William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Describir la aplicación de la conservación del momento cuando la masa cambia con el tiempo, así como la velocidad.
Calcular la rapidez de un cohete en el espacio vacío, en algún momento, dadas las condiciones iniciales.
Calcular la rapidez de un cohete en el campo gravitacional de la Tierra, en algún momento, dadas las condiciones iniciales.

Ahora tratamos el caso en el que la masa de un objeto cambia. Analizamos el movimiento de un cohete, que cambia su velocidad (y, por ende, su momento) al expulsar los gases del combustible quemado, lo que hace que se acelere en la dirección opuesta a la velocidad del combustible expulsado (vea la Figura 9.32). Específicamente: Un cohete con todo el combustible en el espacio profundo tiene una masa total $m_{0}$ (esta masa incluye la masa inicial del combustible). En algún momento, el cohete tiene una velocidad $\vec{v}$ y masa m; esta masa es una combinación de la masa del cohete vacío y la masa del combustible restante no quemado que contiene. (Nos referimos a m como la "masa instantánea" y $\vec{v}$ como "velocidad instantánea"). El cohete acelera al quemar el combustible que lleva y expulsar los gases quemados de escape. Si la tasa de combustión del combustible es constante, y la velocidad a la que se expulsa el escape también es constante, ¿cuál es el cambio de velocidad del cohete como resultado de la quema de todo su combustible?

Fotografía del transbordador espacial despegando.

Figura 9.32 El transbordador espacial tenía varias piezas reutilizables. Los propulsores de combustible sólido situados a ambos lados se recuperaban y reabastecían de combustible después de cada vuelo, y todo el orbitador volvía a la Tierra para ser utilizado en vuelos posteriores. El gran tanque de combustible líquido se gastó. El transbordador espacial era un complejo conjunto de tecnologías, que empleaba tanto combustible sólido como líquido, y fue pionero en el uso de baldosas de cerámica como escudos térmicos de reentrada. Como resultado, permitía realizar varios lanzamientos en lugar de cohetes de un solo uso (créditos: modificación de un trabajo de la NASA).

Análisis físico

A continuación, se describe lo que ocurre, para que se haga una idea de la física implicada.

Cuando los motores de los cohetes funcionan, expulsan continuamente gases quemados de combustible, que tienen masa y velocidad, y por ende, cierto momento. Por conservación del momento, el momento del cohete cambia en esta misma cantidad (con el signo contrario). Supondremos que el combustible quemado se expulsa a una tasa constante, lo que significa que la tasa de cambio del momento del cohete también es constante. Con la Ecuación 9.9, esto representa una fuerza constante sobre el cohete.
Sin embargo, a medida que pasa el tiempo, la masa del cohete (que incluye la masa del combustible restante) disminuye continuamente. Así, aunque la fuerza sobre el cohete es constante, la aceleración resultante no lo es; aumenta continuamente.
Entonces, el cambio total de la velocidad del cohete dependerá de la cantidad de masa de combustible que se queme, y esa dependencia no es lineal.

El problema hace que cambien la masa y la velocidad del cohete; también cambia la masa total de los gases expulsados. Si definimos nuestro sistema como el cohete + el combustible, entonces se trata de un sistema cerrado (ya que el cohete está en el espacio profundo, no hay fuerzas externas que actúen sobre este sistema); como resultado, el momento se conserva para este sistema. Así, podemos aplicar la conservación del momento para responder la pregunta (Figura 9.33).

Se muestra un sistema de coordenadas x y. Un cohete de masa m se mueve hacia la derecha con velocidad v. la masa de escape del cohete d m sub g se mueve hacia la izquierda con velocidad u. El sistema está formado por el cohete y el escape.

Figura 9.33 El cohete acelera hacia la derecha debido a la expulsión de parte de su masa de combustible hacia la izquierda. La conservación del momento nos permite determinar el cambio de velocidad resultante. La masa m es la masa total instantánea del cohete (es decir, la masa del cuerpo del cohete más la masa del combustible en ese momento) (créditos: modificación del trabajo de la NASA / Bill Ingalls).

En el mismo momento en que la masa total instantánea del cohete es m (es decir, m es la masa del cuerpo del cohete más la masa del combustible en ese momento), definimos que la velocidad instantánea del cohete como $\vec{v} = v \hat{i}$ (en la dirección de la x +); esta velocidad se mide en relación con un sistema de referencia inercial (la Tierra, por ejemplo). Así, el momento inicial del sistema es

${\vec{p}}_{i} = m v \hat{i} .$

Los motores del cohete queman combustible a un ritmo constante y expulsan los gases de escape en la dirección de la -x. Durante un intervalo infinitesimal dt, los motores expulsan una masa infinitesimal (positiva) de gas $d m_{g}$ a la velocidad $\vec{u} = - u \hat{i}$ ; observe que, aunque la velocidad del cohete $v \hat{i}$ se mide con respecto a la Tierra, la velocidad de los gases de escape se mide con respecto al cohete (en movimiento). Por lo tanto, medido con respecto a la Tierra, el gas de escape tiene una velocidad $(v - u) \hat{i}$ .

