William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Explicar los términos de la ecuación de Bernoulli.
Explicar cómo se relaciona la ecuación de Bernoulli con la conservación de la energía.
Describir cómo derivar el principio de Bernoulli a partir de la ecuación de Bernoulli.
Hacer cálculos usando el principio de Bernoulli.
Describir algunas aplicaciones del principio de Bernoulli.

Como mostramos en la Figura 14.27, cuando un fluido circula en un canal más estrecho, su velocidad aumenta. Eso significa que su energía cinética también aumenta. El aumento de la energía cinética procede del trabajo neto realizado sobre el fluido para empujarlo hacia el interior del canal. Además, si el fluido cambia de posición vertical, la fuerza gravitacional realiza un trabajo sobre el fluido.

Se produce una diferencia de presión cuando el canal se estrecha. Esta diferencia de presión resulta en una fuerza neta sobre el fluido porque la presión por el área es igual a la fuerza, y esta fuerza neta hace trabajo. Recordemos el teorema de trabajo-energía,

W_{neta} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} .

El trabajo neto realizado aumenta la energía cinética del fluido. En consecuencia, la presión cae en un fluido que se mueve rápidamente, esté o no confinado en un tubo.

Hay muchos ejemplos comunes de caída de presión en fluidos que se mueven rápidamente. Por ejemplo, las cortinas de la ducha tienen la desagradable costumbre de abultarse dentro de la cabina cuando la ducha está abierta. La explicación es que el chorro de agua y aire a gran velocidad crea una región de menor presión en el interior de la ducha, mientras que la presión en el otro lado permanece a la presión atmosférica estándar. Esta diferencia de presión genera una fuerza neta que empuja la cortina hacia dentro. Del mismo modo, cuando un automóvil adelanta a un camión en la carretera, los dos vehículos parecen acercarse el uno al otro. La explicación es la misma: la alta velocidad del aire entre el automóvil y el camión crea una región de menor presión entre los vehículos, y una mayor presión en el exterior hace que sean empujados juntos (Figura 14.29). Este efecto se observó a mediados del siglo XIX cuando se comprobó que trenes que pasaban en direcciones opuestas se inclinaban precariamente uno hacia el otro.

La figura es una vista aérea de un automóvil que pasa por delante de un camión en una autopista. El aire que pasa entre los vehículos fluye por un canal más estrecho y aumenta la velocidad de v1 a v2, lo que hace que la presión entre los vehículos disminuya de Po a Pi.

Figura 14.29 Una vista aérea de un automóvil que pasa por delante de un camión en una autopista. El aire que pasa entre los vehículos fluye por un canal más estrecho y debe aumentar su velocidad (

v_{2}

es mayor que

v_{1}

), lo que hace que la presión entre ellos disminuya (

p_{i}

es menor que

p_{o}) .

Una mayor presión en el exterior empuja al automóvil y al camión juntos.

Conservación de energía y ecuación de Bernoulli

La aplicación del principio de conservación de la energía al flujo laminar sin fricción conduce a una relación muy útil entre presión y velocidad de flujo en un fluido. Esta relación se denomina ecuación de Bernoulli, en honor a Daniel Bernoulli (1700-1782), quien publicó sus estudios sobre movimiento de fluidos en su libro Hydrodynamica (1738).

Considere un fluido incompresible que circula a través de una tubería que tiene un diámetro y una altura variables, como se muestra en la Figura 14.30. Los subíndices 1 y 2 en la figura denotan dos lugares a lo largo de la tubería e ilustran las relaciones entre las áreas de las secciones transversales A, la velocidad del flujo v, la altura desde el suelo y y la presión p en cada punto. Suponemos que la densidad en los dos puntos es la misma, por lo tanto, la densidad se denota por $ρ$ sin subíndices, y como el fluido es incompresible, los volúmenes sombreados deben ser iguales.

La figura es el esquema de un fluido que circula en una tubería en forma de “S” con el área de la sección transversal que se reduce de A1 (parte inferior izquierda) a A2 (parte superior derecha). La parte inferior izquierda está a la altura y1 del suelo; la parte superior derecha está a la altura h2 del suelo. El fluido se mueve con la velocidad v1 en la parte inferior y v2 en la parte superior. El volumen de fluido dv toma dx1 en la parte de la tubería y dx2 en la parte superior.

