8.3 Conservación de la energía

Sistemas con una sola partícula u objeto

Primero consideramos un sistema con una sola partícula u objeto. De vuelta a nuestro desarrollo de la Ecuación 8.2, recordemos que primero separamos todas las fuerzas que actúan sobre una partícula en tipos conservativas y no conservativas, y escribimos el trabajo realizado por cada tipo de fuerza como un término separado en el teorema de trabajo-energía. Entonces sustituimos el trabajo realizado por las fuerzas conservativas por el cambio en la energía potencial de la partícula y lo combinamos con el cambio en la energía cinética de la partícula para obtener la Ecuación 8.2. Ahora, escribimos esta ecuación sin el paso intermedio y definimos la suma de las energías cinética y potencial, $K+U=E;$ a ser la energía mecánica de la partícula.

Esta afirmación expresa el concepto de conservación de energía para una partícula clásica mientras no haya trabajo no conservativo. Recordemos que una partícula clásica es solo una masa puntual, no es relativista y obedece a las leyes del movimiento de Newton. En Relatividad, veremos que la conservación de la energía sigue aplicándose a una partícula no clásica. Sin embargo, para ello tenemos que hacer un ligero ajuste en la definición de energía.

A veces es conveniente separar el caso en el que el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es cero, ya sea porque se supone que no hay tales fuerzas presentes, o, como la fuerza normal, realizan un trabajo cero cuando el movimiento es paralelo a la superficie. Entonces

En este caso, la conservación de la energía mecánica puede expresarse como sigue: La energía mecánica de una partícula no cambia si todas las fuerzas no conservativas que pueden actuar sobre ella no realizan ningún trabajo. Lo importante es comprender el concepto de conservación de energía, no la ecuación concreta que se utilice para expresarla.

Ejemplo 8.7

Péndulo simple

Una partícula de masa m cuelga desde el techo con una cuerda sin masa de 1,0 m de longitud, como se muestra en la Figura 8.7. La partícula se libera del reposo, cuando el ángulo entre la cuerda y la dirección vertical descendente es de $30\text{°.}$ ¿Cuál es su rapidez cuando alcanza el punto más bajo de su arco?

Figura 8.7 Una partícula colgada de una cuerda constituye un péndulo simple. Se muestra cuando se libera del reposo, junto con algunas distancias que se utilizan en el análisis del movimiento.

Estrategia

Al utilizar nuestra estrategia de resolución de problemas, el primer paso es definir que estamos interesados en el sistema partícula-Tierra. En segundo lugar, sobre la partícula solo actúa la fuerza gravitacional, que es conservativa (paso 3). Ignoramos la resistencia del aire en el problema, y la tensión de la cuerda, que es perpendicular al arco del movimiento, no realiza ningún trabajo. Por lo tanto, la energía mecánica del sistema se conserva, como se representa en la Ecuación 8.13, $0=\text{Δ}\left(K+U\right)$. Como la partícula parte del reposo, el aumento de la energía cinética es solo la energía cinética en el punto más bajo. Este aumento de la energía cinética es igual a la disminución de la energía potencial gravitacional, que podemos calcular a partir de la geometría. En el paso 4, elegimos como punto de referencia para la energía potencial gravitacional cero el punto vertical más bajo que alcanza la partícula, que es la mitad de la oscilación. Por último, en el paso 5, establecemos la suma de energías en el punto más alto (inicial) de la oscilación hasta el punto más bajo (final) de la oscilación para resolver finalmente la rapidez final.

