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Física Universitaria Volumen 1

2.4 Productos de los vectores

Física Universitaria Volumen 12.4 Productos de los vectores
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar la diferencia entre el producto escalar y el producto vectorial de dos vectores.
  • Determinar el producto escalar de dos vectores.
  • Determinar el producto vectorial de dos vectores.
  • Describir cómo se utilizan los productos de vectores en física.

Un vector puede multiplicarse por otro vector pero no puede dividirse entre otro vector. Hay dos tipos de productos de vectores que se utilizan ampliamente en la física y la ingeniería. Un tipo de multiplicación es la multiplicación escalar de dos vectores. El producto escalar de dos vectores da como resultado un número (un escalar), como su nombre lo indica. Los productos escalares se utilizan para definir las relaciones de trabajo y energía. Por ejemplo, el trabajo que una fuerza (un vector) realiza sobre un objeto y provoca su desplazamiento (un vector) se define como un producto escalar del vector de fuerza por el vector de desplazamiento. Otro tipo de multiplicación muy diferente es la multiplicación vectorial de vectores. El producto vectorial de dos vectores da como resultado un vector, como su nombre lo indica. Los productos vectoriales se utilizan para definir otras cantidades vectoriales derivadas. Por ejemplo, al describir las rotaciones, una cantidad vectorial llamada torque se define como un producto vectorial de una fuerza aplicada (un vector) y su distancia desde el pivote a la fuerza (un vector). Es importante distinguir entre estos dos tipos de multiplicaciones vectoriales porque el producto escalar es una cantidad escalar y el producto vectorial es una cantidad vectorial.

El producto escalar de dos vectores (el producto punto)

La multiplicación escalar de dos vectores da como resultado un producto escalar.

Producto escalar (producto punto)

El producto escalar A·BA·B de dos vectores AA y BB es un número definido por la ecuación

A·B=ABcosφ,A·B=ABcosφ,
2.27

donde φφ es el ángulo entre los vectores (mostrado en la Figura 2.27). El producto escalar también se denomina producto punto por la notación de punto que lo indica.

En la definición del producto punto, la dirección del ángulo φφ no importa, y φφ se puede medir desde cualquiera de los dos vectores hacia el otro porque cosφ=cos(φ)=cos(2πφ)cosφ=cos(φ)=cos(2πφ). El producto punto es un número negativo cuando 90°<φ180°90°<φ180° y es un número positivo cuando 0°φ<90°0°φ<90°. Además, el producto punto de dos vectores paralelos es A·B=ABcos0°=ABA·B=ABcos0°=AB, y el producto punto de dos vectores antiparalelos es A·B=ABcos180°=ABA·B=ABcos180°=AB. El producto escalar de dos vectores ortogonales es igual a cero: A·B=ABcos90°=0A·B=ABcos90°=0. El producto escalar de un vector consigo mismo es el cuadrado de su magnitud:

A2A·A=AAcos0°=A2.A2A·A=AAcos0°=A2.
2.28
Figura a: los vectores A y B se muestran cola a cola. A es más largo que B. El ángulo entre ellos es phi. Figura b: El vector B se prolonga mediante una línea discontinua y se traza otra línea discontinua desde la cabeza de A hasta la prolongación de B, perpendicular a B. A sub perpendicular es igual a la magnitud de A por el coseno de phi y es la distancia desde el vértice donde se encuentran las colas de A y B hasta el lugar donde la perpendicular de A a B se encuentra con la prolongación de B. Figura c: Se traza una línea discontinua desde la cabeza de B hasta A, perpendicular a A. La distancia desde las colas de A y B hasta donde la línea discontinua se encuentra con B es B sub perpendicular y es igual a la magnitud B por el coseno de phi.
Figura 2.27 El producto escalar de dos vectores. (a) El ángulo entre los dos vectores. (b) La proyección ortogonal A A del vector A A en la dirección del vector B B . (c) La proyección ortogonal B B del vector B B en la dirección del vector A A .

Ejemplo 2.15

El producto escalar

Para los vectores mostrados en la Figura 2.13, halle el producto escalar A·FA·F.

Estrategia

A partir de la Figura 2.13, la magnitud de los vectores AA y FF son A = 10,0 y F = 20,0. El ángulo θθ, entre ellos, es la diferencia: θ=φα=110°35°=75°θ=φα=110°35°=75°. Sustituyendo estos valores en la Ecuación 2.27 obtenemos el producto escalar.

Solución

Un cálculo sencillo nos da
A·F=AFcosθ=(10,0)(20,0)cos75°=51,76.A·F=AFcosθ=(10,0)(20,0)cos75°=51,76.

Compruebe Lo Aprendido 2.11

Para los vectores dados en la Figura 2.13, halle el producto escalar A·BA·B y F·CF·C.

