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Física Universitaria Volumen 1

2.1 Escalares y vectores

Física Universitaria Volumen 12.1 Escalares y vectores
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Describir la diferencia entre cantidades vectoriales y escalares.
  • Identificar la magnitud y la dirección de un vector.
  • Explicar el efecto de multiplicar una cantidad vectorial por un escalar.
  • Describir cómo se suman o restan cantidades vectoriales unidimensionales.
  • Explicar la construcción geométrica para la suma o la resta de vectores en un plano.
  • Distinguir entre una ecuación vectorial y una ecuación escalar.

Muchas magnitudes físicas conocidas pueden especificarse completamente con un solo número y la unidad apropiada. Por ejemplo, "un periodo de clase dura 50 min" o "el tanque de gasolina de mi auto tiene capacidad de 65 L" o "la distancia entre dos postes es de 100 m". La cantidad física que puede especificarse completamente de esta manera se denomina cantidad escalar. Escalar es sinónimo de "número". El tiempo, la masa, la distancia, la longitud, el volumen, la temperatura y la energía son ejemplos de cantidades escalares.

Las cantidades escalares que tienen las mismas unidades físicas pueden sumarse o restarse según las reglas habituales del álgebra de los números. Por ejemplo, una clase que termina 10 min antes de los 50 min dura 50min10min=40min50min10min=40min. Del mismo modo, una porción de 60 calorías (cal) de maíz seguida de una porción de 200 calorías de donas da 60cal+200cal=260cal60cal+200cal=260cal de energía. Cuando multiplicamos una cantidad escalar por un número, obtenemos la misma cantidad escalar, pero con un valor mayor (o menor). Por ejemplo, si el desayuno de ayer tenía 200 cal de energía y el de hoy tiene cuatro veces más energía que ayer, entonces el desayuno de hoy tiene 4(200cal)=800cal4(200cal)=800cal de energía. Dos cantidades escalares también pueden multiplicarse o dividirse entre sí para formar una cantidad escalar derivada. Por ejemplo, si un tren recorre una distancia de 100 km en 1,0 h, su rapidez es de 100,0 km/1,0 h = 27,8 m/s, donde la rapidez es una cantidad escalar derivada que se obtiene al dividir la distancia entre el tiempo.

Sin embargo, muchas cantidades físicas no pueden describirse completamente con un solo número de unidades físicas. Por ejemplo, cuando los guardacostas estadounidenses envían un barco o un helicóptero para una misión de rescate, el equipo de rescate debe conocer, no solo la distancia a la que se encuentra la señal de socorro, sino también la dirección de la que procede esta para poder llegar a su origen lo antes posible. Las cantidades físicas que se especifican completamente con un número de unidades (magnitud) y una dirección se llaman cantidades vectoriales. Algunos ejemplos de cantidades vectoriales son el desplazamiento, la velocidad, la posición, la fuerza y el torque. En el lenguaje matemático, las cantidades físicas vectoriales se representan mediante objetos matemáticos, denominados vectores (Figura 2.2). Podemos sumar o restar dos vectores, y podemos multiplicar un vector por un escalar o por otro vector, pero no podemos dividir por un vector. La operación de división por un vector no está definida.

Una foto de un perro. Debajo de la foto hay una flecha horizontal que empieza debajo de la cola del perro y termina debajo de la nariz del mismo. La flecha está marcada como Vector D, y su longitud está marcada como magnitud D. El inicio (cola) de la flecha está marcado como "desde la cola de un origen vectorial" y su extremo (cabeza) está marcado como "hasta la cabeza de un extremo vectorial".
Figura 2.2 Dibujamos un vector desde el punto inicial u origen ("cola" de un vector) hasta el punto extremo o terminal ("cabeza" de un vector), marcado por una punta de flecha. La magnitud es la longitud de un vector y es siempre una cantidad escalar positiva (créditos de la foto: modificación del trabajo de Cate Sevilla).

Examinemos el álgebra vectorial con un método gráfico para conocer los términos básicos y desarrollar una comprensión cualitativa. En la práctica, sin embargo, cuando se trata de resolver problemas de física, utilizamos métodos analíticos, que veremos en la siguiente sección. Los métodos analíticos son más sencillos desde el punto de vista computacional y más precisos que los métodos gráficos. A partir de ahora, para distinguir entre una cantidad vectorial y una escalar, adoptamos la convención común de que una letra en negritas con una flecha encima denota un vector, y una letra sin flecha denota un escalar. Por ejemplo, una distancia de 2,0 km, que es una cantidad escalar, se denota por d = 2,0 km, mientras que un desplazamiento de 2,0 km en alguna dirección, que es una cantidad vectorial, se denota por dd.

Supongamos que le dice a un amigo con el que está de acampada que ha descubierto un estupendo agujero para pescar a 6 km de su carpa. Es poco probable que su amigo encuentre el agujero con facilidad, a menos que también le comunique la dirección en la que se encuentre con respecto a su campamento. Puede decir, por ejemplo, "camine unos 6 km al noreste de mi carpa". El concepto clave aquí es que hay que dar no uno, sino dos datos: la distancia o magnitud (6 km) y la dirección (noreste).

