William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Describir vectores en dos y tres dimensiones en términos de sus componentes, mediante el empleo de vectores unitarios a lo largo de los ejes.
Distinguir entre los componentes vectoriales de un vector y los componentes escalares de un vector.
Explicar cómo se define la magnitud de un vector en términos de sus componentes.
Identificar el ángulo direccional de un vector en un plano.
Explicar la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas en un plano.

Los vectores suelen describirse en términos de sus componentes en un sistema de coordenadas. Incluso en la vida cotidiana invocamos de forma natural el concepto de proyecciones ortogonales en un sistema de coordenadas rectangulares. Por ejemplo, si pregunta a alguien cómo llegar a un lugar determinado, es más probable que le digan que vaya 40 km al este y 30 km al norte que 50 km en la dirección $37 °$ al norte del este.

En un sistema de coordenadas xy rectangular (cartesiano) en un plano, un punto en un plano se describe por un par de coordenadas (la x, la y). De forma similar, un vector $\vec{A}$ en un plano se describe mediante un par de sus coordenadas vectoriales. La coordenada x del vector $\vec{A}$ se llama su componente x y la coordenada y del vector $\vec{A}$ se llama su componente y. El componente x del vector es un vector denotado por ${\vec{A}}_{x}$ . El componente y del vector es un vector denotado por ${\vec{A}}_{y}$ . En el sistema cartesiano, los componentes vectoriales x y y de un vector son las proyecciones ortogonales de este vector sobre los ejes de la x y la y, respectivamente. De este modo, siguiendo la regla del paralelogramo para la suma de vectores, cada vector en un plano cartesiano puede expresarse como la suma vectorial de sus componentes vectoriales:

\vec{A} = {\vec{A}}_{x} + {\vec{A}}_{y} .

2.10

Como se ilustra en la Figura 2.16, el vector $\vec{A}$ es la diagonal del rectángulo donde el componente x ${\vec{A}}_{x}$ es el lado paralelo al eje de la x y el componente y ${\vec{A}}_{y}$ es el lado paralelo al eje de la y. El componente vectorial ${\vec{A}}_{x}$ es ortogonal al componente vectorial ${\vec{A}}_{y}$ .

El vector A se muestra en el sistema de coordenadas de la x y de la y se extiende desde el punto b en la cola de A hasta el punto e y su cabeza. El vector A apunta hacia arriba y hacia la derecha. Los vectores unitarios I y j son pequeños vectores que apuntan en las direcciones de la x y la y, respectivamente, y se encuentran en ángulo recto entre sí. El componente x del vector A es un vector que apunta horizontalmente desde el punto b hasta un punto directamente debajo del punto e en la punta del vector A. En el eje de la x, vemos que el vector A sub x se extiende desde x sub b hasta x sub e y es igual a la magnitud A sub x por el vector I. La magnitud A sub x es igual a x sub e menos x sub b. El componente y del vector A es un vector que apunta verticalmente desde el punto b hasta un punto directamente a la izquierda del punto e en la punta del vector A. En el eje de la y, vemos que el vector A sub y se extiende desde y sub b hasta y sub e y es igual a la magnitud A sub y por el vector j. La magnitud A sub y es igual a y sub e menos y sub b.

Figura 2.16 Vector

\vec{A}

en un plano en el sistema de coordenadas cartesianas es la suma vectorial de sus componentes vectoriales x y y. El componente vectorial x

{\vec{A}}_{x}

es la proyección ortogonal del vector

\vec{A}

en el eje de la x. El componente vectorial y

{\vec{A}}_{y}

es la proyección ortogonal del vector

\vec{A}

en el eje de la y. Las cifras

A_{x}

y

A_{y}

que multiplican los vectores unitarios son los componentes escalares del vector.

Es habitual denotar la dirección positiva en el eje de la x por el vector unitario $\hat{i}$ y la dirección positiva en el eje de la y por el vector unitario $\hat{j}$ . Los vectores unitarios de los ejes, $\hat{i}$ y $\hat{j}$ , definen dos direcciones ortogonales en el plano. Como se muestra en la Figura 2.16, los componentes x y y de un vector pueden escribirse ahora en términos de los vectores unitarios de los ejes:

{\begin{matrix} {\vec{A}}_{x} = A_{x} \hat{i} \\ {\vec{A}}_{y} = A_{y} \hat{j} . \end{matrix}

2.11

Los vectores ${\vec{A}}_{x}$ y ${\vec{A}}_{y}$ definidos por la Ecuación 2.11 son los componentes vectoriales del vector $\vec{A}$ . Las cifras $A_{x}$ y $A_{y}$ que definen los componentes vectoriales en la Ecuación 2.11 son los componentes escalares del vector $\vec{A}$ . Combinando la Ecuación 2.10 con la Ecuación 2.11, obtenemos la forma en componentes de un vector:

\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} .