Solución

Estamos ignorando las fuerzas no conservativas, por lo que escribimos la fórmula de conservación de energía que relaciona la partícula en el punto más alto (inicial) y el punto más bajo de la oscilación (final) como

$$K_{\text{i}}+U_{\text{i}}=K_{\text{f}}+U_{\text{f}}.$$

Dado que la partícula se libera del reposo, la energía cinética inicial es cero. En el punto más bajo, definimos que la energía potencial gravitacional es cero. Por lo tanto, nuestra fórmula de conservación de la energía se reduce a

$$\begin{array}{ccc}\hfill 0+mgh& =\hfill & \frac{1}{2}m{v}^2+0\hfill \\ \hfill v& =\hfill & \sqrt{2gh}.\hfill \end{array}$$

La altura vertical de la partícula no se da directamente en el problema. Esto puede resolverse con la trigonometría y dos datos: la longitud del péndulo y el ángulo por el que la partícula se hala verticalmente. Observando el diagrama, la línea vertical discontinua es la longitud de la cuerda del péndulo. La altura vertical se denomina h. La otra longitud parcial de la cuerda vertical se puede calcular con trigonometría. Esa parte se resuelve por

$$\text{cos}\theta =x\text{/}L,x=L\text{cos}\theta .$$

Por lo tanto, si observamos las dos partes de la cuerda, podemos resolver la altura h,

$$\begin{array}{ccc}\hfill x+h& =\hfill & L\hfill \\ \hfill L\text{cos}\theta +h& =\hfill & L\hfill \\ \hfill h& =\hfill & L-L\text{cos}\theta =L(1-\text{cos}\theta ).\hfill \end{array}$$

Sustituimos esta altura en la expresión anterior resuelta para la rapidez con el fin de calcular nuestro resultado:

$$v=\sqrt{2gL\left(1-\text{cos}\theta \right)}=\sqrt{2\left(\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2\right)\left(1\text{m}\right)\left(1-\text{cos}30\text{°}\right)}=\mathrm{1,62}\text{m/s}.$$

Importancia

Hallamos la rapidez directamente a partir de la conservación de la energía mecánica, sin tener que resolver la ecuación diferencial para el movimiento de un péndulo (vea Oscilaciones). Podemos abordar este problema en términos de gráficos de barras de energía total. Inicialmente, la partícula tiene toda la energía potencial, al estar en el punto más alto, y ninguna energía cinética. Cuando la partícula cruza el punto más bajo de la parte inferior de la oscilación, la energía pasa de la columna de energía potencial a la columna de energía cinética. Por lo tanto, podemos imaginar una progresión de esta transferencia a medida que la partícula se mueve entre su punto más alto, el punto más bajo de la oscilación, y de vuelta al punto más alto (Figura 8.8). A medida que la partícula se desplaza desde el punto más bajo de la oscilación hasta el punto más alto en el extremo derecho del diagrama, las barras de energía van en orden inverso de (c) a (b) a (a).

Figura 8.8 Gráficos de barras que representan la energía total (E), la energía potencial (U) y la energía cinética (K) de la partícula en diferentes posiciones. (a) La energía total del sistema es igual a la energía potencial y la energía cinética es cero, que se encuentra en el punto más alto que alcanza la partícula. (b) La partícula se encuentra a medio camino entre el punto más alto y el más bajo, por lo que los gráficos de barras de energía cinética más energía potencial son iguales a la energía total. (c) La partícula se encuentra en el punto más bajo de la oscilación, por lo que el gráfico de barras de energía cinética es el más alto e igual a la energía total del sistema.

Ejemplo 8.8

Resistencia del aire en un objeto que cae

Un helicóptero sobrevuela a una altitud de $1\text{km}$ cuando un panel de su parte inferior se desprende y cae al suelo (Figura 8.9). La masa del panel es $15\text{kg},$ y golpea el suelo a una rapidez de $45\text{m}\text{/}\text{s}$. ¿Cuánta energía mecánica se disipó por la resistencia del aire durante el descenso del panel?

Figura 8.9 Un helicóptero pierde un panel que cae hasta alcanzar una velocidad límite de 45 m/s. ¿En qué medida contribuyó la resistencia del aire a la disipación de energía en este problema?

Estrategia

Paso 1: Aquí solo se investiga un cuerpo.

Paso 2: Sobre el panel actúa la fuerza gravitacional y la resistencia del aire, que se indica en el problema.

