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Física Universitaria Volumen 1

8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas

Física Universitaria Volumen 18.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Caracterizar una fuerza conservativa de diferentes maneras.
  • Especificar las condiciones matemáticas que debe cumplir una fuerza conservativa y sus componentes.
  • Relacionar la fuerza conservativa entre las partículas de un sistema con su energía potencial.
  • Calcular los componentes de una fuerza conservativa en distintos casos.

En Energía potencial y conservación de la energía, cualquier transición entre energía cinética y potencial conserva la energía total del sistema. Esto era independiente de la trayectoria, lo que significa que podemos empezar y parar en dos puntos cualesquiera del problema, y que la energía total del sistema, cinética más potencial, en estos puntos es igual. Esto es característico de la fuerza conservativa. En la sección anterior hemos tratado las fuerzas conservativas, como la fuerza gravitacional y la fuerza del resorte. Al comparar el movimiento del balón de fútbol en la Figura 8.2, la energía total del sistema nunca cambia, aunque la energía potencial gravitacional del balón aumenta, ya que el balón se eleva con respecto al suelo y vuelve a caer a la energía potencial gravitacional inicial cuando el jugador de fútbol atrapa el balón. Las fuerzas no conservativas son fuerzas disipativas como la fricción o la resistencia del aire. Estas fuerzas restan energía al sistema a medida que este avanza, energía que no se puede recuperar. Estas fuerzas dependen de la trayectoria; por lo tanto, importa dónde empieza y se detiene el objeto.

Fuerza conservativa

El trabajo que realiza una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria; en otras palabras, el trabajo que realiza una fuerza conservativa es el mismo para cualquier trayectoria que conecte dos puntos:

WAB,trayectoria-1=AB,trayectoria-1Fcons·dr=WAB,trayectoria-2=AB,trayectoria-2Fcons·dr.WAB,trayectoria-1=AB,trayectoria-1Fcons·dr=WAB,trayectoria-2=AB,trayectoria-2Fcons·dr.
8.8

El trabajo que realiza una fuerza no conservativa depende de la trayectoria recorrida.

De forma equivalente, una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero:

Wtrayectoria cerrada=Fcons·dr=0.Wtrayectoria cerrada=Fcons·dr=0.
8.9

[En la Ecuación 8.9, utilizamos la notación de un círculo en medio del signo de la integral para una integral de línea sobre una trayectoria cerrada, una notación que se encuentra en la mayoría de los textos de física e ingeniería]. La Ecuación 8.8 y la Ecuación 8.9 son equivalentes porque cualquier trayectoria cerrada es la suma de dos trayectorias: la primera va de A a B, y la segunda va de B a A. El trabajo realizado que va por una trayectoria de B a A es el negativo del trabajo realizado que va por la misma trayectoria de A a B, donde A y B son dos puntos cualesquiera en la trayectoria cerrada:

0=Fcons·dr=AB,trayectoria-1Fcons·dr+BA,trayectoria-2Fcons·dr=AB,trayectoria-1Fcons·dr-AB,trayectoria-2Fcons·dr=0.0=Fcons·dr=AB,trayectoria-1Fcons·dr+BA,trayectoria-2Fcons·dr=AB,trayectoria-1Fcons·dr-AB,trayectoria-2Fcons·dr=0.

Podría preguntar cómo hacemos para demostrar si una fuerza es o no conservativa, ya que las definiciones implican todas y cada una de las trayectorias de A a B, o todas y cada una de las trayectorias cerradas. Sin embargo, para hacer la integral del trabajo, tiene que elegir una trayectoria en particular. Una respuesta es que el trabajo realizado es independiente de la trayectoria si el trabajo infinitesimal F·drF·dr es una diferencial exacta, como el trabajo neto infinitesimal era igual a la diferencial exacta de la energía cinética, dWneto=mv·dv=d12mv2,dWneto=mv·dv=d12mv2,

cuando derivamos el teorema de trabajo-energía en Teorema de trabajo-energía. Hay condiciones matemáticas que se pueden utilizar para comprobar si el trabajo infinitesimal que realiza una fuerza es una diferencial exacta, y la fuerza es conservativa. Estas condiciones solo implican una diferenciación y, por lo tanto, su aplicación es relativamente sencilla. En dos dimensiones, la condición para F·dr=Fxdx+FydyF·dr=Fxdx+Fydy para ser una diferencial exacta es

dFxdy=dFydx.dFxdy=dFydx.
8.10

Recordará que el trabajo que realiza la fuerza en el Ejemplo 7.4 dependía de la trayectoria. Para esa fuerza,

