William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Aplicar los métodos analíticos del álgebra vectorial para encontrar vectores resultantes y resolver ecuaciones vectoriales para vectores desconocidos.
Interpretar situaciones físicas en términos de expresiones vectoriales.

Los vectores pueden sumarse y multiplicarse por escalares. La suma de vectores es asociativa (Ecuación 2.8) y conmutativa (Ecuación 2.7), y la multiplicación de vectores por una suma de escalares es distributiva (Ecuación 2.9). Además, la multiplicación escalar por una suma de vectores es distributiva:

α (\vec{A} + \vec{B}) = α \vec{A} + α \vec{B} .

2.22

En esta ecuación, $α$ es un número cualquiera (un escalar). Por ejemplo, un vector antiparalelo al vector $\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k}$ se puede expresar simplemente multiplicando $\vec{A}$ por el escalar $α = −1$ :

− \vec{A} = − A_{x} \hat{i} - A_{y} \hat{j} - A_{z} \hat{k} .

2.23

Ejemplo 2.8

Dirección del movimiento

En un sistema de coordenadas cartesianas donde

\hat{i}

indica el este geográfico,

\hat{j}

indica el norte geográfico, y

\hat{k}

indica la altitud sobre el nivel del mar, un convoy militar avanza su posición a través de un territorio desconocido con velocidad

\vec{v} = (4,0 \hat{i} + 3,0 \hat{j} + 0,1 \hat{k}) km / h

. Si el convoy tuviera que retirarse, ¿en qué dirección geográfica se movería?

Solución

El vector velocidad tiene el tercer componente

{\vec{v}}_{z} = (+ 0,1 km / h) \hat{k}

, que informa que el convoy sube a 100 m/h por un terreno montañoso. Al mismo tiempo, su velocidad es de 4,0 km/h hacia el este y 3,0 km/h hacia el norte, por lo que se desplaza sobre el terreno en dirección

{tan}^{−1} (3 / 4) \approx 37 °

al norte del este. Si el convoy tuviera que retirarse, su nuevo vector velocidad

\vec{u}

tendría que ser antiparalelo a

\vec{v}

y ser de la forma

\vec{u} = − α \vec{v}

, donde

α

es un número positivo. Así, la velocidad de retirada sería

\vec{u} = α (−4,0 \hat{i} - 3,0 \hat{j} - 0,1 \hat{k}) km / h

. El signo negativo del tercer componente indica que el convoy estaría descendiendo. El ángulo direccional de la velocidad de retirada es

{tan}^{−1} (−3 α / - 4 α) \approx 37 °

al sur del oeste. Por lo tanto, el convoy se movería sobre el terreno en dirección

37 °

al sur del oeste mientras desciende en su camino de regreso.

La generalización del número cero al álgebra vectorial se denomina vector nulo, denotado por $\vec{0}$ . Todos los componentes del vector nulo son cero, $\vec{0} = 0 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}$ , por lo que el vector nulo no tiene longitud ni dirección.

Dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ son vectores iguales si y solo si su diferencia es el vector nulo:

\vec{0} = \vec{A} - \vec{B} = (A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k}) - (B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j} + B_{z} \hat{k}) = (A_{x} - B_{x}) \hat{i} + (A_{y} - B_{y}) \hat{j} + (A_{z} - B_{z}) \hat{k} .

Esta ecuación vectorial significa que debemos tener simultáneamente $A_{x} - B_{x} = 0$ , $A_{y} - B_{y} = 0$ y $A_{z} - B_{z} = 0$ . De allí que podemos escribir $\vec{A} = \vec{B}$ si y solo si los componentes correspondientes de los vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ son iguales:

\vec{A} = \vec{B} \Leftrightarrow {\begin{matrix} A_{x} = B_{x} \\ A_{y} = B_{y} \\ A_{z} = B_{z} \end{matrix} .

2.24

Dos vectores son iguales cuando sus componentes escalares correspondientes son iguales.