Desplazamiento es un término general que se utiliza para describir un cambio de posición, por ejemplo, durante un viaje desde la carpa hasta el agujero de pesca. El desplazamiento es un ejemplo de cantidad vectorial. Si se camina desde la carpa (lugar A) hasta el agujero (lugar B), como se muestra en la Figura 2.3, el vector DD, que representa su desplazamiento, se dibuja como la flecha que se origina en el punto A y termina en el punto B. La punta de la flecha marca el final del vector. La dirección del vector de desplazamiento DD es la dirección de la flecha. La longitud de la flecha representa la magnitud D del vector DD. Aquí, D = 6 km. Como la magnitud de un vector es su longitud, que es un número positivo, la magnitud también se indica al colocar la notación de valor absoluto alrededor del símbolo que denota el vector; por lo tanto, podemos escribir de forma equivalente que D|D|D|D|. Para resolver un problema vectorial gráficamente, necesitamos dibujar el vector DD a escala. Por ejemplo, si suponemos que 1 unidad de distancia (1 km) está representada en el dibujo por un segmento de línea de longitud u = 2 cm, entonces el desplazamiento total en este ejemplo está representado por un vector de longitud d=6u=6(2cm)=12cmd=6u=6(2cm)=12cm, como se muestra en la Figura 2.4. Observe que aquí, para evitar confusiones, utilizamos D=6kmD=6km para denotar la magnitud del desplazamiento real y d = 12 cm para denotar la longitud de su representación en el dibujo.

Ilustración de un lago, a cierta distancia al noreste de una carpa. El norte está arriba en la página, el este a la derecha. La carpa está marcada como ubicación A, y el lago, como ubicación B. Una flecha recta comienza en A y termina en B. Tres caminos serpenteantes, mostrados en líneas discontinuas, también comienzan en A y terminan en B.
Figura 2.3 El vector de desplazamiento desde el punto A (la posición inicial en el campamento) hasta el punto B (la posición final en el agujero de pesca) se indica con una flecha con origen en el punto A y final en el punto B. El desplazamiento es el mismo para cualquiera de los caminos reales (curvas discontinuas) que se pueden tomar entre los puntos A y B.
Se muestra una regla, con la distancia medida en centímetros. Un vector se muestra como una flecha paralela a la regla, que se extiende desde su extremo en 0 c m hasta 12 c m, y está marcado como vector D.
Figura 2.4 Un desplazamiento D D de magnitud 6 km se dibuja a escala como un vector de longitud 12 cm cuando la longitud de 2 cm representa 1 unidad de desplazamiento (que en este caso es 1 km).

Supongamos que su amigo camina desde el campamento en A hasta el estanque de pesca en B y luego regresa: desde el estanque de pesca en B hasta el campamento en A. La magnitud del vector de desplazamiento DABDAB de A a B es igual a la magnitud del vector de desplazamiento DBADBA de B a A (es igual a 6 km en ambos casos), por lo que podemos escribir DAB=DBADAB=DBA. Sin embargo, el vector DABDAB no es igual al vector DBADBA porque estos dos vectores tienen direcciones diferentes: DABDBADABDBA. En la Figura 2.3, el vector DBADBA se representaría mediante un vector con origen en el punto B y final en el punto A, lo cual indica que el vector DBADBA apunta al suroeste, que es exactamente 180°180° opuesto a la dirección del vector DABDAB. Diremos que el vector DBADBA es antiparalelo al vector DABDAB y escribimos DAB=DBADAB=DBA, donde el signo menos indica la dirección antiparalela.

Se dice que dos vectores que tienen direcciones idénticas son vectores paralelos, es decir, que son paralelos entre sí. Dos vectores paralelos AA y BB son iguales, indicado por A=BA=B, si y solo si tienen magnitudes iguales |A|=|B||A|=|B|. Se dice que dos vectores con direcciones perpendiculares entre sí son vectores ortogonales. Estas relaciones entre vectores se ilustran en la Figura 2.5.

Figura a: Dos ejemplos de vector A paralelo al vector B. En uno, A y B están en la misma línea, uno tras otro, pero A es más largo que B. En el otro, A y B son paralelos con sus colas alineadas, pero A es más corto que B. Figura b: Ejemplo de vector A antiparalelo al vector B. El vector A apunta a la izquierda y es más largo que el vector B, que apunta a la derecha. El ángulo entre ellos es de 180 grados. Figura c: Ejemplo de vector A antiparalelo al menos vector A: A apunta a la derecha y -A a la izquierda. Ambos tienen la misma longitud. Figura d: Dos ejemplos de vector A igual a vector B: En uno, A y B están en la misma línea, uno tras otro, y ambos tienen la misma longitud. En el otro, A y B son paralelos entre sí con sus colas alineadas, y ambos tienen la misma longitud. Figura e: Dos ejemplos de vector A ortogonal al vector B: En uno, A apunta hacia abajo y B hacia la derecha; se encuentran en un ángulo recto, y ambos tienen la misma longitud. En el otro, A apunta hacia abajo y hacia la derecha y B apunta hacia abajo y hacia la izquierda; se encuentran con A en un ángulo recto. Ambos tienen la misma longitud.
Figura 2.5 Diversas relaciones entre dos vectores A A y B B . (a) A B A B porque A B A B . (b) A B A B porque no son paralelos y A B A B . (c) A A A A porque tienen direcciones diferentes (aunque | A | = | A | = A ) | A | = | A | = A ) . (d) A = B A = B porque son paralelos y tienen magnitud idéntica A = B. (e) A B A B porque tienen direcciones diferentes (no son paralelos); aquí, sus direcciones difieren en 90 ° 90 ° , lo que significa que son ortogonales.

