13.6 Generatory elektryczne i siła przeciwelektromotoryczna

Generatory elektryczne

Generatory elektryczne (ang. electric generator) służą do wytwarzania indukowanej siły elektromotorycznej. W tego typu urządzeniach cewkę umieszczoną w polu magnetycznym wprawia się w ruch obrotowy, co wywołuje efekt opisany pokrótce w rozdziale Siła elektromotoryczna wywołana ruchem. Opiszemy teraz bardziej szczegółowo pracę prądnicy (ang. generator). Posłużymy się w tym celu poniższym przykładem.

Przykład 13.9

Wyznaczenie siły elektromotorycznej indukowanej w cewce prądnicy

Przedstawiona na Ilustracji 13.27 cewka prądnicy wykonuje jedną czwartą obrotu (od kąta $0°$ do $90°$) w czasie równym $5\mathrm{ms}$. Cewka składa się ze $120$ zwojów w kształcie okręgu o promieniu $5\mathrm{cm}$ i umieszczona jest w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji $\mathrm{0,8}\mathrm{T}$. Obliczmy indukowaną SEM.

Ilustracja 13.27 Gdy cewka generatora wykonuje jedną czwartą obrotu, wartość strumienia magnetycznego ${\mathrm{\Phi }}_B$ zmienia się od maksymalnej do zerowej, indukując SEM.

Strategia rozwiązania

Indukowaną SEM obliczymy, stosując prawo Faradaya

$$\epsilon =-N\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}\text{.}$$

Analogiczny problem omawialiśmy już w Przykładzie 13.6. Zgodnie z zamieszczonym tam rysunkiem rzut wektora normalnego powierzchni $\hat{n}$ na wektor indukcji pola magnetycznego opisany jest funkcją $cos\theta$, występującą w definicji iloczynu skalarnego. Wartości indukcji pola magnetycznego oraz powierzchnia cewki są stałe w czasie, co istotnie ułatwia obliczenia. Na podstawie prawa Faradaya indukowana SEM wynosi

$$\epsilon =NBSsin\theta \cdot \frac{d\theta }{dt}\text{.}$$

Rozwiązanie

Z treści zadania wiemy, że $N=120$, $B=\mathrm{0,8}\mathrm{T}$, $\theta =90°$, oraz że $d\theta ∕dt=90°∕5\mathrm{ms}=\left(\pi ∕2\right)∕5\mathrm{ms}=\pi ∕10\mathrm{ms}$. Powierzchnia cewki wynosi z kolei

$$S=\pi r^2=\mathrm{3,14}\cdot {\left(\mathrm{0,05}\mathrm{m}\right)}^2=\mathrm{7,85}\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}}^2\text{.}$$

Indukowana SEM jest zatem równa

$$\epsilon =120\cdot \mathrm{0,8}\mathrm{T}\cdot \mathrm{7,85}\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}}^2\cdot sin90°\cdot \frac{\pi }{{10}^{-2}\mathrm{s}}\approx 237\mathrm{V}\text{.}$$

Znaczenie

Otrzymana średnia wartość SEM ma znaczenie praktyczne: jest bowiem bliska $230\mathrm{V}$, czyli napięciu domowej sieci elektrycznej.

Obliczona w powyższym przykładzie wartość SEM jest uśredniona po jednej czwartej obrotu cewki. Obliczmy teraz SEM w dowolnej chwili czasu. Zmienia się ona wraz z kątem pomiędzy liniami pola magnetycznego a normalną do płaszczyzny cewki. Rozpatrzmy w tym celu siłę elektromotoryczną indukowaną ruchem obrotowym prostokątnej ramki o szerokości $w$ i wysokości $l$, umieszczonej w jednorodnym polu magnetycznym (Ilustracja 13.28).

Ilustracja 13.28 Prądnica składająca się z pojedynczej prostokątnej ramki obracającej się ze stałą prędkością kątową w jednorodnym polu magnetycznym generuje siłę elektromotoryczną zmieniającą się sinusoidalnie w czasie. Zauważmy, że konstrukcja prądnicy jest podobna do budowy silnika elektrycznego. Pamiętajmy jednak, że wytworzenie prądu wymaga wprawienia jej osi w ruch obrotowy – odwrotnie niż w przypadku silnika, którego oś obraca się po włączeniu zasilania.

