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Física Universitaria Volumen 1

14.7 Viscosidad y turbulencia

Física Universitaria Volumen 114.7 Viscosidad y turbulencia
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar qué es la viscosidad.
  • Calcular el flujo y la resistencia con la ley de Poiseuille.
  • Explicar cómo cae la presión debido a la resistencia.
  • Calcular el número de Reynolds para un objeto que se mueve a través de un fluido.
  • Usar el número de Reynolds de un sistema para determinar si es laminar o turbulento.
  • Describir las condiciones en las que un objeto tiene una velocidad terminal.

En Aplicaciones de las leyes de Newton, donde se introdujo el concepto de fricción, vimos que un objeto que se desliza por el suelo con una velocidad inicial y sin fuerza aplicada llega al reposo debido a la fuerza de fricción. La fricción depende de los tipos de materiales en contacto y es proporcional a la fuerza normal. En ese mismo capítulo hablamos también de arrastre y resistencia del aire. Explicamos que a bajas velocidades el arrastre es proporcional a la velocidad, mientras que a altas velocidades el arrastre es proporcional a la velocidad al cuadrado. En esta sección introducimos las fuerzas de fricción que actúan sobre fluidos en movimiento. Por ejemplo, un fluido que circula por una tubería está sujeto a una resistencia, un tipo de fricción, entre el fluido y las paredes. La fricción también se produce entre las diferentes capas de fluido. Estas fuerzas resistivas afectan la forma en que el fluido circula a través de la tubería.

Viscosidad y flujo laminar

Cuando se sirve un vaso de jugo, el líquido fluye libre y rápidamente. Pero si vierte sirope de arce sobre sus panqueques, ese líquido fluye lentamente y se pega a la jarra. La diferencia es la fricción del fluido, tanto dentro del propio fluido como entre este y su entorno. A esta propiedad de los fluidos la llamamos viscosidad. El jugo tiene una baja viscosidad, mientras que el sirope tiene una alta viscosidad.

La definición precisa de la viscosidad se basa en el flujo laminar, o no turbulento. La Figura 14.34 muestra de forma esquemática en qué se diferencian el flujo laminar y el turbulento. Cuando el flujo es laminar, las capas fluyen sin mezclarse. Cuando el flujo es turbulento, las capas se mezclan y se producen velocidades significativas en direcciones distintas de la dirección general del flujo.

La figura A es el esquema de un flujo laminar que se produce en capas sin mezclarse. La velocidad del fluido es diferente para las distintas capas. La figura B es el esquema de un flujo turbulento causado por la obstrucción. El flujo turbulento mezcla el fluido y genera una velocidad uniforme del este.
Figura 14.34 (a) El flujo laminar se produce en capas sin mezclarse. Obsérvese que la viscosidad provoca un arrastre entre las capas, así como con la superficie fija. La velocidad cerca del fondo del flujo ( v b v b ) es menor que la velocidad cerca de la cima ( v t v t ) porque en este caso, la superficie del recipiente contenedor está en el fondo. (b) Una obstrucción en el recipiente provoca un flujo turbulento. El flujo turbulento mezcla el fluido. Hay más interacción, mayor calentamiento y más resistencia que en el flujo laminar.

La turbulencia es un fluido circulante en el cual las capas se mezclan entre sí mediante torbellinos y remolinos. Tiene dos causas principales. En primer lugar, cualquier obstrucción o esquina afilada, como en un grifo, crea turbulencia al impartir velocidades perpendiculares al flujo. En segundo lugar, las altas velocidades provocan turbulencia. El arrastre entre capas adyacentes de fluido y entre el fluido y su entorno puede formar remolinos y torbellinos si la velocidad es lo suficientemente grande. En la Figura 14.35, la velocidad del humo que se acelera alcanza el punto en que comienza a arremolinarse debido al arrastre entre el humo y el aire circundante.