En el sistema de coordenadas cartesianas, los productos escalares del vector unitario de un eje con otros vectores unitarios de ejes siempre son iguales a cero porque estos vectores unitarios son ortogonales:

i^·j^=|i^||j^|cos90°=(1)(1)(0)=0,i^·k^=|i^||k^|cos90°=(1)(1)(0)=0,k^·j^=|k^||j^|cos90°=(1)(1)(0)=0.i^·j^=|i^||j^|cos90°=(1)(1)(0)=0,i^·k^=|i^||k^|cos90°=(1)(1)(0)=0,k^·j^=|k^||j^|cos90°=(1)(1)(0)=0.
2.29

En estas ecuaciones, utilizamos el hecho de que la magnitud de todos los vectores unitarios es uno: |i^|=|j^|=|k^|=1|i^|=|j^|=|k^|=1. Para los vectores unitarios de los ejes, la Ecuación 2.28 da las siguientes identidades:

i^·i^=i2=j^·j^=j2=k^·k^=k2=1.i^·i^=i2=j^·j^=j2=k^·k^=k2=1.
2.30

El producto escalar A·BA·B también puede interpretarse como el producto de B con la proyección AǁAǁ del vector AA en la dirección del vector BB (Figura 2.27(b)) o el producto de A con la proyección BǁBǁ del vector BB en la dirección del vector AA (Figura 2.27(c)):

A·B=ABcosφ=B(Acosφ)=BAǁ=A(Bcosφ)=ABǁ.A·B=ABcosφ=B(Acosφ)=BAǁ=A(Bcosφ)=ABǁ.

Por ejemplo, en el sistema de coordenadas rectangulares en un plano, el componente escalar x de un vector es su producto punto con el vector unitario i^i^, y el componente escalar y de un vector es su producto punto con el vector unitario j^j^:

{A·i^=|A||i^|cosθA=AcosθA=AxA·j^=|A||j^|cos(90°θA)=AsenθA=Ay.{A·i^=|A||i^|cosθA=AcosθA=AxA·j^=|A||j^|cos(90°θA)=AsenθA=Ay.

La multiplicación escalar de vectores es conmutativa,

A·B=B·A,A·B=B·A,
2.31

y obedece a la ley distributiva:

A·(B+C)=A·B+A·C.A·(B+C)=A·B+A·C.
2.32

Podemos utilizar las leyes conmutativa y distributiva para derivar varias relaciones para los vectores, como expresar el producto punto de dos vectores en términos de sus componentes escalares.

Compruebe Lo Aprendido 2.12

Para el vector A=Axi^+Ayj^+Azk^A=Axi^+Ayj^+Azk^ en un sistema de coordenadas rectangulares, utilice la Ecuación 2.29 hasta Ecuación 2.32 para demostrar que A·i^=AxA·i^=Ax A·j^=AyA·j^=Ay y A·k^=AzA·k^=Az.

Cuando los vectores en la Ecuación 2.27 se dan en sus formas de componentes vectoriales,

A=Axi^+Ayj^+Azk^yB=Bxi^+Byj^+Bzk^,A=Axi^+Ayj^+Azk^yB=Bxi^+Byj^+Bzk^,

podemos calcular su producto escalar de la siguiente manera:

A·B=(Axi^+Ayj^+Azk^)·(Bxi^+Byj^+Bzk^)=AxBxi^·i^+AxByi^·j^+AxBzi^·k^+AyBxj^·i^+AyByj^·j^+AyBzj^·k^+AzBxk^·i^+AzByk^·j^+AzBzk^·k^.A·B=(Axi^+Ayj^+Azk^)·(Bxi^+Byj^+Bzk^)=AxBxi^·i^+AxByi^·j^+AxBzi^·k^+AyBxj^·i^+AyByj^·j^+AyBzj^·k^+AzBxk^·i^+AzByk^·j^+AzBzk^·k^.

Como los productos escalares de dos vectores unitarios diferentes de los ejes dan cero, y los productos escalares de los vectores unitarios con ellos mismos dan uno (vea la Ecuación 2.29 y la Ecuación 2.30), solo hay tres términos que no son cero en esta expresión. Por lo tanto, el producto escalar se simplifica a

A·B=AxBx+AyBy+AzBz.A·B=AxBx+AyBy+AzBz.
2.33

Podemos utilizar la Ecuación 2.33 para el producto escalar en términos de componentes escalares de vectores para encontrar el ángulo entre dos vectores. Si dividimos la Ecuación 2.27 entre AB, obtenemos la ecuación para cosφcosφ, en la que sustituimos la Ecuación 2.33:

cosφ=A·BAB=AxBx+AyBy+AzBzAB.cosφ=A·BAB=AxBx+AyBy+AzBzAB.
2.34

El ángulo φφ entre los vectores AA y BB se obtiene tomando el coseno inverso de la expresión en la Ecuación 2.34.