Compruebe Lo Aprendido 2.1

Dos lanchas a motor llamadas Alice y Bob se desplazan por un lago. Dada la información sobre sus vectores de velocidad en cada una de las siguientes situaciones, indique si sus vectores de velocidad son iguales o no. (a) Alice se desplaza hacia el norte a 6 nudos y Bob se desplaza hacia el oeste a 6 nudos. (b) Alice se desplaza hacia el oeste a 6 nudos y Bob se desplaza hacia el oeste a 3 nudos. (c) Alice se desplaza hacia el noreste a 6 nudos y Bob se desplaza hacia el sur a 3 nudos. (d) Alice se desplaza hacia el noreste a 6 nudos y Bob se desplaza hacia el suroeste a 6 nudos. (e) Alice se desplaza hacia el noreste a 2 nudos y Bob se acerca a la costa hacia el noreste a 2 nudos.

Álgebra de vectores en una dimensión

Los vectores pueden multiplicarse por escalares, sumarse a otros vectores o restarse de otros. Podemos ilustrar estos conceptos vectoriales con un ejemplo de excursión de pesca, que se ve en la Figura 2.6.

Tres ilustraciones de la misma carpa y del lago al noreste de la carpa. El norte está arriba, en la página. La ubicación de la carpa es el punto A, y la ubicación del lago es el punto B. La ubicación entre A y B, aproximadamente a 2/3 del camino de A a B, está marcada como punto C. En la Figura a, el vector de A a B se muestra como una flecha azul, que comienza en A y termina en B, y está marcada como vector D sub A B. El vector de A a C se muestra como una flecha roja, que comienza en A y termina en C y está marcada como vector D sub A C. Tres caminos serpenteantes se muestran como líneas discontinuas, que comienzan en A y terminan en B. La Figura b añade lo siguiente a la ilustración de la Figura a: El punto D se añade a mitad de camino entre los puntos A y B. El vector de A a D se muestra como una flecha púrpura, que empieza en A y termina en D y está marcada como vector D sub A D. El vector de D a B se muestra como una flecha naranja, que empieza en D y termina en B y está marcada como vector D sub D B. La Figura c añade una flecha verde del punto C al punto D y está marcada como vector D sub C D. El vector D sub C D apunta en la dirección opuesta a la de los otros vectores, hacia la carpa en lugar de hacia el lago.
Figura 2.6 Vectores de desplazamiento para una excursión de pesca. (a) Parada para descansar en el punto C mientras se camina desde el campamento (punto A) hasta el estanque (punto B). (b) Regreso para recoger la caja de anzuelos que se cayó (punto D). (c) Finaliza en el estanque de pesca.

Supongamos que su amigo parte del punto A (el campamento) y camina en dirección al punto B (el estanque de pesca), pero, por el camino, se detiene a descansar en algún punto C situado a tres cuartas partes de la distancia entre A y B, partiendo del punto A (Figura 2.6(a)). ¿Cuál es su vector de desplazamiento DACDAC cuando llega al punto C? Sabemos que si camina hasta B, su vector de desplazamiento con respecto a A es DABDAB, que tiene una magnitud DAB=6kmDAB=6km y una dirección al noreste. Si camina solo una fracción de 0,75 de la distancia total, y mantiene la dirección noreste, en el punto C debe estar a 0,75DAB=4,5km0,75DAB=4,5km lejos del campamento en A. Así, su vector de desplazamiento en el punto de reposo C tiene magnitud DAC=4,5km=0,75DABDAC=4,5km=0,75DAB y es paralelo al vector de desplazamiento DABDAB. Todo esto se puede resumir en la siguiente ecuación vectorial:

DAC=0,75DAB.DAC=0,75DAB.

En una ecuación vectorial, ambos lados de la ecuación son vectores. La ecuación anterior es un ejemplo de vector multiplicado por un escalar positivo (número) α=0,75α=0,75. El resultado, DACDAC, de tal multiplicación es un nuevo vector con una dirección paralela a la dirección del vector original DABDAB.

En general, cuando un vector AA se multiplica por un escalar positivo αα, el resultado es un nuevo vector BB que es paralelo a AA:

B=αA.B=αA.
2.1

La magnitud |B||B| de este nuevo vector se obtiene al multiplicar la magnitud |A||A| del vector original, expresada por la ecuación escalar:

B=|α|A.B=|α|A.
2.2

En una ecuación escalar, ambos lados de la ecuación son números. La Ecuación 2.2 es una ecuación escalar porque las magnitudes de los vectores son cantidades escalares (y números positivos). Si el escalar αα es negativo en la ecuación vectorial de la Ecuación 2.1, entonces la magnitud |B||B| del nuevo vector sigue siendo dada por la Ecuación 2.2, pero la dirección del nuevo vector BB es antiparalela a la dirección de AA. Estos principios se ilustran en la Figura 2.7(a) con dos ejemplos en los que la longitud del vector AA es de 1,5 unidades. Cuando α=2α=2, el nuevo vector B=2AB=2A tiene longitud B=2A=3,0unidadesB=2A=3,0unidades (el doble de largo que el vector original) y es paralelo al vector original. Cuando α=−2α=−2, el nuevo vector C=−2AC=−2A tiene longitud C=|2|A=3,0unidadesC=|2|A=3,0unidades (dos veces más largo que el vector original) y es antiparalelo al vector original.