La figura es una foto del humo que sube suavemente por la parte inferior y forma remolinos y torbellinos en la parte superior.
Figura 14.35 El humo se eleva suavemente durante un tiempo y luego comienza a formar remolinos y torbellinos. El flujo suave se denomina flujo laminar, mientras que los remolinos y torbellinos tipifican el flujo turbulento. El humo se eleva más rápidamente cuando fluye suavemente que después de volverse turbulento, lo que sugiere que la turbulencia plantea más resistencia al flujo (créditos: “Creativity103”/Flickr).

La Figura 14.36 muestra cómo se mide la viscosidad de un fluido. El fluido que se va a medir se coloca entre dos placas paralelas. La placa inferior se mantiene fija, mientras que la placa superior se mueve hacia la derecha y arrastra el fluido con ella. La capa (o lámina) de fluido en contacto con cualquiera de las placas no se mueve con respecto a la placa, por lo que la capa superior se mueve a una velocidad v mientras que la capa inferior permanece en reposo. Cada capa sucesiva, de arriba hacia abajo, ejerce una fuerza sobre la que está por debajo, tratando de arrastrarla, lo que produce una variación continua de la velocidad desde v hasta 0, como se muestra. Se procura que el flujo sea laminar, es decir, que las capas no se mezclen. El movimiento de la figura es como un movimiento de cizallamiento continuo. Los fluidos tienen una resistencia al cizallamiento cero, pero la velocidad a la que se cizallan está relacionada con los mismos factores geométricos A y L que la deformación por cizallamiento de los sólidos. En el diagrama, el fluido está inicialmente en reposo. La capa de fluido en contacto con la placa móvil se acelera y comienza a moverse debido a la fricción interna entre la placa móvil y el fluido. La siguiente capa está en contacto con la capa en movimiento; como hay fricción interna entre las dos capas, también se acelera, y así sucesivamente a través de la profundidad del fluido. También hay fricción interna entre la placa estacionaria y la capa más baja de fluido, junto a la placa de la estación. La fuerza es necesaria para mantener la placa en movimiento a una velocidad constante debido a la fricción interna.

La figura es un dibujo esquemático del montaje para la medición de la viscosidad para un flujo laminar de fluido entre dos placas de área A. L es la separación entre dos placas. La placa inferior es fija. Cuando la placa superior es empujada hacia la derecha, arrastra el fluido con ella.
Figura 14.36 Medición de viscosidad para el flujo laminar de un fluido entre dos placas de área A. La placa inferior es fija. Cuando la placa superior es empujada hacia la derecha, arrastra el fluido con ella.

Se requiere una fuerza F para mantener la placa superior en Figura 14.36 movimiento a una velocidad constante v, y hay experimentos que han demostrado que esta fuerza depende de cuatro factores. En primer lugar, F es directamente proporcional a v (hasta que la velocidad es tan alta que se produce turbulencia; entonces se necesita una fuerza mucho mayor, y tiene una dependencia más complicada de v). En segundo lugar, F es proporcional al área A de la placa. Esta relación parece razonable, ya que A es directamente proporcional a la cantidad de fluido que se mueve. En tercer lugar, F es inversamente proporcional a la distancia entre las placas L. Esta relación también es razonable; L es como un brazo de palanca, y cuanto mayor sea el brazo de palanca, menor será la fuerza necesaria. En cuarto lugar, F es directamente proporcional al coeficiente de viscosidad, ηη. Cuanto mayor sea la viscosidad, mayor será la fuerza necesaria. Estas dependencias se combinan en la ecuación

F=ηvAL.F=ηvAL.

Esta ecuación nos da una definición de trabajo de la viscosidad del fluido ηη. Resolver para ηη da

η=FLvAη=FLvA
14.17

que define la viscosidad en términos de cómo se mide.