Ejemplo 2.16

Ángulo entre dos fuerzas

Tres perros halan de un palo en diferentes direcciones, como se muestra en la Figura 2.28. El primer perro hala con fuerza F1=(10,0i^20,4j^+2,0k^)NF1=(10,0i^20,4j^+2,0k^)N, el segundo perro hala con fuerza F2=(−15,0i^6,2k^)NF2=(−15,0i^6,2k^)N, y el tercer perro hala con fuerza F3=(5,0i^+12,5j^)NF3=(5,0i^+12,5j^)N. ¿Cuál es el ángulo entre las fuerzas F1F1 y F2F2?
Tres perros halan de un palo.
Figura 2.28 Tres perros juegan con un palo.

Estrategia

Los componentes del vector de fuerza F1F1 son F1x=10,0NF1x=10,0N, F1y=−20,4NF1y=−20,4N y F1z=2,0NF1z=2,0N, mientras que los del vector de fuerza F2F2 son F2x=−15,0NF2x=−15,0N, F2y=0,0NF2y=0,0N y F2z=−6,2NF2z=−6,2N. Calculando el producto escalar de estos vectores y sus magnitudes, y sustituyendo en la Ecuación 2.34 se obtiene el ángulo de interés.

Solución

Las magnitudes de las fuerzas F1F1 y F2F2 son
F1=F1x2+F1y2+F1z2=10,02+20,42+2,02N=22,8NF1=F1x2+F1y2+F1z2=10,02+20,42+2,02N=22,8N

y

F2=F2x2+F2y2+F2z2=15,02+6,22N=16,2N.F2=F2x2+F2y2+F2z2=15,02+6,22N=16,2N.

Sustituyendo los componentes escalares en la Ecuación 2.33 produce el producto escalar

F1·F2=F1xF2x+F1yF2y+F1zF2z=(10,0N)(−15,0N)+(−20,4N)(0,0N)+(2,0N)(−6,2N)=−162,4N2.F1·F2=F1xF2x+F1yF2y+F1zF2z=(10,0N)(−15,0N)+(−20,4N)(0,0N)+(2,0N)(−6,2N)=−162,4N2.

Finalmente, sustituyendo todo en la Ecuación 2.34 se obtiene el ángulo

cosφ=F1·F2F1F2=−162,4N2(22,8N)(16,2N)=−0,439φ=cos−1(−0,439)=116,0°.cosφ=F1·F2F1F2=−162,4N2(22,8N)(16,2N)=−0,439φ=cos−1(−0,439)=116,0°.

Importancia

Observe que, cuando los vectores se dan en términos de los vectores unitarios de los ejes, podemos encontrar el ángulo entre ellos sin conocer los detalles de las direcciones geográficas que representan los vectores unitarios. En este caso, por ejemplo, la dirección de la x + puede ser hacia el este y la dirección de la +y puede ser hacia el norte. Sin embargo, el ángulo entre las fuerzas en el problema es el mismo si la dirección de la x + está al oeste y la dirección de la +y está al sur.

Compruebe Lo Aprendido 2.13

Halle el ángulo entre las fuerzas F1F1 y F3F3 en el Ejemplo 2.16.

Ejemplo 2.17

El trabajo de una fuerza

Cuando la fuerza FF hala de un objeto y cuando provoca su desplazamiento DD, decimos que la fuerza realiza un trabajo. La cantidad de trabajo que realiza la fuerza es el producto escalar F·DF·D. Si el palo en el Ejemplo 2.16 se mueve momentáneamente y se desplaza por el vector D=(−7,9j^4,2k^)cmD=(−7,9j^4,2k^)cm, ¿cuánto trabajo hace el tercer perro en el Ejemplo 2.16?

Estrategia

Calculamos el producto escalar del vector de desplazamiento DD con el vector de fuerza F3=(5,0i^+12,5j^)NF3=(5,0i^+12,5j^)N, que es el tirón del tercer perro. Utilicemos W3W3 para denotar el trabajo realizado por la fuerza F3F3 en el desplazamiento DD.

Solución

El cálculo del trabajo es la aplicación directa del producto punto:
W3=F3·D=F3xDx+F3yDy+F3zDz=(5,0N)(0,0cm)+(12,5N)(−7,9cm)+(0,0N)(-4,2cm)=-98,7N·cm.W3=F3·D=F3xDx+F3yDy+F3zDz=(5,0N)(0,0cm)+(12,5N)(−7,9cm)+(0,0N)(-4,2cm)=-98,7N·cm.

Importancia

La unidad de trabajo del SI se denomina julio (J)(J), donde 1 J = 1 N·mN·m. La unidad cm·Ncm·N puede escribirse como 10−2m·N=10−2J10−2m·N=10−2J, por lo que la respuesta puede expresarse como W3=-0,9875J−1,0JW3=-0,9875J−1,0J.

Compruebe Lo Aprendido 2.14

¿Cuánto trabajo realizan el primer perro y el segundo en el Ejemplo 2.16 sobre el desplazamiento en el Ejemplo 2.17?

El producto vectorial de dos vectores (el producto cruz)

La multiplicación de dos vectores da como resultado un producto vectorial.