2.12

Si conocemos las coordenadas $b (x_{b}, y_{b})$ del punto de origen de un vector (donde b significa "comienzo") y las coordenadas $e (x_{e}, y_{e})$ del punto final de un vector (donde e significa "final"), podemos obtener los componentes escalares de un vector simplemente al restar las coordenadas del punto de origen de las coordenadas del punto final:

{\begin{matrix} A_{x} = x_{e} - x_{b} \\ A_{y} = y_{e} - y_{b} . \end{matrix}

2.13

Ejemplo 2.3

Desplazamiento de un puntero de ratón

Un puntero de ratón en el monitor de una computadora en su posición inicial está en el punto (6,0 cm, 1,6 cm) con respecto a la esquina inferior izquierda. Si mueve el puntero a un icono situado en el punto (2,0 cm, 4,5 cm), ¿cuál es el vector de desplazamiento del puntero?

Estrategia

El origen del sistema de coordenadas xy es la esquina inferior izquierda del monitor de la computadora. Por lo tanto, el vector unitario

\hat{i}

en el eje de la x apunta horizontalmente a la derecha y el vector unitario

\hat{j}

en el eje de la y apunta verticalmente hacia arriba. El origen del vector de desplazamiento está situado en el punto b (6,0, 1,6) y el final del vector de desplazamiento está situado en el punto e (2,0, 4,5). Sustituya las coordenadas de estos puntos en la Ecuación 2.13 para encontrar los componentes escalares

D_{x}

y

D_{y}

del vector de desplazamiento

\vec{D}

. Por último, sustituya las coordenadas en la Ecuación 2.12 para escribir el vector de desplazamiento en forma de componente vectorial.

Solución

Identificamos

x_{b} = 6,0

,

x_{e} = 2,0

,

y_{b} = 1,6

y

y_{e} = 4,5

, donde la unidad física es 1 cm. Los componentes escalares x y y del vector de desplazamiento son

\begin{matrix} D_{x} & = x_{e} - x_{b} = (2,0 - 6,0) cm = −4,0 cm, \\ D_{y} & = y_{e} - y_{b} = (4,5 - 1,6) cm = + 2,9 cm . \end{matrix}

La forma de componente vectorial del vector de desplazamiento es

\vec{D} = D_{x} \hat{i} + D_{y} \hat{j} = (−4,0 cm) \hat{i} + (2,9 cm) \hat{j} = (−4,0 \hat{i} + 2,9 \hat{j}) cm .

2.14

Esta solución se muestra en la Figura 2.17.

El vector D se extiende desde las coordenadas 6,0, 1,6 hasta las coordenadas 2,0, 4,5. El vector D es igual al vector D sub x más el vector D sub y. D sub x es igual a menos 4,0 por el vector I, y se extiende desde x=6,0 hasta x =2,0. La magnitud D sub x es igual a 2,0-6,0 = -4,0. D sub y es igual a más 2,9 por el vector j, y se extiende desde y=1,6 hasta y=4,5. La magnitud D sub y es igual a 4,5 - 1,6.

Figura 2.17 El gráfico del vector de desplazamiento. El vector apunta desde el punto de origen en b hasta el punto final en e.

Importancia

Observe que la unidad física (aquí, 1 cm) puede colocarse con cada componente inmediatamente antes del vector unitario o globalmente para ambos componentes, como en la Ecuación 2.14. A menudo, esta última forma es más conveniente porque es más sencilla.

El componente x del vector ${\vec{D}}_{x} = −4,0 \hat{i} = 4,0 (− \hat{i})$ del vector de desplazamiento tiene la magnitud $| {\vec{D}}_{x} | = | - 4,0 | | \hat{i} | = 4,0$ porque la magnitud del vector unitario es $| \hat{i} | = 1$ . Observe también que la dirección del componente x es $− \hat{i}$ , que es antiparalela a la dirección del eje de la x +; por lo tanto, el componente x del vector ${\vec{D}}_{x}$ apunta a la izquierda, como se muestra en la Figura 2.17. El componente escalar x del vector $\vec{D}$ es $D_{x} = −4,0$ .