La Figura a muestra el vector A que apunta a la derecha. Tiene una magnitud A=1,5. El vector B=2 tiempo vector A apunta a la derecha y tiene magnitud B = 2 A = 3,0. El vector C = -2 veces el vector A y tiene una magnitud B = 2,0. La Figura b muestra que el vector A apunta a la derecha y tiene una magnitud A=1,5. El vector B se muestra debajo del vector A, con sus colas alineadas. El vector B apunta a la derecha y tiene una magnitud de 2,0. En otra vista, se muestra el vector A con el vector B que comienza en la cabeza de A y se extiende hacia la derecha. Debajo de ellos hay un vector, marcado como vector R = vector A más vector B, que apunta a la derecha cuya cola está alineada con la cola del vector A y cuya cabeza está alineada con la cabeza del vector B. La magnitud del vector R es igual a la magnitud A más la magnitud B = 3,5. La Figura c muestra que el vector A apunta a la derecha y tiene una magnitud A=1,5. El vector B se muestra debajo del vector A, con sus colas alineadas. El vector menos B apunta a la derecha y tiene una magnitud de 3,2. En otra vista, el vector A se muestra con el vector menos B que apunta a la izquierda y con su cabeza alineada con la cabeza del vector A. Debajo de ellos hay un vector, marcado como vector D = vector A menos vector B, más corto que B y que apunta a la izquierda cuya cabeza está alineada con la cabeza del vector B. La magnitud del vector D es igual a la magnitud de la cantidad A menos B = 1,7.
Figura 2.7 Álgebra de vectores en una dimensión. (a) Multiplicación por un escalar. (b) Suma de dos vectores ( R ( R se llama la resultante de los vectores A A y B ) B ) . (c) Sustracción de dos vectores ( D ( D es la diferencia de vectores A A y B ) B ) .

Supongamos ahora que su compañero de pesca parte del punto A (el campamento), y camina en dirección al punto B (el agujero de pesca), pero se da cuenta de que ha perdido su caja de anzuelos cuando se ha parado a descansar en el punto C (situado a tres cuartas partes de la distancia entre A y B, al partir del punto A). Entonces, da la vuelta y vuelve sobre sus pasos en dirección al campamento y encuentra la caja tirada en el camino en un punto D a solo 1,2 km del punto C (vea la Figura 2.6(b)). ¿Cuál es su vector de desplazamiento DADDAD cuando encuentra la caja en el punto D? ¿Cuál es su vector de desplazamiento DDBDDB desde el punto D hasta el agujero? Ya hemos establecido que en el punto de reposo C su vector de desplazamiento es DAC=0,75DABDAC=0,75DAB. Partiendo del punto C, camina hacia el suroeste (hacia el campamento), lo que significa que su nuevo vector de desplazamiento DCDDCD del punto C al punto D es antiparalelo a DABDAB. Su magnitud |DCD||DCD| es DCD=1,2km=0,2DABDCD=1,2km=0,2DAB, por lo que su segundo vector de desplazamiento es DCD=−0,2DABDCD=−0,2DAB. Su desplazamiento total DADDAD con respecto al campamento es la suma vectorial de los dos vectores de desplazamiento: vector DACDAC (desde el campamento hasta el punto de descanso) y el vector DCDDCD (desde el punto de descanso hasta el punto donde encuentra su caja):

DAD=DAC+DCD.DAD=DAC+DCD.
2.3

La suma vectorial de dos (o más) vectores se denomina vector resultante o, para abreviar, la resultante. Cuando se conocen los vectores del lado derecho de la Ecuación 2.3, podemos encontrar la resultante DADDAD de la siguiente forma:

DAD=DAC+DCD=0,75DAB0,2DAB=(0,750,2)DAB=0,55DAB.DAD=DAC+DCD=0,75DAB0,2DAB=(0,750,2)DAB=0,55DAB.
2.4

Cuando su amigo llega finalmente al estanque en B, su vector de desplazamiento DABDAB desde el punto A es la suma vectorial de su vector de desplazamiento DADDAD del punto A al punto D y su vector de desplazamiento DDBDDB desde el punto D hasta el agujero de pesca: DAB=DAD+DDBDAB=DAD+DDB (vea la Figura 2.6(c)). Esto significa que su vector de desplazamiento DDBDDB es la diferencia de dos vectores:

DDB=DABDAD=DAB+(DAD).DDB=DABDAD=DAB+(DAD).
2.5

Observe que una diferencia de dos vectores no es más que la suma vectorial de dos vectores porque el segundo término de la Ecuación 2.5 es el vector DADDAD (que es antiparalelo a DAD)DAD). Cuando sustituimos la Ecuación 2.4 en la Ecuación 2.5, obtenemos el segundo vector de desplazamiento:

DDB=DABDAD=DAB0,55DAB=(1,00,55)DAB=0,45DAB.DDB=DABDAD=DAB0,55DAB=(1,00,55)DAB=0,45DAB.
2.6

Este resultado significa que su amigo caminó DDB=0,45DAB=0,45(6,0km)=2,7kmDDB=0,45DAB=0,45(6,0km)=2,7km desde el punto donde encuentra su caja de anzuelos hasta el agujero de pesca.

Cuando los vectores AA y BB se encuentran a lo largo de una línea (es decir, en una dimensión), como en el ejemplo del campamento, su resultante R=A+BR=A+B y su diferencia D=ABD=AB ambas se encuentran en la misma dirección. Podemos ilustrar la suma o la resta de vectores dibujando los vectores correspondientes a escala en una dimensión, como se muestra en la Figura 2.7.

