Cel dydaktyczny
- opisywać cykl Carnota, uwzględniając role wszystkich czterech procesów biorących udział w cyklu;
- przedstawiać twierdzenie Carnota i jego konsekwencje;
- pokazywać równoważność zasady Carnota i drugiej zasady termodynamiki.
Na początku lat 20. XIX wieku Sadi Carnot (1786–1832), francuski inżynier, zainteresował się poprawą sprawności ówczesnych silników cieplnych. W 1824 roku badania doprowadziły go do zaproponowania hipotetycznego cyklu pracy, posiadającego największą możliwą sprawność między danymi rezerwuarami. Cykl ten znany jest teraz jako cykl Carnota (ang. Carnot cycle). Silnik oparty na tym cyklu określa się silnikiem Carnota (ang. Carnot engine). Cykl Carnota jest bardzo ważny z różnych powodów. Z praktycznego punktu widzenia reprezentuje on odwracalny model dla elektrowni cieplnej oraz dla chłodziarki lub pompy ciepła. Ważne jest również jego znaczenie teoretyczne, ponieważ przyczynił się do powstania kolejnego znaczącego sformułowania drugiej zasady termodynamiki. W cykl Carnota zaangażowane są tylko dwa rezerwuary, dlatego razem z drugą zasadą termodynamiki może być wykorzystywany do zdefiniowania skali temperatury absolutnej, która będzie całkowicie niezależna od rodzaju substancji, dla której mierzona jest temperatura.
Jeśli czynnikiem roboczym jest gaz doskonały, to kolejne etapy pracy silnika Carnota przedstawione na Ilustracji 4.11 są następujące:
-
Rozprężanie izotermiczne. Gaz znajduje się w termicznym kontakcie z ciepłym rezerwuarem o temperaturze Tc i pobiera ciepło Qc z tego rezerwuaru. Gaz rozpręża się izotermicznie, wykonując przy tym pracę W1. Energia wewnętrzna U gazu doskonałego zależy jedynie od temperatury, dlatego zmiana energii wewnętrznej ΔU=0J. Korzystając z pierwszej zasady termodynamiki, ΔU=Q−W, otrzymujemy ilość ciepła pobieranego przez gaz
Qc=W1=nRTcln(VNVM).Ilustracja 4.11 Cztery procesy termodynamiczne silnika Carnota. Zakładamy, że czynnikiem roboczym jest gaz doskonały, którego droga termodynamiczna opisana przez procesy 1–4 pokazana jest na Ilustracji 4.12.Ilustracja 4.12 Całkowita praca wykonywana przez gaz w cyklu silnika Carnota to pole na wykresie ograniczone krzywą 1–2–3–4.
-
Rozprężanie adiabatyczne. Gaz jest izolowany i może kontynuować rozprężanie, wykonując przy tym pracę W2. Rozprężanie jest adiabatyczne, więc temperatura gazu spada, w tym przypadku od Tc do Tz. Z faktu, że pVκ=constant, oraz z równania stanu dla gazu doskonałego, pV=nRT, otrzymujemy
TVκ−1=constant,czyliTcVκ−1N=TzVκ−1O.
-
Sprężanie izotermiczne. Gaz jest w kontakcie termicznym z zimnym rezerwuarem o temperaturze Tz i ulega sprężaniu izotermicznemu. Podczas tego procesu praca W3 wykonywana jest na gazie i oddaje on Qz ciepła do zimnego rezerwuaru. Rozumowanie z etapu 1. doprowadza nas do
Qz=nRTzln(VOVP),gdzie Qz to ciepło oddawane do rezerwuaru przez gaz.
-
Sprężanie adiabatyczne. Gaz jest izolowany termicznie i wraca do swego stanu początkowego w wyniku sprężania. W tym procesie praca W4 wykonywana jest na gazie. Sprężanie jest adiabatyczne, dlatego temperatura gazu wzrasta, tym razem od Tz do Tc. Wykorzystując rozumowanie z etapu 2., otrzymujemy
TzVκ−1P=TcVκ−1M.Całkowita praca wykonywana przez gaz w silniku Carnota jest dana przezW=W1+W2−W3−W4.
