13.1 Prawo Faradaya

Pierwsze owocne doświadczenia dotyczące zjawisk wywołanych zmiennymi w czasie polami magnetycznymi przeprowadził w roku 1831 Michael Faraday (1791–1867). Jeden z jego wczesnych eksperymentów przedstawia galwanometr (Ilustracja 13.2). Zgodnie z tym rysunkiem zmiana pola magnetycznego w cewce wywołana wsuwaniem bądź wysuwaniem magnesu sztabkowego powoduje indukowanie się siły elektromotorycznej (SEM) (ang. electromagnetic force). Znak siły elektromotorycznej zmienia się na przeciwny przy zmianie kierunku ruchu magnesu oraz przy odwróceniu jego biegunów. Analogiczne efekty zaobserwujemy, poruszając cewką względem magnesu – w powstawaniu SEM istotny jest bowiem względny ruch obu obiektów. Siła elektromotoryczna będzie tym większa, im ów względny ruch będzie szybszy. SEM nie powstanie, gdy położenie magnesu względem cewki będzie stacjonarne.

Ilustracja 13.2 Ruch magnesu względem cewki powoduje powstanie siły elektromotorycznej, jak pokazano w częściach (a)–(d). Ta sama SEM powstaje, gdy cewka porusza się względem magnesu. Krótkotrwała SEM występuje tylko w czasie trwania ruchu – przy czym im większa jest jego szybkość, tym większa jest wartość siły elektromotorycznej. SEM nie powstaje, gdy magnes i cewka pozostają względem siebie w spoczynku – patrz rysunek (e).

Faraday odkrył także, że podobne zjawisko występuje w układzie dwóch obwodów elektrycznych – zmiana natężenia prądu w jednym z nich indukuje prąd w drugim obwodzie, znajdującym się w jego pobliżu. Na przykład w chwili zamknięcia wyłącznika w obwodzie 1, przedstawionym w części (a) Ilustracji 13.3, wskazówka amperomierza w obwodzie 2 wychyla się na chwilę, co oznacza, że w obwodzie tym został zaindukowany krótkotrwały impuls prądu. Wskazówka amperomierza szybko powraca do pozycji wyjściowej, w której pozostaje. Otwarcie w pewnej chwili wyłącznika w obwodzie 1 powoduje w obwodzie 2 powstanie kolejnego krótkotrwałego impulsu prądu, płynącego w kierunku przeciwnym do zaobserwowanego poprzednio.

Ilustracja 13.3 (a) Zamknięcie wyłącznika w obwodzie 1 powoduje wytworzenie krótkotrwałego impulsu prądu w obwodzie 2. (b) Gdy wyłącznik pozostaje zamknięty, w obwodzie 2 prąd nie płynie. (c) Otwarcie wyłącznika ponownie powoduje przepływ krótkotrwałego prądu w obwodzie 2, jednak w kierunku przeciwnym do zaobserwowanego poprzednio.

Faraday uznał, że w obu eksperymentach prąd w obwodzie zawierającym amperomierz płynął jedynie wtedy, gdy w przestrzeni obejmowanej przez ten obwód następowała zmiana pola magnetycznego. Istotnie – ruch magnesu pokazanego na rysunku powodował zmianę pola w pobliżu przewodzącej pętli. Podobnie, na skutek włączania i wyłączania prądu w obwodzie 1, jego pole magnetyczne oddziałujące na obwód 2 się zmieniało. Wyniki tych i innych eksperymentów z zastosowaniem zmiennych w czasie pól magnetycznych umożliwiły Faradayowi sformułowanie następującego prawa:

Strumień magnetyczny (ang. magnetic flux) jest miarą liczby linii pola magnetycznego przechodzącego przez daną powierzchnię – jak pokazano na Ilustracji 13.4. Zauważmy, że podana definicja jest analogiczna do omawianej wcześniej definicji strumienia pola elektrycznego. Wyrażając strumień magnetyczny za pomocą poniższej całki

siłę elektromotoryczną (lub napięcie), indukowaną w przewodniku bądź cewce, znajdujących się w obszarze zmiennego w czasie strumienia magnetycznego możemy zapisać jako

Znak minus oznacza kierunek, w którym płynie prąd wywołany działaniem indukowanej SEM. Kierunek ten można jednak znacznie łatwiej określić, stosując tak zwaną regułę Lenza, którą teraz pokrótce omówimy.

Ilustracja 13.4 Strumień magnetyczny jest określony liczbą linii pola przecinających powierzchnię $S$ – zdefiniowaną za pomocą jej wektora jednostkowego $\hat{n}$. Jeżeli wektory jednostkowy powierzchni $\hat{n}$ oraz indukcji pola magnetycznego $\overrightarrow{B}$ są do siebie równoległe lub antyrównoległe (jak na rysunku), strumień magnetyczny dla danych wartości powierzchni i indukcji magnetycznej jest maksymalny.

