaką najmniejszą odległość cząstki zbliżały się do jąder złota? Atom złota ma 79 protonów w jądrze.