William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Zadania

13.1 Prawo Faradaya

24.

Średnica cewki składającej się z 50 zwojów wynosi $15 cm$ . Cewkę umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji $0,5 T$ w taki sposób, że jej płaszczyzna jest prostopadła do linii tego pola. Oblicz SEM indukowaną w cewce, jeżeli pole magnetyczne zanika równomiernie w czasie

$0,1 s$ ;
$1 s$ ;
$60 s$ .

25.

Powtórz obliczenia z powyższego zadania, przyjąwszy, że czas zaniku pola magnetycznego wynosi $0,1 s$ , a płaszczyzna cewki zorientowana jest względem linii tego pola pod kątem

$30 °$ ;
$60 °$ ;
$90 °$ .

26.

Kwadratowa ramka o boku $6 cm$ wykonana jest z przewodu miedzianego o średnicy $1 mm$ . Oblicz natężenie prądu w ramce, jeżeli wartość indukcji pola magnetycznego, prostopadłego do jej powierzchni zmienia się z szybkością $5 mT ∕ s$ .

27.

Pole magnetyczne przecinające kołową pętlę o promieniu $10 cm$ zmienia się w czasie w sposób przedstawiony na poniższym rysunku. Pole jest prostopadłe do płaszczyzny pętli. Narysuj wykres wartości SEM indukowanej w tej pętli w funkcji czasu.

28.

Na poniższym rysunku przedstawiono jednozwojową prostokątną cewkę. Wartość indukcji magnetycznej w dowolnym punkcie wewnątrz tej cewki zmienia się w czasie zgodnie z równaniem $B = B_{0} e^{- α t}$ , gdzie $B_{0} = 0,25 T$ oraz $α = 200 Hz$ . Przyjąwszy, że rezystancja cewki wynosi $2 Ω$ , oblicz wartość natężenia prądu płynącego w cewce w czasie

$t = 0,001 s$ ;
$t = 0,002 s$ ;
$t = 2 s$ .

29.

Jaka byłaby odpowiedź do poprzedniego zadania, gdyby cewka składała się z 20 nawiniętych ściśle zwojów?

30.

Pole przekroju poprzecznego długiego solenoidu o $n = 10$ zwojach na centymetr długości wynosi $5 {cm}^{2}$ . Solenoid ten otoczony jest cewką składającą się z pięciu zwojów. Po odłączeniu zasilania solenoidu natężenie prądu w jego uzwojeniu maleje do zera w czasie $0,05 s$ . Oblicz średnią wartość SEM zaindukowanej w cewce, jeżeli przed wyłączeniem zasilania natężenie prądu w solenoidzie wynosiło $0,25 A$ .

31.

Prostokątna ramka z drutu o bokach $a$ i $b$ położona jest w płaszczyźnie $x⁣ y$ , jak przedstawiono na poniższym rysunku. Wnętrze ramki przenika zależne od czasu pole magnetyczne, którego indukcję opisuje wzór

\vec{B} \apply (t) = C [x \cos (\omega t) \cdot \hat{i} + y \sin (\omega t) \cdot \hat{k}] \text{,}

przy czym $\vec{B} (t)$ wyrażone jest w teslach. Określ wartość siły elektromotorycznej indukowanej w pętli w funkcji czasu.

32.

Indukcja pola magnetycznego prostopadłego do jednozwojowej pętli o średnicy $10 cm$ maleje od wartości $0,5 T$ do zera. Pętla ta wykonana jest z drutu miedzianego, którego średnica wynosi $2 mm$ . Oblicz ładunek przepływający przez przewodnik w czasie zmiany indukcji pola magnetycznego.

13.2 Reguła Lenza

33.

Wykonany z drutu pojedynczy zwój o promieniu $50 mm$ spoczywa na płaszczyźnie prostopadłej do jednorodnego przestrzennie pola magnetycznego. W odstępie czasu równym $0,1 s$ indukcja pola wzrosła liniowo od wartości $200 mT$ do $300 mT$ .

