William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Describir las características del flujo.
Calcular la tasa de flujo.
Describir la relación entre tasa de flujo y velocidad.
Explicar las consecuencias de la ecuación de continuidad para la conservación de la masa.

La primera parte de este capítulo trata de la estática de los fluidos, el estudio de los fluidos en reposo. El resto de este capítulo trata de dinámicas de fluidos, el estudio de fluidos en movimiento. Incluso las formas más básicas de movimiento de fluidos pueden ser bastante complejas. Por eso limitamos nuestra investigación a fluidos ideales en muchos de los ejemplos. Un fluido ideal es aquel con una viscosidad insignificante. La viscosidad es una medida de la fricción interna en un fluido; la examinamos con más detalle en la sección Viscosidad y turbulencia. En algunos ejemplos examinamos un fluido incompresible —para el que se requiere una fuerza extremadamente grande para cambiar el volumen—, ya que su densidad es constante en todo momento.

Características del flujo

Los vectores de velocidad se usan, a menudo, para ilustrar el movimiento de los fluidos en aplicaciones como la meteorología. Por ejemplo, el viento —el movimiento fluido del aire en la atmósfera— se puede representar mediante vectores que indican la velocidad y la dirección del viento en cualquier punto del mapa. La Figura 14.24 muestra vectores de velocidad que describen los vientos durante el huracán Arthur en 2014.

La figura es un mapa de presión del huracán Arthur recorriendo la costa este. El centro de baja presión se indica con el punto azul. La velocidad del viento es mayor cerca del centro de baja presión y los vientos se mueven en sentido contrario a las agujas del reloj a su alrededor.

Figura 14.24 Los vectores de velocidad muestran el flujo del viento en el huracán Arthur. Obsérvese la circulación del viento alrededor del ojo del huracán. La velocidad del viento es mayor cerca del ojo. Los colores representan la vorticidad relativa, una medida de giro o rotación del aire (créditos: modificación de trabajo de Joseph Trout, Universidad de Stockton).

Otro método para representar el movimiento de los fluidos es la línea de corriente. Una línea de corriente representa la trayectoria de un pequeño volumen de fluido mientras fluye. La velocidad es siempre tangencial a la línea de corriente. Los diagramas de la Figura 14.25 usan líneas de corriente para ilustrar dos ejemplos de fluidos que se desplazan por una tubería. El primer fluido presenta un flujo laminar (a veces descrito como flujo estacionario), representado por líneas de corriente suaves y paralelas. Observe que en el ejemplo mostrado en la parte (a), la velocidad del fluido es mayor en el centro y disminuye cerca de las paredes de la tubería debido a la viscosidad del fluido y a la fricción entre las paredes de la tubería y el fluido. Se trata de un caso especial de flujo laminar, en el que la fricción entre la tubería y el fluido es alta, lo que se conoce como condiciones de frontera sin deslizamiento. El segundo diagrama representa el flujo turbulento, en el que las líneas de corriente son irregulares y cambian con el tiempo. En el flujo turbulento las trayectorias del fluido circulante son irregulares, ya que diferentes partes del fluido se mezclan o forman pequeñas regiones circulares que se asemejan a remolinos. Esto puede ocurrir cuando la velocidad del fluido alcanza una determinada velocidad crítica.

La figura A es el esquema del flujo laminar mostrado como capas de fluido que se mueven en líneas paralelas. La figura B es el esquema del flujo turbulento mostrado como capas de fluido que se mueven en trayectorias irregulares que colisionan.

Figura 14.25 (a) El flujo laminar se puede considerar como capas de fluido que se mueven en trayectorias paralelas y regulares. (b) En el flujo turbulento, las regiones de fluido se mueven en trayectorias irregulares que chocan entre sí, lo que provoca mezclas y remolinos.

La tasa de flujo y su relación con la velocidad

El volumen de fluido que pasa por un lugar determinado a través de un área durante un espacio de tiempo se denomina tasa de flujo Q o, más exactamente, tasa de flujo volumétrica. En símbolos, esto se escribe como

Q = \frac{d V}{d t}

14.13

donde V es el volumen y t es el tiempo transcurrido. En la Figura 14.26, el volumen del cilindro es Ax, por lo que la tasa de flujo es

Q = \frac{d V}{d t} = \frac{d}{d t} (A x) = A \frac{d x}{d t} = A v .

La figura es un esquema de una tubería uniforme con el área de la sección transversal A. El fluido circula a través de la tubería. El volumen de fluido V pasa por un punto P en el tiempo t.

Figura 14.26 La tasa de flujo es el volumen del fluido que circula por un punto a través del área A por unidad de tiempo. Aquí, el cilindro sombreado de fluido pasa por el punto P en una tubería uniforme en el tiempo t.

