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Física Universitaria Volumen 1

8.1 Energía potencial de un sistema

Física Universitaria Volumen 18.1 Energía potencial de un sistema
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Relacionar la diferencia de energía potencial con el trabajo realizado en una partícula para un sistema sin fricción ni arrastre del aire.
  • Explicar el significado del cero de la función de energía potencial para un sistema.
  • Calcular y aplicar la energía potencial gravitacional para un objeto cercano a la superficie terrestre y la energía potencial elástica de un sistema masa-resorte.

En Trabajo, vimos que el trabajo realizado sobre un objeto por la fuerza gravitacional constante, cerca de la superficie de la Tierra, sobre cualquier desplazamiento es una función solo de la diferencia en las posiciones de los puntos finales del desplazamiento. Esta propiedad nos permite definir un tipo de energía diferente para el sistema que su energía cinética, que recibe el nombre de energía potencial. En las siguientes subsecciones consideramos varias propiedades y tipos de energía potencial.

Fundamentos de la energía potencial

En Movimiento en dos y tres dimensiones, analizamos el movimiento de un proyectil, como patear un balón de fútbol en la Figura 8.2. Para este ejemplo, vamos a ignorar la fricción y la resistencia del aire. Cuando el balón se eleva, el trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre el balón es negativo, porque su desplazamiento es positivo en sentido vertical y la fuerza debida a la gravedad es negativa en sentido vertical. También observamos que el balón desacelera hasta llegar a su punto más alto en el movimiento, lo que disminuye su energía cinética. Esta pérdida de energía cinética se traduce en una ganancia de energía potencial gravitacional del sistema balón de fútbol-Tierra.

A medida que el balón cae hacia la Tierra, el trabajo realizado sobre el balón es ahora positivo, ya que tanto el desplazamiento como la fuerza gravitacional apuntan verticalmente hacia abajo. El balón también se acelera, lo que indica un aumento en la energía cinética. Por lo tanto, la energía potencial gravitacional se convierte en energía cinética.

Ilustración de la trayectoria y energía de un balón de fútbol. El pateador patea el balón, realizando un trabajo sobre él y dándole la máxima energía cinética. La energía potencial es mínima. Este es el punto uno. Al subir, en el punto dos, la energía cinética del balón disminuye y su energía potencial también. En el punto más alto, el punto tres, la energía cinética del balón es mínima y su energía potencial es máxima. A medida que el balón desciende, punto cuatro, la energía cinética aumenta y la energía potencial disminuye. El receptor atrapa el balón a la misma altura del suelo a la que fue pateado, en el punto cinco. La energía cinética es máxima, la energía potencial es mínima.
Figura 8.2 Cuando el balón de fútbol comienza a descender hacia el receptor, la energía potencial gravitacional se convierte de nuevo en energía cinética.

Basándonos en este escenario, podemos definir la diferencia de energía potencial del punto A al punto B como el negativo del trabajo realizado:

ΔUAB=UB-UA=-WAB.ΔUAB=UB-UA=-WAB.
8.1

Esta fórmula indica explícitamente una diferencia de energía potencial, no solo una energía potencial absoluta. Por lo tanto, tenemos que definir la energía potencial en una posición determinada de manera que se establezcan valores estándar de energía potencial por sí mismos, en lugar de diferencias de energía potencial. Lo hacemos al reescribir la función de energía potencial en términos de una constante arbitraria,

ΔU=U(r)-U(r0).ΔU=U(r)-U(r0).
8.2

La elección de la energía potencial en un punto de partida de r0r0 se hace por conveniencia en el problema dado. Lo más importante es que, sea cual sea la elección que se haga, se debería indicar y mantener la coherencia a lo largo de todo el problema. Hay algunas opciones bien aceptadas de energía potencial inicial. Por ejemplo, la altura más baja de un problema se define como energía potencial cero, o si un objeto está en el espacio, el punto más alejado del sistema se define como energía potencial cero. Entonces, la energía potencial, con respecto a cero en r0,r0, es solo U(r).U(r).