Resolver los vectores en sus componentes escalares (es decir, encontrar sus componentes escalares) y expresarlos analíticamente en forma de componentes vectoriales (dados por la Ecuación 2.19) nos permite utilizar el álgebra vectorial para encontrar sumas o diferencias de muchos vectores analíticamente (es decir, sin utilizar métodos gráficos). Por ejemplo, para encontrar la resultante de dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ , simplemente los sumamos componente por componente, de la siguiente manera:

\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k}) + (B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j} + B_{z} \hat{k}) = (A_{x} + B_{x}) \hat{i} + (A_{y} + B_{y}) \hat{j} + (A_{z} + B_{z}) \hat{k} .

De este modo, utilizando la Ecuación 2.24, los componentes escalares del vector resultante $\vec{R} = R_{x} \hat{i} + R_{y} \hat{j} + R_{z} \hat{k}$ son las sumas de los correspondientes componentes escalares de los vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ :

{\begin{matrix} R_{x} = A_{x} + B_{x}, \\ R_{y} = A_{y} + B_{y}, \\ R_{z} = A_{z} + B_{z} . \end{matrix}

Se pueden utilizar métodos analíticos para encontrar los componentes de una resultante de muchos vectores. Por ejemplo, si tenemos que sumar $N$ vectores ${\vec{F}}_{1}, {\vec{F}}_{2}, {\vec{F}}_{3}, \dots, {\vec{F}}_{N}$ , donde cada vector es ${\vec{F}}_{k} = F_{k x} \hat{i} + F_{k y} \hat{j} + F_{k z} \hat{k}$ , el vector resultante ${\vec{F}}_{R}$ es

\begin{matrix} {\vec{F}}_{R} = {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} + {\vec{F}}_{3} + … + {\vec{F}}_{N} & = \sum_{k = 1}^{N} {\vec{F}}_{k} = \sum_{k = 1}^{N} (F_{k x} \hat{i} + F_{k y} \hat{j} + F_{k z} \hat{k}) \\ = (\sum_{k = 1}^{N} F_{k x}) \hat{i} + (\sum_{k = 1}^{N} F_{k y}) \hat{j} + (\sum_{k = 1}^{N} F_{k z}) \hat{k} . \end{matrix}

Por lo tanto, los componentes escalares del vector resultante son

{\begin{matrix} F_{R x} = \sum_{k = 1}^{N} F_{k x} = F_{1 x} + F_{2 x} + … + F_{N x} \\ F_{R y} = \sum_{k = 1}^{N} F_{k y} = F_{1 y} + F_{2 y} + … + F_{N y} \\ F_{R z} = \sum_{k = 1}^{N} F_{k z} = F_{1 z} + F_{2 z} + … + F_{N z} . \end{matrix}

2.25

Una vez hallados los componentes escalares, podemos escribir la resultante en forma de componente vectorial:

{\vec{F}}_{R} = F_{R x} \hat{i} + F_{R y} \hat{j} + F_{R z} \hat{k} .

Los métodos analíticos para hallar la resultante y, en general, para resolver ecuaciones vectoriales son muy importantes en física porque muchas cantidades físicas son vectores. Por ejemplo, utilizamos este método en cinemática para encontrar vectores de desplazamiento resultantes y vectores de velocidad resultantes, en mecánica para encontrar vectores de fuerza resultantes y las resultantes de muchas cantidades vectoriales derivadas, y en electricidad y magnetismo para encontrar campos vectoriales eléctricos o magnéticos resultantes.

Ejemplo 2.9

Cálculo analítico de una resultante

Tres vectores de desplazamiento

\vec{A}

,

\vec{B}

y

\vec{C}

en un plano (Figura 2.13) se especifican por sus magnitudes A = 10,0, B = 7,0 y C = 8,0, respectivamente, y por sus respectivos ángulos direccionales con la horizontal

α = 35 °,

β = −110 °

y

γ = 30 °

. Las unidades físicas de las magnitudes son los centímetros. Resuelva los vectores a sus componentes escalares y halle las siguientes sumas vectoriales: (a)

\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}

, (b)

\vec{D} = \vec{A} - \vec{B}

, y (c)

\vec{S} = \vec{A} - 3 \vec{B} + \vec{C}

.

Estrategia

En primer lugar, utilizamos la Ecuación 2.17 para encontrar los componentes escalares de cada vector y luego expresamos cada vector en su forma de componente vectorial dada por la Ecuación 2.12. Luego, utilizamos los métodos analíticos del álgebra vectorial para encontrar las resultantes.