Para ilustrar la resultante cuando AA y BB son dos vectores paralelos, los dibujamos a lo largo de una línea al colocar el origen de un vector en el extremo del otro vector en forma de cabeza a cola (vea la Figura 2.7(b)). La magnitud de esta resultante es la suma de sus magnitudes: R = A + B. La dirección de la resultante es paralela a ambos vectores. Cuando el vector AA es antiparalelo al vector BB, los dibujamos a lo largo de una línea, ya sea de cabeza a cabeza (Figura 2.7(c)) o de cola a cola. La magnitud de la diferencia de vectores, entonces, es el valor absoluto D=|AB|D=|AB| de la diferencia de sus magnitudes. La dirección de la diferencia de vectores DD es paralela a la dirección del vector más largo.

En general, en una dimensión, así como en dimensiones superiores, como en un plano o en el espacio, podemos sumar cualquier número de vectores y podemos hacerlo en cualquier orden porque la suma de vectores es conmutativa,

A+B=B+A,A+B=B+A,
2.7

y asociativa,

(A+B)+C=A+(B+C).(A+B)+C=A+(B+C).
2.8

Además, la multiplicación por un escalar es distributiva:

α1A+α2A=(α1+α2)A.α1A+α2A=(α1+α2)A.
2.9

Utilizamos la propiedad distributiva en la Ecuación 2.4 y la Ecuación 2.6.

Al sumar muchos vectores en una dimensión, es conveniente utilizar el concepto de vector unitario. Un vector unitario, que se denota con un símbolo de letra con acento circunflejo, como u^u^, tiene una magnitud de uno y no tiene ninguna unidad física de modo que |u^|u=1|u^|u=1. La única función de un vector unitario es especificar la dirección. Por ejemplo, en lugar de decir que el vector DABDAB tiene una magnitud de 6,0 km y una dirección de noreste, podemos introducir un vector unitario u^u^ que apunta al noreste y decir de forma resumida que DAB=(6,0km)u^DAB=(6,0km)u^. Entonces la dirección suroeste viene dada simplemente por el vector unitario u^u^. De este modo, el desplazamiento de 6,0 km en dirección suroeste se expresa mediante el vector

DBA=(−6,0km)u^.DBA=(−6,0km)u^.

Ejemplo 2.1

Una mariquita caminante

Una larga regla para medir se apoya en la pared de un laboratorio de física con su extremo de 200 cm en el suelo. Una mariquita se posa en la marca de 100 cm y se arrastra aleatoriamente por la regla. Primero camina 15 cm hacia el suelo, luego camina 56 cm hacia la pared, y después vuelve a caminar 3 cm hacia el suelo. A continuación, tras una breve parada, continúa 25 cm hacia el suelo y luego, de nuevo, se arrastra 19 cm hacia la pared antes de detenerse por completo (Figura 2.8). Halle el vector de su desplazamiento total y su posición final de reposo en la regla.

Estrategia

Si elegimos la dirección a lo largo de la regla hacia el suelo como la dirección del vector unitario u^u^, entonces la dirección hacia el suelo es +u^+u^ y la dirección hacia la pared es u^u^. La mariquita realiza un total de cinco desplazamientos:
D1=(15cm)(+u^),D2=(56cm)(u^),D3=(3cm)(+u^),D4=(25cm)(+u^),yD5=(19cm)(u^).D1=(15cm)(+u^),D2=(56cm)(u^),D3=(3cm)(+u^),D4=(25cm)(+u^),yD5=(19cm)(u^).

El desplazamiento total DD es la resultante de todos sus vectores de desplazamiento.

Cinco ilustraciones de una mariquita sobre una regla apoyada en una pared. La dirección del vector +u es hacia el suelo paralela a la regla, y la dirección del vector -u es hacia arriba a lo largo de la regla. En la primera ilustración, la mariquita se encuentra cerca del centro de la regla y el vector D sub 1 apunta hacia abajo en la misma. En la segunda ilustración, la mariquita se encuentra más abajo, donde está la cabeza del vector D sub 1 en la primera ilustración, y el vector D sub 2 apunta hacia arriba de la regla. En la tercera ilustración, la mariquita se encuentra más arriba, donde está la cabeza del vector D sub 2 en la segunda ilustración, y el vector D sub 3 apunta hacia abajo de la regla. En la cuarta ilustración, la mariquita se encuentra más abajo, donde está la cabeza del vector D sub 3 en la tercera ilustración, y el vector D sub 4 apunta hacia abajo de la regla. En la quinta ilustración, la mariquita se encuentra más abajo, donde está la cabeza del vector D sub 4 en la cuarta ilustración, y el vector D sub 5 apunta hacia arriba de la regla.
Figura 2.8 Cinco desplazamientos de la mariquita. Observe que en este dibujo esquemático, las magnitudes de los desplazamientos no están dibujadas a escala (créditos de "mariquita": modificación de la obra de "Persian Poet Gal"/Wikimedia Commons).

Solución

La resultante de todos los vectores de desplazamiento es
D=D1+D2+D3+D4+D5=(15cm)(+u^)+(56cm)(u^)+(3cm)(+u^)+(25cm)(+u^)+(19cm)(u^)=(1556+3+2519)cmu^=−32cmu^.D=D1+D2+D3+D4+D5=(15cm)(+u^)+(56cm)(u^)+(3cm)(+u^)+(25cm)(+u^)+(19cm)(u^)=(1556+3+2519)cmu^=−32cmu^.

En este cálculo, utilizamos la ley distributiva dada por la Ecuación 2.9. El resultado es que el vector de desplazamiento total apunta lejos de la marca de 100 cm (lugar de aterrizaje inicial) hacia el extremo de la regla para medir que toca la pared. El extremo que toca la pared está marcado 0 cm, por lo que la posición final de la mariquita está en la marca (100 - 32)cm = 68 cm.