Fx=(5N/m)yyFy=(10N/m)x.Fx=(5N/m)yyFy=(10N/m)x.

Por lo tanto,

(dFx/dy)=5N/m(dFy/dx)=10N/m,(dFx/dy)=5N/m(dFy/dx)=10N/m,

lo que indica que es una fuerza no conservativa. ¿Puede ver lo que podría cambiar para convertirla en una fuerza conservativa?

Fotografía de una rueda de esmeril en uso.
Figura 8.6 La rueda de esmeril aplica una fuerza no conservativa, ya que el trabajo realizado depende del número de rotaciones que haga la rueda, por lo que depende de la trayectoria (créditos: modificación del trabajo de Grantez Stephens, Marina de los EE. UU.).

Ejemplo 8.5

¿Conservativa o no?

¿Cuáles de las siguientes fuerzas bidimensionales son conservativas y cuáles no? Supongamos que a y b son constantes con las unidades adecuadas:

(a) axy3i^+ayx3j^,axy3i^+ayx3j^, (b) a[(y2/x)i^+2yln(x/b)j^],a[(y2/x)i^+2yln(x/b)j^], (c) axi^+ayj^x2+y2axi^+ayj^x2+y2

Estrategia

Aplicar la condición indicada en la Ecuación 8.10, es decir, utilizar las derivadas de los componentes de cada fuerza indicada. Si la derivada del componente y de la fuerza con respecto a x es igual a la derivada del componente x de la fuerza con respecto a y, la fuerza es una fuerza conservativa, lo que significa que la trayectoria tomada para el cálculo de la energía potencial o del trabajo siempre arroja los mismos resultados.

Solución

  1. dFxdy=d(axy3)dy=3axy2dFxdy=d(axy3)dy=3axy2 y dFydx=d(ayx3)dx=3ayx2dFydx=d(ayx3)dx=3ayx2, por lo que esta fuerza no es conservativa.
  2. dFxdy=d(ay2/x)dy=2ayxdFxdy=d(ay2/x)dy=2ayx y dFydx=d(2ayln(x/b))dx=2ayx,dFydx=d(2ayln(x/b))dx=2ayx, por lo que esta fuerza es conservativa.
  3. dFxdy=d(ax/(x2+y2))dy=-ax(2y)(x2+y2)2=dFydx=d(ay/(x2+y2))dx,dFxdy=d(ax/(x2+y2))dy=-ax(2y)(x2+y2)2=dFydx=d(ay/(x2+y2))dx, de nuevo conservativa.

Importancia

Las condiciones en la Ecuación 8.10 son derivadas como funciones de una sola variable; en tres dimensiones, existen condiciones similares que implican más derivadas.

Compruebe Lo Aprendido 8.5

Una fuerza bidimensional y conservativa es cero en los ejes de la x y la y, y satisface la condición (dFx/dy)=(dFy/dx)=(4N/m3)xy(dFx/dy)=(dFy/dx)=(4N/m3)xy. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza en el punto x=y=1m?x=y=1m?

Antes de dejar esta sección, observamos que las fuerzas no conservativas no tienen energía potencial asociada porque la energía se pierde en el sistema y no puede convertirse en trabajo útil más adelante. Así que siempre hay una fuerza conservativa asociada a cada energía potencial. Hemos visto que la energía potencial se define en relación con el trabajo que realizan las fuerzas conservativas. Esa relación, la Ecuación 8.1, implicaba una integral para el trabajo; partiendo de la fuerza y el desplazamiento, se integraba para obtener el trabajo y el cambio de energía potencial. Sin embargo, la integración es la operación inversa de la diferenciación; podría haber empezado con la energía potencial y tomar su derivada, con respecto al desplazamiento, para obtener la fuerza. El incremento infinitesimal de energía potencial es el producto punto de la fuerza y el desplazamiento infinitesimal,

dU=-F·dl=-Fldl.dU=-F·dl=-Fldl.