Solución

Resolvemos los vectores dados a sus componentes escalares:

\begin{array}{l} {\begin{array}{l} A_{x} = A cos α = (10,0 cm) cos 35 ° = 8,19 cm \\ A_{y} = A sen α = (10,0 cm) sen 35 ° = 5,73 cm \end{array} \\ {\begin{array}{l} B_{x} = B cos β = (7,0 cm) cos (−110 °) = −2,39 cm \\ B_{y} = B sen β = (7,0 cm) sen (−110 °) = −6,58 cm \end{array} \\ {\begin{array}{l} C_{x} = C cos γ = (8,0 cm) cos 30 ° = 6,93 cm \\ C_{y} = C sen γ = (8,0 cm) sen 30 ° = 4,00 cm \end{array} \end{array} .

Para (a) podemos sustituir directamente en la Ecuación 2.25 para encontrar los componentes escalares de la resultante:

{\begin{array}{l} R_{x} = A_{x} + B_{x} + C_{x} = 8,19 cm - 2,39 cm + 6,93 cm = 12,73 cm \\ R_{y} = A_{y} + B_{y} + C_{y} = 5,73 cm - 6,58 cm + 4,00 cm = 3,15 cm \end{array} .

Por lo tanto, el vector resultante es $\vec{R} = R_{x} \hat{i} + R_{y} \hat{j} = (12,7 \hat{i} + 3,1 \hat{j}) cm$ .

Para (b), podemos escribir la diferencia de vectores como

\vec{D} = \vec{A} - \vec{B} = (A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j}) - (B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j}) = (A_{x} - B_{x}) \hat{i} + (A_{y} - B_{y}) \hat{j} .

Luego, los componentes escalares de la diferencia vectorial son

{\begin{array}{l} D_{x} = A_{x} - B_{x} = 8,19 cm - (−2,39 cm) = 10,58 cm \\ D_{y} = A_{y} - B_{y} = 5,73 cm - (−6,58 cm) = 12,31 cm \end{array} .

Por lo tanto, el vector de diferencia es $\vec{D} = D_{x} \hat{i} + D_{y} \hat{j} = (10,6 \hat{i} + 12,3 \hat{j}) cm$ .

Para (c), podemos escribir el vector $\vec{S}$ en la siguiente forma explícita:

\begin{matrix} \vec{S} & = \vec{A} - 3 \vec{B} + \vec{C} = (A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j}) - 3 (B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j}) + (C_{x} \hat{i} + C_{y} \hat{j}) \\ = (A_{x} - 3 B_{x} + C_{x}) \hat{i} + (A_{y} - 3 B_{y} + C_{y}) \hat{j} . \end{matrix}

Luego, los componentes escalares de $\vec{S}$ son

{\begin{array}{l} S_{x} = A_{x} - 3 B_{x} + C_{x} = 8,19 cm - 3 (−2,39 cm) + 6,93 cm = 22,29 cm \\ S_{y} = A_{y} - 3 B_{y} + C_{y} = 5,73 cm - 3 (−6,58 cm) + 4,00 cm = 29,47 cm \end{array} .

El vector es $\vec{S} = S_{x} \hat{i} + S_{y} \hat{j} = (22,3 \hat{i} + 29,5 \hat{j}) cm$ .

Importancia

Una vez hallados los componentes del vector, podemos ilustrar los vectores mediante un gráfico o podemos calcular las magnitudes y los ángulos direccionales, como se muestra en la Figura 2.24. Los resultados de las magnitudes en (b) y (c) pueden compararse con los resultados de los mismos problemas obtenidos con el método gráfico, mostrados en la Figura 2.14 y la Figura 2.15. Observe que el método analítico produce resultados exactos y su exactitud no está limitada por la resolución de una regla o un transportador, como ocurría con el método gráfico utilizado en el Ejemplo 2.2 para hallar esta misma resultante.

El vector R tiene una magnitud de 13,11. El ángulo entre R y la dirección de la x positiva es theta sub R igual a 13,9 grados. Los componentes de R son R sub x en el eje de la x y R sub y en el eje de la y. El vector D tiene una magnitud de 16,23. El ángulo entre D y la dirección de la x positiva es theta sub D igual a 49,3 grados. Los componentes de D son D sub x en el eje de la x y D sub y en el eje de la y. El vector S tiene una magnitud de 36,95. El ángulo entre S y la dirección de la x positiva es theta sub S igual a 52,9 grados. Los componentes de S son S sub x en el eje de la x y S sub y en el eje de la y.