Mientras no haya fricción ni resistencia del aire, el cambio en la energía cinética del balón es igual al negativo del cambio en su energía potencial gravitacional. Esto se puede generalizar a cualquier energía potencial:

ΔKAB=ΔUAB.ΔKAB=ΔUAB.
8.3

Veamos un ejemplo concreto, al elegir la energía potencial cero para la energía potencial gravitacional en los puntos convenientes.

Ejemplo 8.1

Propiedades básicas de la energía potencial

Una partícula se mueve a lo largo del eje de la x bajo la acción de una fuerza dada por F=-ax2F=-ax2, donde a=3N/m2a=3N/m2. (a) ¿Cuál es la diferencia en su energía potencial al pasar de xA=1mxA=1m a xB=2mxB=2m? (b) ¿Cuál es la energía potencial de la partícula en x=1mx=1m con respecto a una determinada energía potencial de 0,5 J en x=0x=0?

Estrategia

(a) La diferencia en la energía potencial es el negativo del trabajo realizado, definido por la Ecuación 8.1. El trabajo se define en el capítulo anterior como el producto punto de la fuerza por la distancia. Dado que la partícula se desplaza hacia adelante, en la dirección de la x, el producto punto se simplifica a una multiplicación (i^·i^=1i^·i^=1). Para hallar el trabajo total realizado, tenemos que integrar la función entre los límites dados. Después de la integración, podemos indicar el trabajo o el cambio de energía potencial. (b) La función de energía potencial, con respecto a cero en x=0x=0, es la integral indefinida encontrada en la parte (a), con la constante de integración determinada a partir de la Ecuación 8.3. A continuación, sustituimos el valor de x en la función de energía potencial para calcular la energía potencial en x=1m.x=1m.

Solución

  1. El trabajo realizado por la fuerza dada cuando la partícula se mueve de la coordenada x a x+dxx+dx en una dimensión es
    dW=F·dr=Fdx=-ax2dx.dW=F·dr=Fdx=-ax2dx.
    Sustituyendo esta expresión en la Ecuación 8.1, obtenemos
    ΔU=-W=x1x2ax2dx=13(3N/m2)x3|1m2m=7J.ΔU=-W=x1x2ax2dx=13(3N/m2)x3|1m2m=7J.
  2. La integral indefinida para la función de energía potencial en la parte (a) es
    U(x)=13ax3+const.,U(x)=13ax3+const.,
    y queremos que la constante esté determinada por
    U(0)=0,5J.U(0)=0,5J.
    Así, la energía potencial con respecto a cero en x=0x=0 es solo
    U(x)=13ax3+0,5J.U(x)=13ax3+0,5J.
    Por lo tanto, la energía potencial en x=1mx=1m es
    U(1m)=13(3N/m2)(1m)3+0,5J=1,5J.U(1m)=13(3N/m2)(1m)3+0,5J=1,5J.

Importancia

En este ejemplo unidimensional, cualquier función que podamos integrar, independientemente de la trayectoria, es conservativa. Observe cómo hemos aplicado la definición de diferencia de energía potencial para determinar la función de energía potencial con respecto a cero en un punto seleccionado. Observe también que la energía potencial, determinada en la parte (b), en x=1mx=1m es U(1m)=1JU(1m)=1J y en x=2mx=2m es U(2m)=8JU(2m)=8J; su diferencia es el resultado de la parte (a).

Compruebe Lo Aprendido 8.1

En el Ejemplo 8.1, ¿cuál es la energía potencial de la partícula en x=1mx=1m y x=2mx=2m con respecto a cero en x=1,5mx=1,5m? Compruebe que la diferencia de energía potencial sigue siendo de 7 J.

Sistemas de varias partículas

En general, un sistema de interés puede estar formado por varias partículas. La diferencia en la energía potencial del sistema es el negativo del trabajo realizado por las fuerzas gravitacionales o elásticas, que, como veremos en el siguiente apartado, son fuerzas conservativas. La diferencia de energía potencial depende solo de las posiciones inicial y final de las partículas, y de algunos parámetros que caracterizan la interacción (como la masa para la gravedad o la constante de resorte para una fuerza de la ley de Hooke).