Del mismo modo, el componente y del vector ${\vec{D}}_{y} = + 2,9 \hat{j}$ del vector de desplazamiento tiene una magnitud $| {\vec{D}}_{y} | = | 2,9 | | \hat{j} | = 2,9$ porque la magnitud del vector unitario es $| \hat{j} | = 1$ . La dirección del componente y es $+ \hat{j}$ , que es paralela a la dirección del eje de la +y. Por lo tanto, el componente y del vector ${\vec{D}}_{y}$ apunta hacia arriba, como se ve en la Figura 2.17. El componente escalar y del vector $\vec{D}$ es $D_{y} = + 2,9$ . El vector de desplazamiento $\vec{D}$ es la resultante de sus dos componentes vectoriales.

La forma de componente vectorial del vector de desplazamiento en la Ecuación 2.14 nos indica que el puntero del ratón se ha movido en el monitor 4,0 cm hacia la izquierda y 2,9 cm hacia arriba desde su posición inicial.

Compruebe Lo Aprendido 2.4

Una mosca azul se posa en una hoja de papel cuadriculado en un punto situado a 10,0 cm a la derecha de su borde izquierdo y a 8,0 cm por encima de su borde inferior y camina lentamente hasta un punto situado a 5,0 cm del borde izquierdo y a 5,0 cm del borde inferior. Elija el sistema de coordenadas rectangulares con el origen en la esquina inferior izquierda del papel y halle el vector de desplazamiento de la mosca. Ilustre su solución con un gráfico.

Cuando conocemos las componentes escalares $A_{x}$ y $A_{y}$ de un vector $\vec{A}$ , podemos encontrar su magnitud A y su ángulo direccional $θ_{A}$ . El ángulo direccional, o dirección para abreviar, es el ángulo que forma el vector con la dirección positiva en el eje de la x. El ángulo $θ_{A}$ se mide en la dirección contraria a las agujas del reloj desde el eje de la x + hasta el vector (Figura 2.18). Como las longitudes A, $A_{x}$ y $A_{y}$ forman un triángulo rectángulo, están relacionadas por el teorema de Pitágoras:

A^{2} = A_{x}^{2} + A_{y}^{2} \Leftrightarrow A = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2}} .

2.15

Esta ecuación funciona incluso si los componentes escalares de un vector son negativos. El ángulo direccional $θ_{A}$ de un vector se define a través de la función tangente del ángulo $θ_{A}$ en el triángulo mostrado en la Figura 2.18:

tan θ = \frac{A_{y}}{A_{x}}

2.16

El vector A tiene el componente horizontal x A sub x igual a la magnitud A sub x por el vector I y el componente vertical y A sub y igual a la magnitud A sub y por el vector j. El vector A y los componentes forman un triángulo rectángulo con la longitud de sus lados de magnitud A sub x y magnitud A sub y e hipotenusa de magnitud A igual a la raíz cuadrada de A sub x al cuadrado más A sub y al cuadrado. El ángulo entre el lado horizontal A sub x y la hipotenusa A es theta sub A.

Figura 2.18 Cuando el vector se encuentra en el primer cuadrante o en el cuarto cuadrante, donde el componente

A_{x}

es positivo (Figura 2.19), el ángulo direccional

θ_{A}

en la (Ecuación 2.16) es idéntico al ángulo

θ

.

Cuando el vector se encuentra en el primer cuadrante o en el cuarto cuadrante, donde el componente $A_{x}$ es positivo (Figura 2.19), el ángulo $θ$ en la Ecuación 2.16 es idéntico al ángulo direccional $θ_{A}$ . Para los vectores del cuarto cuadrante, el ángulo $θ$ es negativo, lo que significa que para estos vectores, el ángulo direccional $θ_{A}$ se mide en el sentido de las agujas del reloj desde el eje de la x positiva. Del mismo modo, para los vectores del segundo cuadrante, el ángulo $θ$ es negativo. Cuando el vector se encuentra en el segundo o tercer cuadrante, donde el componente $A_{x}$ es negativo, el ángulo direccional es $θ_{A} = θ + 180 °$ (Figura 2.19).