Wyznacz SEM zaindukowaną w pętli;
Określ kierunek prądu indukowanego w pętli, jeżeli pole magnetyczne zwrócone jest od płaszczyzny, na której ona spoczywa.

34.

Po włączeniu pola magnetycznego strumień przenikający dwudziestozwojową cewkę zmienia się w czasie zgodnie z funkcją

\Phi_B = \SI{5}{\milli\weber\per\second\squared} \cdot t^2 - \SI{2}{\milli\weber\per\second} \cdot t \text{,}

przy czym $t$ wyrażone jest w sekundach. Cewka znajduje się na poziomej płaszczyźnie, a wektor jednostkowy jej powierzchni zwrócony jest ku górze. Wyznacz zależność od czasu SEM indukowanej w cewce. Określ kierunek indukowanego prądu, gdy

$t = 0 s$ ;
$t = 0,1 s$ ;
$t = 1 s$ ;
$t = 2 s$ .

35.

Strumień magnetyczny przecinający pętlę przedstawioną na poniższym rysunku zmienia się w czasie zgodnie z funkcją

\Phi_B = \SI{2}{\milli\weber} \cdot \sin(2\pi \cdot \SI[per-mode=reciprocal]{60}{\per\second} \cdot t) e^{-\SI[per-mode=reciprocal]{3}{\per\second} \cdot t} \text{,}

przy czym $t$ wyrażone jest w sekundach. Określ wartość i kierunek natężenia prądu płynącego przez rezystor o wartości $5 Ω$ w chwili

$t = 0 s$ ;
$t = 2,17 \cdot 10^{- 2} s$ ;
$t = 3 s$ .

36.

Zastosuj regułę Lenza do określenia kierunku prądu indukowanego w każdym z poniższych przykładów.

13.3 Siła elektromotoryczna wywołana ruchem

37.

Samochód wyposażony w antenę o długości $1 m$ jedzie z prędkością równą $100 km ∕ h$ w rejonie, w którym pozioma składowa indukcji ziemskiego pola magnetycznego ma wartość $5,5 \cdot 10^{- 5} T$ . Jaka jest maksymalna możliwa wartość SEM indukowanej w antenie wskutek ruchu samochodu?

38.

Przedstawiona na poniższym rysunku prostokątna pętla składająca się z $N$ zwojów porusza się w prawo ze stałą szybkością $\vec{v}$ , opuszczając bieguny wielkiego elektromagnesu.

Założywszy, że pole magnetyczne między nabiegunnikami tego elektromagnesu jest jednorodne i pomijalne poza nimi, wyznacz SEM zaindukowaną w pętli;
Co wykonuje pracę, której skutkiem jest ta SEM?

39.

Załóżmy, że pole magnetyczne z poprzedniego zadania oscyluje w czasie zgodnie z zależnością $B = B_{0} sin (ω t)$ . Jaka będzie SEM indukowana w pętli, jeżeli jej przedni bok znajduje się w odległości $d$ od prawej granicy obszaru pola magnetycznego?

40.

Powierzchnia cewki o 1000 zwojów wynosi $25 {cm}^{2}$ . Cewka ta w czasie równym $0,01 s$ zostaje obrócona z położenia, w którym jej płaszczyzna była prostopadła do ziemskiego pola magnetycznego, do położenia, w którym płaszczyzna ta jest równoległa do pola Ziemi. Przyjmując, że wartość ziemskiej indukcji magnetycznej wynosi $6 \cdot 10^{- 5} T$ , oblicz średnią wartość SEM zaindukowanej w tej cewce.

41.

W obwodzie elektrycznym przedstawionym na poniższym rysunku pręt ślizga się ze stałą prędkością $\vec{v}$ wzdłuż przewodzących szyn. Wektor prędkości znajduje się w płaszczyźnie szyn, a jego kierunek tworzy z szynami kąt $θ$ . Jednorodne pole magnetyczne o indukcji $\vec{B}$ zwrócone jest od płaszczyzny rysunku. Określ SEM zaindukowaną w tym pręcie.