Es importante recordar que la energía potencial es una propiedad de las interacciones entre los objetos de un sistema elegido, y no solo una propiedad de cada objeto. Esto es especialmente cierto para las fuerzas eléctricas, aunque en los ejemplos de energía potencial que consideramos a continuación, las partes del sistema son tan grandes (como la Tierra, comparada con un objeto en su superficie) o tan pequeñas (como un resorte sin masa), que los cambios que sufren esas partes son despreciables cuando se incluyen en el sistema.

Tipos de energía potencial

Para cada tipo de interacción presente en un sistema, se puede marcar el tipo correspondiente de energía potencial. La energía potencial total del sistema es la suma de las energías potenciales de todos los tipos. (Esto se deduce de la propiedad aditiva del producto punto en la expresión del trabajo realizado). Veamos algunos ejemplos concretos de los tipos de energía potencial que se analizan en Trabajo. En primer lugar, consideramos cada una de estas fuerzas cuando actúan por separado, y luego cuando ambas actúan conjuntamente.

Energía potencial gravitacional cerca de la superficie de la Tierra

El sistema de interés consiste en nuestro planeta, la Tierra, y una o más partículas cercanas a su superficie (o cuerpos lo suficientemente pequeños para ser considerados como partículas, en comparación con la Tierra). La fuerza gravitacional sobre cada partícula (o cuerpo) es solo su peso mg cerca de la superficie de la Tierra, que actúa verticalmente hacia abajo. Según la tercera ley de Newton, cada partícula ejerce una fuerza sobre la Tierra de igual magnitud, pero en sentido contrario. La segunda ley de Newton establece que la magnitud de la aceleración producida por cada una de estas fuerzas sobre la Tierra es mg dividida entre la masa terrestre. Dado que el cociente entre la masa de cualquier objeto ordinario y la masa de la Tierra es diminuto, el movimiento de la Tierra puede ignorarse por completo. Por lo tanto, consideramos que este sistema es un grupo de sistemas de una sola partícula, sujetos a la fuerza gravitacional uniforme de la Tierra.

En Trabajo, el trabajo realizado sobre un cuerpo por la fuerza gravitacional uniforme de la Tierra, cerca de su superficie, dependía de la masa del cuerpo, de la aceleración debida a la gravedad y de la diferencia de altura que el cuerpo recorría, tal como se indica en la Ecuación 7.4. Por definición, este trabajo es el negativo de la diferencia de energía potencial gravitacional, por lo que esa diferencia es

ΔUgrav=-Wgrav,AB=mg(yB-yA).ΔUgrav=-Wgrav,AB=mg(yB-yA).
8.4

De ello se deduce que la función de energía potencial gravitacional, cerca de la superficie de la Tierra, es

U(y)=mgy+const.U(y)=mgy+const.
8.5

Se puede elegir el valor de la constante, como se describe en el análisis de la Ecuación 8.2; sin embargo, para resolver la mayoría de los problemas, la constante más conveniente a elegir es cero para cuando y=0,y=0, que es la posición vertical más baja del problema.

Ejemplo 8.2

Energía potencial gravitacional de un excursionista

La cumbre de Great Blue Hill en Milton, un pueblo localizado en Massachusetts, está a 147 m sobre su base y tiene una cota sobre el nivel del mar de 195 m (Figura 8.3). (Su nombre nativo americano, Massachusett, fue adoptado por los colonos para dar nombre a la Colonia de la Bahía y al estado cercano a su ubicación). Un excursionista de 75 kg asciende desde la base hasta la cumbre. ¿Cuál es la energía potencial gravitacional del sistema excursionista-Tierra con respecto a la energía potencial gravitacional cero a la altura de la base, cuando el excursionista está (a) en la base de la colina, (b) en la cima, y (c) a nivel del mar, después?
Esquema del perfil de Great Blue Hill, Milton, Massachusetts. La cumbre está a 195 metros sobre el nivel del mar. La base de la colina está a 147 metros por debajo de la cumbre.
Figura 8.3 Esquema del perfil de Great Blue Hill, Milton, Massachusetts. Se indican las altitudes de los tres niveles.

Estrategia

En primer lugar, tenemos que elegir un origen para el eje de la y y luego determinar el valor de la constante que hace que la energía potencial sea cero a la altura de la base. Entonces, podemos determinar las energías potenciales a partir de la Ecuación 8.5, con base en la relación entre la altura de la energía potencial cero y la altura a la que se encuentra el excursionista.

