Rozdział 5

Siła byłaby skierowana na zewnątrz.

Siła wypadkowa byłaby skierowana $58\mathrm{°}$ poniżej osi $-x$.

$\overrightarrow{E}=1∕\left(4\pi {\epsilon }_0\right)\cdot q∕r^2\cdot \hat{r}$.

Nie będziemy teraz mogli skorzystać z zalet, jakie daje symetria układu. Będziemy musieli wyznaczyć osobno każdą z dwóch składowych natężenia pola elektrycznego, obliczając odpowiednie całki.

Ładunek punktowy byłby wtedy równy $Q=\sigma ab$, gdzie $a$ i $b$ są bokami prostokąta, a poza tym przypadek jest identyczny.

Natężenie pola elektrycznego byłoby równe zero pomiędzy płaszczyznami i równe $\sigma ∕{\epsilon }_0$ wszędzie indziej.

Zazwyczaj liczby dodatnich i ujemnych ładunków są równe, co w efekcie powoduje, że ciała są elektrycznie obojętne.

a. Tak; b. Tak.

Weź ciało posiadające znany dodatni bądź ujemny ładunek i przybliż je do pręta. Jeżeli to ciało ma ładunek dodatni i jest odpychane, to pręt też ma ładunek dodatni. Jeżeli dodatnio naładowane ciało jest przyciągane, to pręt jest naładowany ujemnie.

Nie, kurz jest przyciągany do obu ciał, ponieważ cząsteczki kurzu zostają spolaryzowane w kierunku jedwabiu.

Tak, na przewodniku zostają wyindukowane ładunki polaryzacyjne, tak że ładunek dodatni jest bliżej naładowanego pręta, dając w efekcie przyciąganie.

Elektryzowanie przez dotyk polega na przenoszeniu ładunków. Elektryzowanie przez indukcję polega na wygenerowaniu najpierw ładunku polaryzacyjnego w ciele, a następnie uziemieniu go, aby pozwolić części ładunków odpłynąć z ciała, pozostawiając je naładowane.

Dzięki temu każdy nadmiarowy ładunek elektryczny jest odprowadzany do ziemi i zbiornik z benzyną pozostaje obojętny elektrycznie. Gdyby na zbiorniku z paliwem zgromadził się nadmiarowy ładunek, mogłoby dojść do przeskoku iskry i zapalenia benzyny.

W suszarce tkaniny się elektryzują. Jeżeli są wilgotne, to efekt jest zmniejszony przez obecność cząsteczek wody.

Są tylko dwa rodzaje ładunków: przyciągające i odpychające. Jeżeli zbliżymy do kwarcu naładowane elektrycznie ciało, to zobaczymy tylko jedno z tych oddziaływań, dowodząc tym, że nie ma ładunków trzeciego typu.

a. Nie, ponieważ wyindukowany został ładunek polaryzacyjny; b. Tak, ponieważ ładunek polaryzacyjny wywołuje tylko przyciąganie.

Siły utrzymujące jądro w całości muszą być większe od elektrostatycznych sił, z jakimi odpychają się protony.

Można stosować ładunek próbny dowolnego znaku, lecz umówiono się, że posługujemy się ładunkiem dodatnim.

Ładunki są tego samego znaku.

Spodziewalibyśmy się, że w nieskończoności natężenie pola elektrycznego spada do zera, ale tak nie jest ze względu na to, że płaszczyzna ciągnie się do nieskończoności. Bez względu na to, gdzie się znajdujemy, widzimy nieskończoną płaszczyznę rozciągającą się we wszystkich kierunkach.

Nieskończona naładowana płyta wytwarza wokół siebie pole elektryczne o natężeniu $E=\sigma ∕\left(2{\epsilon }_0\right)$. Pole będzie skierowane do płyty, gdy jest ona naładowana ujemnie, a od płyty, gdy jest naładowana dodatnio. Natężenie pola elektrycznego układu dwóch równoległych płyt będzie równe zero pomiędzy płytami, gdy mają taki sam ładunek i $E$ będzie równe $E=\sigma ∕{\epsilon }_0$ wszędzie na zewnątrz. Jeżeli ładunki mają przeciwne znaki, to sytuacja zmienia się na przeciwną, pole jest równe zero na zewnątrz płyt i $E=\sigma ∕{\epsilon }_0$ pomiędzy nimi.

Tak; nie.

Na powierzchni Ziemi pole grawitacyjne jest zawsze skierowane do jej środka. Pole elektryczne może przenieść naładowaną cząstkę w kierunku innym niż do środka Ziemi. To świadczy o obecności pola elektrycznego.

