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Física Universitaria Volumen 1

8.3 Conservación de la energía

Física Universitaria Volumen 18.3 Conservación de la energía
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Formular el principio de conservación de la energía mecánica, con o sin la presencia de fuerzas no conservativas.
  • Utilizar la conservación de la energía mecánica para calcular diversas propiedades de sistemas sencillos.

En esta sección, explicamos y ampliamos el resultado que derivamos en Energía potencial de un sistema, donde reescribimos el teorema de trabajo-energía en términos del cambio en las energías cinética y potencial de una partícula. Esto nos llevará a analizar el importante principio de la conservación de la energía mecánica. A medida que continúe examinando otros temas de la física, en capítulos posteriores de este libro, verá cómo esta ley de conservación se generaliza para abarcar otros tipos de energía y transferencias de energía. La última sección de este capítulo ofrece un avance.

Los términos "cantidad conservada" y "ley de conservación" tienen significados específicos y científicos en física, que son diferentes de los significados cotidianos, que se asocian a estas palabras. (El mismo comentario es válido para los usos científicos y cotidianos de la palabra "trabajo"). En el uso cotidiano, se puede conservar el agua al no usarla, al usar menos cantidad o al reutilizarla. El agua está compuesta por moléculas formadas por dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno. Si se juntan estos átomos para formar una molécula, se crea el agua; si se disocian los átomos de dicha molécula, se destruye el agua. Sin embargo, en el uso científico, una cantidad conservada para un sistema permanece constante, cambia en una cantidad definida que se transfiere a otros sistemas o se convierte en otras formas de esa cantidad. Una cantidad conservada, en el sentido científico, puede transformarse, pero no crearse ni destruirse en el sentido estricto de la palabra. Así, no existe ninguna ley física de conservación del agua.

Sistemas con una sola partícula u objeto

Primero consideramos un sistema con una sola partícula u objeto. De vuelta a nuestro desarrollo de la Ecuación 8.2, recordemos que primero separamos todas las fuerzas que actúan sobre una partícula en tipos conservativas y no conservativas, y escribimos el trabajo realizado por cada tipo de fuerza como un término separado en el teorema de trabajo-energía. Entonces sustituimos el trabajo realizado por las fuerzas conservativas por el cambio en la energía potencial de la partícula y lo combinamos con el cambio en la energía cinética de la partícula para obtener la Ecuación 8.2. Ahora, escribimos esta ecuación sin el paso intermedio y definimos la suma de las energías cinética y potencial, K+U=E;K+U=E; a ser la energía mecánica de la partícula.

Conservación de la energía

La energía mecánica E de una partícula permanece constante, a menos que fuerzas externas al sistema o fuerzas no conservativas realicen un trabajo sobre ella, en cuyo caso, el cambio en la energía mecánica es igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas:

Wnc,AB=Δ(K+U)AB=ΔEAB.Wnc,AB=Δ(K+U)AB=ΔEAB.
8.12

Esta afirmación expresa el concepto de conservación de energía para una partícula clásica mientras no haya trabajo no conservativo. Recordemos que una partícula clásica es solo una masa puntual, no es relativista y obedece a las leyes del movimiento de Newton. En Relatividad, veremos que la conservación de la energía sigue aplicándose a una partícula no clásica. Sin embargo, para ello tenemos que hacer un ligero ajuste en la definición de energía.

A veces es conveniente separar el caso en el que el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es cero, ya sea porque se supone que no hay tales fuerzas presentes, o, como la fuerza normal, realizan un trabajo cero cuando el movimiento es paralelo a la superficie. Entonces

0=Wnc,AB=Δ(K+U)AB=ΔEAB.0=Wnc,AB=Δ(K+U)AB=ΔEAB.
8.13

En este caso, la conservación de la energía mecánica puede expresarse como sigue: La energía mecánica de una partícula no cambia si todas las fuerzas no conservativas que pueden actuar sobre ella no realizan ningún trabajo. Lo importante es comprender el concepto de conservación de energía, no la ecuación concreta que se utilice para expresarla.

Estrategia de Resolución De Problemas

Conservación de la energía

  1. Identifique el organismo o los organismos que se van a estudiar (el sistema). A menudo, en las aplicaciones del principio de conservación de energía mecánica, estudiamos más de un cuerpo al mismo tiempo.
  2. Identifique todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo o los cuerpos.
  3. Determine si cada fuerza que realiza un trabajo es conservativa. Si una fuerza no conservativa (por ejemplo, la fricción) realiza un trabajo, la energía mecánica no se conserva. Luego, el sistema deberá analizarse con trabajo no conservativo, la Ecuación 8.13.
  4. Para cada fuerza que realice un trabajo, elija un punto de referencia y determine la función de energía potencial para la fuerza. Los puntos de referencia de las distintas energías potenciales no tienen por qué estar en el mismo lugar.
  5. Aplique el principio de conservación de energía mecánica al establecer la suma de las energías cinética y potencial iguales en cada punto de interés.