Solución

  1. Elijamos el origen para el eje y en la altura de la base, donde también queremos que esté el cero de la energía potencial. Esta elección hace que la constante sea igual a cero y
    U(base)=U(0)=0.U(base)=U(0)=0.
  2. En la cumbre, y=147my=147m, así que
    U(cumbre)=U(147m)=mgh=(75×9,8N)(147m)=108kJ.U(cumbre)=U(147m)=mgh=(75×9,8N)(147m)=108kJ.
  3. A nivel del mar, y=(147-195)m=−48my=(147-195)m=−48m, así que
    U(nivel del mar)=(75×9,8N)(−48m)=-35,3kJ.U(nivel del mar)=(75×9,8N)(−48m)=-35,3kJ.

Importancia

Además de ilustrar el uso de la Ecuación 8.4 y la Ecuación 8.5, los valores de energía potencial gravitacional que hallamos son razonables. La energía potencial gravitacional es mayor en la cumbre que en la base, y menor a nivel del mar que en la base. ¡La gravedad también actúa sobre usted al subir! Hace un trabajo negativo y no tanto (en magnitud), como el que hacen sus músculos. No obstante, ciertamente realiza un trabajo Del mismo modo, sus músculos realizan un trabajo en la bajada, como trabajo negativo. Los valores numéricos de las energías potenciales dependen de la elección del cero de la energía potencial, pero las diferencias físicamente significativas de la energía potencial no lo hacen. [Observe que, dado que la Ecuación 8.2 es una diferencia, los valores numéricos no dependen del origen de coordenadas].

Compruebe Lo Aprendido 8.2

¿Cuáles son los valores de la energía potencial gravitacional del excursionista en la base, la cumbre y al nivel del mar, con respecto a un cero de energía potencial a nivel del mar?

Energía potencial elástica

En Trabajo, vimos que el trabajo que realiza un resorte perfectamente elástico, en una dimensión, depende solo de la constante del resorte y de los cuadrados de los desplazamientos desde la posición no estirada, como se indica en la Ecuación 7.5. Este trabajo se refiere única y exclusivamente a las propiedades de una interacción de la ley de Hooke y no a las propiedades de los resortes reales y de los objetos que estén unidos a ellos. Por lo tanto, podemos definir la diferencia de energía potencial elástica para una fuerza de resorte como el negativo del trabajo realizado por la fuerza de resorte en esta ecuación, antes de considerar los sistemas que encarnan este tipo de fuerza. Así,

ΔU=-WAB=12k(xB2-xA2),ΔU=-WAB=12k(xB2-xA2),
8.6

donde el objeto se desplaza del punto A al punto B. La función de energía potencial correspondiente a esta diferencia es

U(x)=12kx2+const.U(x)=12kx2+const.
8.7

Si la fuerza del resorte es la única que actúa, lo más sencillo es tomar el cero de la energía potencial en x=0x=0, cuando el resorte está sin estirar. Entonces, la constante en la Ecuación 8.7 es cero. (Otras opciones pueden ser más convenientes si actúan otras fuerzas).

Ejemplo 8.3

Energía potencial del resorte

Un sistema contiene un resorte perfectamente elástico, con una longitud sin estirar de 20 cm y una constante de resorte de 4 N/cm. (a) ¿Cuánta energía potencial elástica aporta el resorte cuando su longitud es de 23 cm? (b) ¿Cuánta más energía potencial aporta si su longitud aumenta a 26 cm?

Estrategia

Cuando el resorte está sin estirar, no aporta nada a la energía potencial del sistema, por lo que podemos utilizar la Ecuación 8.7 con la constante igual a cero. El valor de la x es la longitud menos la longitud sin estirar. Cuando el resorte se expande, el desplazamiento del resorte o la diferencia entre su longitud relajada y su longitud estirada debe utilizarse para el valor de la x en el cálculo de la energía potencial del resorte.

