7.3 Teorema de trabajo-energía

Hemos hablado de cómo calcular el trabajo que realizan en una partícula las fuerzas que actúan sobre esta, pero ¿cómo se manifiesta ese trabajo en el movimiento de la partícula? Según la segunda ley del movimiento de Newton, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula, o la fuerza neta, determina la tasa de cambio del momento de la partícula, o su movimiento. Por lo tanto, debemos considerar el trabajo que realizan todas las fuerzas que actúan sobre una partícula, o el trabajo neto, para ver qué efecto tiene sobre el movimiento de la partícula.

Empecemos por ver el trabajo neto realizado sobre una partícula en desplazamiento infinitesimal, que es el producto punto de la fuerza neta y el desplazamiento: $d{W}_{\text{neta}}={\overrightarrow{F}}_{\text{neta}}·d\overrightarrow{r}.$ La segunda ley de Newton establece que ${\overrightarrow{F}}_{\text{neta}}=m(d\overrightarrow{v}\text{/}dt),$ así que $d{W}_{\text{neta}}=m(d\overrightarrow{v}\text{/}dt)·d\overrightarrow{r}.$ Para las funciones matemáticas que describen el movimiento de una partícula física, podemos reordenar las diferenciales dt, etc., como cantidades algebraicas en esta expresión, es decir,

donde sustituimos la velocidad por la derivada de tiempo del desplazamiento y utilizamos la propiedad conmutativa del producto punto [Ecuación 2.30]. Ya que las derivadas e integrales de escalares probablemente le resulten más familiares en este punto, expresamos el producto punto en términos de coordenadas cartesianas antes de integrar entre dos puntos cualesquiera A y B en la trayectoria de la partícula. Esto nos da el trabajo neto realizado sobre la partícula:

En el paso intermedio, utilizamos el hecho de que el cuadrado de la velocidad es la suma de los cuadrados de sus componentes cartesianos, y en el último paso, utilizamos la definición de la energía cinética de la partícula. Este importante resultado se denomina teorema de trabajo-energía (Figura 7.11).

Figura 7.11 La tracción de caballos es un evento común en las ferias estatales. El trabajo realizado por los caballos que halan de la carga da lugar a un cambio en la energía cinética de la carga, que, en última instancia, va más rápido (créditos: modificación del trabajo por "Jassen"/ Flickr).

Según este teorema, cuando un objeto desacelera, su energía cinética final es menor que su energía cinética inicial, el cambio en su energía cinética es negativo, y también lo es el trabajo neto realizado sobre este. Si un objeto se acelera, el trabajo neto realizado sobre este es positivo. Al calcular el trabajo neto, hay que incluir todas las fuerzas que actúan sobre un objeto. Si se omiten las fuerzas que actúan sobre un objeto, o si se incluyen las fuerzas que no actúan sobre este, se obtendrá un resultado erróneo.

La importancia del teorema de trabajo-energía, y de las posteriores generalizaciones a las que conduce, es que hace que algunos tipos de cálculos sean mucho más sencillos de realizar que si se tratara de resolver la segunda ley de Newton. Por ejemplo, en las Leyes de movimiento de Newton, calculamos la rapidez de un objeto que se desliza por un plano sin fricción al resolver la segunda ley de Newton para la aceleración y utilizar las ecuaciones cinemáticas para una aceleración constante, con lo que se obtiene

donde s es el desplazamiento hacia abajo del plano.

También podemos obtener este resultado a partir del teorema de trabajo-energía en la Ecuación 7.1. Como únicamente actúan dos fuerzas sobre el objeto, la gravedad y la fuerza normal, y la fuerza normal no realiza ningún trabajo, el trabajo neto es solo el realizado por la gravedad. El trabajo dW es el producto punto de la fuerza de gravedad o $\overrightarrow{F}=-\text{mg}\hat{\text{j}}$ y el desplazamiento $\overrightarrow{dr}=dx\widehat{i}+dy\widehat{j}$. Tras tomar el producto punto e integrar desde una posición inicial $y_i$ a una posición final $y_f$, se calcula el trabajo neto como

donde la y es positiva hacia arriba. El teorema de trabajo-energía señala que esto es igual al cambio de energía cinética:

Si utilizamos un triángulo rectángulo, podemos ver que $(y_{\text{f}}-y_{\text{i}})=(s_{\text{f}}-s_{\text{i}})\text{sen}\theta ,$ para que el resultado de la rapidez final sea el mismo.

¿Qué se gana con el teorema de trabajo-energía? La respuesta es que para una superficie plana sin fricción, no mucho. Sin embargo, la segunda ley de Newton es fácil de resolver solo para este caso en particular, mientras que el teorema de trabajo-energía da la rapidez final para cualquier superficie sin fricción. En el caso de una superficie curva arbitraria, la fuerza normal es inconstante, y la segunda ley de Newton puede ser difícil o imposible de resolver analíticamente. Constante o no, para el movimiento a lo largo de una superficie, la fuerza normal nunca hace ningún trabajo, porque es perpendicular al desplazamiento. El cálculo mediante el teorema de trabajo-energía evita esta dificultad y se aplica a situaciones más generales.

Ejemplo 7.9

Completar el círculo

La pista sin fricción para un auto de juguete consta de un giro circular de radio R. ¿A qué altura, medida desde la parte inferior del círculo, debe colocarse el auto para partir del reposo en la sección de pista que se aproxima y dar toda la vuelta al círculo?