Ejemplo 8.7

Péndulo simple

Una partícula de masa m cuelga desde el techo con una cuerda sin masa de 1,0 m de longitud, como se muestra en la Figura 8.7. La partícula se libera del reposo, cuando el ángulo entre la cuerda y la dirección vertical descendente es de 30°.30°. ¿Cuál es su rapidez cuando alcanza el punto más bajo de su arco?
La figura ilustra un péndulo que consiste en una bola que cuelga de una cuerda. La cuerda mide un metro y la bola tiene una masa m. Se muestra en la posición en la que la cuerda forma un ángulo de treinta grados con la vertical. En este lugar, la bola está a una altura h por encima de su altura mínima. El arco circular de la trayectoria de la bola se indica con una curva discontinua.
Figura 8.7 Una partícula colgada de una cuerda constituye un péndulo simple. Se muestra cuando se libera del reposo, junto con algunas distancias que se utilizan en el análisis del movimiento.

Estrategia

Al utilizar nuestra estrategia de resolución de problemas, el primer paso es definir que estamos interesados en el sistema partícula-Tierra. En segundo lugar, sobre la partícula solo actúa la fuerza gravitacional, que es conservativa (paso 3). Ignoramos la resistencia del aire en el problema, y la tensión de la cuerda, que es perpendicular al arco del movimiento, no realiza ningún trabajo. Por lo tanto, la energía mecánica del sistema se conserva, como se representa en la Ecuación 8.13, 0=Δ(K+U)0=Δ(K+U). Como la partícula parte del reposo, el aumento de la energía cinética es solo la energía cinética en el punto más bajo. Este aumento de la energía cinética es igual a la disminución de la energía potencial gravitacional, que podemos calcular a partir de la geometría. En el paso 4, elegimos como punto de referencia para la energía potencial gravitacional cero el punto vertical más bajo que alcanza la partícula, que es la mitad de la oscilación. Por último, en el paso 5, establecemos la suma de energías en el punto más alto (inicial) de la oscilación hasta el punto más bajo (final) de la oscilación para resolver finalmente la rapidez final.

Solución

Estamos ignorando las fuerzas no conservativas, por lo que escribimos la fórmula de conservación de energía que relaciona la partícula en el punto más alto (inicial) y el punto más bajo de la oscilación (final) como
Ki+Ui=Kf+Uf.Ki+Ui=Kf+Uf.

Dado que la partícula se libera del reposo, la energía cinética inicial es cero. En el punto más bajo, definimos que la energía potencial gravitacional es cero. Por lo tanto, nuestra fórmula de conservación de la energía se reduce a

0+mgh=12mv2+0v=2gh.0+mgh=12mv2+0v=2gh.

La altura vertical de la partícula no se da directamente en el problema. Esto puede resolverse con la trigonometría y dos datos: la longitud del péndulo y el ángulo por el que la partícula se hala verticalmente. Observando el diagrama, la línea vertical discontinua es la longitud de la cuerda del péndulo. La altura vertical se denomina h. La otra longitud parcial de la cuerda vertical se puede calcular con trigonometría. Esa parte se resuelve por

cosθ=x/L,x=Lcosθ.cosθ=x/L,x=Lcosθ.

Por lo tanto, si observamos las dos partes de la cuerda, podemos resolver la altura h,

x+h=LLcosθ+h=Lh=L-Lcosθ=L(1-cosθ).x+h=LLcosθ+h=Lh=L-Lcosθ=L(1-cosθ).

Sustituimos esta altura en la expresión anterior resuelta para la rapidez con el fin de calcular nuestro resultado:

v=2gL(1-cosθ)=2(9,8m/s2)(1m)(1-cos30°)=1,62m/s.v=2gL(1-cosθ)=2(9,8m/s2)(1m)(1-cos30°)=1,62m/s.