Producto vectorial (producto cruz)

El producto vectorial de dos vectores AA y BB se denota por A×BA×B y suele denominarse producto cruz. El producto vectorial es un vector que tiene su dirección perpendicular a ambos vectores AA y BB. En otras palabras, el vector A×BA×B es perpendicular al plano que contiene los vectores AA y BB, como se muestra en la Figura 2.29. La magnitud del producto vectorial se define como

|A×B|=ABsenφ,|A×B|=ABsenφ,
2.35

donde el ángulo φφ, entre los dos vectores, se mide desde el vector AA (primer vector del producto) al vector BB (segundo vector del producto), como se indica en la Figura 2.29, y está entre 0°0° y 180°180°.

Según la Ecuación 2.35, el producto vectorial es igual a cero para pares de vectores que son paralelos (φ=0°)(φ=0°) o antiparalelos (φ=180°)(φ=180°) porque sen0°=sen180°=0sen0°=sen180°=0.

El vector A apunta hacia fuera y hacia la izquierda, y el vector B apunta hacia fuera y hacia la derecha. El ángulo entre ellos es phi. En la figura a se muestra el vector C que es el producto cruz de A por B. El vector C apunta hacia arriba y es perpendicular a A y B. En la figura b se muestra el vector menos C que es el producto cruz de B cruz A. El vector menos C apunta hacia abajo y es perpendicular a A y B.
Figura 2.29 El producto vectorial de dos vectores se dibuja en un espacio tridimensional. (a) El producto vectorial A × B A × B es un vector perpendicular al plano que contiene los vectores A A y B B . Los pequeños cuadrados dibujados en perspectiva marcan los ángulos rectos entre A A y C C , y entre B B y C C de modo que si A A y B B están acostados en el suelo, el vector C C apunta verticalmente hacia arriba. (b) El producto vectorial B × A B × A es un vector antiparalelo al vector A × B A × B .

En la línea perpendicular al plano que contiene los vectores AA y BB hay dos direcciones alternativas: hacia arriba o hacia abajo, como se muestra en la Figura 2.29, y la dirección del producto vectorial puede ser cualquiera de ellas. En la orientación estándar de la mano derecha, donde el ángulo entre los vectores se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde el primer vector, el vector A×BA×B apunta hacia arriba, como se ve en la Figura 2.29(a). Si invertimos el orden de la multiplicación, de modo que ahora BB es lo primero en el producto, entonces el vector B×AB×A debe apuntar hacia abajo, como se ve en la Figura 2.29(b). Esto significa que los vectores A×BA×B y B×AB×A son antiparalelos entre sí y que la multiplicación de vectores no es conmutativa, sino anticonmutativa. La anticonmutatividad significa que el producto vectorial invierte el signo cuando se invierte el orden de la multiplicación:

A×B=B×A.A×B=B×A.
2.36

La regla de la mano derecha es un mnemotécnico común que sirve para determinar la dirección del producto vectorial. Como se muestra en la Figura 2.30, un sacacorchos se coloca en una dirección perpendicular al plano que contiene los vectores AA y BB, y su mango se gira en la dirección del primer al segundo vector del producto. La dirección del producto cruz se da por la progresión del sacacorchos.

El vector A apunta hacia fuera y hacia la izquierda, y el vector B apunta hacia fuera y hacia la derecha. En la figura a se nos muestra el producto cruz de A por B que apunta hacia arriba, perpendicular tanto a A como a B. Un tornillo girando a un ángulo phi de A a B se movería hacia arriba. En la figura b se nos muestra el producto cruz de B por A que apunta hacia abajo, perpendicular tanto a A como a B. Un tornillo girando a un ángulo phi de B a A se movería hacia abajo.
Figura 2.30 La regla de la mano derecha sirve para determinar la dirección del producto cruz A × B A × B . Coloque un sacacorchos en la dirección perpendicular al plano que contiene los vectores A A y B B , y gírelo en la dirección del primer al segundo vector del producto. La dirección del producto cruz se da por la progresión del sacacorchos. (a) El movimiento hacia arriba significa que el vector del producto cruz apunta hacia arriba. (b) El movimiento hacia abajo significa que el vector del producto cruz apunta hacia abajo.

Ejemplo 2.18

El torque de una fuerza

La ventaja mecánica que proporciona una herramienta familiar llamada llave inglesa (Figura 2.31) depende de la magnitud F de la fuerza aplicada, de su dirección con respecto al mango de la llave y de la distancia a la que se aplica esta fuerza. La distancia R desde la tuerca hasta el punto donde el vector de fuerza FF se une está representado por el vector radial RR. La cantidad física vectorial que hace girar la tuerca se denomina torque (denotado por τ)τ), y es el producto vectorial de la distancia entre el pivote a la fuerza con la fuerza: τ=R×Fτ=R×F.

Para aflojar una tuerca oxidada, se aplica una fuerza de 20,00 N al mango de la llave en ángulo φ=40°φ=40° y a una distancia de 0,25 m de la tuerca, como se muestra en la Figura 2.31(a). Calcule la magnitud y la dirección del torque aplicado a la tuerca. ¿Cuál sería la magnitud y la dirección del torque si la fuerza se aplicara con un ángulo φ=45°φ=45°, como se muestra en la Figura 2.31(b)? ¿Para qué valor del ángulo φφ el torque tiene la mayor magnitud?