Ładunki elektryczne w przewodzie ramki poruszają się w polu magnetycznym, a więc oddziałuje na nie siła magnetyczna. Zauważmy jednak, że prąd elektryczny wytwarzany jest jedynie w pionowych częściach ramki, gdyż siła działająca na ładunki jest w tych częściach równoległa do przewodu. W części górnej i dolnej siła magnetyczna działa prostopadle do przewodu i prąd nie powstaje. Aby wyznaczyć SEM, wystarczy więc rozpatrzyć jedynie boczne fragmenty ramki. Indukowana ruchem SEM określona jest wyrażeniem $\epsilon =Blv$, o ile wektor prędkości $\overrightarrow{v}$ jest prostopadły do wektora indukcji magnetycznej $\overrightarrow{B}$ (patrz Ilustracja 13.28). W rozpatrywanym przypadku kąt pomiędzy wektorami $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{B}$ wynosi $\theta$, zatem zgodnie z rysunkiem prostopadła do $\overrightarrow{B}$ składowa wektora prędkości równa jest $vsin\theta$. W rezultacie SEM indukowane w każdym z bocznych fragmentów ramki dane są wzorem $\epsilon =Blvsin\theta$, a ich kierunki są zgodne. Sumaryczna SEM indukowana w ramce wynosi więc

Powyższe wyrażenie, jakkolwiek słuszne, nie przedstawia SEM w funkcji czasu. Aby obliczyć tę zależność, załóżmy, że ramka obraca się ze stałą prędkością kątową $\omega$. Kąt $\theta$ związany jest z prędkością kątową funkcją $\theta =\omega t$, zatem

Zauważmy teraz, że wartość prędkości liniowej $v$ związana jest z prędkością kątową zależnością $v=\omega r$. W omawianym przypadku $r=w∕2$ i $v=w∕2\cdot \omega$, stąd

gdzie $S=lw$ jest polem powierzchni pętli. W związku z tym SEM indukowana w cewce prądnicy utworzonej z $N$ zwojów o powierzchni $S$ i obracającej się ze stałą prędkością kątową $\omega$ w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji $B$ jest opisana wzorem

który można przepisać w postaci

gdzie

Ponieważ maksimum wartości funkcji $sin\left(\omega t\right)$ wynosi jeden, symbol ${\epsilon }_0$ oznacza maksymalną wartość (amplitudę) generowanej siły elektromotorycznej. Zauważmy, że częstotliwość oscylacji SEM wynosi $f=\omega ∕\left(2\pi \right)$ oraz że ich okres $T=1∕f=2\pi ∕\omega$, co przedstawia Ilustracja 13.29 zawierający wykres SEM w funkcji czasu. Rozumiemy już teraz, dlaczego napięcie w sieci prądu zmiennego ma przebieg sinusoidalny.

Ilustracja 13.29 Siła elektromotoryczna wytworzona w generatorze jest przesyłana do żarówki za pomocą widocznego układu pierścieni i szczotek. Zamieszczony wykres przedstawia SEM prądnicy w funkcji czasu, przy czym symbol ${\epsilon }_0$ oznacza jej wartość maksymalną (amplitudę). Okres przebiegu $T=1∕f=2\pi ∕\omega$, gdzie $f$ jest jego częstotliwością.

Zależność ${\epsilon }_0=NBS\omega$, opisująca amplitudę SEM, ma istotne znaczenie. Wynika z niej, że napięcie wytwarzane przez prądnicę jest tym większe, im większa jest liczba i powierzchnia zwojów jej cewki oraz im silniejsze jest pole magnetyczne. Co ciekawe, wartość SEM rośnie także ze wzrostem prędkości kątowej $\omega$, czyli wtedy, gdy oś generatora obraca się szybciej. Można to łatwo dostrzec w przypadku prądnic rowerowych – przynajmniej ich tańszych modeli.