Figura 14.30 La geometría usada para la derivación de la ecuación de Bernoulli.

También suponemos que no hay fuerzas viscosas en el fluido, por lo que la energía de cualquier parte del fluido se conservará. Para derivar la ecuación de Bernoulli, primero calculamos el trabajo realizado sobre el fluido:

d W = F_{1} d x_{1} - F_{2} d x_{2}

d W = p_{1} A_{1} d x_{1} - p_{2} A_{2} d x_{2} = p_{1} d V - p_{2} d V = (p_{1} - p_{2}) d V .

El trabajo realizado se debe a la fuerza conservativa de la gravedad y al cambio en la energía cinética del fluido. El cambio en la energía cinética del fluido es igual a

d K = \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} = \frac{1}{2} ρ d V (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) .

El cambio de energía potencial es

d U = m g y_{2} - m g y_{1} = ρ d V g (y_{2} - y_{1}) .

La ecuación de la energía se convierte entonces en

\begin{matrix} d W & = & d K + d U \\ (p_{1} - p_{2}) d V & = & \frac{1}{2} ρ d V (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) + ρ d V g (y_{2} - y_{1}) \\ (p_{1} - p_{2}) & = & \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) + ρ g (y_{2} - y_{1}) . \end{matrix}

Al reordenar la ecuación se obtiene la ecuación de Bernoulli:

p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g y_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g y_{2} .

Esta relación establece que la energía mecánica de cualquier parte del fluido cambia como consecuencia del trabajo realizado por el fluido externo a esa parte, debido a la variación de la presión a lo largo del camino. Dado que los dos puntos fueron elegidos arbitrariamente, podemos escribir la ecuación de Bernoulli de forma más general como un principio de conservación a lo largo del flujo.

Ecuación de Bernoulli

Para un fluido incompresible y sin fricción, la combinación de la presión y la suma de las densidades de energías cinética y potencial es constante no solo en el tiempo, sino también a lo largo de una línea de corriente:

p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g y = constante

14.16

Hay que tener en cuenta el hecho de que en una situación dinámica las presiones a la misma altura en diferentes partes del fluido pueden ser diferentes si tienen diferentes velocidades de flujo.

Análisis de la ecuación de Bernoulli

Según la ecuación de Bernoulli, si seguimos un pequeño volumen de fluido a lo largo de su trayectoria, varias cantidades de la suma pueden cambiar, pero el total permanece constante. La ecuación de Bernoulli es, de hecho, solo una declaración conveniente de la conservación de la energía para un fluido incompresible en ausencia de fricción.

La forma general de la ecuación de Bernoulli tiene tres términos y es ampliamente aplicable. Para entenderlo mejor, consideremos algunas situaciones concretas que simplifican e ilustran su uso y significado.

Ecuación de Bernoulli para fluidos estáticos

En primer lugar, consideremos una situación muy sencilla en la que el fluido es estático, es decir, $v_{1} = v_{2} = 0 .$ La ecuación de Bernoulli en ese caso es

p_{1} + ρ g h_{1} = p_{2} + ρ g h_{2} .

Podemos simplificar aún más la ecuación al establecer $h_{2} = 0 .$ (se puede elegir cualquier altura para una altura de referencia de cero, como se hace a menudo para otras situaciones en las que interviene la fuerza gravitacional, lo que hace que todas las demás alturas sean relativas). En este caso, obtenemos

p_{2} = p_{1} + ρ g h_{1} .

Esta ecuación nos dice que en fluidos estáticos la presión aumenta con la profundidad. Al pasar del punto 1 al punto 2 del fluido, la profundidad aumenta en $h_{1}$ , y en consecuencia, $p_{2}$ es mayor que $p_{1}$ por una cantidad $ρ g h_{1}$ . En el caso más sencillo, $p_{1}$ es cero en la parte superior del fluido, y obtenemos la conocida relación $p = ρ g h$ . $(Recordemos que p = ρ g h$ y $Δ U_{g} = − m g h .)$ Así, la ecuación de Bernoulli confirma el hecho de que el cambio de presión debido al peso de un fluido es $ρ g h$ . Aunque presentamos la ecuación de Bernoulli para movimiento de fluidos, esta incluye gran parte de lo que hemos estudiado antes para fluidos estáticos.

