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Física Universitaria Volumen 1

13.4 Órbita satelital y energía

Física Universitaria Volumen 113.4 Órbita satelital y energía
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Describir el mecanismo de las órbitas circulares.
  • Calcular los periodos orbitales y la rapidez de los satélites.
  • Determinar si los objetos tienen límite gravitacional.

La Luna orbita alrededor de la Tierra. A su vez, la Tierra y los demás planetas orbitan alrededor del Sol. El espacio directamente sobre nuestra atmósfera está lleno de satélites artificiales en órbita. Examinamos la más sencilla de estas órbitas, la órbita circular, para comprender la relación entre la rapidez y el periodo de los planetas y satélites en relación con sus posiciones y los cuerpos que orbitan.

Órbita circular

Como se indicó al principio de este capítulo, Nicolás Copérnico fue el primero en sugerir que la Tierra y todos los demás planetas realizan una órbita circular alrededor del Sol. Además, observó que el periodo orbital aumenta con la distancia al Sol. Posteriormente, Kepler demostró que estas órbitas son en realidad elipses, pero las de la mayoría de los planetas del sistema solar son casi circulares. La distancia orbital de la Tierra al Sol varía apenas un 2 %. La excepción es la órbita excéntrica de Mercurio, cuya distancia orbital varía casi un 40 %.

La determinación de la rapidez orbital y el periodo orbital de un satélite es mucho más fácil para las órbitas circulares, por lo que hacemos esa suposición en la derivación que sigue. Como hemos descrito en el apartado anterior, un objeto con energía total negativa tiene límite gravitacional y, por tanto, está en órbita. Nuestro cálculo para el caso especial de la órbita circular lo confirmará. Nos centramos en los objetos que orbitan la Tierra, pero nuestros resultados pueden generalizarse para otros casos.

Considere un satélite de masa m en una órbita circular alrededor de la Tierra a una distancia r del centro de la Tierra (Figura 13.12). Tiene una aceleración centrípeta dirigida hacia el centro de la Tierra. La gravedad de la Tierra es la única fuerza que actúa, por lo que la segunda ley de Newton da

GmMEr2=mac=mvórbita2r.GmMEr2=mac=mvórbita2r.
Un dibujo muestra un satélite que orbita alrededor de la Tierra en un radio r. La órbita se muestra como un círculo azul centrado en la Tierra. Una flecha roja en el satélite apunta hacia el centro de la Tierra y está etiquetada como F, y una flecha verde tangente a la órbita está etiquetada como v.
Figura 13.12 Un satélite de masa m que orbita a un radio r del centro de la Tierra. La fuerza gravitatoria proporciona la aceleración centrípeta.

Resolvemos la velocidad de la órbita, al observar que m se cancela, para obtener la rapidez orbital

vórbita=GMEr.vórbita=GMEr.
13.7

En consonancia con lo que vimos en la Ecuación 13.2 y la Ecuación 13.6, m no aparece en la Ecuación 13.7. El valor de g, la velocidad de escape y la velocidad orbital dependen solo de la distancia al centro del planeta, y no de la masa del objeto sobre el que se actúa. Obsérvese la similitud de las ecuaciones para vórbitavórbita y vescvesc. La velocidad de escape es exactamente 22 veces mayor, aproximadamente un 40 %, que la velocidad orbital. Esta comparación se observó en el Ejemplo 13.7, y es válida para un satélite de cualquier radio.

Para hallar el periodo de una órbita circular, observamos que el satélite recorre la circunferencia de la órbita 2πr2πr en un periodo T. Utilizando la definición de rapidez, tenemos vórbita=2πr/Tvórbita=2πr/T. Sustituimos esto en la Ecuación 13.7 y reordenamos para obtener

T=2πr3GME.T=2πr3GME.
13.8

Veremos en la siguiente sección que esto representa la tercera ley de Kepler para el caso de las órbitas circulares. También confirma la observación de Copérnico de que el periodo de un planeta aumenta con el incremento de la distancia al Sol. Solo tenemos que sustituir MEME con MSolMSol en la Ecuación 13.8.

Concluimos esta sección al volver a nuestro debate anterior sobre los astronautas en órbita que parecen no tener peso, como si estuvieran en caída libre hacia la Tierra. De hecho, están en caída libre. Considere las trayectorias que se muestran en la Figura 13.13. (Esta figura está basada en un dibujo de Newton en sus Principia y también apareció anteriormente en El movimiento en dos y tres dimensiones). Todas las trayectorias mostradas que chocan con la superficie de la Tierra tienen una velocidad inferior a la orbital. Los astronautas acelerarían hacia la Tierra por las trayectorias no circulares mostradas y se sentirían ingrávidos. (Los astronautas se entrenan para la vida en órbita montando en aviones en caída libre durante 30 segundos cada vez). Sin embargo, con la velocidad orbital correcta, la superficie de la Tierra se aleja de ellos exactamente a la misma velocidad que caen hacia la Tierra. Por supuesto, permanecer a la misma distancia de la superficie es el punto de una órbita circular.

La figura es un dibujo de la Tierra con una torre alta en el polo norte y una flecha horizontal etiquetada como v 0 que apunta a la derecha. Se muestran 5 trayectorias que comienzan en la parte superior de la torre. La primera llega a la Tierra cerca de la torre. La segunda llega a la Tierra más lejos de la torre, y la tercera aún más lejos. La cuarta trayectoria golpea la Tierra en el ecuador, y es tangente a la superficie en el ecuador. La quinta trayectoria es un círculo concéntrico con la Tierra.
Figura 13.13 Una órbita circular es el resultado de elegir una velocidad tangencial tal que la superficie de la Tierra se aleja a la misma velocidad que el objeto cae hacia la Tierra.