Na Ilustracji 13.30 przedstawiono schemat prądnicy generującej tętniący (pulsujący) prąd stały. Aby uzyskać prąd stały o mniejszych tętnieniach, można wykorzystać bardziej wyrafinowane układy wielu cewek i dzielonych pierścieni kontaktowych. Jednak w celu wytworzenia prądu pozbawionego tętnień zwykle nie stosuje się rozwiązań mechanicznych, lecz specjalne urządzenia elektroniczne.

Ilustracja 13.30 Prądnica wyposażona w dzielone pierścienie zwane komutatorami wytwarza tętniący (pulsujący) prąd stały.

Wygląd rzeczywistych generatorów elektrycznych różni się zasadniczo od wyglądu prądnic na rysunkach w bieżącym podrozdziale, chociaż zasada ich działania pozostaje taka sama. Źródłem energii mechanicznej obracającej się cewki może być spadająca woda (hydroelektrownie), para wodna wytwarzana poprzez spalanie paliw kopalnych lub energia kinetyczna wiatru. Ilustracja 13.31 przedstawia widok częściowy turbiny parowej: para wodna przepływa między łopatkami turbiny, połączonymi z wałem obracającym cewki we wnętrzu generatora. Przetwarzanie energii mechanicznej jest podstawowym sposobem produkcji energii elektrycznej przesyłanej do naszych domów za pomocą sieci energetycznej.

Ilustracja 13.31 Turbina parowa wraz z generatorem. Para wodna, wytwarzana przez spalanie węgla, uderza w łopaty turbiny i obraca jej wałem sprzężonym z wałem generatora.

Wygląd prądnic przedstawionych w obecnym rozdziale jest bardzo zbliżony do wyglądu omawianych wcześniej silników elektrycznych. Nie jest to kwestią przypadku, gdyż silnik, którego oś wprawiono w ruch obrotowy, staje się generatorem prądu. Warto wspomnieć, że w niektórych wczesnych modelach samochodów rozrusznik pełnił także funkcję prądnicy. Pracę silnika w roli generatora elektrycznego opiszemy poniżej.

Siła przeciwelektromotoryczna

Wiemy już, że prądnice przetwarzają energię mechaniczną w elektryczną, a silniki – energię elektryczną w mechaniczną. Nie powinno więc dziwić, że konstrukcja obu urządzeń jest w istocie jednakowa. W silniku elektrycznym prąd płynie przez umieszczoną w polu magnetycznym pętlę z drutu. W rezultacie pole magnetyczne generuje moment siły działający na tę pętlę, powodując obrót osi (wału) silnika. Zatem prąd elektryczny dostarczany do silnika jest źródłem pracy mechanicznej, o czym pisaliśmy w podrozdziale Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem. Warto zajrzeć do tego rozdziału przed dalszą lekturą.

Obrót cewki silnika w polu magnetycznym wywołuje zmianę strumienia magnetycznego przenikającego tę cewkę. W rezultacie w jej uzwojeniu indukuje się (opisana prawem Faradaya) siła elektromotoryczna. Obracająca się cewka powoduje więc, że silnik działa jednocześnie jak prądnica – niezależnie od tego, czy obrót wywołany jest czynnikiem zewnętrznym (np. działaniem pasa napędowego na osi urządzenia), czy jest on efektem normalnej pracy tego silnika. Ponieważ, zgodnie z regułą Lenza, siła elektromotoryczna przeciwdziała wszelkim wywołującym ją zmianom, SEM generowana przez silnik przeciwdziała SEM źródła jego zasilania. Indukowaną w uzwojeniu SEM nazywamy siłą przeciwelektromotoryczną silnika (ang. back EMF), co przedstawia Ilustracja 13.32.

Ilustracja 13.32 Na powyższym schemacie uzwojenie silnika prądu stałego reprezentuje rezystor $R$. Siłę przeciwelektromotoryczną reprezentuje SEM o zmiennej wartości, włączona przeciwnie do SEM napędzającej silnik. Siła przeciwelektromotoryczna jest zerowa, gdy silnik nie obraca się, i wzrasta proporcjonalnie do jego prędkości kątowej.