Principio de Bernoulli

Supongamos que un fluido se mueve pero su profundidad es constante, es decir, $h_{1} = h_{2}$ . Con esta condición, la ecuación de Bernoulli se convierte en

p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} .

Las situaciones en las que el fluido circula a una profundidad constante son tan comunes que esta ecuación suele llamarse también principio de Bernoulli, lo cual es simplemente la ecuación de Bernoulli para fluidos a profundidad constante (nótese de nuevo que esto se aplica a un pequeño volumen de fluido mientras lo seguimos a lo largo de su trayectoria). El principio de Bernoulli refuerza el hecho de que la presión disminuye al aumentar la velocidad en un fluido en movimiento: Si $v_{2}$ es mayor que $v_{1}$ en la ecuación, entonces $p_{2}$ debe ser menor que $p_{1}$ para que la igualdad se mantenga.

Ejemplo 14.6

Calcular presión

En el Ejemplo 14.5, comprobamos que la velocidad del agua en una manguera aumenta de 1,96 m/s a 25,5 m/s yendo de la manguera a la boquilla. Calcule la presión en la manguera, dado que la presión absoluta en la boquilla es

1,01 \times 10^{5} {N/m}^{2}

(atmosférico, como debe ser) y si se supone un flujo nivelado y sin fricción.

Estrategia

Flujo nivelado significa profundidad constante, por lo que se aplica el principio de Bernoulli. Usamos el subíndice 1 para los valores de la manguera y el 2 para los de la boquilla. Por lo tanto, se nos pide que encontremos

p_{1}

.

Solución

Resolver el principio de Bernoulli para

p_{1}

arroja

p_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} - \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) .

Al sustituir valores conocidos,

\begin{matrix} p_{1} & = 1,01 \times 10^{5} {N/m}^{2} + \frac{1}{2} (10^{3} {kg/m}^{3}) [{(25,5 m/s)}^{2} - {(1,96 m/s)}^{2}] \\ = 4,24 \times 10^{5} {N/m}^{2} . \end{matrix}

Importancia

Esta presión absoluta en la manguera es mayor que en la boquilla, como era de esperarse, ya que v es mayor en la boquilla. La presión

p_{2}

en la boquilla debe ser atmosférica, ya que el agua sale a la atmósfera sin otros cambios en las condiciones.

Aplicaciones del principio de Bernoulli

Hay muchos dispositivos y situaciones en los que el fluido circula a una altura constante y, por tanto, se puede analizar con el principio de Bernoulli.

Arrastre

El principio de Bernoulli se aplica desde hace mucho tiempo usando reducción de la presión en fluidos de alta velocidad para mover cosas. Con una mayor presión en el exterior, el fluido de alta velocidad obliga a otros fluidos a entrar en la corriente. Este proceso se denomina arrastre. Los dispositivos de arrastre se han usado desde la antigüedad como bombas para elevar el agua a pequeñas alturas, como es necesario para drenar pantanos, campos u otras áreas bajas. Algunos otros dispositivos que usan el concepto de arrastre se muestran en la Figura 14.31.

La figura A es un dibujo de un mechero Bunsen: el aire y el gas natural entran por la parte inferior y se mueven hacia arriba. La figura B es un dibujo de un atomizador: una pera de presión crea un chorro de aire que fluye horizontalmente y arrastra las gotas de perfume en movimiento hacia arriba y fuera del frasco. La figura C es un dibujo de un aspirador común en el que el agua se desplaza de arriba a abajo y se combina con el flujo de aire que entra por un lateral. La figura D es el dibujo de una chimenea en la que un flujo de aire caliente se desplaza hacia arriba combinándose con el aire frío que entra por el lateral.

Figura 14.31 Los dispositivos de arrastre usan el aumento de la velocidad del fluido para crear presiones bajas, que luego arrastran un fluido dentro de otro. (a) Un mechero Bunsen usa una boquilla de gas ajustable, y arrastra aire para una combustión adecuada. (b) Un atomizador usa una pera de presión para crear un chorro de aire que arrastra gotas de perfume. Los pulverizadores de pintura y los carburadores usan técnicas muy similares para mover sus respectivos líquidos. (c) Un aspirador común usa un chorro de agua a gran velocidad para crear una región de menor presión. Los aspiradores se pueden usar como bombas de succión en situaciones dentales y quirúrgicas o para drenar un sótano inundado o producir una presión reducida en un recipiente. (d) La chimenea de un calentador de agua está diseñada para arrastrar el aire hacia la tubería que atraviesa el techo.

