4.5 Cykl Carnota

Na początku lat 20. XIX wieku Sadi Carnot (1786–1832), francuski inżynier, zainteresował się poprawą sprawności ówczesnych silników cieplnych. W 1824 roku badania doprowadziły go do zaproponowania hipotetycznego cyklu pracy, posiadającego największą możliwą sprawność między danymi rezerwuarami. Cykl ten znany jest teraz jako cykl Carnota (ang. Carnot cycle). Silnik oparty na tym cyklu określa się silnikiem Carnota (ang. Carnot engine). Cykl Carnota jest bardzo ważny z różnych powodów. Z praktycznego punktu widzenia reprezentuje on odwracalny model dla elektrowni cieplnej oraz dla chłodziarki lub pompy ciepła. Ważne jest również jego znaczenie teoretyczne, ponieważ przyczynił się do powstania kolejnego znaczącego sformułowania drugiej zasady termodynamiki. W cykl Carnota zaangażowane są tylko dwa rezerwuary, dlatego razem z drugą zasadą termodynamiki może być wykorzystywany do zdefiniowania skali temperatury absolutnej, która będzie całkowicie niezależna od rodzaju substancji, dla której mierzona jest temperatura.

Jeśli czynnikiem roboczym jest gaz doskonały, to kolejne etapy pracy silnika Carnota przedstawione na Ilustracji 4.11 są następujące:

1. Rozprężanie izotermiczne. Gaz znajduje się w termicznym kontakcie z ciepłym rezerwuarem o temperaturze $T_{\text{c}}$ i pobiera ciepło $Q_{\text{c}}$ z tego rezerwuaru. Gaz rozpręża się izotermicznie, wykonując przy tym pracę $W_1$. Energia wewnętrzna $U$ gazu doskonałego zależy jedynie od temperatury, dlatego zmiana energii wewnętrznej $\Delta U=0\mathrm{J}$. Korzystając z pierwszej zasady termodynamiki, $\Delta U=Q-W$, otrzymujemy ilość ciepła pobieranego przez gaz
   $$Q_{\text{c}}=W_1=nR{T}_{\text{c}}ln\left(\frac{V_N}{V_M}\right)\text{.}$$

   Ilustracja 4.11 Cztery procesy termodynamiczne silnika Carnota. Zakładamy, że czynnikiem roboczym jest gaz doskonały, którego droga termodynamiczna opisana przez procesy 1–4 pokazana jest na Ilustracji 4.12.

   Ilustracja 4.12 Całkowita praca wykonywana przez gaz w cyklu silnika Carnota to pole na wykresie ograniczone krzywą 1–2–3–4.
2. Rozprężanie adiabatyczne. Gaz jest izolowany i może kontynuować rozprężanie, wykonując przy tym pracę $W_2$. Rozprężanie jest adiabatyczne, więc temperatura gazu spada, w tym przypadku od $T_{\text{c}}$ do $T_{\text{z}}$. Z faktu, że $p{V}^{\kappa }=\text{constant}$, oraz z równania stanu dla gazu doskonałego, $pV=nRT$, otrzymujemy
   $$T{V}^{\kappa -1}=\text{constant}\text{,}$$
   czyli
   $$T_{\text{c}}{V}_N^{\kappa -1}=T_{\text{z}}{V}_O^{\kappa -1}\text{.}$$
3. Sprężanie izotermiczne. Gaz jest w kontakcie termicznym z zimnym rezerwuarem o temperaturze $T_{\text{z}}$ i ulega sprężaniu izotermicznemu. Podczas tego procesu praca $W_3$ wykonywana jest na gazie i oddaje on $Q_{\text{z}}$ ciepła do zimnego rezerwuaru. Rozumowanie z etapu 1. doprowadza nas do
   $$Q_{\text{z}}=nR{T}_{\text{z}}ln\left(\frac{V_O}{V_P}\right)\text{,}$$
   gdzie $Q_{\text{z}}$ to ciepło oddawane do rezerwuaru przez gaz.
4. Sprężanie adiabatyczne. Gaz jest izolowany termicznie i wraca do swego stanu początkowego w wyniku sprężania. W tym procesie praca $W_4$ wykonywana jest na gazie. Sprężanie jest adiabatyczne, dlatego temperatura gazu wzrasta, tym razem od $T_{\text{z}}$ do $T_{\text{c}}$. Wykorzystując rozumowanie z etapu 2., otrzymujemy
   $$T_{\text{z}}{V}_P^{\kappa -1}=T_{\text{c}}{V}_M^{\kappa -1}\text{.}$$
   Całkowita praca wykonywana przez gaz w silniku Carnota jest dana przez
   $$W=W_1+W_2-W_3-W_4\text{.}$$

Praca jest równa polu ograniczonemu przez pętlę pokazaną na wykresie $pV$ (Ilustracja 4.12). Ze względu na to, że początkowy i końcowy stan układu są takie same, zmiana energii wewnętrznej gazu musi być równa zero, czyli $\Delta U=0\mathrm{J}$. Z pierwszej zasady termodynamiki otrzymujemy

oraz

Aby znaleźć sprawność tego silnika, najpierw dzielimy $Q_{\text{z}}$ przez $Q_{\text{c}}$