Figura 2.24 Ilustración gráfica de las soluciones obtenidas analíticamente en el Ejemplo 2.9.

Compruebe Lo Aprendido 2.8

Tres vectores de desplazamiento $\vec{A}$ , $\vec{B}$ y $\vec{F}$ (Figura 2.13) se especifican por sus magnitudes A = 10,00, B = 7,00 y F = 20,00, respectivamente, y por sus respectivos ángulos direccionales con la horizontal $α = 35 °$ , $β = −110 °$ y $φ = 110 °$ . Las unidades físicas de las magnitudes son los centímetros. Utilice el método analítico para encontrar el vector $\vec{G} = \vec{A} + 2 \vec{B} - \vec{F}$ . Compruebe que G = 28,15 cm y que $θ_{G} = -68,65 °$ .

Ejemplo 2.10

El juego de tira y afloja

Cuatro perros llamados Astro, Balto, Clifford y Dug juegan al tira y afloja con un juguete (Figura 2.25). Astro hala el juguete en dirección

α = 55 °

al sur del este, Balto hala en dirección

β = 60 °

al este del norte, y Clifford hala en dirección

γ = 55 °

al oeste del norte. Astro hala fuertemente con 160,0 unidades de fuerza (N), que abreviamos como A = 160,0 N. Balto hala aún más fuerte que Astro con una fuerza de magnitud B = 200,0 N, y Clifford hala con una fuerza de magnitud C = 140,0 N. Cuando Dug hala del juguete de forma que su fuerza equilibra la resultante de las otras tres fuerzas, el juguete no se mueve en ninguna dirección. ¿Con qué fuerza y en qué dirección debe halar Dug el juguete para que esto ocurra?

Ilustración de 4 perros halando de un juguete. El juguete está en el origen de un sistema de coordenadas, con la x positiva alineada con el este y la y positiva con el norte. Ang hala en un ángulo alfa de 55 grados en el sentido de las agujas del reloj, desde la dirección de la x positiva (este). Bing hala en un ángulo beta de 60 grados en el sentido de las agujas del reloj, desde la dirección y positiva (norte). Chang hala en un ángulo gamma de 55 grados en sentido contrario de las agujas del reloj, desde la dirección y positiva (norte). Dong hala en una dirección no especificada en el tercer cuadrante.

Figura 2.25 Cuatro perros juegan al tira y afloja con un juguete.

Estrategia

Suponemos que el este es la dirección del eje de la x positiva y el norte es la dirección del eje de la y positiva. Como en el Ejemplo 2.9, tenemos que resolver las tres fuerzas dadas,

\vec{A}

(el tirón de Astro),

\vec{B}

(el tirón de Balto), y

\vec{C}

(el tirón de Clifford), en sus componentes escalares y luego encontrar los componentes escalares del vector resultante

\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}

. Cuando la fuerza de tracción

\vec{D}

de Dug equilibra esta resultante, la suma de

\vec{D}

y

\vec{R}

debe dar el vector nulo

\vec{D} + \vec{R} = \vec{0}

. Esto significa que

\vec{D} = − \vec{R}

, por lo que el tirón de Dug debe ser antiparalelo a

\vec{R}

.

Solución

Los ángulos direccionales son

θ_{A} = − α = −55 °

,

θ_{B} = 90 ° - β = 30 °

y

θ_{C} = 90 ° + γ = 145 °

, y sustituyéndolos en la Ecuación 2.17 se obtienen los componentes escalares de las tres fuerzas dadas:

\begin{matrix} {\begin{array}{l} A_{x} = A cos θ_{A} = (160,0 N) cos (−55 °) = + 91,8 N \\ A_{y} = A sen θ_{A} = (160,0 N) sen (−55 °) = −131,1 N \end{array} \\ {\begin{array}{l} B_{x} = B cos θ_{B} = (200,0 N) cos 30 ° = + 173,2 N \\ B_{y} = B sen θ_{B} = (200,0 N) sen 30 ° = + 100,0 N \end{array} \\ {\begin{array}{l} C_{x} = C cos θ_{C} = (140,0 N) cos 145 ° = -114,7 N \\ C_{y} = C sen θ_{C} = (140,0 N) sen 145 ° = + 80,3 N \end{array} \end{matrix} .