Figura a: una llave inglesa agarra una tuerca. Se aplica una fuerza F a la llave a una distancia R del centro de la tuerca. El vector R es el vector desde el centro de la tuerca hasta el lugar donde se aplica la fuerza. La dirección de la fuerza es un ángulo phi, medido en sentido contrario a las agujas del reloj, desde la dirección del vector R. Figura b: una llave inglesa agarra una tuerca. Se aplica una fuerza F a la llave a una distancia R del centro de la tuerca. El vector R es el vector desde el centro de la tuerca hasta el lugar donde se aplica la fuerza. La dirección de la fuerza es un ángulo phi, medido en el sentido de las agujas del reloj, desde la dirección del vector R.
Figura 2.31 Una llave proporciona agarre y ventaja mecánica al aplicar el torque para girar una tuerca. (a) Gire en sentido contrario a las agujas del reloj para aflojar la tuerca. (b) Gire en sentido de las agujas del reloj para apretar la tuerca.

Estrategia

Adoptamos el marco de referencia mostrado en la Figura 2.31, donde los vectores RR y FF se encuentran en el plano xy y el origen está en la posición de la tuerca. La dirección radial a lo largo del vector RR (apuntando lejos del origen) es la dirección de referencia para medir el ángulo φφ porque RR es el primer vector del producto vectorial τ=R×Fτ=R×F. El vector ττ debe estar a lo largo del eje de la z porque este es el eje perpendicular al plano xy, donde ambos RR y FF están. Para calcular la magnitud de ττ, utilizamos la Ecuación 2.35. Para encontrar la dirección de ττ, utilizamos la regla de la mano derecha (Figura 2.30).

Solución

Para la situación de (a), la regla del sacacorchos nos da la dirección de R×FR×F en la dirección positiva del eje z. Físicamente, significa que el vector de torque ττ apunta fuera de la página, perpendicular al mango de la llave. Identificamos F = 20,00 N y R = 0,25 m, y calculamos la magnitud utilizando la Ecuación 2.35:
τ=|R×F|=RFsenφ=(0,25m)(20,00N)sen40°=3,21N·m.τ=|R×F|=RFsenφ=(0,25m)(20,00N)sen40°=3,21N·m.

Para la situación en (b), la regla del sacacorchos da la dirección de R×FR×F en la dirección negativa del eje z. Físicamente, significa que el vector ττ apunta a la página, perpendicular al mango de la llave. La magnitud de este torque es

τ=|R×F|=RFsenφ=(0,25m)(20,00N)sen45°=3,53N·m.τ=|R×F|=RFsenφ=(0,25m)(20,00N)sen45°=3,53N·m.

El torque tiene el mayor valor cuando el senφ=1senφ=1, lo que se produce cuando φ=90°φ=90°. Físicamente, significa que la llave inglesa es más eficaz, es decir, nos proporciona la mejor ventaja mecánica, cuando aplicamos la fuerza perpendicular al mango de la llave. Para la situación de este ejemplo, este valor óptimo de torque es τóptimo=RF=(0,25m)(20,00N)=5,00N·mτóptimo=RF=(0,25m)(20,00N)=5,00N·m.

Importancia

Cuando resolvemos problemas de mecánica, a menudo no necesitamos utilizar la regla del sacacorchos en absoluto, como veremos ahora en la siguiente solución equivalente. Observe que una vez que hemos identificado ese vector R×FR×F que se encuentra a lo largo del eje z, podemos escribir este vector en términos del vector unitario k^k^ del eje z:
R×F=RFsenφk^.R×F=RFsenφk^.

En esta ecuación, el número que multiplica k^k^ es el componente escalar z del vector R×FR×F. En el cálculo de este componente, hay que tener en cuenta que el ángulo φφ se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde RR (primer vector) al FF (segundo vector). Siguiendo este principio para los ángulos, obtenemos RFsen(+40°)=+3,2N·mRFsen(+40°)=+3,2N·m para la situación en (a), y obtenemos RFsen(−45°)=−3,5N·mRFsen(−45°)=−3,5N·m para la situación en (b). En este último caso, el ángulo es negativo porque el gráfico en la Figura 2.31 indica que el ángulo se mide en el sentido de las agujas del reloj; pero, el mismo resultado se obtiene cuando este ángulo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj porque +(360°45°)=+315°+(360°45°)=+315° y sen(+315°)=sen(−45°)sen(+315°)=sen(−45°). De este modo, obtenemos la solución sin referencia a la regla del sacacorchos. Para la situación en (a), la solución es R×F=+3,2N·mk^R×F=+3,2N·mk^; para la situación en (b), la solución es R×F=−3,5N·mk^R×F=−3,5N·mk^.

Compruebe Lo Aprendido 2.15

Para los vectores dados en la Figura 2.13, halle el producto vectorial A×BA×B y C×FC×F.