La unidad SI de la viscosidad es Nm/[(m/s)m2]=(N/m2)s o PasNm/[(m/s)m2]=(N/m2)s o Pas. En la Tabla 14.4 se enumeran los coeficientes de viscosidad de varios fluidos. La viscosidad varía de un fluido a otro en varios órdenes de magnitud. Como es de esperar, las viscosidades de los gases son mucho menores que las de los líquidos, y estas viscosidades suelen depender de la temperatura.

Fluido Temperatura
(°C)(°C)
Viscosidad
ηη ×103×103
Aire 0 0,0171
20 0,0181
40 0,0190
100 0,0218
Amoníaco 20 0,00974
Dióxido de carbono 20 0,0147
Helio 20 0,0196
Hidrógeno 0 0,0090
Mercurio 20 0,0450
Oxígeno 20 0,0203
Vapor 100 0,0130
Agua líquida 0 1,792
20 1,002
37 0,6947
40 0,653
100 0,282
Sangre completa 20 3,015
37 2,084
Plasma sanguíneo 20 1,810
37 1,257
Alcohol etílico 20 1,20
Metanol 20 0,584
Aceite (máquina pesada) 20 660
Aceite (motor, SAE 10) 30 200
Aceite (de oliva) 20 138
Glicerina 20 1.500
Miel 20 2.000-10.000
Sirope de arce 20 2.000-3.000
Leche 20 3,0
Aceite (maíz) 20 65
Tabla 14.4 Coeficientes de viscosidad de varios fluidos

Flujo laminar confinado en tubos: Ley de Poiseuille

¿Qué causa el flujo? La respuesta, como es lógico, es una diferencia de presión. De hecho, existe una relación muy sencilla entre flujo horizontal y presión. La tasa de flujo Q está en la dirección de alta a baja presión. Cuanto mayor sea la diferencia de presión entre dos puntos, mayor será la tasa de flujo. Esta relación se puede expresar como

Q=p2p1RQ=p2p1R

donde p1p1 y p2p2 son las presiones en dos puntos, como por ejemplo en cada extremo de un tubo, y R es la resistencia al flujo. La resistencia R incluye todo, excepto la presión, que afecta la tasa de flujo. Por ejemplo, R es mayor para un tubo largo que para uno corto. Cuanto mayor es la viscosidad de un fluido, mayor es el valor de R. La turbulencia aumenta mucho R, mientras que el aumento del diámetro de un tubo disminuye R.

Si la viscosidad es cero, el fluido no tiene fricción y la resistencia al flujo también es cero. Al comparar el flujo sin fricción en un tubo con el flujo viscoso, como en la Figura 14.37, vemos que para un fluido viscoso, la velocidad es mayor a mitad de camino debido al arrastre en los límites. Podemos ver el efecto de la viscosidad en la llama de un mechero Bunsen [parte (c)], aunque la viscosidad del gas natural es pequeña.

La figura A es un dibujo esquemático del flujo no viscoso de un fluido en un tubo. Todas las capas de fluido se mueven con la misma velocidad. La figura B es un dibujo esquemático del flujo no viscoso de un fluido en un tubo. Las capas del centro del tubo se mueven a mayor velocidad. La figura C es una foto de un mechero Bunsen con la llama cónica encima.
Figura 14.37 (a) Si el fluido circulante en un tubo tiene una resistencia insignificante, la velocidad es la misma a lo largo de todo el tubo. (b) Cuando un fluido viscoso circula a través de un tubo, su velocidad en las paredes es cero, y aumenta constantemente hasta su máximo en el centro del tubo. (c) La forma de la llama de un mechero Bunsen se debe al perfil de velocidad a través del tubo (créditos c: modificación de trabajo de “jasonwoodhead23”/Flickr).

La resistencia R al flujo laminar de un fluido incompresible con viscosidad ηη a través de un tubo horizontal de radio uniforme r y longitud l, viene dada por

R=8ηlπr4.R=8ηlπr4.
14.18

Esta ecuación se denomina ley de Poiseuille para la resistencia, llamada así en honor al científico francés J. L. Poiseuille (1799-1869), que la dedujo en un intento de comprender el flujo de la sangre a través del cuerpo.