Medición de velocidad

La Figura 14.32 muestra dos dispositivos que aplican el principio de Bernoulli para medir velocidad de fluidos. El manómetro de la parte (a) está conectado a dos tubos lo suficientemente pequeños como para no perturbar apreciablemente el flujo. El tubo orientado hacia el fluido que se aproxima crea un punto muerto con velocidad cero ( $v_{1} = 0$ ) delante de él, mientras que el fluido que pasa por el otro tubo tiene una velocidad $v_{2}$ . Esto significa que el principio de Bernoulli, tal y como se establece en

p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}

se convierte en

p_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} .

Así, la presión $p_{2}$ sobre la segunda apertura se reduce en $\frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}$ , por lo que el fluido en el manómetro aumenta en h en el lado conectado a la segunda abertura, donde

h \propto \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} .

(recordemos que el símbolo $\propto$ significa “proporcional a”). Al resolver para $v_{2}$ , vemos que

v_{2} \propto \sqrt{h} .

La parte (b) muestra una versión de este dispositivo que es de uso común para medir varias velocidades de fluidos; tales dispositivos se usan frecuentemente como indicadores de la velocidad del aire en los aviones.

La figura A es un dibujo de un manómetro que se conecta a dos tubos que están muy juntos y son lo suficientemente pequeños como para no perturbar el flujo. El tubo 1 está abierto en el extremo que da al flujo, mientras que el tubo 2 tiene una abertura lateral. La figura B es un dibujo de un manómetro que está conectado a dos tubos, uno de los cuales (tubo 1) se inserta en otro (tubo 2). El tubo 1 está abierto en el extremo que da al flujo, mientras que el tubo 2 tiene una abertura lateral.

Figura 14.32 Medición de la velocidad del fluido basada en el principio de Bernoulli. (a) Se conecta un manómetro a dos tubos que están cerca entre sí y son lo suficientemente pequeños como para no perturbar el flujo. El tubo 1 está abierto en el extremo que da al flujo. Allí se crea un punto muerto con velocidad cero. El tubo 2 tiene una abertura en el lateral, por lo que el fluido tiene una velocidad v a través de la abertura; por lo tanto, la presión allí disminuye. La diferencia de presión en el manómetro es

\frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}

, por lo que h es proporcional a

\frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} .

(b) Este tipo de dispositivo de medición de la velocidad es un tubo de Prandtl, también conocido como tubo de Pitot.

Una manguera de incendios

Todas las aplicaciones anteriores de la ecuación de Bernoulli implicaban condiciones simples, como altura o presión constantes. El siguiente ejemplo es una aplicación más general de la ecuación de Bernoulli en la que cambian presión, velocidad y altura.

Ejemplo 14.7

Calcular presión: una boquilla de manguera de incendios

Las mangueras que se usan en los grandes incendios estructurales tienen un diámetro interior de 6,40 cm (Figura 14.33). Supongamos que dicha manguera transporta un flujo de 40,0 L/s, a partir de una presión manométrica de

1,62 \times 10^{6} {N/m}^{2}

. La manguera sube 10,0 m por una escalera hasta una boquilla con un diámetro interior de 3,00 cm. ¿Cuál es la presión en la boquilla?

La figura es un dibujo del camión de bomberos con la escalera extendida. El bombero que está en la parte superior de la escalera usa la manguera para extinguir el fuego. El flujo de agua de la manguera es paralelo al suelo y está a 10 metros por encima de él.

Figura 14.33 La presión en la boquilla de esta manguera contra incendios es menor que en el suelo por dos motivos: el agua tiene que ir cuesta arriba para llegar a la boquilla y la velocidad aumenta en la boquilla. A pesar de su baja presión, el agua puede ejercer una gran fuerza sobre cualquier cosa que golpee en virtud de su energía cinética. La presión de la corriente de agua se iguala a la presión atmosférica una vez que sale al aire.