Figura 7.12 Una pista sin fricción para un auto de juguete tiene un giro circular completo. ¿A qué altura debe arrancar el auto para que pueda dar la vuelta al círculo sin caerse?

Estrategia

El diagrama de cuerpo libre en la posición final del objeto se dibuja en la Figura 7.12. El trabajo gravitacional es el único trabajo realizado sobre el desplazamiento que no es cero. Dado que el peso apunta en la misma dirección que el desplazamiento vertical neto, el trabajo total realizado por la fuerza gravitacional es positivo. A partir del teorema de trabajo-energía, la altura inicial determina la rapidez del auto en la parte superior del círculo,

$$–mg(y_2-y_1)=\frac{1}{2}m{v}_2{}^2,$$

donde la notación se muestra en la figura adjunta. En la parte superior del círculo, la fuerza normal y la gravedad están abajo y la aceleración es centrípeta, por lo que

$$a_{\text{superior}}=\frac{F}{m}=\frac{N+mg}{m}=\frac{v_2^2}{R}.$$

La condición para mantener el contacto con la pista es que haya alguna fuerza normal, por mínima que sea; es decir, $N>0$. Sustituyendo por $v_2^2$ y N, podemos encontrar la condición para $y_1$.

Solución

Aplique los pasos de la estrategia para llegar al resultado deseado:

$$N=\text{-}mgR+\frac{m{v}_2^2}{R}=\frac{\text{-}mg+2mg(y_1-2R)}{R}>0\text{o}{y}_1>\frac{5R}{2}.$$

Importancia

En la superficie del círculo, el componente normal de la gravedad y la fuerza normal de contacto deberán proporcionar la aceleración centrípeta del auto que da la vuelta al círculo. El componente tangencial de la gravedad frena o acelera el auto. Un niño averiguaría a qué altura arrancar el auto por ensayo y error, pero ahora que conoce el de teorema de trabajo-energía, puede predecir la altura mínima (así como otros resultados más útiles) a partir de principios físicos. Al utilizar el teorema de trabajo-energía, no ha tenido que resolver ninguna ecuación diferencial para determinar la altura.

En situaciones en las que se conoce el movimiento de un objeto, pero se desconocen los valores de una o más de las fuerzas que actúan sobre este, se puede utilizar el teorema de trabajo-energía para obtener alguna información sobre las fuerzas. El trabajo depende de la fuerza y de la distancia sobre la que actúa, por lo que la información se proporciona a través de su producto.

Ejemplo 7.10

Determinación de la fuerza de detención

Una bala tiene una masa de 40 granos (2,60 g) y una velocidad de salida de 1.100 pies/s (335 m/s). Puede penetrar ocho tablas de pino de 1 pulgada, cada una con un grosor de 0,75 pulgadas. ¿Cuál es la fuerza media de detención ejercida por la madera, como se muestra en la Figura 7.13?

Figura 7.13 Las tablas ejercen una fuerza para detener la bala. Como resultado, las tablas hacen trabajo y la bala pierde energía cinética.

Estrategia

Podemos suponer que, en las condiciones generales expuestas, la bala pierde toda su energía cinética al penetrar en las tablas, por lo que el teorema de trabajo-energía señala que su energía cinética inicial es igual a la fuerza media de detención por la distancia penetrada. El cambio en la energía cinética de la bala y el trabajo neto realizado para detenerla son ambos negativos, así que cuando escribe el teorema de trabajo-energía, con el trabajo neto igual a la fuerza media por la distancia de detención, eso es lo que obtiene. El espesor total de ocho tablas de pino de 1 pulgada que la bala penetra es $8\times \frac{3}{4}\text{in}\text{.}=6\text{in}\text{.}=\mathrm{15,2}\text{cm}\text{.}$

Solución

Si aplicamos el teorema de trabajo-energía, obtenemos

$$W_{\text{neta}}=\text{-}{F}_{\text{ave}}\text{Δ}{s}_{\text{detención}}=\text{-}{K}_{\text{inicial}},$$

entonces

$$F_{\text{ave}}=\frac{\frac{1}{2}m{v}^2}{\text{Δ}{s}_{\text{detención}}}=\frac{\frac{1}{2}(\mathrm{2,6}\times {10}^{\mathrm{-3}}\text{kg}){(335\text{m/s})}^2}{\mathrm{0,152}\text{m}}=960\text{N}\text{.}$$

Importancia

Podríamos haber utilizado la segunda ley de Newton y la cinemática en este ejemplo, pero el teorema de trabajo-energía también proporciona una respuesta a situaciones menos sencillas. La penetración de una bala, disparada verticalmente hacia arriba en un bloque de madera, se analiza en una sección del reciente artículo de Asif Shakur ["Bullet-Block Science Video Puzzle" (Video rompecabezas de ciencia con bloque y bala) The Physics Teacher (El Profesor de Física) (enero de 2015) 53(1): 15-16]. Si la bala se dispara centrada en el bloque, pierde toda su energía cinética y penetra ligeramente más lejos que si se dispara descentrada. La razón es que si la bala impacta descentrada, tiene un poco de energía cinética después de dejar de penetrar, porque el bloque gira. El teorema de trabajo-energía implica que un menor cambio en la energía cinética da lugar a una menor penetración. Entenderá mejor la física de este interesante artículo cuando termine de leer Momento angular.