Praca jest równa polu ograniczonemu przez pętlę pokazaną na wykresie pV (Ilustracja 4.12). Ze względu na to, że początkowy i końcowy stan układu są takie same, zmiana energii wewnętrznej gazu musi być równa zero, czyli ΔU=0J. Z pierwszej zasady termodynamiki otrzymujemy
oraz
Aby znaleźć sprawność tego silnika, najpierw dzielimy Qz przez Qc
Kiedy adiabatyczną stałą z etapu 2. podzielimy przez tę z etapu 4., otrzymujemy
Podstawiając to do równania na Qz∕Qc, dostajemy
Ostatecznie, korzystając z Równania 4.2, otrzymujemy sprawność silnika Carnota, w którym czynnikiem roboczym jest gaz doskonały
Silnik niekoniecznie musi przechodzić cykl Carnota. Jednak wszystkie silniki pracują w następujący sposób: pobierają ciepło z ciepłego rezerwuaru, wykonują pracę oraz oddają ciepło do zimnego rezerwuaru. To prowadzi nas do pytania: czy wszystkie silniki z obiegiem odwracalnym, działające między dwoma tymi samymi rezerwuarami mają tę samą sprawność? Odpowiedź na to pytanie wynika z drugiej zasady termodynamiki omówionej wcześniej: Wszystkie silniki z obiegiem odwracalnym mają tę samą sprawność. A także, jak można się spodziewać, wszystkie silniki rzeczywiste, działające między dwoma tymi samymi rezerwuarami, mają mniejszą sprawność niż silniki z obiegiem odwracalnym, działające między tymi samymi dwoma rezerwuarami, co także jest konsekwencją drugiej zasady termodynamiki.
Na wykresie pV z Ilustracji 4.13 widzimy cykl idealnej chłodziarki Carnota, czyli silnika Carnota pracującego w odwrotną stronę. Chłodziarka pobiera ciepło Qz z zimnego rezerwuaru o temperaturze Tz, podczas gdy gaz rozpręża się izotermicznie. Następnie gaz ulega sprężaniu adiabatycznemu, aż jego temperatura osiągnie Tc, po którym nastąpi sprężanie izotermiczne, skutkujące odrzuceniem ciepła Qc do ciepłego rezerwuaru o temperaturze Tc. Na koniec cyklu gaz rozpręża się adiabatycznie, przez co jego temperatura spada do Tz.
Praca wykonywana na gazie doskonałym jest równa polu ograniczonemu pętlą na wykresie pV. Z pierwszej zasady termodynamiki otrzymujemy wzór na pracę
Przyjmując rozumowanie podobne do stosowanego w przypadku silnika Carnota, otrzymujemy
Wykorzystując Równanie 4.3, mamy
dla współczynnika wydajności chłodziarki Carnota z gazem doskonałym. W podobny sposób możemy wyprowadzić wzór na współczynnik wydajności pompy ciepła Carnota
Wyprowadziliśmy już równania dla sprawności silnika Carnota oraz współczynników wydajności chłodziarki Carnota i pompy ciepła Carnota, zakładając, że dla obu urządzeń czynnikiem roboczym jest gaz doskonały. Okazuje się, że te równania są bardziej ogólne, niż mogłoby nam się wydawać. Wykażemy wkrótce, iż oba są poprawne bez względu na substancję użytą jako czynnik roboczy.
Carnot podsumował swoje badania nad silnikiem cieplnym i cyklami termodynamicznymi sformułowaniem znanym jako twierdzenie Carnota (ang. Carnot’s principle):
Twierdzenie Carnota
Nie istnieje silnik pracujący między dwoma rezerwuarami o stałych temperaturach, który miałby większą sprawność od silnika odwracalnego, działającego między tymi samymi rezerwuarami.
Twierdzenie to może być uważane za kolejne sformułowanie drugiej zasady termodynamiki i można wykazać jego równoważność ze sformułowaniami Kelvina i Clausiusa.
Przykład 4.2
Silnik Carnota
Silnik Carnota ma sprawność 0,6, a temperatura zimnego rezerwuaru jest równa 300K.- Jaka jest temperatura ciepłego rezerwuaru?
- Jeśli silnik wykonuje pracę 300J na cykl, to ile ciepła jest pobierane z ciepłego rezerwuaru podczas jednego cyklu?
- Ile ciepła jest oddawane do zimnego rezerwuaru w jednym cyklu?