42.

Pokazany na poniższym rysunku pręt porusza się w jednorodnym polu magnetycznym o wartości indukcji $B = 0,5 T$ ze stałą prędkością o wartości $v = 8 m ∕ s$ . Oblicz różnicę potencjałów między końcami tego pręta. Który z końców pręta ma wyższy potencjał?

43.

Pręt o długości $25 cm$ porusza się z prędkością $5 m ∕ s$ w płaszczyźnie prostopadłej do pola magnetycznego o indukcji $0,25 T$ . Pręt, wektor prędkości oraz wektor indukcji magnetycznej są do siebie wzajemnie prostopadłe, co przedstawiono na poniższym rysunku. Oblicz

wartość siły magnetycznej oddziałującej na elektron w pręcie;
natężenie pola elektrycznego w pręcie;
różnicę potencjałów między końcami pręta;
wartość prędkości pręta, jeżeli wymieniona różnica potencjałów wynosi $1 V$ .

44.

Rezystancja przypadająca na jednostkę długości przedstawionych na załączonym rysunku: szyn, zwory łączącej ich końce oraz ruchomego pręta wynosi $2 Ω ∕ cm$ . Pręt porusza się w lewo z szybkością $v = 3 m ∕ s$ . Przyjmując, że obwód ten znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji $B = 0,75 T$ , oblicz natężenie prądu w obwodzie, gdy

$a = 8 cm$ ;
$a = 5 cm$ .
Określ także kierunek przepływu tego prądu.

45.

Przedstawiony poniżej pręt porusza się w prawo z szybkością $v = 3 m ∕ s$ po szynach o zerowym oporze elektrycznym. Zakładając, że obwód ten znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji $B = 0,75 T$ , oblicz natężenie prądu płynącego przez pięcioomowy rezystor. Rozstrzygnij, czy prąd ten płynie w kierunku zgodnym z kierunkiem, czy przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara.

46.

Poniższy rysunek przedstawia przewodzący pręt ślizgający się po metalowych szynach. Urządzenie umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji $0,25 T$ zwróconym do płaszczyzny tego rysunku. Przyłożona do pręta siła $\vec{F}$ powoduje, że porusza się on w prawo ze stałą prędkością równą $5 m ∕ s$ . Założywszy, że jedyną rezystancję w tym obwodzie stanowi dwuomowy rezystor widoczny na rysunku, oblicz

SEM zaindukowaną w obwodzie;
natężenie indukowanego prądu, określając, czy płynie on zgodnie z kierunkiem ruchu, czy przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara;
wartość siły $\vec{F}$ ;
moc siły $\vec{F}$ oraz moc rozproszoną w rezystorze.

13.4 Indukowane pola elektryczne

47.

Cewkę składającą się z 50 zwojów o średnicy $15 cm$ umieszczono w przestrzennie jednorodnym polu magnetycznym o wartości indukcji $0,5 T$ w taki sposób, że jej płaszczyzna jest prostopadła do linii tego pola. Oblicz wartość natężenia pola elektrycznego indukowanego w cewce, przyjmując, że indukcja pola magnetycznego maleje do zera w czasie równym $0,1 s$ . Założ, że pole magnetyczne ma symetrię cylindryczną względem podłużnej osi cewki.

48.

Pole magnetyczne przenikające prostopadle kołową pętlę o promieniu $10 cm$ zmienia się w czasie w sposób przedstawiony na załączonym rysunku. Zakładając walcową symetrię indukowanego pola elektrycznego względem centralnej osi cewki, narysuj wykres jego natężenia w funkcji czasu.

49.

Natężenie prądu $I$ w długim solenoidzie o promieniu $R$ , którego liczba zwojów na metr długości wynosi $n$ , zmienia się w czasie zgodnie z pochodną $d I ∕ d t$ . Wyznacz wartość natężenia indukowanego pola elektrycznego w funkcji odległości $r$ od podłużnej osi tego solenoidu.

50.