La Figura I muestra el vector A en el primer cuadrante (apuntando hacia arriba y hacia la derecha). Tiene componentes de la x y de la y positivos A sub x y A sub y, y el ángulo theta sub A medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje de la x positiva es menor que 90 grados. La figura II muestra el vector A en el primer segundo (apuntando hacia arriba y hacia la izquierda). Tiene componentes x negativo y y positivo A sub x y A sub y. El ángulo theta sub A medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje de la x positiva es mayor que 90 grados pero menor que 180 grados. El ángulo theta, medido en el sentido de las agujas del reloj desde el eje de la x negativa, es menor que 90 grados. La figura III muestra el vector A en el tercer cuadrante (apuntando hacia abajo y hacia la izquierda). Tiene componentes de la x y de la y negativos A sub x y A sub y, y el ángulo theta sub A medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje de la x positiva es mayor que 180 grados y menor que 270 grados. El ángulo theta, medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje de la x negativa, es menor que 90 grados. La Figura IV muestra el vector A en el cuarto cuadrante (apuntando hacia abajo y a la derecha). Tiene componentes x positivo y y negativo A sub x y A sub y, y el ángulo theta sub A medido en el sentido de las agujas del reloj desde el eje de la x positiva es menor que 90 grados.

Figura 2.19 Los componentes escalares de un vector pueden ser positivos o negativos. Los vectores del primer cuadrante (I) tienen ambos componentes escalares positivos y los vectores del tercer cuadrante tienen ambos componentes escalares negativos. Para los vectores de los cuadrantes II y III, el ángulo direccional de un vector es

θ_{A} = θ + 180 °

.

Ejemplo 2.4

Magnitud y dirección del vector de desplazamiento

Usted mueve el puntero del ratón en la pantalla del monitor desde su posición inicial en el punto (6,0 cm, 1,6 cm) a un icono situado en el punto (2,0 cm, 4,5 cm). ¿Cuáles son la magnitud y la dirección del vector de desplazamiento del puntero?

Estrategia

En el Ejemplo 2.3, encontramos el vector de desplazamiento

\vec{D}

del puntero del ratón (vea la Ecuación 2.14). Identificamos sus componentes escalares

D_{x} = −4,0 cm

y

D_{y} = + 2,9 cm

y sustituimos en la Ecuación 2.15 y la Ecuación 2.16 para encontrar la magnitud D y la dirección

θ_{D}

, respectivamente.

Solución

La magnitud del vector

\vec{D}

es

D = \sqrt{D_{x}^{2} + D_{y}^{2}} = \sqrt{{(−4,0 cm)}^{2} + {(2,9 cm)}^{2}} = \sqrt{{(4,0)}^{2} + {(2,9)}^{2}} cm = 4,9 cm .

El ángulo direccional es

tan θ = \frac{D_{y}}{D_{x}} = \frac{+ 2,9 cm}{−4,0 cm} = −0,725 \Rightarrow θ = {tan}^{−1} (−0,725) = −35,9 ° .

Vector $\vec{D}$ se encuentra en el segundo cuadrante, por lo que su ángulo direccional es

θ_{D} = θ + 180 ° = −35,9 ° + 180 ° = 144,1 ° .

Compruebe Lo Aprendido 2.5

Si el vector de desplazamiento de una mosca azul que camina sobre una hoja de papel cuadriculado es $\vec{D} = (−5,00 \hat{i} - 3,00 \hat{j}) cm$ , halle su magnitud y dirección.

En muchas aplicaciones, se conocen las magnitudes y direcciones de las cantidades vectoriales y necesitamos encontrar la resultante de muchos vectores. Por ejemplo, imagine que 400 autos circulan por el puente Golden Gate de San Francisco con un fuerte viento. Cada auto da al puente un empuje diferente en varias direcciones y nos gustaría saber cuán grande puede ser el empuje resultante. Ya hemos adquirido cierta experiencia con la construcción geométrica de sumas vectoriales. En tal sentido, sabemos que la tarea de hallar la resultante al dibujar los vectores y medir sus longitudes y ángulos puede ser intratable con bastante rapidez, lo que ocasiona grandes errores. Preocupaciones como estas no surgen cuando utilizamos métodos analíticos. El primer paso en un enfoque analítico es encontrar los componentes vectoriales cuando se conocen su dirección y la magnitud.

Volvamos al triángulo rectángulo en la Figura 2.18. El cociente del lado adyacente $A_{x}$ a la hipotenusa A es la función coseno (cos) del ángulo direccional $θ_{A}$ , $A_{x} / A = cos θ_{A}$ , y el cociente del lado opuesto $A_{y}$ a la hipotenusa A es la función seno (sen) de $θ_{A}$ , $A_{y} / A = sen θ_{A}$ . Cuando la magnitud A y la dirección $θ_{A}$ son conocidas, podemos resolver estas relaciones para los componentes escalares:

{\begin{matrix} A_{x} = A cos θ_{A} \\ A_{y} = A sen θ_{A} \end{matrix} .