A consecuencia de la expulsión del gas combustible, la masa del cohete disminuye en $d m_{g}$ , y su velocidad aumenta en $d v \hat{i}$ . Por lo tanto, si se incluye tanto el cambio para el cohete como el cambio para el gas de escape, el momento final del sistema es

\begin{matrix} {\vec{p}}_{f} & = {\vec{p}}_{cohete} + {\vec{p}}_{gas} \\ = (m - d m_{g}) (v + d v) \hat{i} + d m_{g} (v - u) \hat{i} \end{matrix} .

Como todos los vectores están en la dirección de la x, dejamos de lado la notación vectorial. Aplicando la conservación del momento, obtenemos

\begin{array}{l} p_{i} = p_{f} \\ m v = (m - d m_{g}) (v + d v) + d m_{g} (v - u) \\ m v = m v + m d v - d m_{g} v - d m_{g} d v + d m_{g} v - d m_{g} u \\ m d v = d m_{g} d v + d m_{g} u . \end{array}

Ahora, $d m_{g}$ y dv son muy pequeños cada uno; por lo tanto, su producto $d m_{g} d v$ es muy, muy pequeño, mucho menor que los otros dos términos de esta expresión. Por lo tanto, ignoramos este término y obtenemos:

m d v = d m_{g} u .

Nuestro siguiente paso es recordar que, dado que $d m_{g}$ representa un aumento en la masa de los gases expulsados, también deberá representar una disminución en la masa del cohete:

d m_{g} = - d m .

Sustituyendo esto, tenemos

m d v = - d m u

o

d v = - u \frac{d m}{m} .

Integrando desde la masa inicial m₀ hasta la masa final m del cohete obtenemos el resultado que buscamos:

\begin{matrix} \int_{v_{i}}^{v} d v & = & - u \int_{m_{0}}^{m} \frac{1}{m} d m \\ v - v_{i} & = & u ln (\frac{m_{0}}{m}) \end{matrix}

y así, nuestra respuesta final es

Δ v = u ln (\frac{m_{0}}{m}) .

9.38

Este resultado se denomina ecuación del cohete. Fue derivado originalmente por el físico soviético Konstantin Tsiolkovsky en 1897. Nos da el cambio de velocidad que obtiene el cohete al quemar una masa de combustible que disminuye la masa total del cohete de $m_{0}$ hasta m. Como se esperaba, la relación entre $Δ v$ y el cambio de masa del cohete es no lineal.

Estrategia de Resolución De Problemas

Propulsión de cohetes

En los problemas de cohetes, las preguntas más comunes son calcular el cambio de velocidad debido a la quema de alguna cantidad de combustible durante algún tiempo o determinar la aceleración que resulta de la quema de combustible.

Para determinar el cambio de velocidad, utilice la ecuación del cohete en la Ecuación 9.38.
Para determinar la aceleración, calcule la fuerza mediante el teorema del momento-impulso; utilice la ecuación del cohete para determinar el cambio de velocidad.

Ejemplo 9.20

Empuje en una nave espacial

Una nave espacial se mueve en el espacio sin gravedad en una trayectoria recta cuando su piloto decide acelerar hacia adelante. Enciende los propulsores, y el combustible quemado es expulsado a una tasa constante de

2,0 \times 10^{2} kg/s

, a una rapidez (relativa al cohete) de

2,5 \times 10^{2} m/s

. La masa inicial de la nave y su combustible no quemado es

2,0 \times 10^{4} kg

, y los propulsores están encendidos durante 30 s.

¿Cuál es el empuje (la fuerza aplicada al cohete por el combustible expulsado) sobre la nave espacial?
¿Cuál es la aceleración de la nave en función del tiempo?
¿Cuáles son las aceleraciones de la nave en t = 0, 15, 30 y 35 s?

Estrategia

La fuerza sobre la nave es igual a la tasa de cambio del momento del combustible.
Conociendo la fuerza de la parte (a), podemos utilizar la segunda ley de Newton para calcular la aceleración consiguiente. La clave aquí es que, aunque la fuerza aplicada a la nave es constante (el combustible se expulsa a una tasa constante), la masa de la nave no lo es; por lo tanto, la aceleración causada por la fuerza no será constante. Por lo tanto, esperamos obtener una función a(t).
Utilizaremos la función que obtenemos en la parte (b), y solo sustituiremos los números dados. Importante: Esperamos que la aceleración sea mayor a medida que pasa el tiempo, ya que la masa que se acelera disminuye continuamente (el combustible se expulsa del cohete).