Oblicz wartość natężenia indukowanego pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz solenoidu z poprzedniego zadania, jeżeli $I = I_{0} sin (ω t)$ .

51.

W przedstawionym na poniższym rysunku kołowym obszarze o promieniu $R$ panuje przestrzennie jednorodne pole magnetyczne o indukcji $\vec{B}$ . W chwili $t = 0 s$ wartość indukcji tego pola $B = 1 T$ , przy czym w czasie $30 s$ maleje ona do zera ze stałą szybkością.

Oblicz wartość natężenia pola elektrycznego w obszarach, w których $r \leq R$ oraz $r > R$ w odnośnym 30-sekundowym przedziale czasu;
Zakładając, że $R = 10 cm$ , oblicz pracę wykonaną przez pole elektryczne do jednokrotnego przemieszczenia protonu po obwodzie okręgu o promieniu $5 cm$ , zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara;
Jaką pracę musi wykonać pole elektryczne, aby jednokrotnie przemieścić proton po obwodzie okręgu o dowolnym promieniu $r > R$ w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara?
Przyjmijmy, że w chwili, w której $B = 0,5 T$ , proton poruszający się z prędkością $v = 5 \cdot 10^{6} m ∕ s$ wpada w punkcie $A$ w obszar pola magnetycznego przedstawionego na poniższym rysunku. Oblicz wartości sił: elektrycznej i magnetycznej, działających na proton w tej chwili.

52.

Wartość indukcji pola magnetycznego w dowolnym punkcie wewnątrz cylindrycznego obszaru przedstawionego na poniższym rysunku maleje od $1 T$ do zera w czasie $20 s$ . Wyznacz kierunek i wartość wektora natężenia pola elektrycznego w funkcji $r$ , tj. odległości od geometrycznego środka tego obszaru.

53.

Natężenie prądu w długim solenoidzie o promieniu $3 cm$ zmienia się w czasie z szybkością $2 \si{\ampere\per\second}$ . Solenoid ten otoczony jest kołową pętlą przewodu o promieniu $5 cm$ i rezystancji $2 Ω$ . Oblicz natężenie prądu indukowanego w tej pętli.

54.

Natężenie prądu w długim solenoidzie o średnicy $3 cm$ nawiniętym z gęstością 20 zwojów na centymetr długości zmienia się w czasie z szybkością $2 \si{\ampere\per\second}$ . Oblicz natężenie pola elektrycznego w odległości $4 cm$ od środka tego solenoidu.

13.6 Generatory elektryczne i siła przeciwelektromotoryczna

55.

Równanie $ε = ε_{0} sin (ω t)$ opisuje siłę elektromotoryczną indukowaną w cewce obracającej się w jednorodnym polu magnetycznym. Z ilu zwojów musi składać się cewka, aby indukowana SEM osiągnęła amplitudę $ε_{0} = 230 V$ , jeżeli $ω = 100 π rad ∕ s$ ? Przyjmij, że powierzchnia jednego zwoju cewki wynosi $0,1 m^{2}$ , a wartość indukcji pola magnetycznego równa się $0,1 T$ .

56.

Składająca się z 20 zwojów cewka w kształcie kwadratu o boku $15 cm$ obraca się w polu magnetycznym o wartości indukcji $0,05 T$ . Oblicz prędkość kątową tej cewki, jeżeli amplituda indukowanej w niej SEM wynosi $30 mV$ .

57.

Składająca się z 60 zwojów cewka w kształcie prostokąta o wymiarach $0,15 m \times 0,4 m$ obraca się z prędkością $3000 obr ∕ \min$ w jednorodnym polu magnetycznym o wartości indukcji równej $0,75 T$ .

Wyznacz w funkcji czasu wartość siły elektromotorycznej indukowanej w tej cewce;
Wyznacz w funkcji czasu wartość mocy mechanicznej niezbędnej do utrzymania prędkości obrotowej cewki na poziomie $3000 obr ∕ \min$ , jeżeli cewkę obciążono rezystorem o wartości $1000 Ω$ ;
Powtórz obliczenia z punktu (b), zakładając, że opór rezystora wynosi $2000 Ω$ .