10.

a. $2\cdot {10}^{-9}\mathrm{C}∕\left(\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\mathrm{elektron}∕\mathrm{C}\right)=\mathrm{1,248}\cdot {10}^{10}\mathrm{elektronów}$; b. $\mathrm{0,5}\cdot {10}^{-6}\mathrm{C}∕\left(\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\mathrm{elektron}∕\mathrm{C}\right)=\mathrm{3,121}\cdot {10}^{12}\mathrm{elektronów}$.

$\mathrm{3,75}\cdot {10}^{21}\text{elektronów}∕\left(\mathrm{6,242}\cdot {10}^{18}\text{elektron}∕\text{C}\right)=\mathrm{600,8}\mathrm{C}$.

a. $2\cdot {10}^{-9}\mathrm{C}\cdot \mathrm{6,242}\cdot {10}^{18}\text{elektron}∕\mathrm{C}=\mathrm{1,248}\cdot {10}^{10}\text{elektronów}$; b. $\mathrm{9,109}\cdot {10}^{-31}\mathrm{kg}\cdot \mathrm{1,248}\cdot {10}^{10}\text{elektronów}=\mathrm{1,137}\cdot {10}^{-20}\mathrm{kg}$, $\mathrm{1,137}\cdot {10}^{-20}\mathrm{kg}∕\left(\mathrm{2,5}\cdot {10}^{-3}\mathrm{kg}\right)=\mathrm{4,548}\cdot {10}^{-18}=\mathrm{4,548}\cdot {10}^{-16}\mathrm{\%}$.

$5\cdot {10}^{-9}\mathrm{C}\cdot \mathrm{6,242}\cdot {10}^{18}\text{elektron}∕\mathrm{C}=\mathrm{3,121}\cdot {10}^{19}\text{elektronów}$; $\mathrm{3,121}\cdot {10}^{19}\text{elektronów}+{10}^{12}\text{elektronów}=\mathrm{3,121\hspace{0.17em}000\hspace{0.17em}1}\cdot {10}^{19}\text{elektronów}$.

Masa atomowa miedzi pomnożona przez $1\text{u}=\mathrm{1,055}\cdot {10}^{-25}\mathrm{kg}$, liczba atomów miedzi $\mathrm{4,739}\cdot {10}^{23}$ atomów, liczba elektronów jest równa liczbie atomów pomnożonej przez $29$, czyli $\mathrm{1,374}\cdot {10}^{25}\text{elektronów}$, $\left(2\cdot {10}^{-6}\mathrm{C}\cdot \mathrm{6,242}\cdot {10}^{18}\text{elektron}∕\mathrm{C}\right)∕\left(\mathrm{1,374}\cdot {10}^{25}\text{elektronów}\right)=\mathrm{9,083}\cdot {10}^{-13}=\mathrm{9,083}\cdot {10}^{-11}\mathrm{\%}$.

$244\text{u}\cdot \mathrm{1,66}\cdot {10}^{-27}\mathrm{kg}∕\text{u}=\mathrm{4,05}\cdot {10}^{-25}\mathrm{kg}$, $4\mathrm{kg}∕\left(\mathrm{4,05}\cdot {10}^{-25}\mathrm{kg}\right)=\mathrm{9,877}\cdot {10}^{24}$ atomów oraz $\mathrm{9,877}\cdot {10}^{24}\cdot 94=\mathrm{9,284}\cdot {10}^{26}$ protonów, $\mathrm{9,284}\cdot {10}^{26}\cdot \mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}=\mathrm{1,487}\cdot {10}^8\mathrm{C}$.

a. $F_{3⁣1}=\mathrm{2,16}\cdot {10}^{-4}\mathrm{N}$ w lewą stronę, $F_{3⁣2}=\mathrm{8,63}\cdot {10}^{-4}\mathrm{N}$ w prawą stronę, $F_{\text{wyp}}=\mathrm{6,47}\cdot {10}^{-4}\mathrm{N}$ w prawą stronę; b. $F_{3⁣1}=\mathrm{2,16}\cdot {10}^{-4}\mathrm{N}$ w prawą stronę, $F_{3⁣2}=\mathrm{0,96}\cdot {10}^{-4}\mathrm{N}$ w prawą stronę, $F_{\text{wyp}}=\mathrm{3,12}\cdot {10}^{-4}\mathrm{N}$ w prawą stronę; c. ${\overrightarrow{F}}_{3⁣1}=-\mathrm{2,76}\cdot {10}^{-5}\mathrm{N}\cdot \hat{i}-\mathrm{1,38}\cdot {10}^{-5}\mathrm{N}\cdot \hat{j}$, ${\overrightarrow{F}}_{3⁣2}=-\mathrm{8,53}\cdot {10}^{-4}\mathrm{N}\cdot \hat{j}$, ${\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}=-\mathrm{2,76}\cdot {10}^{-5}\mathrm{N}\cdot \hat{i}-\mathrm{8,77}\cdot {10}^{-4}\mathrm{N}\cdot \hat{j}$.