Solución

  1. El desplazamiento del resorte es x=23cm-20cm=3cmx=23cm-20cm=3cm, por lo que la energía potencial aportada es U=12kx2=12(4N/cm)(3cm)2=0,18JU=12kx2=12(4N/cm)(3cm)2=0,18J.
  2. Cuando el desplazamiento del resorte es x=26cm-20cm=6cmx=26cm-20cm=6cm, la energía potencial es U=12kx2=12(4N/cm)(6cm)2=0,72JU=12kx2=12(4N/cm)(6cm)2=0,72J, lo que supone un aumento de 0,54 J sobre la cantidad de la parte (a).

Importancia

El cálculo de la energía potencial elástica y de las diferencias de energía potencial a partir de la Ecuación 8.7 implica la resolución de las energías potenciales en función de las longitudes dadas del resorte. Dado que U depende de x2x2, la energía potencial para una compresión (x negativa) es la misma que para una extensión de igual magnitud.

Compruebe Lo Aprendido 8.3

Cuando la longitud del resorte en el Ejemplo 8.3 cambia de un valor inicial de 22,0 cm a un valor final, la energía potencial elástica que aporta cambia en −0,0800J.−0,0800J. Halle la longitud final.

Energía potencial gravitacional y elástica

Un sistema sencillo que incorpora los tipos de energía potencial gravitacional y elástica es un sistema unidimensional vertical de masa-resorte. Consiste en una partícula masiva (o bloque), colgada de un extremo de un resorte perfectamente elástico y sin masa, cuyo otro extremo está fijo, como se ilustra en la Figura 8.4.

Se ilustra un sistema vertical de masa-resorte. El extremo superior del resorte está fijado al techo. En el extremo inferior se coloca un bloque de masa m. El resorte se dibuja en dos posiciones. A la izquierda, la masa está en posición de equilibrio. A la derecha se dibuja el resorte con la masa empujada hacia abajo, a una distancia y sub halón. Esta posición de la masa se etiqueta como h igual a cero. A la derecha de las ilustraciones se muestra un gráfico de y en función de X, con y igual a cero alineada con la posición de equilibrio en las ilustraciones. El gráfico es sinusoidal, con el mínimo de la y en x=0 e incluso con la posición de la masa inferior en las ilustraciones.
Figura 8.4 Un sistema vertical de masa-resorte, con el eje de la Y positivo apuntando hacia arriba. La masa se encuentra inicialmente en una longitud de resorte sin estirar, el punto A. Luego se suelta y se expande más allá del punto B hasta el punto C, donde se detiene.

En primer lugar, consideremos la energía potencial del sistema. Necesitamos definir la constante en la función de energía potencial de la Ecuación 8.5. A menudo, el suelo es una opción adecuada para cuando la energía potencial gravitacional es cero; sin embargo, en este caso, el punto más alto o cuando y=0y=0 es un lugar conveniente para la energía potencial gravitacional cero. Observe que esta elección es arbitraria, y el problema puede resolverse correctamente aunque se elija otra opción.

También debemos definir la energía potencial elástica del sistema y la constante correspondiente, como se detalla en la Ecuación 8.7. Aquí es donde el resorte está sin estirar, o en la posición y=0y=0.

Si consideramos que la energía total del sistema se conserva, entonces la energía en el punto A es igual a la del punto C. El bloque se coloca justo sobre el resorte, por lo que su energía cinética inicial es cero. Según el planteamiento del problema analizado anteriormente, tanto la energía potencial gravitacional como la energía potencial elástica son iguales a cero. Por lo tanto, la energía inicial del sistema es cero. Cuando el bloque llega al punto C, su energía cinética es cero. Sin embargo, ahora tiene tanto energía potencial gravitacional como energía potencial elástica. Por lo tanto, podemos resolver la distancia y, que recorre el bloque antes de detenerse:

KA+UA=KC+UC 0=0+mgyC+ 12k(yC) 2yC =-2mgkKA+UA=KC+UC 0=0+mgyC+ 12k(yC) 2yC =-2mgk
Fotografía de un puente elástico.
Figura 8.5 Un puente elástico transforma la energía potencial gravitacional al inicio del salto en energía potencial elástica al final del mismo.

Ejemplo 8.4

Energía potencial de un sistema vertical de masa-resorte

Un bloque que pesa 1,2N1,2N se cuelga de un resorte con una constante de 6,0N/m6,0N/m, como se muestra en la Figura 8.4. (a) ¿Cuál es la máxima expansión del resorte, vista en el punto C? (b) ¿Cuál es la energía potencial total en el punto B, a medio camino entre A y C? (c) ¿Cuál es la velocidad del bloque en el punto B?