En este caso, hemos optado por representar el desplazamiento en una dirección arbitraria mediante dl,dl, para no limitarnos a una dirección de coordenadas concreta. También expresamos el producto punto en términos de la magnitud del desplazamiento infinitesimal y el componente de la fuerza en su dirección. Ambas cantidades son escalares, por lo que se puede dividir por dl para obtener

Fl=-dUdl.Fl=-dUdl.
8.11

Esta ecuación da la relación entre la fuerza y la energía potencial asociada. En palabras, el componente de una fuerza conservativa, en una dirección particular, es igual al negativo de la derivada de la energía potencial correspondiente, con respecto a un desplazamiento en esa dirección. Para un movimiento unidimensional, digamos a lo largo del eje de la x, la Ecuación 8.11 da la fuerza vectorial completa, F=Fxi^=-Uxi^.F=Fxi^=-Uxi^.

En dos dimensiones,

F=Fxi^+Fyj^=-(Ux)i^-(Uy)j^.F=Fxi^+Fyj^=-(Ux)i^-(Uy)j^.

A partir de esta ecuación, se puede ver por qué la Ecuación 8.11 es la condición para que el trabajo sea una diferencial exacta, en términos de las derivadas de los componentes de la fuerza. En general, se utiliza una notación de derivada parcial. Si una función tiene muchas variables, la derivada se toma solo de la variable que especifica la derivada parcial. Las demás variables se mantienen constantes. En tres dimensiones, se añade otro término para el componente z, y el resultado es que la fuerza es el negativo del gradiente de la energía potencial. Sin embargo, todavía no vamos a ver ejemplos tridimensionales.

Ejemplo 8.6

Fuerza debida a una energía potencial cuártica

La energía potencial de una partícula que experimenta un movimiento unidimensional a lo largo del eje de la x es
U(x)=14cx4,U(x)=14cx4,

donde c=8N/m3.c=8N/m3. Su energía total en x=0es2J,x=0es2J, y no está sujeta a ninguna fuerza no conservativa. Halle (a) las posiciones en las que su energía cinética es cero y (b) las fuerzas en esas posiciones.

Estrategia

(a) Podemos hallar las posiciones en las que K=0,K=0, por lo que la energía potencial es igual a la energía total del sistema dado. (b) Utilizando la Ecuación 8.11, podemos encontrar la fuerza evaluada en las posiciones halladas de la parte anterior, ya que la energía mecánica se conserva.

Solución

  1. La energía total del sistema de 2 J es igual a la energía elástica cuártica dada en el problema,
    2J=14(8N/m3)xf4.2J=14(8N/m3)xf4.
    Resolviendo para xfxf da como resultado xf=±1m.xf=±1m.
  2. A partir de la Ecuación 8.11,
    Fx=-dU/dx=-cx3.Fx=-dU/dx=-cx3.
    Por lo tanto, al evaluar la fuerza en ±1m±1m, obtenemos
    F=-(8N/m3)(±1m)3i^=±8Ni^.F=-(8N/m3)(±1m)3i^=±8Ni^.
    En ambas posiciones, la magnitud de las fuerzas es de 8 N y las direcciones son hacia el origen, ya que esta es la energía potencial para una fuerza restauradora.

Importancia

Hallar la fuerza a partir de la energía potencial es matemáticamente más fácil que hallar la energía potencial a partir de la fuerza, porque diferenciar una función es más fácil que integrar una.

Compruebe Lo Aprendido 8.6

Halle las fuerzas sobre la partícula en el Ejemplo 8.6 cuando su energía cinética es de 1,0 J en x=0.x=0.

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