Ahora calculamos los componentes escalares del vector resultante $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}$ :

{\begin{matrix} R_{x} = A_{x} + B_{x} + C_{x} = + 91,8 N + 173,2 N - 114,7 N = + 150,3 N \\ R_{y} = A_{y} + B_{y} + C_{y} = −131,1 N + 100,0 N + 80,3 N = + 49,2 N \end{matrix} .

El vector antiparalelo a la resultante $\vec{R}$ es

\vec{D} = − \vec{R} = − R_{x} \hat{i} - R_{y} \hat{j} = (−150,3 \hat{i} - 49,2 \hat{j}) N .

La magnitud de la fuerza de tracción de Dug es

D = \sqrt{D_{x}^{2} + D_{y}^{2}} = \sqrt{{(−150,3)}^{2} + {(−49,2)}^{2}} N = 158,1 N .

La dirección de la fuerza de tracción de Dug es

θ = {tan}^{−1} (\frac{D_{y}}{D_{x}}) = {tan}^{−1} (\frac{−49,2 N}{−150,3 N}) = {tan}^{−1} (\frac{49,2}{150,3}) = 18,1 ° .

Dug hala en la dirección $18,1 °$ al sur del oeste porque ambos componentes son negativos, lo que significa que el vector de tracción se encuentra en el tercer cuadrante (Figura 2.19).

Compruebe Lo Aprendido 2.9

Supongamos que Balto en el Ejemplo 2.10 abandona el juego para atender asuntos más importantes, pero Astro, Clifford y Dug siguen jugando. El tirón de Astro y Clifford sobre el juguete no cambia, pero Dug corre y muerde el juguete en otro lugar. ¿Con qué fuerza y en qué dirección debe Dug halar ahora del juguete para equilibrar los tirones combinados de Clifford y Astro? Ilustre esta situación dibujando un diagrama vectorial que indique todas las fuerzas implicadas.

Ejemplo 2.11

Álgebra vectorial

Halle la magnitud del vector

\vec{C}

que satisface la ecuación

2 \vec{A} - 6 \vec{B} + 3 \vec{C} = 2 \hat{j}

, donde

\vec{A} = \hat{i} - 2 \hat{k}

y

\vec{B} = − \hat{j} + \hat{k} / 2

.

Estrategia

Primero resolvemos la ecuación dada para el vector desconocido

\vec{C}

. Luego sustituimos

\vec{A}

y

\vec{B}

; agrupamos los términos a lo largo de cada una de las tres direcciones

\hat{i}

,

\hat{j}

y

\hat{k}

; e identificamos los componentes escalares

C_{x}

,

C_{y}

y

C_{z}

. Finalmente, sustituimos en la Ecuación 2.21 para encontrar la magnitud C.

Solución

\begin{matrix} 2 \vec{A} - 6 \vec{B} + 3 \vec{C} & = & 2 \hat{j} \\ 3 \vec{C} & = & 2 \hat{j} - 2 \vec{A} + 6 \vec{B} \\ \vec{C} & = & \frac{2}{3} \hat{j} - \frac{2}{3} \vec{A} + 2 \vec{B} \\ = & \frac{2}{3} \hat{j} - \frac{2}{3} (\hat{i} - 2 \hat{k}) + 2 (− \hat{j} + \frac{\hat{k}}{2}) = \frac{2}{3} \hat{j} - \frac{2}{3} \hat{i} + \frac{4}{3} \hat{k} - 2 \hat{j} + \hat{k} \\ = & - \frac{2}{3} \hat{i} + (\frac{2}{3} - 2) \hat{j} + (\frac{4}{3} + 1) \hat{k} \\ = & - \frac{2}{3} \hat{i} - \frac{4}{3} \hat{j} + \frac{7}{3} \hat{k} . \end{matrix}

Los componentes son $C_{x} = − 2 / 3$ , $C_{y} = −4 / 3$ y $C_{z} = 7 / 3$ , y al sustituir en la Ecuación 2.21 obtenemos

C = \sqrt{C_{x}^{2} + C_{y}^{2} + C_{z}^{2}} = \sqrt{{(−2 / 3)}^{2} + {(− 4 / 3)}^{2} + {(7 / 3)}^{2}} = \sqrt{23 / 3} .