La unidad del SI para la tasa de flujo es $m^{3} /s,$ pero hay otras unidades de uso común para Q, como litros por minuto (L/min). Tenga en cuenta que un litro (L) es 1/1.000 de un metro cúbico o 1.000 centímetros cúbicos $(10^{−3} m^{3} o 10^{3} {cm}^{3}) .$

La tasa de flujo y la velocidad son magnitudes físicas relacionadas, pero bastante diferentes. Para aclarar la distinción, consideremos la tasa de flujo de un río. Cuanto mayor sea la velocidad del agua, mayor será la tasa de flujo del río. Pero la tasa de flujo también depende del tamaño y de la forma del río. Un arroyo rápido de montaña lleva mucha menos agua que el río Amazonas en Brasil, por ejemplo. La Figura 14.26 ilustra la tasa de flujo volumétrica. La tasa de flujo volumétrica es $Q = \frac{d V}{d t} = A v,$ donde $A$ es el área de la sección transversal de la tubería y v es la magnitud de la velocidad.

La relación precisa entre tasa de flujo Q y rapidez media v es

Q = A v,

donde A es el área de la sección transversal y $v$ es la rapidez media. La relación nos dice que la tasa de flujo es directamente proporcional tanto a la rapidez media del fluido como al área de la sección transversal de un río, tubería u otro conducto. Cuanto mayor sea el conducto, mayor será su área de sección transversal. La Figura 14.26 ilustra cómo se obtiene esta relación. El cilindro sombreado tiene un volumen $V = A d$ , que pasa por el punto P en un tiempo t. Al dividir ambos lados de esta relación entre t se obtiene

\frac{V}{t} = \frac{A d}{t} .

Observamos que $Q = V / t$ y la rapidez media es $v = d / t$ . Por lo tanto, la ecuación se convierte en $Q = A v$ .

La figura Figura 14.27 muestra un fluido incompresible que circula a lo largo de una tubería de radio decreciente. Como el fluido es incompresible, la misma cantidad de fluido debe pasar por cualquier punto del tubo en un tiempo determinado para garantizar la continuidad del flujo. El flujo es continuo porque no hay fuentes ni sumideros que añadan o quiten masa, por lo que la masa que entra en la tubería debe ser igual a la que sale de ella. En este caso, como el área de la sección transversal de la tubería disminuye, la velocidad debe aumentar necesariamente. Esta lógica puede ampliarse para decir que la tasa de flujo debe ser la misma en todos los puntos de la tubería. En particular, para los puntos 1 y 2 arbitrarios,

\begin{matrix} Q_{1} & = & Q_{2}, \\ A_{1} v_{1} & = & A_{2} v_{2} . \end{matrix}

14.14

Se denomina ecuación de continuidad y es válida para cualquier fluido incompresible (con densidad constante). Las consecuencias de la ecuación de continuidad se pueden observar cuando el agua fluye desde una manguera hacia una boquilla de pulverización estrecha: sale con una gran velocidad, lo cual es el propósito de la boquilla. A la inversa, cuando un río desemboca en un extremo de un embalse, el agua disminuye considerablemente su velocidad, que quizá vuelva a aumentar al salir del otro extremo del embalse. En otras palabras, la velocidad aumenta cuando el área de la sección transversal disminuye, y la velocidad disminuye cuando el área de la sección transversal aumenta.

La figura es el esquema de una tubería que se estrecha desde el área de la sección transversal A1 hasta el área de la sección transversal A2. El fluido circula por la tubería. El volumen de fluido V1 pasa por un punto 1, situado en la parte ancha de la sección transversal, en el tiempo t. El volumen de fluido V2 pasa por un punto 2, situado en la parte estrecha de la sección transversal, en el tiempo t.

Figura 14.27 Cuando un tubo se estrecha, el mismo volumen ocupa una mayor longitud. Para que el mismo volumen pase por los puntos 1 y 2 en un tiempo determinado, la velocidad debe ser mayor en el punto 2. El proceso es exactamente reversible. Si el fluido circula en sentido contrario, su velocidad disminuye cuando el tubo se ensancha (obsérvese que los volúmenes relativos de los dos cilindros y las flechas de los vectores de velocidad correspondientes no están dibujados a escala).

Como los líquidos son esencialmente incompresibles, la ecuación de continuidad es válida para todos los líquidos. Sin embargo, los gases son compresibles, por lo que la ecuación debe aplicarse con precaución a los gases si están sometidos a compresión o expansión.