Importancia

Hallamos la rapidez directamente a partir de la conservación de la energía mecánica, sin tener que resolver la ecuación diferencial para el movimiento de un péndulo (vea Oscilaciones). Podemos abordar este problema en términos de gráficos de barras de energía total. Inicialmente, la partícula tiene toda la energía potencial, al estar en el punto más alto, y ninguna energía cinética. Cuando la partícula cruza el punto más bajo de la parte inferior de la oscilación, la energía pasa de la columna de energía potencial a la columna de energía cinética. Por lo tanto, podemos imaginar una progresión de esta transferencia a medida que la partícula se mueve entre su punto más alto, el punto más bajo de la oscilación, y de vuelta al punto más alto (Figura 8.8). A medida que la partícula se desplaza desde el punto más bajo de la oscilación hasta el punto más alto en el extremo derecho del diagrama, las barras de energía van en orden inverso de (c) a (b) a (a).
Se muestran gráficos de barras que representan la energía total (E), la energía potencial (U) y la energía cinética (K) de la partícula en diferentes posiciones. En la figura (a), la energía total del sistema es igual a la energía potencial y la energía cinética es cero. En la figura (b), las energías cinética y potencial son iguales, y los gráficos de barras de energía cinética más energía potencial son iguales a la energía total. En la figura (c) el gráfico de barras de la energía cinética es igual a la energía total del sistema y la energía potencial es cero. La barra de energía total tiene la misma altura en los tres gráficos.
Figura 8.8 Gráficos de barras que representan la energía total (E), la energía potencial (U) y la energía cinética (K) de la partícula en diferentes posiciones. (a) La energía total del sistema es igual a la energía potencial y la energía cinética es cero, que se encuentra en el punto más alto que alcanza la partícula. (b) La partícula se encuentra a medio camino entre el punto más alto y el más bajo, por lo que los gráficos de barras de energía cinética más energía potencial son iguales a la energía total. (c) La partícula se encuentra en el punto más bajo de la oscilación, por lo que el gráfico de barras de energía cinética es el más alto e igual a la energía total del sistema.

Compruebe Lo Aprendido 8.7

¿A qué altura sobre la parte inferior de su arco se encuentra la partícula en el péndulo simple de arriba, cuando su rapidez es 0,81m/s?0,81m/s?

Ejemplo 8.8

Resistencia del aire en un objeto que cae

Un helicóptero sobrevuela a una altitud de 1km1km cuando un panel de su parte inferior se desprende y cae al suelo (Figura 8.9). La masa del panel es 15kg,15kg, y golpea el suelo a una rapidez de 45m/s45m/s. ¿Cuánta energía mecánica se disipó por la resistencia del aire durante el descenso del panel?
Una ilustración de un helicóptero y un panel a una distancia no especificada por debajo de este, donde se alcanza la velocidad límite. El panel comienza su caída desde el helicóptero. Se muestran gráficos de barras para el panel al inicio de su caída y una vez que ha alcanzado la velocidad límite. Al principio, la energía potencial U es igual a la energía total E, y la energía cinética es cero. Una vez que el panel alcanza la velocidad límite, la energía cinética ya no es cero, la energía potencial ha disminuido, y la energía total sigue siendo la suma de las energías cinética y potencial, pero este total también ha disminuido.
Figura 8.9 Un helicóptero pierde un panel que cae hasta alcanzar una velocidad límite de 45 m/s. ¿En qué medida contribuyó la resistencia del aire a la disipación de energía en este problema?

Estrategia

Paso 1: Aquí solo se investiga un cuerpo.

Paso 2: Sobre el panel actúa la fuerza gravitacional y la resistencia del aire, que se indica en el problema.

Paso 3: La fuerza gravitacional es conservativa; sin embargo, la fuerza no conservativa de la resistencia del aire realiza un trabajo negativo sobre el panel que cae, por lo que podemos utilizar la conservación de la energía mecánica, en la forma expresada por la Ecuación 8.12, para hallar la energía disipada. Esta energía es la magnitud del trabajo:

ΔEdisipada=|Wnc, if|=|Δ(K+U)if|.ΔEdisipada=|Wnc, if|=|Δ(K+U)if|.

Paso 4: La energía cinética inicial, en yi=1km,yi=1km, es cero. Por comodidad, fijamos la energía potencial gravitacional en cero a nivel del suelo.

Paso 5: El trabajo no conservativo se establece igual a las energías para resolver el trabajo disipado por la resistencia del aire.

Solución

La energía mecánica disipada por la resistencia del aire es la suma algebraica de la ganancia de energía cinética y la pérdida de energía potencial. Por lo tanto, el cálculo de esta energía es
ΔEdisipada=|Kf-Ki+Uf-Ui|=|12(15kg)(45m/s)2-0+0-(15kg)(9,8m/s2)(1.000m)|=130kJ.ΔEdisipada=|Kf-Ki+Uf-Ui|=|12(15kg)(45m/s)2-0+0-(15kg)(9,8m/s2)(1.000m)|=130kJ.

Importancia

La mayor parte de la energía mecánica inicial del panel (Ui)(Ui), 147 kJ, se perdió por la resistencia del aire. Observe que hemos podido calcular la energía disipada sin saber cuál era la fuerza de resistencia del aire, únicamente que era disipativa.