Examinemos la expresión de Poiseuille para R para ver si tiene un buen sentido intuitivo. Vemos que la resistencia es directamente proporcional a la viscosidad del fluido ηη y la longitud l de un tubo. Al fin y al cabo, ambos afectan directamente a la cantidad de fricción encontrada: cuanto mayor sea uno de ellos, mayor será la resistencia y menor el flujo. El radio r de un tubo afecta la resistencia, lo que también tiene sentido, porque cuanto mayor sea el radio, mayor será el flujo (los demás factores permanecen iguales). Pero es sorprendente que r se eleve a la cuarta potencia en la ley de Poiseuille. Este exponente significa que cualquier cambio en el radio de un tubo tiene un efecto muy grande en la resistencia. Por ejemplo, duplicar el radio de un tubo disminuye la resistencia en un factor de 24=1624=16.

En conjunto, Q=p2p1RQ=p2p1R y R=8ηlπr4R=8ηlπr4 dan la siguiente expresión para la tasa de flujo:

Q=(p2p1)πr48ηl.Q=(p2p1)πr48ηl.
14.19

Esta ecuación describe el flujo laminar a través de un tubo. A veces se denomina ley de Poiseuille para el flujo laminar, o simplemente ley de Poiseuille (Figura 14.38).

La figura es el esquema de un tubo de longitud l y radio r. El fluido circula a través del tubo en la dirección de una presión mayor p2 a una presión menor p1. El flujo es laminar y es mayor en el centro del tubo.
Figura 14.38 La ley de Poiseuille se aplica al flujo laminar de un fluido incompresible de viscosidad η η a través de un tubo de longitud l y radio r. El sentido del flujo es de mayor a menor presión. La tasa de flujo Q es directamente proporcional a la diferencia de presión p 2 p 1 p 2 p 1 , e inversamente proporcional a la longitud l del tubo y a la viscosidad η η del fluido. La tasa de flujo aumenta con el radio en un factor de r 4 r 4 .

Ejemplo 14.8

Usar la tasa de flujo: sistemas de aire acondicionado

Se está diseñando un sistema de aire acondicionado para suministrar aire a una presión manométrica de 0,054 Pa a una temperatura de 20 °C.20 °C. El aire se envía a través de un conducto redondo aislado de 18,00 cm de diámetro. El conducto tiene una longitud de 20 metros y está abierto a una habitación a una presión atmosférica de 101,30 kPa. La habitación tiene una longitud de 12 metros, una anchura de 6 metros y una altura de 3 metros. (a) ¿Cuál es la tasa de flujo volumétrica que pasa por la tubería al suponer un flujo laminar? (b) Estime el tiempo necesario para sustituir completamente el aire de la habitación. (c) Los constructores deciden ahorrar dinero usando un conducto de 9,00 cm de diámetro. ¿Cuál es la nueva tasa de flujo?

Estrategia

Al suponer un flujo laminar, la ley de Poiseuille establece que
Q=(p2p1)πr48ηl=dVdt.Q=(p2p1)πr48ηl=dVdt.

Tenemos que comparar el radio de la arteria antes y después de la reducción de la tasa de flujo. Obsérvese que se nos da el diámetro del conducto, por lo que debemos dividir entre dos para obtener el radio.