2.17

Al calcular los componentes del vector con la Ecuación 2.17, hay que tener cuidado con el ángulo. El ángulo direccional $θ_{A}$ de un vector es el ángulo medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde la dirección positiva del eje de la x hasta el vector. La medición en el sentido de las agujas del reloj da un ángulo negativo.

Ejemplo 2.5

Componentes de los vectores de desplazamiento

Un grupo de rescate de un niño desaparecido sigue a un perro de búsqueda llamado Trooper. Trooper deambula y olfatea bastante por muchos senderos diferentes. Finalmente, Trooper encuentra al niño y la historia tiene un final feliz, pero su desplazamiento en diversos tramos luce realmente complejo. En uno de los tramos camina 200,0 m hacia el sureste y luego corre hacia el norte unos 300,0 m. En el tercer tramo, examina cuidadosamente los olores durante 50,0 m en la dirección

30 °

al oeste del norte. En el cuarto tramo, Trooper va directamente al sur durante 80,0 m, capta un nuevo olor y gira

23 °

al oeste del sur durante 150,0 m. Halle los componentes escalares de los vectores de desplazamiento de Trooper y sus vectores de desplazamiento en forma de componente vectorial para cada tramo.

Estrategia

Adoptemos un sistema de coordenadas rectangular con el eje de la x positiva en la dirección del este geográfico, con la dirección de la y positiva apuntando al norte geográfico. Explícitamente, el vector unitario

\hat{i}

del eje de la x apunta al este y el vector unitario

\hat{j}

del eje de la y apunta al norte. Trooper recorre cinco tramos, por lo que hay cinco vectores de desplazamiento. Comenzamos por identificar sus magnitudes y ángulos direccionales, luego utilizamos la Ecuación 2.17 para encontrar los componentes escalares de cada desplazamiento y la Ecuación 2.12 para los vectores de desplazamiento.

Solución

En el primer tramo, la magnitud del desplazamiento es

L_{1} = 200,0 m

y la dirección es sureste. Para el ángulo direccional

θ_{1}

podemos tomar cualquiera de los dos

45 °

medido en el sentido de las agujas del reloj desde la dirección este o

45 ° + 270 °

medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde la dirección este. Con la primera opción,

θ_{1} = −45 °

. Con la segunda opción,

θ_{1} = + 315 °

. Podemos utilizar cualquiera de estos dos ángulos. Los componentes son

\begin{array}{l} L_{1 x} = L_{1} cos θ_{1} = (200,0 m) cos 315 ° = 141,4 m, \\ L_{1 y} = L_{1} sen θ_{1} = (200,0 m) sen 315 ° = -141,4 m . \end{array}

El vector de desplazamiento del primer tramo es

{\vec{L}}_{1} = L_{1 x} \hat{i} + L_{1 y} \hat{j} = (141,4 \hat{i} - 141,4 \hat{j}) m .

En el segundo tramo de las andanzas de Trooper, la magnitud del desplazamiento es $L_{2} = 300,0 m$ y la dirección es norte. El ángulo direccional es $θ_{2} = + 90 °$ . Obtenemos los siguientes resultados:

\begin{matrix} L_{2 x} & = & L_{2} cos θ_{2} = (300,0 m) cos 90 ° = 0,0, \\ L_{2 y} & = & L_{2} sen θ_{2} = (300,0 m) sen 90 ° = 300,0 m, \\ {\vec{L}}_{2} & = & L_{2 x} \hat{i} + L_{2 y} \hat{j} = (300,0 m) \hat{j} . \end{matrix}

En el tercer tramo, la magnitud del desplazamiento es $L_{3} = 50,0 m$ y la dirección es $30 °$ al oeste del norte. El ángulo direccional medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde la dirección este es $θ_{3} = 30 ° + 90 ° = + 120 °$ . Esto da las siguientes respuestas:

\begin{matrix} L_{3 x} & = & L_{3} cos θ_{3} = (50,0 m) cos 120 ° = −25,0 m, \\ L_{3 y} & = & L_{3} sen θ_{3} = (50,0 m) sen 120 ° = + 43,3 m, \\ {\vec{L}}_{3} & = & L_{3 x} \hat{i} + L_{3 y} \hat{j} = (−25,0 \hat{i} + 43,3 \hat{j}) m . \end{matrix}