Strategia rozwiązania
Dzięki temu, że sprawność cieplna silnika Carnota jest zależna od temperatury, możemy znaleźć temperaturę ciepłego rezerwuaru. Następnie, używając definicji sprawności i wartości pracy wykonywanej przez silnik, obliczamy ciepło pobrane przez silnik. Ostatecznie zasada zachowania energii mówi nam, ile ciepła musi zostać oddane do zimnego rezerwuaru.Rozwiązanie
- Korzystając z wyrażenia e=1−Tz∕Tc, mamy
0,6=1−300KTc,więc temperatura ciepłego rezerwuaru jest równaTc=300K1−0,6=750K.
- Sprawność silnika według definicji to e=W∕Q, dlatego ciepło pobrane z ciepłego rezerwuaru w jednym cyklu wynosi
Qc=We=300J0,6=500J.
- Korzystając z pierwszej zasady termodynamiki, otrzymujemy ilość ciepła oddawanego do zimnego rezerwuaru
Qz=Qc−W=500J−300J=200J.
Znaczenie
Silnik Carnota ma największą możliwą sprawność przekształcania ciepła w pracę między dwoma rezerwuarami, ale nie musi to oznaczać, że sprawność ta jest równa 100%. Wraz ze wzrostem różnicy temperatur ciepłego i zimnego rezerwuaru wzrasta sprawność silnika Carnota.Przykład 4.3
Pompa ciepła Carnota
Pompa ciepła Carnota działa między temperaturą na zewnątrz równą 0°C a temperaturą w pomieszczeniu 20°C. Jaką pracę musi pobrać silnik, jeśli ciepło dostarczane do wnętrza domu wynosi 30kJ?Strategia
Zakładamy, że pompa ciepła w zadaniu jest pompą ciepła Carnota, więc jej współczynnik wydajności dany jest przez Kp=Qc∕W=Tc∕(Tc−Tz). Dzięki temu możemy obliczyć ilość potrzebnej pracy W, korzystając z podanego w zadaniu ciepła Qc.Rozwiązanie
Ilość potrzebnej pracy otrzymujemy zZnaczenie
W zadaniu tym należy zauważyć, że ilość potrzebnej pracy zależy nie tylko od dostarczanego ciepła, ale również od różnicy temperatur wnętrza i otoczenia budynku. Zależność sprawności silnika od temperatury na zewnątrz sprawia, że takie pompy ciepła są niepraktyczne w rejonach, gdzie temperatura na zewnątrz jest znacznie niższa niż temperatura w środku.Pod względem kosztów energii pompa ciepła (ang. heat pump) jest bardzo ekonomiczna, jeśli chodzi o ogrzewanie budynków (Ilustracja 4.14). Rozważmy dla porównania ogrzewanie poprzez bezpośrednie przekształcanie energii elektrycznej w ciepło za pomocą oporowego urządzenia grzejnego. W tym przypadku jedna jednostka energii elektrycznej dostarcza co najwyżej jedną jednostkę ciepła, czyli mniej niż w przypadku pomp ciepła. Niestety pompy ciepła mają też swoje wady. Koszt zakupu takiej pompy jest dość wysoki w porównaniu do oporowych urządzeń grzejnych, a ich współczynnik wydajności zmniejsza się wraz ze spadkiem temperatury na zewnątrz. W rzeczywistości już dla temperatur zewnętrznych poniżej −10°C ilość ciepła dostarczanego przez pompę jest mniejsza niż energia potrzebna do działania.
Sprawdź, czy rozumiesz 4.3
Silnik Carnota działa między rezerwuarami o temperaturach 400°C i 30°C.
- Jaka jest sprawność tego silnika?
- Silnik wykonuje pracę 5J na cykl. Ile ciepła na cykl jest pobierane z ciepłego rezerwuaru?
- Ile ciepła jest dostarczane do zimnego rezerwuaru w jednym cyklu?
- Jaka temperatura zimnego rezerwuaru skutkowałaby najmniejszą sprawnością, a jaka największą?
Sprawdź, czy rozumiesz 4.4
Chłodziarka Carnota działa między dwoma rezerwuarami, których temperatury wynoszą odpowiednio 0°C i 25°C.
- Jaki jest współczynnik wydajności chłodziarki?
- Jeśli podczas jednego cyklu na czynniku roboczym wykonywana jest praca 200J, ile ciepła na cykl zostaje pobrane z zimnego rezerwuaru?
- Ile ciepła na cykl zostało dodane do ciepłego rezerwuaru?