Ejemplo 2.12

Desplazamiento de un esquiador

Partiendo de un albergue de esquí, un esquiador de fondo recorre 5,0 km hacia el norte, luego 3,0 km hacia el oeste y finalmente 4,0 km hacia el suroeste antes de tomar un descanso. Halle su vector de desplazamiento total con respecto al albergue cuando está en el punto de descanso. ¿A qué distancia y en qué dirección debe esquiar desde el punto de descanso para volver directamente al albergue?

Estrategia

Suponemos un sistema de coordenadas rectangular con el origen en el albergue de esquí y con el vector unitario

\hat{i}

que apunta al este y el vector unitario

\hat{j}

que apunta al norte. Hay tres desplazamientos:

{\vec{D}}_{1}

,

{\vec{D}}_{2}

y

{\vec{D}}_{3}

. Identificamos sus magnitudes como

D_{1} = 5,0 km

,

D_{2} = 3,0 km

y

D_{3} = 4,0 km

. Identificamos que sus direcciones son los ángulos

θ_{1} = 90 °

,

θ_{2} = 180 °

y

θ_{3} = 180 ° + 45 ° = 225 °

. Resolvemos cada vector de desplazamiento en sus componentes escalares y los sustituimos en la Ecuación 2.25 para obtener los componentes escalares del desplazamiento resultante

\vec{D}

desde el albergue hasta el punto de descanso. En el camino de regreso desde el punto de descanso hasta el albergue, el desplazamiento es

\vec{B} = − \vec{D}

. Por último, encontramos la magnitud y la dirección de

\vec{B}

.

Solución

Las componentes escalares de los vectores de desplazamiento son

\begin{matrix} {\begin{matrix} D_{1 x} = D_{1} cos θ_{1} = (5,0 km) cos 90 ° = 0 \\ D_{1 y} = D_{1} sen θ_{1} = (5,0 km) sen 90 ° = 5,0 km \end{matrix} \\ {\begin{matrix} D_{2 x} = D_{2} cos θ_{2} = (3,0 km) cos 180 ° = −3,0 km \\ D_{2 y} = D_{2} sen θ_{2} = (3,0 km) sen 180 ° = 0 \end{matrix} \\ {\begin{matrix} D_{3 x} = D_{3} cos θ_{3} = (4,0 km) cos 225 ° = −2,8 km \\ D_{3 y} = D_{3} sen θ_{3} = (4,0 km) sen 225 ° = −2,8 km \end{matrix} \end{matrix} .

Los componentes escalares del vector de desplazamiento neto son

{\begin{matrix} D_{x} = D_{1 x} + D_{2 x} + D_{3 x} = (0 - 3,0 - 2,8) km = −5,8 km \\ D_{y} = D_{1 y} + D_{2 y} + D_{3 y} = (5,0 + 0 - 2,8) km = + 2,2 km \end{matrix} .

Por lo tanto, el vector de desplazamiento neto del esquiador es $\vec{D} = D_{x} \hat{i} + D_{y} \hat{j} = (−5,8 \hat{i} + 2,2 \hat{j}) km$ . En el camino de regreso al albergue, su desplazamiento es $\vec{B} = − \vec{D} = − (−5,8 \hat{i} + 2,2 \hat{j}) km = (5,8 \hat{i} - 2,2 \hat{j}) km$ . Su magnitud es $B = \sqrt{B_{x}^{2} + B_{y}^{2}} = \sqrt{{(5,8)}^{2} + {(−2,2)}^{2}} km = 6,2 km$ y su ángulo direccional es $θ = {tan}^{−1} (−2,2 / 5,8) = -20,8 °$ . Por lo tanto, para volver al albergue, deberá recorrer 6,2 km en una dirección de $21 °$ al sur del este.