Solución

El momento del gas combustible expulsado es
$p = m_{g} v .$
La velocidad de eyección $v = 2,5 \times 10^{2} m/s$ es constante, y por ende, la fuerza es
$F = \frac{d p}{d t} = v \frac{d m_{g}}{d t} = - v \frac{d m}{d t} .$
Ahora, $\frac{d m_{g}}{d t}$ es la tasa de cambio de la masa del combustible; el problema dice que es $2,0 \times 10^{2} kg/s$ . Sustituyendo, obtenemos
$\begin{matrix} F & = v \frac{d m_{g}}{d t} \\ = (2,5 \times 10^{2} \frac{m}{s}) (2,0 \times 10^{2} \frac{kg}{s}) \\ = 5 \times 10^{4} N. \end{matrix}$
Anteriormente, definimos m como la masa combinada del cohete vacío más la cantidad de combustible no quemado que contenía: $m = m_{R} + m_{g}$ . De la segunda ley de Newton,
$a = \frac{F}{m} = \frac{F}{m_{R} + m_{g}} .$
La fuerza es constante y la masa vacía del cohete $m_{R}$ es constante, pero la masa de combustible $m_{g}$ está disminuyendo a una tasa uniforme; en concreto:
$m_{g} = m_{g} (t) = m_{g_{0}} - (\frac{d m_{g}}{d t}) t .$
Esto nos da
$a (t) = \frac{F}{m_{g_{i}} - (\frac{d m_{g}}{d t}) t} = \frac{F}{M - (\frac{d m_{g}}{d t}) t} .$
Observe que, como era de esperar, la aceleración es una función del tiempo. Sustituyendo los números dados:
$a (t) = \frac{5 \times 10^{4} N}{2,0 \times 10^{4} kg - (2,0 \times 10^{2} \frac{kg}{s}) t} .$
En $t = 0 s$ :
$a (0 s) = \frac{5 \times 10^{4} N}{2,0 \times 10^{4} kg - (2,0 \times 10^{2} \frac{kg}{s}) (0 s)} = 2,5 \frac{m}{s^{2}} .$
En $t = 15 s, a (15 s) = {2,9 m/s}^{2}$ .
En $t = 30 s, a (30 s) = 3,6 {m/s}^{2}$ .
La aceleración va en aumento, como esperábamos.

Importancia

Observe que la aceleración no es constante, por lo que las magnitudes dinámicas deberán calcularse mediante integrales o (más fácilmente) mediante la conservación de la energía total.

Compruebe Lo Aprendido 9.14

¿Cuál es la diferencia física (o la relación) entre $\frac{d m}{d t}$ y $\frac{d m_{g}}{d t}$ en este ejemplo?

Cohete en un campo gravitacional

Analicemos ahora el cambio de velocidad del cohete durante la fase de lanzamiento, desde la superficie de la Tierra. Para mantener las matemáticas manejables, restringiremos nuestra atención a las distancias para las cuales la aceleración causada por la gravedad puede tratarse como una g constante.

El análisis es similar, salvo que ahora hay una fuerza externa de $\vec{F} = - m g \hat{j}$ actuando en nuestro sistema. Esta fuerza aplica un impulso $d \vec{J} = \vec{F} d t = - m g d t \hat{j}$ , que es igual al cambio de momento. Esto nos da

\begin{matrix} d \vec{p} & = & d \vec{J} \\ {\vec{p}}_{f} - {\vec{p}}_{i} & = & - m g d t \hat{j} \\ [(m - d m_{g}) (v + d v) + d m_{g} (v - u) - m v] \hat{j} & = & - m g d t \hat{j} \end{matrix}

y así

m d v - d m_{g} u = - m g d t

donde hemos vuelto a ignorar el término $d m_{g} d v$ y eliminado la notación vectorial. A continuación, sustituimos $d m_{g}$ con $- d m$ :

\begin{matrix} m d v + d m u & = & - m g d t \\ m d v & = & - d m u - m g d t . \end{matrix}

Dividiendo entre m obtenemos

d v = - u \frac{d m}{m} - g d t

e integrando, tenemos

Δ v = u ln (\frac{m_{0}}{m}) - g Δ t .

9.39

Como es lógico, la velocidad del cohete se ve afectada por la aceleración (constante) de la gravedad.

Recuerde que $Δ t$ es el tiempo de combustión del combustible. Ahora bien, en ausencia de gravedad, la Ecuación 9.38 implica que es indiferente el tiempo que se tarda en quemar toda la masa de combustible; el cambio de velocidad no depende de $Δ t$ . Sin embargo, en presencia de la gravedad, importa mucho. El término -g $Δ t$ en la Ecuación 9.39 nos indica que, cuanto mayor sea el tiempo de combustión, menor será el cambio de velocidad del cohete. Esta es la razón por la que el lanzamiento de un cohete es tan espectacular en el primer momento del despegue: Es esencial quemar el combustible lo más rápido posible, para obtener la mayor cantidad de $Δ v$ como sea posible.

9.7 Propulsión de cohetes