Paso 3: La fuerza gravitacional es conservativa; sin embargo, la fuerza no conservativa de la resistencia del aire realiza un trabajo negativo sobre el panel que cae, por lo que podemos utilizar la conservación de la energía mecánica, en la forma expresada por la Ecuación 8.12, para hallar la energía disipada. Esta energía es la magnitud del trabajo:

$$\text{Δ}{E}_{\text{disipada}}=\left|W_{\text{nc, if}}\right|=\left|\text{Δ}{\left(K+U\right)}_{\text{if}}\right|.$$

Paso 4: La energía cinética inicial, en $y_{\text{i}}=1\text{km},$ es cero. Por comodidad, fijamos la energía potencial gravitacional en cero a nivel del suelo.

Paso 5: El trabajo no conservativo se establece igual a las energías para resolver el trabajo disipado por la resistencia del aire.

Solución

La energía mecánica disipada por la resistencia del aire es la suma algebraica de la ganancia de energía cinética y la pérdida de energía potencial. Por lo tanto, el cálculo de esta energía es

$$\begin{array}{cc}\hfill \text{Δ}{E}_{\text{disipada}}& =\left|K_{\text{f}}-K_{\text{i}}+U_{\text{f}}-U_{\text{i}}\right|\hfill \\ & =\left|\frac{1}{2}\left(15\text{kg}\right){\left(45\text{m/s}\right)}^2-0+0-\left(15\text{kg}\right)\left(\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2\right)\left(1.000\text{m}\right)\right|=130\text{kJ}.\hfill \end{array}$$

Importancia

La mayor parte de la energía mecánica inicial del panel $\left(U_{\text{i}}\right)$, 147 kJ, se perdió por la resistencia del aire. Observe que hemos podido calcular la energía disipada sin saber cuál era la fuerza de resistencia del aire, únicamente que era disipativa.

En estos ejemplos, hemos podido utilizar la conservación de la energía para calcular la rapidez de una partícula justo en determinados puntos de su movimiento. Sin embargo, el método de análisis del movimiento de las partículas, partiendo de la conservación de energía, es más poderoso que eso. Los tratamientos más avanzados de la teoría de la mecánica permiten calcular la dependencia a tiempo completo del movimiento de una partícula, para una energía potencial dada. De hecho, a menudo se da el caso de que un mejor modelo para el movimiento de la partícula lo proporciona la forma de sus energías cinética y potencial, en lugar de una ecuación para la fuerza que actúa sobre esta. (Esto es especialmente cierto para la descripción mecánica cuántica de partículas como los electrones o los átomos).

Podemos ilustrar algunas de las características más simples de este enfoque basado en la energía, al considerar una partícula en movimiento unidimensional, con energía potencial U(x) y sin interacciones no conservativas presentes. La Ecuación 8.12 y la definición de velocidad requieren

Separe las variables x y t e integre, a partir de un tiempo inicial $t=0$ a un tiempo arbitrario, para obtener

Si puedes hacer la integral en la Ecuación 8.14, entonces puedes resolver x en función de t.

Veremos otro ejemplo más apropiado físicamente del uso de la Ecuación 8.13 después de que hayamos explorado algunas implicaciones adicionales que se pueden extraer de la forma funcional de la energía potencial de una partícula.

Sistemas con varias partículas u objetos

Los sistemas suelen estar formados por más de una partícula u objeto. Sin embargo, la conservación de la energía mecánica, en una de sus formas en la Ecuación 8.12 o la Ecuación 8.13, es una ley fundamental de la física y se aplica a cualquier sistema. Todo lo que hay que hacer es incluir las energías cinética y potencial de todas las partículas, y el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas que actúan sobre ellas. Hasta que aprenda más sobre la dinámica de los sistemas compuestos por muchas partículas, en Momento lineal y colisiones, Rotación de eje fijo y Momento angular, es mejor posponer el debate de la aplicación de la conservación de energía para entonces.