$F=\mathrm{230,7}\mathrm{N}$.

$F=\mathrm{53,94}\mathrm{N}$.

Napięcie nici wynosi $T=\mathrm{0,049}\mathrm{N}$. Pozioma składowa napięcia wynosi $\mathrm{0,0043}\mathrm{N}$, $d=\mathrm{0,088}\mathrm{m}$, $q=\mathrm{6,1}\cdot {10}^{-8}\mathrm{C}$. Ładunki mogą być dodatnie lub ujemne, ale oba muszą mieć ten sam znak.

Przyjmijmy, że ładunek jednej z tych kulek jest równy $rQ$, gdzie $r$ jest ułamkiem z przedziału od 0 do 1. Licznik we wzorze Coulomba ma wtedy postać $rQ\left(1-r\right)Q\text{,}$ co równa się $\left(r-r^2\right)Q^2$. Wyznaczając maksimum tego członu równania, otrzymujemy $1-2r=0\Rightarrow r=1∕2$.

Jeżeli przyjmiemy, że zwrot w prawo jest zwrotem dodatnim, a w konsekwencji zwrot w lewo jest zwrotem ujemnym, to $F=-\mathrm{0,05}\mathrm{N}$.

Cząstki tworzą trójkąt o bokach $13\mathrm{cm}$, $13\mathrm{cm}$ i $24\mathrm{cm}$. Składowe $x$ sił znoszą się, podczas gdy obie cząstki oddalone o $24\mathrm{cm}$ wnoszą swój przyczynek do składowej $y$ siły. Oś $y$ przechodząca przez trzeci ładunek, bedąca symetralną odcinka o długości $24\mathrm{cm}$, wyznacza dwa trójkąty prostokątne o bokach $5\mathrm{cm}$, $12\mathrm{cm}$ i $13\mathrm{cm}$. $F_y=\mathrm{2,56}\mathrm{N}$ ma zwrot w kierunku $-y$, ponieważ siła jest przyciągająca. Siła wypadkowa od obu ładunków wynosi więc ${\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}=\mathrm{5,12}\mathrm{N}\cdot \hat{j}$.

Przekątna kwadratu wynosi $\sqrt{2}a$ i w związku z tym dla składowych siły pochodzących od ładunku po przekątnej pojawia się czynnik $cos\theta =1∕\sqrt{2}$, ${\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}=\left[k{q}^2∕a^2+k{q}^2∕\left(2a^2\right)\cdot 1∕\sqrt{2}\right]\cdot \hat{i}-\left[k{q}^2∕a^2+k{q}^2∕\left(2a^2\right)\cdot 1∕\sqrt{2}\right]\cdot \hat{j}$.

a. $E=2\cdot {10}^{-2}\mathrm{N}∕\mathrm{C}$; b. $E=2\cdot {10}^{-19}\mathrm{N}$.

a. $E=\mathrm{2,88}\cdot {10}^{11}\mathrm{N}∕\mathrm{C}$; b. $E=\mathrm{1,44}\cdot {10}^{11}\mathrm{N}∕\mathrm{C}$; c. $F=\mathrm{4,61}\cdot {10}^{-8}\mathrm{N}$ na cząstkę α, $F=\mathrm{4,61}\cdot {10}^{-8}\mathrm{N}$ na elektron.

$\overrightarrow{E}=-2\mathrm{N}∕\mathrm{C}\cdot \hat{i}+3\mathrm{N}∕\mathrm{C}\cdot \hat{j}$.

$F=\mathrm{3,204}\cdot {10}^{-14}\mathrm{N}$, $a=\mathrm{3,517}\cdot {10}^{16}\mathrm{m}∕{\mathrm{s}}^2$.

$q=\mathrm{2,78}\cdot {10}^{-9}\mathrm{C}$.

a. $E=\mathrm{1,15}\cdot {10}^{12}\mathrm{N}∕\mathrm{C}$; b. $F=\mathrm{1,47}\cdot {10}^{-6}\mathrm{N}$.