Estrategia

En la parte (a) calculamos la distancia yCyC como se ha comentado en el texto anterior. Luego, en la parte (b), utilizamos la mitad del valor de y para calcular la energía potencial en el punto B mediante la Ecuación 8.4 y la Ecuación 8.6. Esta energía deberá ser igual a la energía cinética, la Ecuación 7.6, en el punto B ya que la energía inicial del sistema es cero. Al calcular la energía cinética en el punto B, ahora podemos calcular la rapidez del bloque en el punto B.

Solución

  1. Dado que la energía total del sistema es cero en el punto A, como se ha comentado anteriormente, se calcula que la expansión máxima del resorte es:
    yC =-2mgk yC =-2(1,2N) (6,0N/m)=-0,40m yC =-2mgk yC =-2(1,2N) (6,0N/m)=-0,40m
  2. La posición de yByBes la mitad de la posición en yCyC o -0,20m-0,20m. La energía potencial total en el punto B sería, por lo tanto, la siguiente:
    UB=mgyB+12k(yC)2 UB=(1,2N)(-0,20m)+ 12(6N/m)(-0,20m) 2UB =-0,12JUB=mgyB+12k(yC)2 UB=(1,2N)(-0,20m)+ 12(6N/m)(-0,20m) 2UB =-0,12J
  3. La masa del bloque es el peso dividido entre la gravedad.
    m=Fwg=1,2N9,8m/s2=0,12kgm=Fwg=1,2N9,8m/s2=0,12kg
    Por lo tanto, la energía cinética en el punto B es de 0,12 J, porque la energía total es cero. Así, la rapidez del bloque en el punto B es igual a
    K=12mv2 v= 2Km=2(0,12J)(0,12kg)=1,4m/s K=12mv2 v= 2Km=2(0,12J)(0,12kg)=1,4m/s

Importancia

Aunque la energía potencial debida a la gravedad es relativa a un lugar cero elegido, las soluciones a este problema serían las mismas si los puntos de energía cero se eligieran en lugares diferentes.

Compruebe Lo Aprendido 8.4

Supongamos que la masa en la Ecuación 8.6 se duplica mientras se mantienen las demás condiciones. ¿Aumentaría, disminuiría o permanecería igual la expansión máxima del resorte? ¿La rapidez en el punto B sería mayor, menor o igual en comparación con la masa original?

Interactivo

¡Vea esta simulación para aprender sobre la conservación de la energía con un patinador! Construya pistas, rampas y saltos para el patinador y observe la energía cinética, la energía potencial y la fricción mientras se mueve. ¡También puede llevar al patinador a diferentes planetas o incluso al espacio!

En la Tabla 8.1 se muestra un gráfico de muestra de una variedad de energías para darle una idea sobre los valores típicos de energía, asociados a ciertos eventos. Algunos de ellos se calculan con la energía cinética, mientras que otros se calculan con cantidades que se encuentran en una forma de energía potencial, que quizá no se haya comentado en este punto.

Objeto/fenómeno Energía en julios
Big Bang 10681068
Consumo anual de energía en el mundo 4,0×10204,0×1020
Bomba grande de fusión (9 megatones) 3,8×10163,8×1016
Bomba de fisión del tamaño de la de Hiroshima (10 kilotones) 4,2×10134,2×1013
1 barril de petróleo crudo 5,9×1095,9×109
1 tonelada métrica de TNT 4,2×1094,2×109
1 galón de gasolina 1,2×1081,2×108
Ingesta diaria de alimentos para adultos (recomendada) 1,2×1071,2×107
Auto de 1.000 kg a 90 km/h 3,1×1053,1×105
Pelota de tenis a 100 km/h 2222
Mosquito (10−2g a 0,5 m/s)(10−2g a 0,5 m/s) 1,3×10−61,3×10−6
Electrón individual en un haz de tubo de TV 4,0×10−154,0×10−15
Energía para romper una cadena de ADN 10−1910−19
Tabla 8.1 Energía de diversos objetos y fenómenos
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