12.2 Pole magnetyczne cienkiego, prostoliniowego przewodu z prądem

Zastanówmy się, jakiego natężenia prądu potrzeba do wytworzenia pola magnetycznego o znacznej indukcji, na przykład równej indukcji pola ziemskiego? Wiadomo, że napowietrzne linie energetyczne wytwarzają pola magnetyczne mogące zakłócać wskazania kompasów. Rzeczywiście, gdy w roku 1820 Oersted odkrył, że prąd płynący przez przewód powoduje odchylanie igły magnetycznej, w doświadczeniach nie używał prądów o wyjątkowo dużych natężeniach. W jaki sposób kształt przewodów, przez który płynie prąd, wpływa na kształt wytwarzanego pola magnetycznego? Na to i inne pytania, które pojawią się w kolejnych rozdziałach, możemy odpowiedzieć, stosując prawo Biota-Savarta.

Ilustracja 12.5 ukazuje odcinek nieskończenie długiego, prostoliniowego przewodu, przez który płynie prąd o natężeniu $I$. Wyznaczmy indukcję pola magnetycznego w punkcie $P$ odległym o $R$ od tego przewodu.

Ilustracja 12.5 Odcinek cienkiego, nieskończenie długiego przewodu z prądem. Zmienna niezależna $\theta$ przyjmuje granice ${\theta }_1$ i ${\theta }_2$.

Obliczenia rozpocznijmy, rozpatrując pole magnetyczne wytworzone przez element prądu $Id\overrightarrow{x}$. Stosując pierwszą regułę prawej dłoni, opisaną w poprzednim rozdziale, stwierdzamy, że w przypadku każdego elementu prądu wzdłuż długości przewodu wektor $d\overrightarrow{x}\times \hat{r}$ zwrócony jest od płaszczyzny rysunku. Tak więc w punkcie $P$ przyczynki do indukcji pola pochodzące od wszystkich elementów prądu mają te same kierunki. Oznacza to, że wypadkowe pole w tym punkcie możemy wyznaczyć, obliczając skalarną sumę tychże przyczynków. Podstawiając: $\left|d\overrightarrow{x}\times \hat{r}\right|=dx\cdot 1\cdot sin\theta$, zgodnie z prawem Biota-Savarta otrzymujemy

Zauważmy teraz, że nieskończenie długi przewód jest symetryczny względem punktu $O$. Oznacza to, że zamiast całkować w granicach od minus do plus nieskończoności, możemy w obliczeniach przyjąć granice od zera do nieskończoności, a otrzymany wynik pomnożyć przez dwa. Wykorzystując Ilustracja 12.5 oraz odpowiednie zależności geometryczne, wielkości $r$ oraz $sin\theta$, wyrazimy teraz w funkcji $x$ oraz $R$, zapisując

oraz

Po podstawieniu powyższych wyrażeń do Równania 12.5 całka na indukcję pola magnetycznego przyjmuje postać

Obliczenie całki prowadzi do wyrażenia

Uwzględniając granice całkowania, otrzymujemy ostatecznie

Linie pola magnetycznego mają kształt okręgów, przez których środki przechodzi przewód, przy czym okręgi leżące na dowolnej płaszczyźnie prostopadłej do przewodu są identyczne. Ponieważ wartość indukcji pola magnetycznego maleje wraz z odległością od przewodu, odstępy pomiędzy poszczególnymi liniami pola muszą wraz z tą odległością odpowiednio rosnąć. Kierunek pola można określić, stosując drugą postać reguły prawej dłoni (ang. right-hand rule), co przedstawiono na Ilustracji 12.6. Jeśli uchwycić przewód prawą dłonią tak, aby kciuk wskazywał kierunek przepływu prądu, palce będą obejmować przewód w kierunku zgodnym z wektorem $\overrightarrow{B}$.

Ilustracja 12.6 Grupa linii pola magnetycznego wokół nieskończenie długiego przewodu z prądem. Kierunek wektora $\overrightarrow{B}$ określa się za pomocą jednego z wariantów reguły prawej dłoni.

Kierunek linii pola magnetycznego można zaobserwować doświadczalnie, wykorzystując szereg małych igieł magnetycznych, rozmieszczonych na okręgu o niewielkim promieniu, przez którego środek przechodzi przewód, co przedstawiono na Ilustracji 12.7 (a). Jeśli w przewodzie nie płynie prąd, igły będą wskazywać kierunek pola magnetycznego Ziemi. Po włączeniu prądu o dużym natężeniu igły ustawią się stycznie do tego okręgu. Kształt linii pola można także zbadać za pomocą drobnych opiłków żelaznych, rozsypanych równomiernie na poziomej płaszczyźnie, jak ukazuje Ilustracja 12.7 (b). Pole magnetyczne przewodu spowoduje wówczas ułożenie się opiłków wzdłuż obwodów współśrodkowych okręgów.