58.

Składająca się z 200 zwojów cewka twornika prądnicy prądu zmiennego ma kształt kwadratu o boku $20 cm$ . Przy prędkości obrotowej równej $3000 obr ∕ \min$ amplituda (wartość szczytowa) indukowanej w tej cewce siły elektromotorycznej wynosi $230 V$ .

Oblicz częstotliwość SEM;
Oblicz wartość indukcji pola magnetycznego, w którym obraca się ta cewka.

59.

Induktor Webera jest stosunkowo prostym przyrządem służącym do pomiaru indukcji pola magnetycznego. Ma on postać okrągłej cewki z dobrze przewodzącego prąd drutu wprawianej ręcznie (np. za pomocą napędu korbowego) w ruch obrotowy wokół osi przechodzącej przez jedną z jej średnic. Konstrukcja induktora umożliwia dowolne ustawienie płaszczyzny cewki względem zewnętrznego pola magnetycznego. Induktor Webera wykorzystywany do wykrywania i demonstracji ziemskiego pola magnetycznego nazywany jest induktorem ziemskim. Załóżmy, że do składającej się z $N$ zwojów cewki opisanego induktora podłączono galwanometr balistyczny, czyli przyrząd, który mierzy wartość przepływającego przezeń ładunku elektrycznego. Cewkę induktora umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji $\vec{B}$ w taki sposób, że linie pola są prostopadłe do jego płaszczyzny. Następnie cewkę obrócono o kąt równy $180 °$ , mierząc jednocześnie galwanometrem wartość całkowitego ładunku $Q$ .

Przyjąwszy, że sumaryczna rezystancja cewki induktora oraz galwanometru wynosi $R$ , określ związek pomiędzy $B$ i $Q$ ;
W jaki sposób przekonać się, czy pole magnetyczne jest prostopadłe do płaszczyzny tej cewki?

60.

Cewka induktora opisanego w poprzednim zadaniu składa się z 40 zwojów wykonanych z przewodu miedzianego. Średnica cewki wynosi $3 cm$ , a jej rezystancja wraz z rezystancją przyłączonego galwanometru równa się $0,2 Ω$ . Obracając cewkę umieszczoną w polu magnetycznym o indukcji $\vec{B}$ o kąt $180 °$ , stwierdzono, że przez galwanometr balistyczny przepłynął ładunek o wartości $0,09 C$ .

Określ wartość indukcji pola magnetycznego przyjmując, że w chwili początkowej linie pola były prostopadłe do płaszczyzny cewki;
Jakie będą wskazania galwanometru podczas obrotu cewki o kąt $90 °$ ?

61.

Silnik o konstrukcji szeregowej zasilany jest ze źródła prądu o napięciu $230 V$ . Rezystancja uzwojenia wzbudzającego pole magnetyczne tego silnika wynosi $160 Ω$ , a rezystancja uzwojenia twornika równa się $20 Ω$ . W czasie pracy silnika z nominalną prędkością obrotową wartość wytwarzanej siły przeciwelektromotorycznej osiąga $150 V$ . Oblicz natężenie prądu pobieranego przez ten silnik w chwili rozruchu. Przyjąwszy, że silnik pracuje z nominalną prędkością obrotową, wyznacz

natężenie pobieranego prądu;
moc źródła zasilania;
moc mechaniczną dostarczaną przez silnik;
moc rozpraszaną na obu rezystancjach.

62.

Mały szeregowy silnik prądu stałego zasilany jest z akumulatora samochodowego o napięciu $12 V$ . W czasie pracy z nominalnym obciążeniem silnik pobiera prąd o natężeniu $4 A$ . Gdy twornik silnika ulegnie zacięciu i nie może się obracać, natężenie pobieranego prądu wzrasta do $24 A$ . Oblicz siłę przeciwelektromotoryczną wytwarzaną podczas normalnej pracy tego silnika.