Al igual que el producto punto (Ecuación 2.32), el producto cruz tiene la siguiente propiedad distributiva:

A×(B+C)=A×B+A×C.A×(B+C)=A×B+A×C.
2.37

La propiedad distributiva se aplica frecuentemente cuando los vectores se expresan en sus formas componentes, en términos de vectores unitarios de ejes cartesianos.

Cuando aplicamos la definición del producto cruz, la Ecuación 2.35, a los vectores unitarios i^i^, j^j^ y k^k^ que definen las direcciones de la x, la y y la z positivas en el espacio, encontramos que

i^×i^=j^×j^=k^×k^=0.i^×i^=j^×j^=k^×k^=0.
2.38

Todos los demás productos cruz de estos tres vectores unitarios deben ser vectores de magnitud unitaria porque i^i^, j^j^ y k^k^ son ortogonales. Por ejemplo, para el par i^i^ y j^j^, la magnitud es |i^×j^|=ijsen90°=(1)(1)(1)=1|i^×j^|=ijsen90°=(1)(1)(1)=1. La dirección del producto vectorial i^×j^i^×j^ debe ser ortogonal al plano xy, lo que significa que debe estar a lo largo del eje de la z. Los únicos vectores unitarios a lo largo del eje z son k^k^ o +k^+k^. Por la regla del sacacorchos, la dirección del vector i^×j^i^×j^ debe ser paralela al eje z positivo. Por lo tanto, el resultado de la multiplicación i^×j^i^×j^ es idéntico a +k^+k^. Podemos repetir un razonamiento similar para los pares restantes de vectores unitarios. Los resultados de estas multiplicaciones son

{i^×j^=+k^,j^×k^=+i^,k^×i^=+j^.{i^×j^=+k^,j^×k^=+i^,k^×i^=+j^.
2.39

Observe que en la Ecuación 2.39, los tres vectores unitarios i^i^, j^j^ y k^k^ aparecen en el orden cíclico que se muestra en el diagrama de la Figura 2.32(a). El orden cíclico significa que en la fórmula del producto, i^i^ le sigue k^k^ y viene antes de j^j^, o k^k^ le sigue j^j^ y viene antes de i^i^, o j^j^ le sigue i^i^ y viene antes de k^k^. El producto cruz de dos vectores unitarios diferentes siempre es un tercer vector unitario. Cuando dos vectores unitarios en el producto cruz aparecen en el orden cíclico, el resultado de dicha multiplicación es el vector unitario restante, como se ilustra en la Figura 2.32(b). Cuando los vectores unitarios en el producto cruz aparecen en un orden diferente, el resultado es un vector unitario antiparalelo al vector unitario restante (es decir, el resultado es con el signo menos, como muestran los ejemplos de la Figura 2.32(c) y la Figura 2.32(d). En la práctica, cuando la tarea es encontrar productos cruz de vectores que están dados en forma de componentes vectoriales, esta regla para la multiplicación cruzada de vectores unitarios es muy útil.

Figura a: Se muestran los vectores unitarios, vector I, vector j y vector k del sistema de coordenadas x y z. Las flechas indican la secuencia del vector I al vector j y al vector k; y de vuelta al vector I. Figura b: Se muestran los vectores unitarios, vector I, vector j y vector k del sistema de coordenadas x y z. El vector I es igual al vector j por el vector k. El vector j es igual al vector k por el vector i. El vector k es igual al vector i por el vector j. Figura c: Los vectores unitarios, vector I y vector j se muestran junto con el vector menos k apuntando hacia abajo. El vector menos k es igual al vector j por el vector i. Figura d: Los vectores unitarios, vector I y vector k se muestran junto con el vector menos j que apunta hacia la izquierda. El vector menos j es igual al vector i por el vector k.
Figura 2.32 (a) El diagrama del orden cíclico de los vectores unitarios de los ejes. (b) Los únicos productos cruz donde los vectores unitarios aparecen en el orden cíclico. Estos productos tienen el signo positivo. (c, d) Dos ejemplos de productos cruz donde los vectores unitarios no aparecen en el orden cíclico. Estos productos tienen el signo negativo.

Supongamos que queremos encontrar el producto cruz A×BA×B para los vectores A=Axi^+Ayj^+Azk^A=Axi^+Ayj^+Azk^ y B=Bxi^+Byj^+Bzk^B=Bxi^+Byj^+Bzk^. Podemos utilizar la propiedad distributiva (Ecuación 2.37), la anticonmutatividad (Ecuación 2.36), y los resultados en la Ecuación 2.38 y la Ecuación 2.39 para vectores unitarios para realizar la siguiente operación de álgebra:

A×B=(Axi^+Ayj^+Azk^)×(Bxi^+Byj^+Bzk^)=Axi^×(Bxi^+Byj^+Bzk^)+Ayj^×(Bxi^+Byj^+Bzk^)+Azk^×(Bxi^+Byj^+Bzk^)=AxBxi^×i^+AxByi^×j^+AxBzi^×k^+AyBxj^×i^+AyByj^×j^+AyBzj^×k^+AzBxk^×i^+AzByk^×j^+AzBzk^×k^=AxBx(0)+AxBy(+k^)+AxBz(j^)+AyBx(k^)+AyBy(0)+AyBz(+i^)+AzBx(+j^)+AzBy(i^)+AzBz(0).A×B=(Axi^+Ayj^+Azk^)×(Bxi^+Byj^+Bzk^)=Axi^×(Bxi^+Byj^+Bzk^)+Ayj^×(Bxi^+Byj^+Bzk^)+Azk^×(Bxi^+Byj^+Bzk^)=AxBxi^×i^+AxByi^×j^+AxBzi^×k^+AyBxj^×i^+AyByj^×j^+AyBzj^×k^+AzBxk^×i^+AzByk^×j^+AzBzk^×k^=AxBx(0)+AxBy(+k^)+AxBz(j^)+AyBx(k^)+AyBy(0)+AyBz(+i^)+AzBx(+j^)+AzBy(i^)+AzBz(0).

Cuando se realicen operaciones algebraicas que impliquen el producto cruz, hay que tener mucho cuidado en mantener el orden correcto de la multiplicación, ya que el producto cruz es anticonmutativo. Los dos últimos pasos que nos quedan por hacer para completar nuestra tarea son, primero, agrupar los términos que contienen un vector unitario común y, segundo, factorizar. De esta manera obtenemos la siguiente expresión muy útil para el cálculo del producto cruz:

C=A×B=(AyBzAzBy)i^+(AzBxAxBz)j^+(AxByAyBx)k^.C=A×B=(AyBzAzBy)i^+(AzBxAxBz)j^+(AxByAyBx)k^.
2.40

En esta expresión, los componentes escalares del vector del producto cruz son

{Cx=AyBzAzBy,Cy=AzBxAxBz,Cz=AxByAyBx.{Cx=AyBzAzBy,Cy=AzBxAxBz,Cz=AxByAyBx.
2.41

Al momento de encontrar el producto cruz, en la práctica, podemos utilizar tanto la Ecuación 2.35 como la Ecuación 2.40, dependiendo de cuál de ellas nos parezca menos compleja computacionalmente. Ambas conducen al mismo resultado final. Una forma de asegurarse de que el resultado final es correcto es utilizar ambas.

Ejemplo 2.19

Una partícula en un campo magnético

Al moverse en un campo magnético, algunas partículas pueden experimentar una fuerza magnética. Sin entrar en detalles, el estudio detallado de los fenómenos magnéticos se aborda en capítulos posteriores, reconozcamos que el campo magnético BB es un vector, la fuerza magnética FF es un vector, y la velocidad uu de la partícula es un vector. El vector de fuerza magnética es proporcional al producto vectorial del vector de velocidad por el vector de campo magnético, que expresamos como F=ζu×BF=ζu×B. En esta ecuación, una constante ζζ se encarga de la coherencia en unidades físicas, por lo que podemos omitir las unidades físicas en los vectores uu y BB. En este ejemplo, vamos a suponer que la constante ζζ es positiva.

Una partícula que se mueve en el espacio con un vector de velocidad u=−5,0i^2,0j^+3,5k^u=−5,0i^2,0j^+3,5k^ entra en una región con un campo magnético y experimenta una fuerza magnética. Halle la fuerza magnética FF sobre esta partícula en el punto de entrada a la región donde el vector de campo magnético es (a) B=7,2i^j^2,4k^B=7,2i^j^2,4k^ y (b) B=4,5k^B=4,5k^. En cada caso, halle la magnitud F de la fuerza magnética y el ángulo θθ que el vector de fuerza FF hace con el vector de campo magnético dado BB.

Estrategia

Primero, queremos encontrar el producto vectorial u×Bu×B, porque entonces podemos determinar la fuerza magnética utilizando F=ζu×BF=ζu×B. La magnitud F puede hallarse mediante el uso de componentes, F=Fx2+Fy2+Fz2F=Fx2+Fy2+Fz2, o calculando la magnitud |u×B||u×B| utilizando directamente la Ecuación 2.35. En este último enfoque, tendríamos que encontrar el ángulo entre los vectores uu y BB. Cuando tenemos FF, el método general para encontrar el ángulo direccional θθ implica el cálculo del producto escalar F·BF·B y la sustitución en la Ecuación 2.34. Para calcular el producto vectorial podemos utilizar la Ecuación 2.40 o calcular el producto directamente, lo que sea más sencillo.

Solución

Los componentes del vector velocidad son ux=−5,0ux=−5,0, uy=−2,0uy=−2,0 y uz=3,5uz=3,5.