Solución

  1. Se supone una diferencia de presión constante y se usa la viscosidad η=0,0181mPasη=0,0181mPas,
    Q=(0,054Pa)(3,14)(0,09m)48(0,0181×10−3Pas)(20m)=3,84×10−3m3s.Q=(0,054Pa)(3,14)(0,09m)48(0,0181×10−3Pas)(20m)=3,84×10−3m3s.
  2. Se supone un flujo constante Q=dVdtΔVΔtQ=dVdtΔVΔt
    Δt=ΔVQ=(12m)(6m)(3m)3,84×10−3m3s=5,63×104s=15,63h.Δt=ΔVQ=(12m)(6m)(3m)3,84×10−3m3s=5,63×104s=15,63h.
  3. Usando el flujo laminar, la ley de Poiseuille arroja
    Q=(0,054Pa)(3,14)(0,045m)48(0,0181×10−3Pas)(20m)=2,40×10−4m3s.Q=(0,054Pa)(3,14)(0,045m)48(0,0181×10−3Pas)(20m)=2,40×10−4m3s.
    Así, la disminución del radio del conducto a la mitad reduce la tasa de flujo al 6,25 % del valor original.

Importancia

En general, al suponer un flujo laminar, la disminución del radio tiene un efecto más dramático que la modificación de la longitud. Si se aumenta la longitud y todas las demás variables permanecen constantes, la tasa de flujo disminuye:
QAQB=(p2p1)πrA48ηlA(p2p1)πrB48ηlB=lBlA QB=lAlBQA.QAQB=(p2p1)πrA48ηlA(p2p1)πrB48ηlB=lBlA QB=lAlBQA.

Al duplicar la longitud, la tasa de flujo se reduce a la mitad de la original.

Si se disminuye el radio y todas las demás variables permanecen constantes, la tasa de flujo volumétrica disminuye en un factor mucho mayor.

QAQB=(p2p1)πrA48ηlA(p2p1)πrB48ηlB=(rArB)4 QB=(rBrA)4QAQAQB=(p2p1)πrA48ηlA(p2p1)πrB48ηlB=(rArB)4 QB=(rBrA)4QA

Al reducir el radio a la mitad, la tasa de flujo disminuye a una dieciseisava parte del original.

El flujo y la resistencia como causas de caídas de presión

La presión del agua en los hogares es, a veces, más baja de lo normal en momentos de mucho uso, como los días calurosos de verano. La caída de presión se produce en el conducto de agua antes de que llegue a los hogares. Consideremos el flujo a través del conducto de agua como se ilustra en la Figura 14.39. Podemos entender por qué la presión p1p1 a la vivienda disminuye en los momentos de mayor uso, reordenando la ecuación de la tasa de flujo:

Q=p2p1Rp2p1=RQ.Q=p2p1Rp2p1=RQ.

En este caso, p2p2 es la presión en la obra de agua y R es la resistencia del conducto de agua. En los momentos de mayor uso, la tasa de flujo Q es grande. Esto significa que p2p1p2p1 también debe ser grande. Así, p1p1 debe disminuir. Es correcto pensar que el flujo y la resistencia hacen que la presión baje de p2p2 hasta p1p1. La ecuación p2p1=RQp2p1=RQ es válido tanto para flujos laminares como turbulentos.

La figura es el dibujo esquemático de unas pocas líneas de agua pequeñas que conducen a las casas individuales y que se unen a la línea de agua principal.
Figura 14.39 Durante los momentos de mayor uso se produce una importante caída de presión en el conducto de agua, y p 1 p 1 suministrado a los usuarios es significativamente menor que p 2 p 2 creado en las obras de agua. Si el flujo es muy pequeño, la caída de presión es insignificante y p 2 p 1 p 2 p 1 .

También podemos usar p2p1=RQp2p1=RQ para analizar las caídas de presión que se producen en sistemas más complejos en los que el radio del tubo no es el mismo en todas partes. La resistencia es mucho mayor en lugares estrechos, como en una arteria coronaria obstruida. Para una tasa de flujo dada Q, la pérdida de carga es mayor donde el tubo es más estrecho. Así es como los grifos de agua controlan el flujo. Además, R aumenta mucho con la turbulencia, y una constricción que crea turbulencia reduce mucho la presión descendente. La placa en una arteria reduce la presión y, por tanto, el flujo, tanto por su resistencia como por la turbulencia que crea.