Kiedy adiabatyczną stałą z etapu 2. podzielimy przez tę z etapu 4., otrzymujemy

Podstawiając to do równania na $Q_{\text{z}}∕Q_{\text{c}}$, dostajemy

Ostatecznie, korzystając z Równania 4.2, otrzymujemy sprawność silnika Carnota, w którym czynnikiem roboczym jest gaz doskonały

Silnik niekoniecznie musi przechodzić cykl Carnota. Jednak wszystkie silniki pracują w następujący sposób: pobierają ciepło z ciepłego rezerwuaru, wykonują pracę oraz oddają ciepło do zimnego rezerwuaru. To prowadzi nas do pytania: czy wszystkie silniki z obiegiem odwracalnym, działające między dwoma tymi samymi rezerwuarami mają tę samą sprawność? Odpowiedź na to pytanie wynika z drugiej zasady termodynamiki omówionej wcześniej: Wszystkie silniki z obiegiem odwracalnym mają tę samą sprawność. A także, jak można się spodziewać, wszystkie silniki rzeczywiste, działające między dwoma tymi samymi rezerwuarami, mają mniejszą sprawność niż silniki z obiegiem odwracalnym, działające między tymi samymi dwoma rezerwuarami, co także jest konsekwencją drugiej zasady termodynamiki.

Na wykresie $pV$ z Ilustracji 4.13 widzimy cykl idealnej chłodziarki Carnota, czyli silnika Carnota pracującego w odwrotną stronę. Chłodziarka pobiera ciepło $Q_{\text{z}}$ z zimnego rezerwuaru o temperaturze $T_{\text{z}}$, podczas gdy gaz rozpręża się izotermicznie. Następnie gaz ulega sprężaniu adiabatycznemu, aż jego temperatura osiągnie $T_{\text{c}}$, po którym nastąpi sprężanie izotermiczne, skutkujące odrzuceniem ciepła $Q_{\text{c}}$ do ciepłego rezerwuaru o temperaturze $T_{\text{c}}$. Na koniec cyklu gaz rozpręża się adiabatycznie, przez co jego temperatura spada do $T_{\text{z}}$.

Ilustracja 4.13 Praca wykonywana na gazie w jednym cyklu chłodziarki Carnota to pole na wykresie ograniczone krzywą 1–2–3–4.

Praca wykonywana na gazie doskonałym jest równa polu ograniczonemu pętlą na wykresie $pV$. Z pierwszej zasady termodynamiki otrzymujemy wzór na pracę

Przyjmując rozumowanie podobne do stosowanego w przypadku silnika Carnota, otrzymujemy

Wykorzystując Równanie 4.3, mamy

dla współczynnika wydajności chłodziarki Carnota z gazem doskonałym. W podobny sposób możemy wyprowadzić wzór na współczynnik wydajności pompy ciepła Carnota

Wyprowadziliśmy już równania dla sprawności silnika Carnota oraz współczynników wydajności chłodziarki Carnota i pompy ciepła Carnota, zakładając, że dla obu urządzeń czynnikiem roboczym jest gaz doskonały. Okazuje się, że te równania są bardziej ogólne, niż mogłoby nam się wydawać. Wykażemy wkrótce, iż oba są poprawne bez względu na substancję użytą jako czynnik roboczy.

Carnot podsumował swoje badania nad silnikiem cieplnym i cyklami termodynamicznymi sformułowaniem znanym jako twierdzenie Carnota (ang. Carnot’s principle):

Twierdzenie to może być uważane za kolejne sformułowanie drugiej zasady termodynamiki i można wykazać jego równoważność ze sformułowaniami Kelvina i Clausiusa.

Pod względem kosztów energii pompa ciepła (ang. heat pump) jest bardzo ekonomiczna, jeśli chodzi o ogrzewanie budynków (Ilustracja 4.14). Rozważmy dla porównania ogrzewanie poprzez bezpośrednie przekształcanie energii elektrycznej w ciepło za pomocą oporowego urządzenia grzejnego. W tym przypadku jedna jednostka energii elektrycznej dostarcza co najwyżej jedną jednostkę ciepła, czyli mniej niż w przypadku pomp ciepła. Niestety pompy ciepła mają też swoje wady. Koszt zakupu takiej pompy jest dość wysoki w porównaniu do oporowych urządzeń grzejnych, a ich współczynnik wydajności zmniejsza się wraz ze spadkiem temperatury na zewnątrz. W rzeczywistości już dla temperatur zewnętrznych poniżej $-10\mathrm{°}\mathrm{C}$ ilość ciepła dostarczanego przez pompę jest mniejsza niż energia potrzebna do działania.

Ilustracja 4.14 Zdjęcie pompy ciepła znajdującej się na zewnątrz budynku. Zdjęcie zostało zrobione w obszarze o ciepłym klimacie, gdzie używanie takiej pompy ciepła jest opłacalne. Źródło: modyfikacja zdjęcia Petera Stevensa