(a) Los componentes del vector de campo magnético son Bx=7,2Bx=7,2, By=−1,0By=−1,0 y Bz=−2,4Bz=−2,4. Sustituyéndolos en la Ecuación 2.41 se obtienen los componentes escalares del vector F=ζu×BF=ζu×B:

{Fx=ζ(uyBzuzBy)=ζ[(−2,0)(−2,4)(3,5)(−1,0)]=8,3ζFy=ζ(uzBxuxBz)=ζ[(3,5)(7,2)(−5,0)(−2,4)]=13,2ζFz=ζ(uxByuyBx)=ζ[(−5,0)(−1,0)(−2,0)(7,2)]=19,4ζ.{Fx=ζ(uyBzuzBy)=ζ[(−2,0)(−2,4)(3,5)(−1,0)]=8,3ζFy=ζ(uzBxuxBz)=ζ[(3,5)(7,2)(−5,0)(−2,4)]=13,2ζFz=ζ(uxByuyBx)=ζ[(−5,0)(−1,0)(−2,0)(7,2)]=19,4ζ.

Por lo tanto, la fuerza magnética es F=ζ(8,3i^+13,2j^+19,4k^)F=ζ(8,3i^+13,2j^+19,4k^) y su magnitud es

F=Fx2+Fy2+Fz2=ζ(8,3)2+(13,2)2+(19,4)2=24,9ζ.F=Fx2+Fy2+Fz2=ζ(8,3)2+(13,2)2+(19,4)2=24,9ζ.

Para calcular el ángulo θθ, tendríamos que encontrar la magnitud del vector de campo magnético,

B=Bx2+By2+Bz2=(7,2)2+(−1,0)2+(−2,4)2=7,6,B=Bx2+By2+Bz2=(7,2)2+(−1,0)2+(−2,4)2=7,6,

y el producto escalar F·BF·B:

F·B=FxBx+FyBy+FzBz=(8,3ζ)(7,2)+(13,2ζ)(−1,0)+(19,4ζ)(−2,4)=0.F·B=FxBx+FyBy+FzBz=(8,3ζ)(7,2)+(13,2ζ)(−1,0)+(19,4ζ)(−2,4)=0.

Ahora, sustituyendo en la Ecuación 2.34 obtenemos el ángulo θθ:

cosθ=F·BFB=0(18,2ζ)(7,6)=0θ=90°.cosθ=F·BFB=0(18,2ζ)(7,6)=0θ=90°.

Por lo tanto, el vector de fuerza magnética es perpendicular al vector de campo magnético. (Podríamos haber ahorrado algo de tiempo si hubiéramos calculado antes el producto escalar).

(b) Dado que el vector B=4,5k^B=4,5k^ tiene un solo componente, podemos realizar la operación de álgebra rápidamente y encontrar el producto vectorial directamente:

F=ζu×B=ζ(−5,0i^2,0j^+3,5k^)×(4,5k^)=ζ[(−5,0)(4,5)i^×k^+(−2,0)(4,5)j^×k^+(3,5)(4,5)k^×k^]=ζ[-22,5(j^)9,0(+i^)+0]=ζ(−9,0i^+22,5j^).F=ζu×B=ζ(−5,0i^2,0j^+3,5k^)×(4,5k^)=ζ[(−5,0)(4,5)i^×k^+(−2,0)(4,5)j^×k^+(3,5)(4,5)k^×k^]=ζ[-22,5(j^)9,0(+i^)+0]=ζ(−9,0i^+22,5j^).

La magnitud de la fuerza magnética es

F=Fx2+Fy2+Fz2=ζ(−9,0)2+(22,5)2+(0,0)2=24,2ζ.F=Fx2+Fy2+Fz2=ζ(−9,0)2+(22,5)2+(0,0)2=24,2ζ.

Dado que el producto escalar es

F·B=FxBx+FyBy+FzBz=(−9,0ζ)(0)+(22,5ζ)(0)+(0)(4,5)=0,F·B=FxBx+FyBy+FzBz=(−9,0ζ)(0)+(22,5ζ)(0)+(0)(4,5)=0,

el vector de fuerza magnética FF es perpendicular al vector de campo magnético BB.

Importancia

Incluso sin calcular el producto escalar, podemos predecir que el vector de fuerza magnética debe ser siempre perpendicular al vector de campo magnético debido a la forma en que se construye este vector. En concreto, el vector de fuerza magnética es el producto vectorial F=ζu×BF=ζu×B y, por la definición del producto vectorial (vea la Figura 2.29), el vector FF debe ser perpendicular a ambos vectores uu y BB.

Compruebe Lo Aprendido 2.16

Dados dos vectores A=i^+j^A=i^+j^ y B=3i^j^B=3i^j^, halle: (a) A×BA×B, (b) |A×B||A×B|, (c) el ángulo entre AA y BB, y (d) el ángulo entre A×BA×B y el vector C=i^+k^C=i^+k^.

Para concluir esta sección, queremos destacar que el "producto punto" y el "producto cruz" son objetos matemáticos totalmente diferentes que tienen significados distintos. El producto punto es un escalar; el producto cruz es un vector. En capítulos posteriores se utilizan indistintamente los términos producto punto y producto escalar. Asimismo, los términos producto cruz y producto vectorial se utilizan indistintamente.

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