Compruebe Lo Aprendido 2.2

Un buceador de cuevas entra en un largo túnel submarino. Cuando su desplazamiento con respecto al punto de entrada es de 20 m, se le cae accidentalmente la cámara, pero no se da cuenta de que no la tiene hasta que se adentra unos 6 m en el túnel. Vuelve a nadar 10 m pero no encuentra la cámara, así que decide terminar la inmersión. ¿A qué distancia está del punto de entrada? Tomando la dirección positiva de salida del túnel, ¿cuál es su vector de desplazamiento con respecto al punto de entrada?

Álgebra de vectores en dos dimensiones

Cuando los vectores se encuentran en un plano, es decir, cuando están en dos dimensiones, pueden multiplicarse por escalares, sumarse a otros vectores o restarse de otros de acuerdo con las leyes generales expresadas por la Ecuación 2.1, la Ecuación 2.2, la Ecuación 2.7 y la Ecuación 2.8. Sin embargo, la regla de adición de dos vectores en un plano se complica más que la regla de adición de vectores en una dimensión. Tenemos que utilizar las leyes de la geometría para construir vectores resultantes, seguidos de la trigonometría para encontrar las magnitudes y direcciones de los vectores. Este enfoque geométrico se utiliza habitualmente en la navegación (Figura 2.9). En este apartado, necesitamos tener a mano dos reglas, una escuadra, un transportador, un lápiz y una goma de borrar para dibujar vectores a escala mediante construcciones geométricas.

Fotografía de alguien midiendo la distancia en un mapa con calibradores y una regla.
Figura 2.9 En la navegación, las leyes de la geometría se utilizan para dibujar los desplazamientos resultantes en los mapas náuticos.

Para una construcción geométrica de la suma de dos vectores en un plano, seguimos la regla del paralelogramo. Supongamos que dos vectores AA y BB están en las posiciones arbitrarias indicadas en la Figura 2.10. Traslade cualquiera de ellos en paralelo al inicio del otro vector, de forma que, luego de la traslación, ambos vectores tengan su origen en el mismo punto. Ahora, al final del vector AA dibujamos una línea paralela al vector BB y al final del vector BB dibujamos una línea paralela al vector AA (las líneas discontinuas en la Figura 2.10). De este modo, obtenemos un paralelogramo. Desde el origen de los dos vectores dibujamos una diagonal que es la resultante RR de los dos vectores: R=A+BR=A+B (Figura 2.10(a)). La otra diagonal de este paralelogramo es la diferencia de los dos vectores D=ABD=AB, como se muestra en la Figura 2.10(b). Observe que el final de la diferencia de vectores se sitúa al final del vector AA.

Se ilustra el método del paralelogramo para sumar vectores. En la figura a, se muestran los vectores A y B. El vector A apunta a la derecha y hacia abajo y el vector B apunta a la derecha y hacia arriba. Los vectores A y B se muestran entonces como flechas continuas con sus colas juntas, y sus direcciones como antes. Se muestra una línea discontinua paralela al vector A pero desplazada de manera que comienza en la cabeza de B. También se muestra una segunda línea discontinua, paralela a B y que comienza en la cabeza de A. Los vectores A y B y las dos líneas discontinuas forman un paralelogramo. Se muestra un tercer vector, marcado como vector R = vector A más vector B. La cola del vector R está en las colas de los vectores A y B, y la cabeza del vector R está donde las líneas discontinuas se encuentran entre sí, en diagonal a través del paralelogramo. Observamos que la magnitud de R no es igual a la magnitud de A más la magnitud de B. En la Figura b, se muestran los vectores A y menos B. El vector menos B es el vector B de la parte a, que se giró a 180 grados. El vector A apunta a la derecha y hacia abajo y el vector menos B apunta a la izquierda y hacia abajo. Los vectores A y B se muestran entonces como flechas continuas con sus colas juntas, y sus direcciones como antes. Se muestra una línea discontinua paralela al vector A pero desplazada de manera que comienza en la cabeza de B. También se muestra una segunda línea discontinua, paralela a B y que comienza en la cabeza de A. Los vectores A y B y las dos líneas discontinuas forman un paralelogramo. Se muestra un tercer vector, marcado como vector D. La cola del vector D está en la cabeza del vector B, y la cabeza del vector D está en la cabeza del vector A, en diagonal a través del paralelogramo. Observamos que el vector D es igual al vector A menos el vector B, pero la magnitud de D no es igual a la magnitud de A menos la de B.
Figura 2.10 La regla del paralelogramo para la suma de dos vectores. Realice la traslación paralela de cada vector a un punto en el que coincidan sus orígenes (marcados por el punto) y construya un paralelogramo con dos lados sobre los vectores y los otros dos lados (indicados con líneas discontinuas) paralelos a los vectores. (a) Dibuje el vector resultante R R a lo largo de la diagonal del paralelogramo, desde el punto común hasta la esquina opuesta. La longitud R del vector resultante no es igual a la suma de las magnitudes de los dos vectores. (b) Dibuje la diferencia de vectores D = A B D = A B a lo largo de la diagonal que conecta los extremos de los vectores. Sitúe el origen del vector D D al final del vector B B y el final (cabeza de flecha) del vector D D al final del vector A A . La longitud D de la diferencia de vectores no es igual a la diferencia de magnitudes de los dos vectores.