Ilustracja 12.7 Kształt linii pola magnetycznego długiego przewodu można uwidocznić: (a) za pomocą małych igieł magnetycznych, (b) używając drobnych opiłków żelaznych.

Przykład 12.3

Obliczanie pola magnetycznego trzech przewodów

Trzy przewody rozmieszczono w wierzchołkach kwadratu (Ilustracja 12.8). Przez każdy z przewodów przepływa prąd o natężeniu $2\mathrm{A}$ w kierunku do płaszczyzny rysunku. Wiedząc, że długość boku wynosi $1\mathrm{cm}$ oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w ostatnim wierzchołku kwadratu (punkt $P$⁠).

Ilustracja 12.8 Przez trzy przewody przepływa prąd w kierunku do płaszczyzny rysunku. Obliczamy indukcję pola magnetycznego w czwartym wierzchołku kwadratu.

Strategia rozwiązania

W zadanym punkcie $P$ wyznaczamy wartość indukcji pól magnetycznych wytwarzanych przez każdy z przewodów (tj. przyczynki do całkowitej indukcji magnetycznej w punkcie $B$). Odległość po przekątnej kwadratu obliczamy, stosując twierdzenie Pitagorasa. Następnie określamy kierunki wektorów indukcji magnetycznej, stanowiących wspomniane przyczynki do pola, rysując okrąg o środku w wierzchołku, w którym znajduje się przewód przechodzący przez punkt $P$. Kierunek wektora indukcji magnetycznej, pochodzącej od wybranego przewodu jest styczny do narysowanego okręgu. Na zakończenie przeprowadzimy odpowiednie działania na wyznaczonych w powyższy sposób wektorach.

Rozwiązanie

Przyczynki do indukcji pola magnetycznego w punkcie $P$ pochodzące od przewodów nr 1 i 3 mają taką samą wartość

$$B_1=B_3=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R}=\frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\mathrm{T}\mathrm{m}∕\mathrm{A}\cdot 2\mathrm{A}}{2\pi \cdot \mathrm{0,01}\mathrm{m}}=4\cdot {10}^{-5}\mathrm{T}\text{.}$$

Odległość punktu $P$ od przewodu nr 2 jest nieco większa, wobec tego wartość pochodzącego od niego przyczynku wynosi

$$B_2=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R\sqrt{2}}=\frac{4\pi \cdot {10}^{-7}\mathrm{T}\mathrm{m}∕\mathrm{A}\cdot 2\mathrm{A}}{2\pi \cdot \mathrm{0,014\hspace{0.17em}14}\mathrm{m}}=3\cdot {10}^{-5}\mathrm{T}\text{.}$$

Wektory każdego z wyznaczonych przyczynków przedstawiono na rysunku.

W punkcie $P$ składowa wektora indukcji wzdłuż osi $x$ pochodzi od przyczynku wytwarzanego przez przewód nr 3 oraz składowej wzdłuż osi $x$ przyczynku przewodu nr 2

$$B_{\text{wyp }x}=-4\cdot {10}^{-5}\mathrm{T}-\mathrm{2,83}\cdot {10}^{-5}\mathrm{T}\cdot cos45°=-6\cdot {10}^{-5}\mathrm{T}\text{.}$$

Podobnie składowa wzdłuż osi $y$ pochodzi od przyczynku przewodu nr 1 oraz składowej wzdłuż osi $y$ przyczynku przewodu nr 2

$$B_{\text{wyp }y}=-4\cdot {10}^{-5}\mathrm{T}-\mathrm{2,83}\cdot {10}^{-5}\mathrm{T}\cdot sin45°=-6\cdot {10}^{-5}\mathrm{T}\text{.}$$

Ostatecznie wartość wypadkowego wektora indukcji magnetycznej wynika z wartości obu składowych

$$B_{\text{wyp}}=\sqrt{B_{\text{wyp }⁣x}^2+B_{\text{wyp }⁣y}^2}=\sqrt{{\left(-6\cdot {10}^{-5}\mathrm{T}\right)}^2+{\left(-6\cdot {10}^{-5}\mathrm{T}\right)}^2}=\mathrm{8,48}\cdot {10}^{-5}\mathrm{T}\text{.}$$

Znaczenie

Równe wartości przyczynków do indukcji pola magnetycznego wzdłuż osi $x$ i $y$ wynikają z zależności geometrycznych występujących w zadaniu. Mogą one być jednak różne, zależnie od wartości natężeń prądów i rozmieszczenia rozpatrywanych przewodów. Bez względu na otrzymane w rachunkach wartości liczbowe, wypadkową indukcję pola w żądanym punkcie należy wyznaczać, operując składowymi odpowiednich wektorów.