Medición de turbulencia

Un indicador llamado número de Reynolds NRNR puede revelar si el flujo es laminar o turbulento. Para un flujo en un tubo de diámetro uniforme, el número de Reynolds se define como

NR=2ρvrη(flujo en el tubo)NR=2ρvrη(flujo en el tubo)
14.20

donde ρρ es la densidad del fluido, v su velocidad, ηη su viscosidad y r el radio del tubo. El número de Reynolds es una cantidad sin dimensiones. Hay experimentos que han revelado que NRNR está relacionado con el inicio de turbulencia. Para NRNR por debajo de unos 2.000, el flujo es laminar. Para NRNR por encima de unos 3.000, el flujo es turbulento.

Para valores de NRNR entre 2.000 y 3.000 aproximadamente, el flujo es inestable, es decir, puede ser laminar, pero pequeños obstáculos y la rugosidad de la superficie pueden hacerlo turbulento, y puede oscilar aleatoriamente entre ser laminar y turbulento. De hecho, el flujo de un fluido con un número de Reynolds entre 2.000 y 3.000 es un buen ejemplo de comportamiento caótico. Un sistema se define como caótico cuando su comportamiento es tan sensible a algún factor que es extremadamente difícil de predecir. Es difícil, pero no imposible, predecir si el flujo es turbulento o no cuando el número de Reynolds de un fluido cae en este rango debido a la dependencia extremadamente sensible de factores como rugosidad y obstrucciones en la naturaleza del flujo. Una pequeña variación de un factor tiene un efecto exagerado (o no lineal) en el flujo.

Ejemplo 14.9

Usar la tasa de flujo: flujo turbulento o flujo laminar

En el Ejemplo 14.8, encontramos que la tasa de flujo volumétrica de un sistema de aire acondicionado es Q=3,84×10−3m3/s.Q=3,84×10−3m3/s. Este cálculo suponía un flujo laminar. (a) ¿Esta era una buena suposición? (b) ¿A qué velocidad se convertiría el flujo en turbulento?

Estrategia

Para determinar si el flujo de aire a través del sistema de aire acondicionado es laminar, primero tenemos que encontrar la velocidad, que se puede encontrar por
Q=Av=πr2v.Q=Av=πr2v.

Entonces, podemos calcular el número de Reynolds usando la ecuación siguiente, y determinar si entra en el rango del flujo laminar

R=2ρvrη.R=2ρvrη.

Solución

  1. Usando los valores dados:
    v=Qπr2=3,84×10−3m3s3,14(0,09m)2=0,15ms R=2ρvrη=2(1,23kgm3)(0,15ms)(0,09m)0,0181×10−3Pas=1.835.v=Qπr2=3,84×10−3m3s3,14(0,09m)2=0,15ms R=2ρvrη=2(1,23kgm3)(0,15ms)(0,09m)0,0181×10−3Pas=1.835.
    Como el número de Reynolds es 1.835 < 2.000, el flujo es laminar y no turbulento. La suposición de que el flujo era laminar es válida.
  2. Para encontrar la velocidad máxima del aire para mantener el flujo laminar, considere el número de Reynolds.
    R=2ρvrη2.000 v=2.000(0,0181×10−3Pas)2(1,23kgm3)(0,09m)=0,16ms.R=2ρvrη2.000 v=2.000(0,0181×10−3Pas)2(1,23kgm3)(0,09m)=0,16ms.

Importancia

Cuando se traslada un fluido de un punto a otro, es deseable limitar la turbulencia. La turbulencia provoca un desperdicio de energía, ya que parte de la energía destinada a mover el fluido se disipa cuando se forman torbellinos. En este caso, el sistema de aire acondicionado será menos eficiente una vez que la velocidad supere los 0,16 m/s, ya que este es el punto en el que comenzará a producirse turbulencia.
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