Napięcie na zaciskach cewki silnika jest różnicą pomiędzy napięciem źródła jego zasilania a wartością siły przeciwelektromotorycznej. W chwili włączenia silnika siła przeciwelektromotoryczna jest zerowa – zatem jego uzwojenie otrzymuje pełne napięcie zasilania. W konsekwencji, tuż po włączeniu silnika, gdy jego wał jeszcze się nie obraca, natężenie prądu czerpanego ze źródła zasilania jest maksymalne. W miarę wzrostu prędkości obrotowej silnika rośnie jego siła przeciwelektromotoryczna. Ponieważ siła ta działa przeciwnie do SEM napędzającej silnik – obniża się napięcie na zaciskach jego uzwojenia, a także natężenie prądu pobieranego ze źródła zasilania. Powyższy efekt można dostrzec w wielu codziennych sytuacjach. Przykładowo, w chwili włączenia odkurzacza, lodówki lub pralki – żarówki zasilane z tego samego obwodu instalacji domowej na krótko przygasają. Przyczyną tego jest, opisany przez wyrażenie $IR$, spadek napięcia na przewodach instalacji, wywołany dużym natężeniem prądu pobieranego przez silnik.

W chwili włączenia natężenie prądu pobieranego przez silnik jest większe niż w czasie jego pracy z normalną prędkością obrotową. Po mechanicznym obciążeniu silnika jego wał obraca się wolniej, siła przeciwelektromotoryczna maleje, a wzrasta natężenie pobieranego prądu (przykładem może być praca silnika jadącego pod górę wózka inwalidzkiego). Jeśli prędkość obrotowa silnika jest zbyt niska, nadmierne natężenie prądu może przegrzać jego uzwojenie, a nawet wywołać zapłon tego uzwojenia – na skutek mocy wydzielonej na jego rezystancji ($P=I^{2}R$). W przeciwnym przypadku, gdy silnik pracuje bez mechanicznego obciążenia – jego prędkość kątowa $\omega$ systematycznie wzrasta. Wzrost ten trwa dopóty, dopóki siła przeciwelektromotoryczna będzie w przybliżeniu równa SEM napędzającej silnik. Wówczas energia dostarczana do silnika zużywana jest wyłącznie na pokonanie oporów tarcia.

Prądy wirowe, wzbudzane w żelaznych rdzeniach cewek silników, są przyczyną kłopotliwych strat energii. Aby zmniejszyć te straty do minimum, rdzenie wykonuje się zwykle w postaci pakietu cienkich, wzajemnie izolowanych elektrycznie płytek żelaznych. Obecność warstw izolujących, nanoszonych techniką laminowania, jedynie nieznacznie pogarsza magnetyczne właściwości rdzenia, mocno ograniczając rezystancyjne nagrzewanie się uzwojenia silnika. Rozpatrzmy na przykład uzwojenie silnika przedstawione na schemacie z Ilustracji 13.32. Przyjmijmy, że rezystancja zastępcza uzwojenia zasilanego siłą elektromotoryczną o wartości $48\mathrm{V}$ równa jest $\mathrm{0,4}\mathrm{\Omega }$. Tuż po włączeniu natężenie prądu pobieranego przez to uzwojenie wynosi

zatem wartość mocy, rozproszonej w postaci ciepła, $P=I^{2}R=\mathrm{5,76}\mathrm{kW}$. Załóżmy teraz, że w normalnych warunkach pracy silnika siła przeciwelektromotoryczna jest równa $40\mathrm{V}$. Wówczas, przy roboczej prędkości obrotowej tego silnika, całkowite napięcie na jego uzwojeniu $U=48\mathrm{V}-40\mathrm{V}=8\mathrm{V}$, a natężenie prądu pobieranego

Zatem przy normalnym obciążeniu silnika moc rozproszona w uzwojeniu $P=IU=160\mathrm{W}$. Otrzymana wartość mocy nie stanowi zagrożenia dla silnika, natomiast obliczona wcześniej wartość $\mathrm{5,76}\mathrm{kW}$ wydzielana w dłuższym czasie spowodowałaby spalenie się jego uzwojenia.