Importancia

Observe que no se necesita ninguna figura para resolver este problema por el método analítico. Las figuras son necesarias cuando se utiliza un método gráfico; sin embargo, podemos comprobar si nuestra solución tiene sentido haciendo un esquema, lo cual es un paso final útil para resolver cualquier problema vectorial.

Ejemplo 2.13

Desplazamiento de un corredor

Un corredor sube un tramo de 200 escalones idénticos hasta la cima de una colina y luego corre a lo largo de la cima de la colina 50,0 m antes de detenerse en un bebedero (Figura 2.26). Su vector de desplazamiento desde el punto A en la parte inferior de los escalones hasta el punto B en el bebedero es

{\vec{D}}_{A B} = (−90,0 \hat{i} + 30,0 \hat{j}) m

. ¿Cuál es la altura y el ancho de cada escalón en el tramo? ¿Cuál es la distancia real que recorre el corredor? Si hace un circuito y vuelve al punto A, ¿cuál es su vector de desplazamiento neto?

Se muestra un sistema de coordenadas con la x positiva hacia la derecha y la y positiva hacia arriba. Un corredor se encuentra en el punto A, al pie de los escalones que suben hacia la izquierda. La parte superior de los escalones está marcada como punto T. En la parte superior de los escalones hay una sección plana que se extiende desde el punto T hasta el bebedero en el punto B. La distancia entre T y B es de 50 metros.

Figura 2.26 Un corredor sube un tramo de escaleras.

Estrategia

El vector de desplazamiento

{\vec{D}}_{A B}

es la suma vectorial del vector de desplazamiento del corredor

{\vec{D}}_{A T}

a lo largo de la escalera (desde el punto A en la parte inferior de la escalera hasta el punto T en la parte superior de la misma) y su vector de desplazamiento

{\vec{D}}_{T B}

en la cima de la colina (desde el punto A en la cima de las escaleras hasta el bebedero en el punto T). Debemos encontrar los componentes horizontales y verticales de

{\vec{D}}_{A T}

. Si cada escalón tiene un ancho w y una altura h, el componente horizontal de

{\vec{D}}_{A T}

deberá tener una longitud de 200 w y el componente vertical deberá tener una longitud de 200 h. La distancia real que recorre el corredor es la suma de la distancia que recorre por las escaleras y la distancia de 50,0 m que recorre en la cima de la colina.

Solución

En el sistema de coordenadas indicado en la Figura 2.26, el vector de desplazamiento del corredor en la cima de la colina es

{\vec{D}}_{T B} = (−50,0 m) \hat{i}

. Su vector de desplazamiento neto es

{\vec{D}}_{A B} = {\vec{D}}_{A T} + {\vec{D}}_{T B} .

Por lo tanto, su vector de desplazamiento ${\vec{D}}_{T B}$ a lo largo de las escaleras es

\begin{array}{l} {\vec{D}}_{A T} & = {\vec{D}}_{A B} - {\vec{D}}_{T B} = (−90,0 \hat{i} + 30,0 \hat{j}) m - (−50,0 m) \hat{i} = [(−90,0 + 50,0) \hat{i} + 30,0 \hat{j})] m \\ = (−40,0 \hat{i} + 30,0 \hat{j}) m . \end{array}

Sus componentes escalares son $D_{A T x} = −40,0 m$ y $D_{A T y} = 30,0 m$ . Por lo tanto, debemos tener

200 w = | - 40,0 | m y 200 h = 30,0 m .

De allí que el ancho del escalón es w = 40,0 m/200 = 0,2 m = 20 cm, y la altura del escalón sea h = 30,0 m/200 = 0,15 m = 15 cm. La distancia que recorre el corredor por las escaleras es

D_{A T} = \sqrt{D_{A T x}^{2} + D_{A T y}^{2}} = \sqrt{{(−40,0)}^{2} + {(30,0)}^{2}} m = 50,0 m .

Así, la distancia real que recorre es $D_{A T} + D_{T B} = 50,0 m + 50,0 m = 100,0 m$ . Cuando hace un circuito y vuelve desde el bebedero a su posición inicial en el punto A, la distancia total que recorre es el doble de esta distancia, es decir, 200,0 m. Sin embargo, su vector de desplazamiento neto es cero, porque cuando su posición final es la misma que su posición inicial, los componentes escalares de su vector de desplazamiento neto son cero (Ecuación 2.13).