Część (a) na Ilustracji 13.5 przedstawia obwód elektryczny wraz z powierzchnią $S$ rozpiętą na tym obwodzie. Zauważmy, że $S$ jest powierzchnią otwartą. Można wykazać, że w celu obliczenia strumienia ${\mathrm{\Phi }}_B$ możliwe jest wykorzystanie dowolnej otwartej powierzchni rozpiętej na tym obwodzie. Na przykład strumień ${\mathrm{\Phi }}_B$ będzie taki sam przy różnych powierzchniach $S_1,S_2,\dots$ przedstawionych w części (b) na Ilustracji 13.5.

Ilustracja 13.5 (a) Obwód elektryczny z rozpiętą powierzchnią $S$. Fragment płaszczyzny ograniczony przez ten obwód nie należy do powierzchni $S$. (b) Trzy dowolne otwarte powierzchnie rozpięte na tym samym obwodzie – wartość strumienia ${\mathrm{\Phi }}_B$ jest w ich przypadku taka sama.

W układzie SI jednostką strumienia magnetycznego jest weber ($\mathrm{Wb}$)

Powyższa definicja bywa wykorzystywana do wyrażenia indukcji pola magnetycznego – wówczas zamiast tesli używa się weberów na metr kwadratowy ($\mathrm{Wb}∕{\mathrm{m}}^2$). W wielu praktycznych zastosowaniach rozpatrywany obwód elektryczny składa się z nawiniętych ciasno $N$ zwojów (patrz Ilustracja 13.6). W tym przypadku na każdy z $N$ zwojów tego obwodu oddziałuje ten sam strumień magnetyczny. Wypadkowy strumień, przechodzący przez wszystkie zwoje cewki, równy jest więc iloczynowi liczby $N$ i strumienia przenikającego pojedynczy zwój. Prawo Faradaya przyjmuje wówczas postać

Przykład 13.1

Kwadratowa cewka w zmiennym polu magnetycznym

Ilustracja 13.6 przedstawia kwadratową cewkę o boku $l=\mathrm{0,25}\mathrm{m}$ składającą się z $N=200$ ściśle nawiniętych zwojów. Rezystancja (opór) cewki $R=5\mathrm{\Omega }$. Cewkę umieszczono w jednorodnym polu magnetycznym, którego linie są prostopadłe do jej płaszczyzny i którego indukcja maleje z szybkością $dB∕dt=-\mathrm{0,04}\mathrm{T}∕\mathrm{s}$.

1. Jaka jest SEM indukowana w cewce?
2. Jakie jest natężenie prądu płynącego w cewce?

Ilustracja 13.6 Kwadratowa cewka składająca się z $N$ zwojów została umieszczona w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji $\overrightarrow{B}$. Wektor $\overrightarrow{B}$ jest prostopadły do płaszczyzny cewki i zwrócony ku dołowi rysunku.

Strategia rozwiązania

Wektor jednostkowy powierzchni $\hat{n}$ jest z założenia prostopadły do płaszczyzny cewki. Zwrot wektora $\hat{n}$ warto obrać tak, aby wskazywał dół rysunku. Wektor jednostkowy powierzchni $\hat{n}$ będzie wówczas równoległy do wektora indukcji pola magnetycznego $\overrightarrow{B}$. Wyznaczenie strumienia magnetycznego sprowadzi się zatem do obliczenia iloczynu wartości indukcji magnetycznej i pola powierzchni ramki. Ponieważ pole to jest niezmienne, jedyną wielkością zależną od czasu pozostaje indukcja pola magnetycznego. Oznacza to, że symbol pola powierzchni ramki można wynieść przed operator różniczkowania po czasie. Na zakończenie, znając wartość indukowanej SEM i stosując prawo Ohma, obliczymy natężenie prądu płynącego w cewce.

Rozwiązanie

1. Strumień przenikający jeden zwój cewki wynosi
   $${\mathrm{\Phi }}_B=BS=B{l}^2\text{.}$$
   Korzystając z prawa Faradaya, możemy teraz obliczyć SEM. Problem znaku siły elektromotorycznej omówimy w następnym podrozdziale poświęconym regule Lenza
   $$\left|\epsilon \right|=\left|-N\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}\right|=N{l}^2\frac{dB}{dt}=200\cdot {\left(\mathrm{0,25}\mathrm{m}\right)}^2\cdot \mathrm{0,04}\mathrm{T}∕\mathrm{s}=\mathrm{0,5}\mathrm{V}\text{.}$$
2. Natężenie prądu indukowanego w cewce wynosi
   $$I=\frac{\epsilon }{R}=\frac{\mathrm{0,5}\mathrm{V}}{5\mathrm{\Omega }}=\mathrm{0,1}\mathrm{A}\text{.}$$

Znaczenie

Gdyby nie można było pominąć zmian pola powierzchni cewki w czasie, jego symbolu nie moglibyśmy wynieść przed operator różniczkowania. Pamiętajmy, że cewka tworzy zamknięty obwód elektryczny. Skutkiem pojawienia się w cewce indukowanego prądu jest niewielka ilość ciepła ogrzewającego jej uzwojenie – do momentu, w którym pole magnetyczne nie przestałoby się zmieniać. Wzrost temperatury uzwojenia cewki powoduje zatem niewielki wzrost pola jej powierzchni.