En el cuarto tramo de la excursión, la magnitud del desplazamiento es $L_{4} = 80,0 m$ y la dirección es sur. El ángulo de dirección puede tomarse como $θ_{4} = −90 °$ o $θ_{4} = + 270 °$ . Obtenemos

\begin{matrix} L_{4 x} & = & L_{4} cos θ_{4} = (80,0 m) cos (−90 °) = 0, \\ L_{4 y} & = & L_{4} sen θ_{4} = (80,0 m) sen (−90 °) = −80,0 m, \\ {\vec{L}}_{4} & = & L_{4 x} \hat{i} + L_{4 y} \hat{j} = (−80,0 m) \hat{j} . \end{matrix}

En el último tramo, la magnitud es $L_{5} = 150,0 m$ y el ángulo es $θ_{5} = −23 ° + 270 ° = + 247 °$ $(23 °$ al oeste del sur), lo que da

\begin{matrix} L_{5 x} & = & L_{5} cos θ_{5} = (150,0 m) cos 247 ° = −58,6 m, \\ L_{5 y} & = & L_{5} sen θ_{5} = (150,0 m) sen 247 ° = -138,1 m, \\ {\vec{L}}_{5} & = & L_{5 x} \hat{i} + L_{5 y} \hat{j} = (−58,6 \hat{i} - 138,1 \hat{j}) m . \end{matrix}

Compruebe Lo Aprendido 2.6

Si Trooper corre 20 m hacia el oeste antes de descansar, ¿cuál es su vector de desplazamiento?

Coordenadas polares

Para describir ubicaciones de puntos o vectores en un plano, necesitamos dos direcciones ortogonales. En el sistema de coordenadas cartesianas estas direcciones vienen dadas por vectores unitarios $\hat{i}$ y $\hat{j}$ a lo largo del eje de la x y del eje de la y, respectivamente. El sistema de coordenadas cartesianas es muy conveniente para describir los desplazamientos y las velocidades de los objetos y las fuerzas que actúan sobre ellos. Sin embargo, es engorroso cuando necesitamos describir la rotación de los objetos. Al describir la rotación, solemos trabajar en el sistema de coordenadas polares.

En el sistema de coordenadas polares, la ubicación del punto P en un plano viene dada por dos coordenadas polares (Figura 2.20). La primera coordenada polar es la coordenada radial r, que es la distancia del punto P al origen. La segunda coordenada polar es un ángulo $φ$ que el vector radial hace con alguna dirección elegida, normalmente la dirección de la x positiva. En coordenadas polares, los ángulos se miden en radianes, o rads. El vector radial se fija en el origen y apunta lejos del origen hacia el punto P. Esta dirección radial se describe por un vector radial unitario $\hat{r}$ . El segundo vector unitario $\hat{t}$ es un vector ortogonal a la dirección radial $\hat{r}$ . La dirección positiva $+ \hat{t}$ indica cómo el ángulo $φ$ cambia en dirección contraria a las agujas del reloj. De este modo, un punto P que tiene coordenadas (x, y) en el sistema rectangular puede describirse por equivalencia en el sistema de coordenadas polares mediante las dos coordenadas polares $(r, φ)$ . La Ecuación 2.17 es válida para cualquier vector, por lo que podemos utilizarla para expresar las coordenadas de la x y la y del vector $\vec{r}$ . De este modo, obtenemos la conexión entre las coordenadas polares y las coordenadas rectangulares del punto P:

{\begin{matrix} x = r cos φ \\ y = r sen φ \end{matrix} .

2.18

El vector r apunta desde el origen del sistema de coordenadas x y al punto P. El ángulo entre el vector r y la dirección x positiva es phi. X es igual a r coseno de phi y y es igual a r seno de phi. Prolongando una línea en la dirección del vector r más allá del punto P, se dibuja un vector unitario r en la misma dirección que r. Un vector unitario t que es perpendicular al vector unitario r, apuntando 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj al vector r.

Figura 2.20 Utilizando coordenadas polares, el vector unitario

\hat{r}

define la dirección positiva a lo largo del radio r (dirección radial) y, ortogonal a él, el vector unitario

\hat{t}

define la dirección positiva de la rotación por el ángulo

φ

.

Ejemplo 2.6

Coordenadas polares

Un buscador de tesoros encuentra una moneda de plata en un lugar situado a 20,0 m de un pozo seco en la dirección

20 °

al norte del este y encuentra una moneda de oro en un lugar a 10,0 m del pozo en la dirección

20 °

al norte del oeste. ¿Cuáles son las coordenadas polares y rectangulares de estos hallazgos con respecto al pozo?