Przykład 13.10

Praca szeregowego silnika prądu stałego

Ilustracja 13.33 przedstawia schemat obwodu elektrycznego szeregowego silnika prądu stałego. Całkowita rezystancja uzwojenia wzbudzającego pole magnetyczne $R_{\text{w}}$ i uzwojenia twornika $R_{\text{t}}$ tego silnika wynosi $R_{\text{w}}+R_{\text{t}}=6\mathrm{\Omega }$. Po podłączeniu do źródła siły elektromotorycznej o wartości ${\epsilon }_{\text{z}}=230\mathrm{V}$ silnik pracujący ze stałą prędkością kątową pobiera prąd o natężeniu $I=5\mathrm{A}$.

1. Obliczmy siłę przeciwelektromotoryczną ${\epsilon }_{\text{p}}$ indukowaną w obracającej się cewce twornika.
2. Obliczmy moc mechaniczną dostarczaną przez silnik.
3. Wyznaczmy moc rozpraszaną (traconą) na rezystancji jego uzwojeń.
4. Ile wynosi moc źródła siły elektromotorycznej ${\epsilon }_{\text{z}}$ zasilającej urządzenie?
5. Założywszy, że pod wpływem obciążenia mechanicznego prędkość obrotowa tego silnika zmalała tak, że pobiera on prąd o natężeniu $I=10\mathrm{A}$, powtórzmy obliczenia wyszczególnione w punktach od (a) do (d).

Ilustracja 13.33 Schemat obwodu elektrycznego szeregowego silnika prądu stałego.

Strategia rozwiązania

Siłę przeciwelektromotoryczną obliczymy, znajdując różnicę pomiędzy siłą elektromotoryczną źródła zasilania a spadkiem napięcia wywołanym przepływem prądu przez rezystancje uzwojeń silnika. Poszukiwaną moc uzyskamy, wykorzystując znane wzory – adekwatne do treści zadania.

Rozwiązanie

1. Prąd o natężeniu $5\mathrm{A}$ płynie w uzwojeniach, których sumaryczna rezystancja wynosi $6\mathrm{\Omega }$, zatem siła przeciwelektromotoryczna wynosi
   $${\epsilon }_{\text{p}}={\epsilon }_{\text{z}}-I\left(R_{\text{w}}+R_{\text{t}}\right)=230\mathrm{V}-5\mathrm{A}\cdot 6\mathrm{\Omega }=200\mathrm{V}\text{.}$$
2. Ponieważ natężenie prądu w uzwojeniach wynosi $5\mathrm{A}$, to dostarczana przez silnik moc mechaniczna wynosi
   $$P_{\text{m}}={\epsilon }_{\text{p}}I=200\mathrm{V}\cdot 5\mathrm{A}={10}^3\mathrm{W}\text{.}$$
3. Moc rozpraszana w uzwojeniach wynosi
   $$P_{\text{r}}=I^2\left(R_{\text{w}}+R_{\text{t}}\right)={\left(5\mathrm{A}\right)}^2\cdot 6\mathrm{\Omega }=\mathrm{0,15}\cdot {10}^3\mathrm{W}\text{.}$$
4. Prąd o natężeniu $5\mathrm{A}$ czerpany jest ze źródła SEM o wartości $230\mathrm{V}$, więc jego moc wynosi
   $$P_{\text{z}}={\epsilon }_{\text{z}}I=230\mathrm{V}\cdot 5\mathrm{A}=\mathrm{1,15}\cdot {10}^3\mathrm{W}\text{.}$$
5. Powtórzywszy powyższe obliczenia przy wartości prądu $I=10\mathrm{A}$, otrzymamy
   $${\epsilon }_{\text{p}}=170\mathrm{V},P_{\text{m}}=\mathrm{1,7}\cdot {10}^3\mathrm{W},P_{\text{r}}=\mathrm{0,6}\cdot {10}^3\mathrm{W},P_{\text{z}}=\mathrm{2,3}\cdot {10}^3\mathrm{W}\text{.}$$

W ostatnim przypadku silnik obraca się wolniej, zatem dostarczana przez niego moc mechaniczna oraz moc źródła siły elektromotorycznej są większe niż obliczone w punktach (a)-(d).

Znaczenie

Zauważmy, że otrzymane wartości mocy równoważą się: $P_{\text{z}}=P_{\text{m}}+P_{\text{r}}$.