De la regla del paralelogramo se deduce que ni la magnitud del vector resultante ni la magnitud de la diferencia de vectores pueden expresarse como una simple suma o diferencia de las magnitudes A y B, porque la longitud de una diagonal no puede expresarse como una simple suma de las longitudes de los lados. Cuando se utiliza una construcción geométrica para encontrar las magnitudes |R||R| y |D||D|, tenemos que utilizar las leyes de la trigonometría para los triángulos, lo que puede llevar a un álgebra complicada. Hay dos maneras de evitar esta complejidad algebraica. Una forma es utilizar el método de los componentes, que examinamos en la siguiente sección. La otra forma es dibujar los vectores a escala, como se hace en la navegación, y leer las longitudes y ángulos aproximados de los vectores (direcciones) a partir de los gráficos. En esta sección examinamos el segundo enfoque.

Si necesitamos sumar tres o más vectores, repetimos la regla del paralelogramo para los pares de vectores hasta encontrar la resultante de todas las resultantes. Para tres vectores, por ejemplo, primero encontramos la resultante del vector 1 y el vector 2, y luego encontramos la resultante de esta resultante y el vector 3. El orden en el que seleccionemos los pares de vectores no importa porque la operación de suma de vectores es conmutativa y asociativa (vea la Ecuación 2.7 y la Ecuación 2.8). Antes de enunciar una regla general que derive de las aplicaciones repetidas de la regla del paralelogramo, veamos el siguiente ejemplo.

Suponga que planea un viaje de vacaciones en Florida. Saliendo de Tallahassee, la capital del estado, planea visitar a su tío Joe en Jacksonville, ver a su primo Vinny en Daytona Beach, realizar una parada para divertirse un poco en Orlando, ver un espectáculo de circo en Tampa y visitar la Universidad de Florida en Gainesville. Su ruta se puede representar por cinco vectores de desplazamiento A,A, BB, CC, DD y EE, que se indican con los vectores rojos en la Figura 2.11. ¿Cuál es su desplazamiento total al llegar a Gainesville? El desplazamiento total es la suma vectorial de los cinco vectores de desplazamiento, que se puede encontrar con la regla del paralelogramo cuatro veces. Alternativamente, recordemos que el vector de desplazamiento tiene su comienzo en la posición inicial (Tallahassee) y su final en la posición final (Gainesville), por lo que el vector de desplazamiento total puede dibujarse directamente como una flecha que conecta Tallahassee con Gainesville (vea el vector verde en la Figura 2.11). Cuando usamos la regla del paralelogramo cuatro veces, la resultante RR que obtenemos es exactamente este vector verde que conecta Tallahassee con Gainesville: R=A+B+C+D+ER=A+B+C+D+E.

Mapa de Florida con los siguientes vectores mostrados en rojo: Vector A de Tallahassee a Jacksonville, casi al oeste. Vector B de Jacksonville a Daytona Beach, al sureste. Vector C de Daytona Beach a Orlando, al suroeste. Vector D de Orlando a Tampa, al suroeste (pero menos vertical que el vector C). Vector E de Tampa a Gainesville, ligeramente al este del norte. El vector R de Tallahassee a Gainsville se muestra como una flecha verde.
Figura 2.11 Cuando utilizamos la regla del paralelogramo cuatro veces, obtenemos el vector resultante R = A + B + C + D + E R = A + B + C + D + E , que es el vector verde que conecta Tallahassee con Gainesville.

El dibujo del vector resultante de muchos vectores puede generalizarse con la siguiente construcción geométrica de cola a cabeza. Supongamos que queremos dibujar el vector resultante RR de cuatro vectores AA, BB, CC y DD (Figura 2.12(a)). Seleccionamos cualquiera de los vectores como primer vector y hacemos una traslación paralela de un segundo vector a una posición en la que el origen ("cola") del segundo vector coincide con el final ("cabeza") del primer vector. Luego, seleccionamos un tercer vector y realizamos una traslación paralela del tercer vector a una posición en la que el origen del tercer vector coincida con el final del segundo vector. Repetimos este procedimiento hasta que todos los vectores estén en una disposición de cabeza a cola como la que se muestra en la Figura 2.12. Dibujamos el vector resultante RR conectando el origen ("cola") del primer vector con el final ("cabeza") del último vector. El final del vector resultante está en el final del último vector. Como la suma de vectores es asociativa y conmutativa, obtenemos el mismo vector resultante, independientemente del vector que elijamos como primero, segundo, tercero o cuarto en esta construcción.

En la Figura a, se muestran individualmente cuatro vectores, marcados como A, B, C y D. En la Figura b, los vectores se muestran ordenados de cabeza a cola: La cola del vector A está en la cabeza de D. La cola del vector C está en la cabeza de A. Y la cola del vector B está en la cabeza de C. Cada vector apunta en la misma dirección que en la figura a. Un quinto vector, R, comienza en la cola del vector D y termina en la cabeza del vector B.
Figura 2.12 Método de cola a cabeza para dibujar el vector resultante R = A + B + C + D R = A + B + C + D . (a) Cuatro vectores de diferentes magnitudes y direcciones. (b) Los vectores de (a) se trasladan a nuevas posiciones en las que el origen ("cola") de un vector está en el extremo ("cabeza") de otro vector. El vector resultante se dibuja desde el origen ("cola") del primer vector hasta el final ("cabeza") del último vector en esta disposición.