Jeżeli $q_2$ znajduje się po prawej stronie $q_1$, to wektor natężenia pola elektrycznego od obu ładunków jest skierowany w prawo. a. $E=\mathrm{2,7}\cdot {10}^6\mathrm{N}∕\mathrm{C}$; b. $F=54\mathrm{N}$.

Mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym o kątach $45\mathrm{°}$. Składowe $x$ natężenia pola elektrycznego w punkcie $y=3\mathrm{m}$ się znoszą. Składowe $y$ dają $E\left(y=3\mathrm{m}\right)=\mathrm{2,83}\cdot {10}^3\mathrm{N}∕\mathrm{C}$. W początku układu umieszczamy ujemny ładunek o wartości $q=\mathrm{-2,83}\cdot {10}^{-6}\mathrm{C}$.

$\overrightarrow{E}\left(z\right)=\mathrm{3,6}\cdot {10}^4\mathrm{N}∕\mathrm{C}\cdot \hat{k}$.

$dE=\lambda dx∕\left[{\left(x+a\right)}^2\cdot 4\pi {\epsilon }_0\right]$, $E=\lambda ∕\left(4\pi {\epsilon }_0\right)\cdot \left[1∕\left(l+a\right)-1∕a\right]$.

$\sigma =\mathrm{0,02}\mathrm{C}∕{\mathrm{m}}^2$, $E=\mathrm{2,26}\cdot {10}^9\mathrm{N}∕\mathrm{C}$.

W $P_1$: $\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{\lambda L}{y\sqrt{y^2+L^2∕4}}\cdot \hat{j}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{q}{a∕2\cdot \sqrt{{\left(a∕2\right)}^2+L^2∕4}}\cdot \hat{j}=\frac{1}{\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{q}{a\sqrt{a^2+L^2}}$. W $P_2$: Umieść początek układu na końcu $L$. $dE=1∕\left(4\pi {\epsilon }_0\right)\cdot \lambda dx∕{\left(x+a\right)}^2$, $\overrightarrow{E}=-q∕\left(4\pi {\epsilon }_{0}l\right)\cdot \left[1∕\left(l+a\right)-1∕a\right]\hat{i}$.

a. $\overrightarrow{E}\left(\overrightarrow{r}\right)=1∕\left(4\pi {\epsilon }_0\right)\cdot \left[2{\lambda }_z∕a\cdot \hat{i}+2{\lambda }_y∕b\cdot \hat{j}\right]$; b. $\overrightarrow{E}\left(\overrightarrow{r}\right)=1∕\left(4\pi {\epsilon }_0\right)\cdot 2\left({\lambda }_z+{\lambda }_y\right)∕c\cdot \hat{k}$.

a. $\overrightarrow{F}=\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-17}\mathrm{N}\cdot \hat{i}$, $\overrightarrow{a}=\mathrm{1,92}\cdot {10}^{10}\mathrm{m}∕{\mathrm{s}}^2\cdot \hat{i}$; b. $\overrightarrow{F}=-\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-17}\mathrm{N}\cdot \hat{i}$, $\overrightarrow{a}=-\mathrm{3,51}\cdot {10}^{13}\mathrm{m}∕{\mathrm{s}}^2\cdot \hat{i}$.

$m=\mathrm{6,5}\cdot {10}^{-11}\mathrm{kg}$, $E=\mathrm{1,6}\cdot {10}^7\mathrm{N}∕\mathrm{C}$.

$E=\mathrm{1,7}\cdot {10}^6\mathrm{N}∕\mathrm{C}$, $F=\mathrm{1,53}\cdot {10}^{-3}\mathrm{N}Tcos\theta =mgTsin\theta =qE$, $tg\theta =\mathrm{0,62}\Rightarrow \theta =32\mathrm{°}$, wynik nie zależy od długości nitki.

Łuk: $d{E}_x\cdot \left(-\hat{i}\right)=1∕\left(4\pi {\epsilon }_0\right)\cdot \lambda ds∕r^2\cdot cos\theta \cdot \left(-\hat{i}\right)$, ${\overrightarrow{E}}_x=\lambda ∕\left(4\pi {\epsilon }_{0}r\right)\cdot \left(-\hat{i}\right)$, $d{E}_y\cdot \left(-\hat{i}\right)=1∕\left(4\pi {\epsilon }_0\right)\cdot \lambda ds∕r^2\cdot sin\theta \cdot \left(-\hat{j}\right)$, ${\overrightarrow{E}}_y=\lambda ∕\left(4\pi {\epsilon }_{0}r\right)\cdot \left(-\hat{j}\right)$; Oś $y$: ${\overrightarrow{E}}_x=\lambda ∕\left(4\pi {\epsilon }_{0}r\right)\cdot \left(-\hat{i}\right)$; Oś $x$: ${\overrightarrow{E}}_y=\lambda ∕\left(4\pi {\epsilon }_{0}r\right)\cdot \left(-\hat{j}\right)$, $\overrightarrow{E}=\lambda ∕\left(4\pi {\epsilon }_{0}r\right)\cdot \left(-\hat{i}\right)+\lambda ∕\left(4\pi {\epsilon }_{0}r\right)\cdot \left(-\hat{j}\right)$.