En muchas situaciones físicas, a menudo necesitamos conocer la dirección de un vector. Por ejemplo, quizá queramos conocer la dirección de un vector de campo magnético en algún punto o la dirección del movimiento de un objeto. Ya hemos dicho que la dirección viene dada por un vector unitario, que es una entidad adimensional, es decir, no tiene unidades físicas asociadas. Cuando el vector en cuestión se encuentra a lo largo de uno de los ejes en un sistema cartesiano de coordenadas, la respuesta es sencilla, porque entonces su vector unitario de dirección es paralelo o antiparalelo a la dirección del vector unitario de un eje. Por ejemplo, la dirección del vector $\vec{d} = −5 m \hat{i}$ es el vector unitario $\hat{d} = − \hat{i}$ . La regla general para encontrar el vector unitario $\hat{V}$ de dirección para cualquier vector $\vec{V}$ es dividirlo entre su magnitud V:

\hat{V} = \frac{\vec{V}}{V} .

2.26

Vemos en esta expresión que, efectivamente, el vector unitario de dirección es adimensional porque el numerador y el denominador en la Ecuación 2.26 tienen la misma unidad física. De este modo, la Ecuación 2.26 nos permite expresar el vector unitario de dirección en términos de vectores unitarios de los ejes. El siguiente ejemplo ilustra este principio.

Ejemplo 2.14

El vector unitario de dirección

Si el vector de velocidad del convoy militar en el Ejemplo 2.8 es

\vec{v} = (4,000 \hat{i} + 3,000 \hat{j} + 0,100 \hat{k}) km / h

, ¿cuál es el vector unitario de su dirección de movimiento?

Estrategia

El vector unitario de la dirección de movimiento del convoy es el vector unitario

\hat{v}

que es paralelo al vector de velocidad. El vector unitario se obtiene al dividir un vector entre su magnitud, de acuerdo con la Ecuación 2.26.

Solución

La magnitud del vector

\vec{v}

es

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}} = \sqrt{{4,000}^{2} + {3,000}^{2} + {0,100}^{2}} km / h = 5,001 km / h .

Para obtener el vector unitario $\hat{v}$ , dividimos $\vec{v}$ entre su magnitud:

\begin{matrix} \hat{v} & = \frac{\vec{v}}{v} = \frac{(4,000 \hat{i} + 3,000 \hat{j} + 0,100 \hat{k}) km / h}{5,001 km / h} \\ = \frac{(4,000 \hat{i} + 3,000 \hat{j} + 0,100 \hat{k})}{5,001} \\ = \frac{4,000}{5,001} \hat{i} + \frac{3,000}{5,001} \hat{j} + \frac{0,100}{5,001} \hat{k} \\ = (79,98 \hat{i} + 59,99 \hat{j} + 2,00 \hat{k}) \times 10^{−2} . \end{matrix}

Importancia

Tenga en cuenta que, cuando utilice el método analítico con una calculadora, es aconsejable realizar sus cálculos con al menos tres decimales y luego redondear la respuesta final al número requerido de cifras significativas, que es la forma en que realizamos los cálculos en este ejemplo. Si redondea su respuesta parcial demasiado pronto, se arriesga a que su respuesta final tenga un gran error numérico y esté muy lejos de la respuesta exacta o de un valor medido en un experimento.

Compruebe Lo Aprendido 2.10

Verifique que el vector $\hat{v}$ obtenido en el Ejemplo 2.14 es efectivamente un vector unitario calculando su magnitud. Si el convoy del Ejemplo 2.8 se desplazara por una llanura desértica (es decir, si el tercer componente de su velocidad fuera cero), ¿cuál es el vector unitario de su dirección de movimiento? ¿Qué dirección geográfica representa?

2.3 Álgebra de vectores

Dirección del movimiento

Solución

Cálculo analítico de una resultante

Estrategia

Solución

Importancia

El juego de tira y afloja

Estrategia

Solución

Álgebra vectorial

Estrategia

Solución

Desplazamiento de un esquiador

Estrategia

Solución

Importancia

Desplazamiento de un corredor

Estrategia

Solución

El vector unitario de dirección

Estrategia

Solución

Importancia