Estrategia

El pozo marca el origen del sistema de coordenadas y el este es la dirección de la x +. Identificamos las distancias radiales de los lugares al origen, que son

r_{S} = 20,0 m

(para la moneda de plata) y

r_{G} = 10,0 m

(para la moneda de oro). Para encontrar las coordenadas angulares, convertimos

20 °

a radianes:

20 ° = π 20 / 180 = π / 9

. Utilizamos la Ecuación 2.18 para encontrar las coordenadas de la x y la y de las monedas.

Solución

La coordenada angular de la moneda de plata es

φ_{S} = π / 9

, mientras que la coordenada angular de la moneda de oro es

φ_{G} = π - π / 9 = 8 π / 9

. Por lo tanto, las coordenadas polares de la moneda de plata son

(r_{S}, φ_{S}) = (20,0 m, π / 9)

y las de la moneda de oro son

(r_{G}, φ_{G}) = (10,0 m, 8 π / 9)

. Sustituimos estas coordenadas en la Ecuación 2.18 para obtener coordenadas rectangulares. Para la moneda de oro, las coordenadas son

{\begin{cases} x_{G} = r_{G} cos φ_{G} = (10,0 m) cos 8 π / 9 = −9,4 m \\ y_{G} = r_{G} sen φ_{G} = (10,0 m) sen 8 π / 9 = 3,4 m \end{cases} \Rightarrow (x_{G}, y_{G}) = (−9,4 m, 3,4 m) .

Para la moneda de plata, las coordenadas son

{\begin{cases} x_{S} = r_{S} cos φ_{S} = (20,0 m) cos π / 9 = 18,9 m \\ y_{S} = r_{S} sen φ_{S} = (20,0 m) sen π / 9 = 6,8 m \end{cases} \Rightarrow (x_{S}, y_{S}) = (18,9 m, 6,8 m) .

Vectores en tres dimensiones

Para especificar la ubicación de un punto en el espacio, necesitamos tres coordenadas (x, y, z), donde las coordenadas de la x y de la y especifican ubicaciones en un plano, y la coordenada de la z da una posición vertical por encima o por debajo del plano. El espacio tridimensional tiene tres direcciones ortogonales, por lo que no necesitamos dos, sino tres vectores unitarios para definir un sistema de coordenadas tridimensional. En el sistema de coordenadas cartesianas, los dos primeros vectores unitarios son el vector unitario del eje de la x $\hat{i}$ y el vector unitario del eje de la y $\hat{j}$ . El tercer vector unitario $\hat{k}$ es la dirección del eje z (Figura 2.21). El orden en que se marcan los ejes, que es el orden en que aparecen los tres vectores unitarios, es importante porque define la orientación del sistema de coordenadas. El orden x-y-z, que equivale al orden $\hat{i}$ - $\hat{j}$ - $\hat{k}$ , define el sistema de coordenadas estándar de la mano derecha (orientación positiva).

El sistema de coordenadas x y z, con los vectores unitarios I, j y k respectivamente. El vector I apunta hacia nosotros, el vector j apunta hacia la derecha y el vector k apunta hacia arriba de la página. Los vectores unitarios forman las caras de un cubo.

Figura 2.21 Tres vectores unitarios definen un sistema cartesiano en el espacio tridimensional. El orden en que aparecen estos vectores unitarios define la orientación del sistema de coordenadas. El orden mostrado aquí define la orientación de la mano derecha.

En el espacio tridimensional, el vector $\vec{A}$ tiene tres componentes vectoriales: el componente x ${\vec{A}}_{x} = A_{x} \hat{i}$ , que es la parte del vector $\vec{A}$ a lo largo del eje de la x, el componente y ${\vec{A}}_{y} = A_{y} \hat{j}$ , que es la parte de $\vec{A}$ a lo largo del eje de la y, y el componente z ${\vec{A}}_{z} = A_{z} \hat{k}$ , que es la parte del vector a lo largo del eje z. Un vector en un espacio tridimensional es la suma vectorial de sus tres componentes vectoriales (Figura 2.22):

\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k} .

2.19

Si conocemos las coordenadas de su origen $b (x_{b}, y_{b}, z_{b})$ y de su fin $e (x_{e}, y_{e}, z_{e})$ , sus componentes escalares se obtienen al tomar sus diferencias: $A_{x}$ y $A_{y}$ vienen dados por la Ecuación 2.13 y el componente z viene dado por

A_{z} = z_{e} - z_{b} .

2.20

La magnitud A se obtiene al generalizar la Ecuación 2.15 a tres dimensiones:

A = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2} + A_{z}^{2}} .