Ejemplo 14.5

Cálculo de la velocidad del fluido a través de una boquilla

A una manguera de jardín con un radio de 0,900 cm se le acopla una boquilla con un diámetro de 0,500 cm. La tasa de flujo que pasa por la manguera y la boquilla es de 0,500 L/s. Calcule la velocidad del agua (a) en la manguera y (b) en la boquilla.

Estrategia

Podemos usar la relación entre tasa de flujo y velocidad para encontrar ambas velocidades. Usamos el subíndice 1 para la manguera y el 2 para la boquilla.

Solución

Resolvemos la ecuación de la tasa de flujo para la velocidad y usamos $π r_{1}^{2}$ para el área de la sección transversal de la manguera, obteniendo
$v = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{π r_{1}^{2}} .$
Al sustituir los valores y usar las conversiones de unidades adecuadas se obtiene
$v = \frac{(0,500 L/s) (10^{−3} m^{3} /L)}{3,14 {(9,00 \times 10^{−3} m)}^{2}} = 1,96 m/s .$
Podríamos repetir este cálculo para encontrar la velocidad en la boquilla $v_{2}$ , pero usamos la ecuación de continuidad para dar una visión algo diferente. La ecuación dice
$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2} .$
Resolver para $v_{2}$ y al sustituir $π r^{2}$ para el área de la sección transversal se obtiene
$v_{2} = \frac{A_{1}}{A_{2}} v_{1} = \frac{π r_{1}^{2}}{π r_{2}^{2}} v_{1} = \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} v_{1} .$
Al sustituir valores conocidos,
$v_{2} = \frac{{(0,900 cm)}^{2}}{{(0,250 cm)}^{2}} 1,96 m/s = 25,5 m/s .$

Importancia

Una velocidad de 1,96 m/s es más o menos correcta para el agua que sale de una manguera sin boquilla. La boquilla produce un chorro considerablemente más rápido por el simple hecho de constreñir el flujo a un tubo más estrecho.

La solución de la última parte del ejemplo muestra que la velocidad es inversamente proporcional al cuadrado del radio del tubo, por lo que los efectos son grandes cuando varía el radio. Podemos apagar una vela a bastante distancia, por ejemplo, frunciendo los labios, mientras que soplar una vela con la boca abierta es bastante ineficaz.

Conservación de la masa

La tasa de flujo de un fluido también se puede describir mediante la tasa de flujo de masa o flujo másico. Es la velocidad con la que una masa del fluido pasa por un punto. Consulte de nuevo la Figura 14.26, pero esta vez considere la masa en el volumen sombreado. La masa se puede determinar a partir de la densidad y el volumen:

m = ρ V = ρ A x .

La tasa de flujo de masa es entonces

\frac{d m}{d t} = \frac{d}{d t} (ρ A x) = ρ A \frac{d x}{d t} = ρ A v,

donde $ρ$ es la densidad, A es el área de la sección transversal y v es la magnitud de la velocidad. La tasa de flujo de masa es una magnitud importante en las dinámicas de fluidos, y se puede usar para resolver muchos problemas. Considere la Figura 14.28. La tubería de la figura comienza en la entrada con un área de sección transversal de $A_{1}$ y se constriñe a una salida con un área de sección transversal menor de $A_{2}$ . La masa del fluido que entra en la tubería tiene que ser igual a la masa del fluido que sale de ella. Por esto la velocidad en la salida $(v_{2})$ es mayor que la velocidad de la entrada $(v_{1})$ . Usando el hecho de que la masa del fluido que entra en la tubería debe ser igual a la masa del fluido que sale de ella, podemos encontrar una relación entre la velocidad y el área de la sección transversal tomando la tasa de cambio de la masa que entra y la que sale:

\begin{matrix} {(\frac{d m}{d t})}_{1} & = & {(\frac{d m}{d t})}_{2} \\ ρ_{1} A_{1} v_{1} & = & ρ_{2} A_{2} v_{2} . \end{matrix}

14.15

Ecuación 14.15 también se conoce como la ecuación de continuidad en forma general. Si la densidad del fluido se mantiene constante a través de la constricción —es decir, el fluido es incompresible— entonces la densidad se anula de la ecuación de continuidad,

A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2} .

La ecuación se reduce para demostrar que la tasa de flujo volumétrica que entra en la tubería es igual a la tasa de flujo volumétrica que sale de ella.

La figura es un esquema de un fluido que circula en una tubería uniforme con el área de la sección transversal A. El volumen de fluido V delta t pasa por la tubería durante el tiempo delta t.

Figura 14.28 Geometría para derivar la ecuación de continuidad. La cantidad de líquido que entra en el área de la sección transversal (sombreada) debe ser igual a la cantidad de líquido que sale del área de la sección transversal si el líquido es incompresible.

14.5 Dinámicas de fluidos