Compruebe Lo Aprendido 8.8

Probablemente recuerde que, al descartar la resistencia del aire, si lanza un proyectil directamente hacia arriba, el tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima es igual al tiempo que tarda en caer desde la altura máxima hasta la altura inicial. Supongamos que no se puede descartar la resistencia del aire, como en el Ejemplo 8.8. ¿Es el tiempo que el proyectil tarda en subir (a) mayor, (b) menor o (c) igual al tiempo que tarda en bajar? Explique.

En estos ejemplos, hemos podido utilizar la conservación de la energía para calcular la rapidez de una partícula justo en determinados puntos de su movimiento. Sin embargo, el método de análisis del movimiento de las partículas, partiendo de la conservación de energía, es más poderoso que eso. Los tratamientos más avanzados de la teoría de la mecánica permiten calcular la dependencia a tiempo completo del movimiento de una partícula, para una energía potencial dada. De hecho, a menudo se da el caso de que un mejor modelo para el movimiento de la partícula lo proporciona la forma de sus energías cinética y potencial, en lugar de una ecuación para la fuerza que actúa sobre esta. (Esto es especialmente cierto para la descripción mecánica cuántica de partículas como los electrones o los átomos).

Podemos ilustrar algunas de las características más simples de este enfoque basado en la energía, al considerar una partícula en movimiento unidimensional, con energía potencial U(x) y sin interacciones no conservativas presentes. La Ecuación 8.12 y la definición de velocidad requieren

K=12mv2=E-U(x)v=dxdt=2(E-U(x))m.K=12mv2=E-U(x)v=dxdt=2(E-U(x))m.

Separe las variables x y t e integre, a partir de un tiempo inicial t=0t=0 a un tiempo arbitrario, para obtener

t=0tdt=x0xdx2[E-U(x)]/m.t=0tdt=x0xdx2[E-U(x)]/m.
8.14

Si puedes hacer la integral en la Ecuación 8.14, entonces puedes resolver x en función de t.

Ejemplo 8.9

Aceleración constante

Utilice la energía potencial U(x)=-E(x/x0),U(x)=-E(x/x0), para E>0,E>0, en la Ecuación 8.14 para hallar la posición x de una partícula como función del tiempo t.

Estrategia

Ya que sabemos cómo cambia la energía potencial como función de x, podemos sustituir por U(x)U(x) en la Ecuación 8.14, integre, y luego resuelva para x. Se obtiene una expresión de x como función del tiempo con las constantes de energía E, masa m y posición inicial x0.x0.

Solución

Siguiendo los dos primeros pasos sugeridos en la estrategia anterior,
t=x0xdx(2E/mx0)(x0-x)=1(2E/mx0)|−2(x0-x)|x0x=-2(x0-x)(2E/mx0).t=x0xdx(2E/mx0)(x0-x)=1(2E/mx0)|−2(x0-x)|x0x=-2(x0-x)(2E/mx0).

Resolviendo para la posición, obtenemos x(t)=x0-12(E/mx0)t2x(t)=x0-12(E/mx0)t2.

Importancia

La posición en función del tiempo, para este potencial, representa un movimiento unidimensional con aceleración constante, a=(E/mx0),a=(E/mx0), partiendo de la posición de reposo x0.x0. Esto no es tan sorprendente, ya que se trata de una energía potencial para una fuerza constante, F=-dU/dx=E/x0,F=-dU/dx=E/x0, y a=F/m.a=F/m.

Compruebe Lo Aprendido 8.9

¿Qué energía potencial U(x)U(x) puede sustituir en la Ecuación 8.13 que resultará en un movimiento con velocidad constante de 2 m/s para una partícula de 1 kg de masa y 1 J de energía mecánica?

Veremos otro ejemplo más apropiado físicamente del uso de la Ecuación 8.13 después de que hayamos explorado algunas implicaciones adicionales que se pueden extraer de la forma funcional de la energía potencial de una partícula.

Sistemas con varias partículas u objetos

Los sistemas suelen estar formados por más de una partícula u objeto. Sin embargo, la conservación de la energía mecánica, en una de sus formas en la Ecuación 8.12 o la Ecuación 8.13, es una ley fundamental de la física y se aplica a cualquier sistema. Todo lo que hay que hacer es incluir las energías cinética y potencial de todas las partículas, y el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas que actúan sobre ellas. Hasta que aprenda más sobre la dinámica de los sistemas compuestos por muchas partículas, en Momento lineal y colisiones, Rotación de eje fijo y Momento angular, es mejor posponer el debate de la aplicación de la conservación de energía para entonces.

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