2.21

Esta expresión para la magnitud del vector proviene de aplicar el teorema de Pitágoras dos veces. Como se ve en la Figura 2.22, la diagonal en el plano xy tiene una longitud $\sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2}}$ y su potencia al cuadrado se suma al cuadrado $A_{z}^{2}$ para dar $A^{2}$ . Observe que, cuando el componente z es cero, el vector se encuentra completamente en el plano xy y su descripción se reduce a dos dimensiones.

El vector A en el sistema de coordenadas x y z se extiende desde el origen. El vector A es igual a la suma de los vectores A sub x, A sub y y A sub z. El vector A sub x es el componente x a lo largo del eje de la x y tiene la longitud A sub x por el vector I. El vector A sub y es el componente y a lo largo del eje de la y y tiene una longitud A sub y por el vector j. El vector A sub z es el componente z a lo largo del eje de la z y tiene una longitud A sub x por el vector k. Los componentes forman los lados de una caja rectangular con lados de longitud A sub x, A sub y y A sub z.

Figura 2.22 Un vector en un espacio tridimensional es la suma vectorial de sus tres componentes vectoriales.

Ejemplo 2.7

Despegue de un dron

Durante un despegue del IAI Heron (Figura 2.23), su posición con respecto a una torre de control es de 100 m sobre el suelo, 300 m al este y 200 m al norte. Un minuto después, su posición es de 250 m sobre el suelo, 1200 m al este y 2100 m al norte. ¿Cuál es el vector de desplazamiento del dron con respecto a la torre de control? ¿Cuál es la magnitud de su vector de desplazamiento?

Figura 2.23 El dron IAI Heron en vuelo (créditos: sargento de Estado Mayor [Staff Sargeant, SSgt] Reynaldo Ramon, Fuerzas Aéreas de los EE. UU. [U.S. Air Force, USAF]).

Estrategia

Tomamos el origen del sistema de coordenadas cartesianas como la torre de control. La dirección del eje de la x + viene dada por el vector unitario

\hat{i}

al este, la dirección del eje de la y + viene dada por el vector unitario

\hat{j}

al norte, y la dirección del eje de la z + viene dada por el vector unitario

\hat{k}

, que apunta hacia arriba desde el suelo. La primera posición del dron es el origen (o, equivalentemente, el comienzo) del vector de desplazamiento y su segunda posición es el final del vector de desplazamiento.

Solución

Identificamos b(300,0 m, 200,0 m, 100,0 m) y e(1200 m, 2100 m, 250 m), y utilizamos la Ecuación 2.13 y la Ecuación 2.20 para encontrar las componentes escalares del vector de desplazamiento del dron:

{\begin{array}{l} D_{x} = x_{e} - x_{b} = 1200,0 m - 300,0 m = 900,0 m, \\ D_{y} = y_{e} - y_{b} = 2100,0 m - 200,0 m = 1.900,0 m, \\ D_{z} = z_{e} - z_{b} = 250,0 m - 100,0 m = 150,0 m . \end{array}

Sustituimos estos componentes en la Ecuación 2.19 para encontrar el vector de desplazamiento:

\vec{D} = D_{x} \hat{i} + D_{y} \hat{j} + D_{z} \hat{k} = 900,0 m \hat{i} + 1.900,0 m \hat{j} + 150,0 m \hat{k} = (0,90 \hat{i} + 1,90 \hat{j} + 0,15 \hat{k}) km .

Sustituimos en la Ecuación 2.21 para encontrar la magnitud del desplazamiento:

D = \sqrt{D_{x}^{2} + D_{y}^{2} + D_{z}^{2}} = \sqrt{{(0,90 km)}^{2} + {(1,90 km)}^{2} + {(0,15 km)}^{2}} = 2,11 km .

Compruebe Lo Aprendido 2.7

Si el vector de velocidad media del dron en el desplazamiento en el Ejemplo 2.7 es $\vec{u} = (15,0 \hat{i} + 31,7 \hat{j} + 2,5 \hat{k}) m / s$ , ¿cuál es la magnitud del vector velocidad del dron?

2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector

Desplazamiento de un puntero de ratón

Estrategia

Solución

Importancia

Magnitud y dirección del vector de desplazamiento

Estrategia

Solución

Componentes de los vectores de desplazamiento

Estrategia

Solución

Coordenadas polares

Coordenadas polares

Estrategia

Solución

Vectores en tres dimensiones

Despegue de un dron

Estrategia

Solución