Ejemplo 2.2

Construcción geométrica de la resultante

Los tres vectores de desplazamiento AA, BB y CC en la Figura 2.13 se especifican por sus magnitudes A = 10,0, B = 7,0 y C = 8,0, respectivamente, y por sus respectivos ángulos direccionales con la dirección horizontal α=35°α=35°, β=−110°β=−110° y γ=30°γ=30°. Las unidades físicas de las magnitudes son los centímetros. Elija una escala conveniente y utilice una regla y un transportador para encontrar las siguientes sumas vectoriales: (a) R=A+BR=A+B, (b) D=AB, yD=AB, y (c) S=A3B+CS=A3B+C.
El vector A tiene una magnitud de 10,0 y está en un ángulo alfa = 35 grados en sentido contrario a las agujas del reloj desde la horizontal. Apunta hacia arriba y hacia la derecha. El vector B tiene una magnitud de 7,0 y está en un ángulo beta = -110 grados en el sentido de las agujas del reloj respecto a la horizontal. Apunta hacia abajo y hacia la izquierda. El vector C tiene una magnitud de 8,0 y está en un ángulo gamma = 30 grados en sentido contrario a las agujas del reloj desde la horizontal. Apunta hacia arriba y hacia la derecha. El vector F tiene una magnitud de 20,0 y está en un ángulo phi = 110 grados en sentido contrario a las agujas del reloj desde la horizontal. Apunta hacia arriba y hacia la izquierda.
Figura 2.13 Vectores utilizados en el Ejemplo 2.2 y en el apartado Compruebe lo aprendido, que aparece a continuación.

Estrategia

En la construcción geométrica, encontrar un vector significa encontrar su magnitud y su ángulo direccional con la dirección horizontal. La estrategia consiste en dibujar a escala los vectores que aparecen en el lado derecho de la ecuación y construir el vector resultante. Luego, utilice una regla y un transportador para leer la magnitud de la resultante y el ángulo direccional. Para las partes (a) y (b) utilizamos la regla del paralelogramo. Para (c) utilizamos el método de cola a cabeza.

Solución

Para las partes (a) y (b), unimos el origen del vector BB al origen del vector AA, como se muestra en la Figura 2.14, y construimos un paralelogramo. La diagonal más corta de este paralelogramo es la suma A+BA+B. La mayor de las diagonales es la diferencia ABAB. Utilizamos una regla para medir las longitudes de las diagonales y un transportador para medir los ángulos con la horizontal. Para la resultante RR, obtenemos R = 5,8 cm y θR0°θR0°. Para la diferencia DD, obtenemos D = 16,2 cm y θD=49,3°θD=49,3°, que se muestran en la Figura 2.14.
Tres diagramas de los vectores A y B. Los vectores A y B se muestran colocados cola con cola. El vector A apunta hacia arriba y hacia la derecha y tiene una magnitud de 10,0. El vector B apunta hacia abajo y hacia la izquierda y tiene una magnitud de 7,0. El ángulo entre los vectores A y B es de 145 grados. En el segundo diagrama, los vectores A y B se muestran de nuevo junto con las líneas discontinuas que completan el paralelogramo. El vector R que iguala la suma de los vectores A y B se muestra como el vector que va desde las colas de A y B hasta el vértice opuesto del paralelogramo. La magnitud de R es de 5,8. En el tercer diagrama, los vectores A y B se muestran de nuevo junto con las líneas discontinuas que completan el paralelogramo. El vector D, igual a la diferencia de los vectores A y B, se muestra como el vector que va de la cabeza de B a la cabeza de A. La magnitud de D es 16,2, y el ángulo entre D y la horizontal es de 49,3 grados. El vector R en el segundo diagrama es mucho más corto que el vector D en el tercer diagrama.
Figura 2.14 Utilizamos la regla del paralelogramo para resolver (a) (encontrar la resultante, en rojo) y (b) (encontrar la diferencia, en azul).

Para (c), podemos empezar con el vector −3B−3B y dibujar los vectores restantes de cola a cabeza como se muestra en la Figura 2.15. En la suma de vectores, el orden en el que dibujamos los vectores no es importante, pero dibujar los vectores a escala sí es muy importante. A continuación, dibujamos el vector SS desde el origen del primer vector hasta el final del último vector y colocamos la punta de la flecha al final de SS. Utilizamos una regla para medir la longitud de SS, y encontramos que su magnitud es
S = 36,9 cm. Usamos un transportador y encontramos que su ángulo direccional es θS=52,9°θS=52,9°. Esta solución se muestra en la Figura 2.15.

Los tres vectores se muestran en azul y se colocan cabeza con cola: El vector menos 3 B apunta hacia arriba y hacia la derecha y tiene una magnitud 3 B = 21,0. El vector A comienza en la cabeza de B, apunta hacia arriba y hacia la derecha, y tiene una magnitud de A=10,0. El ángulo entre el vector A y el vector menos 3 B es de 145 grados. El vector C comienza en la cabeza de A y tiene una magnitud C=8,0. El vector S es de color verde y va desde la cola de menos 3 B hasta la cabeza de C. El vector S es igual al vector A menos el vector 3 B más el vector C, tiene una magnitud de S=36,9 y forma un ángulo de 52,9 grados en sentido contrario a las agujas del reloj con la horizontal.
Figura 2.15 Utilizando el método de cola a cabeza para resolver (c) (encontrar el vector S S , en verde).

Compruebe Lo Aprendido 2.3

Utilizando los tres vectores de desplazamiento AA, BB y FF en la Figura 2.13, elija una escala conveniente y utilice una regla y un transportador para encontrar el vector GG dado por la ecuación vectorial G=A+2BFG=A+2BF.

Interactivo

Observe la suma de vectores en un plano; consulte esta calculadora de vectores y esta simulación de Phet.

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