a. $W=1∕2\cdot m\cdot \left(v^2-v_0^2\right)$, $Qq∕\left(4\pi {\epsilon }_0\right)\cdot \left(1∕r-1∕r_0\right)=1∕2\cdot m\cdot \left(v^2-v_0^2\right)\Rightarrow r_0-r=\left(4\pi {\epsilon }_0\right)∕\left(Qq\right)\cdot 1∕2\cdot r{r}_{0}m\cdot \left(v^2-v_0^2\right)$; b. $r_0-r$ jest ujemne, więc $v_0>v$, $r⟶\infty$ i $v⟶0$: $4\pi {\epsilon }_0∕\left(Qq\right)\cdot \left(-1∕r_0\right)=-1∕2\cdot m{v}_0^2\Rightarrow v_0=\sqrt{Qq∕\left(2\pi {\epsilon }_{0}m{r}_0\right)}$.

$E_x=0\mathrm{V}∕\mathrm{m}$, a. $E_y=2Qa∕\left[{\left(x^2+a^2\right)}^{3∕2}\cdot 4\pi {\epsilon }_0\right]$, w przypadku kiedy $\left|x\right|\gg a$ to $E\approx Qa∕\left(2\pi {\epsilon }_0{x}^3\right)$; b. $E_y=4Qay∕\left[{\left(y-a\right)}^2\cdot {\left(y+a\right)}^2\cdot 4\pi {\epsilon }_0\right]$, w przypadku kiedy $\left|y\right|\gg a$ to $E\approx Qa∕\left(\pi {\epsilon }_0{y}^3\right)$.

Wypadkowy moment dipolowy jest sumą wektorową pojedynczych momentów dipolowych par O-H. Odległość O-H wynosi 0,9578 angstrema: $\overrightarrow{p}=\mathrm{1,889}\cdot {10}^{-29}\mathrm{C}\mathrm{m}\cdot \hat{i}$.

${\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}=\left(-\mathrm{8,99}\cdot {10}^9\cdot 3\cdot {10}^{-6}\cdot 5\cdot {10}^{-6}∕{\left(3\mathrm{m}\right)}^2-\mathrm{8,99}\cdot {10}^9\cdot 9\cdot {10}^{-6}\cdot 5\cdot {10}^{-6}∕{\left(3\mathrm{m}\right)}^2\right)\cdot \hat{i}$, $-\mathrm{8,99}\cdot {10}^9\cdot 6\cdot {10}^{-6}\cdot 5\cdot {10}^{-6}∕{\left(3\mathrm{m}\right)}^2\cdot \hat{j}=-\mathrm{0,06}\mathrm{N}\cdot \hat{i}-\mathrm{0,03}\mathrm{N}\cdot \hat{j}$.

Ładunki $Q$ i $q$ tworzą trójkąt prostokątny o bokach $1\mathrm{m}$ i $3+\sqrt{3}\mathrm{m}\text{.}$ Ładunki $2Q$ i $q$ tworzą trójkąt prostokątny o bokach $1\mathrm{m}$ i $\sqrt{3}\mathrm{m}$. $F_x=\mathrm{0,036}\mathrm{N}$, $F_y=\mathrm{0,09}\mathrm{N}$, ${\overrightarrow{F}}_{\text{wyp}}=\mathrm{0,036}\mathrm{N}\cdot \hat{i}+\mathrm{0,09}\mathrm{N}\cdot \hat{j}$.

$W=\mathrm{0,054}\mathrm{J}$.

a. $\overrightarrow{E}=1∕\left(4\pi {\epsilon }_0\right)\cdot \left(q∕{\left(2a\right)}^2-q∕a^2\right)\cdot \hat{i}$; b. $\overrightarrow{E}=\sqrt{3}∕\left(4\pi {\epsilon }_0\right)\cdot q∕a^2\cdot \left(-\hat{j}\right)$; c. $\overrightarrow{E}=2∕\left(\pi {\epsilon }_0\right)\cdot q∕a^2\cdot 1∕\sqrt{2}\cdot \left(-\hat{j}\right)$.