Podemos resumir nuestro debate sobre los satélites en órbita en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de Resolución De Problemas

Órbitas y conservación de la energía

  1. Determine si las ecuaciones de rapidez, energía o periodo son válidas para el problema en cuestión. Si no es así, empiece con los primeros principios que usamos para derivar esas ecuaciones.
  2. A partir de los primeros principios, dibuje un diagrama de cuerpo-libre y aplique la ley de la gravitación de Newton y la segunda ley de Newton.
  3. Junto con las definiciones de velocidad y energía, aplique la segunda ley del movimiento de Newton a los cuerpos de interés.

Ejemplo 13.9

La Estación Espacial Internacional

Determine la rapidez y el periodo orbital de la Estación Espacial Internacional (International Space Station, ISS).

Estrategia

Dado que la ISS orbita 4,00×102km4,00×102km sobre la superficie de la Tierra, el radio al que orbita es RE+4,00×102kmRE+4,00×102km. Utilizamos la Ecuación 13.7 y la Ecuación 13.8 para calcular la rapidez orbital y el periodo, respectivamente.

Solución

Utilizando la Ecuación 13.7, la velocidad orbital es
vórbita=GMEr=6,67×10−11N·m2/kg2(5,96×1024kg)(6,36×106+4,00×105m)=7,67×103m/svórbita=GMEr=6,67×10−11N·m2/kg2(5,96×1024kg)(6,36×106+4,00×105m)=7,67×103m/s

lo que supone unas 17.000 mph. Utilizando la Ecuación 13.8, el periodo es

T=2πr3GME=2π(6,37×106+4,00×105m)3(6,67×10−11N·m2/kg2)(5,96×1024kg)=5,55×103sT=2πr3GME=2π(6,37×106+4,00×105m)3(6,67×10−11N·m2/kg2)(5,96×1024kg)=5,55×103s

que dura poco más de 90 minutos.

Importancia

Se considera que la ISS está en órbita terrestre baja (Low Earth Orbit, LEO). Casi todos los satélites están en LEO, incluso la mayoría de los satélites meteorológicos. Los satélites GPS, a unos 20.000 km, se consideran de órbita terrestre media. Cuanto más alta sea la órbita, más energía se requiere para posicionarla allí y más energía se necesita para llegar a ella para repararla. Son especialmente interesantes los satélites en órbita geosincrónica. Todas las antenas parabólicas fijas en el suelo que apuntan al cielo, como las antenas de recepción de televisión, apuntan a los satélites geosíncronos. Estos satélites están colocados a la distancia exacta, y justo por encima del ecuador, de manera que su periodo de órbita es de 1 día. Permanecen en una posición fija con respecto a la superficie de la Tierra.

Compruebe Lo Aprendido 13.6

¿En qué factor deberá cambiar el radio para reducir la velocidad orbital de un satélite a la mitad? ¿En qué medida cambiaría el periodo?

Ejemplo 13.10

Determinación de la masa de la Tierra

Determine la masa de la Tierra a partir de la órbita de la Luna.

Estrategia

Utilizamos la Ecuación 13.8, resolvemos para MEME, y se sustituye el periodo y el radio de la órbita. El radio y el periodo de la órbita de la Luna se midieron con precisión razonable hace miles de años. Según los datos astronómicos del Apéndice D, el periodo lunar es de 27,3 días =2,36×106s=2,36×106s, y la distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna es de 384.000 km.

Solución

Resolver para MEME,
T=2πr3GMEME=4π2r3GΤ2=4π2(3,84×108m)3(6,67×10−11N·m2/kg2)(2,36×106s)2=6,01×1024kg.T=2πr3GMEME=4π2r3GΤ2=4π2(3,84×108m)3(6,67×10−11N·m2/kg2)(2,36×106s)2=6,01×1024kg.

Importancia

Compárelo con el valor de 5,96×1024kg5,96×1024kg que obtuvimos en el Ejemplo 13.5, al utilizar el valor de g en la superficie de la Tierra. Aunque estos valores son muy próximos (~0,8 %), ambos cálculos utilizan valores medios. El valor de g varía desde el ecuador hasta los polos en aproximadamente 0,5 %. No obstante, la Luna tiene una órbita elíptica en la que el valor de r varía algo más del 10 %. (El tamaño aparente de la Luna llena varía en realidad en esta cantidad, pero es difícil de notar a través de la observación casual, ya que el tiempo que pasa de un extremo al otro es de muchos meses).

Compruebe Lo Aprendido 13.7

Hay otra consideración a este último cálculo de MEME. Derivamos la Ecuación 13.8 suponiendo que el satélite orbita alrededor del centro del cuerpo astronómico con el mismo radio utilizado en la expresión de la fuerza gravitatoria entre ellos. ¿Qué suposición se hace para justificar esto? La Tierra tiene aproximadamente 81 veces más masa que la Luna. ¿Orbita la Luna alrededor del centro exacto de la Tierra?

Ejemplo 13.11

Rapidez y periodo galácticos

Repasemos el Ejemplo 13.2. Supongamos que la Vía Láctea y la galaxia de Andrómeda están en una órbita circular una alrededor de la otra. ¿Cuál sería la velocidad de cada una y cuál sería su periodo orbital? Supongamos que la masa de cada una es de 800.000 millones de masas solares y que sus centros están separados por 2,5 millones de años luz.

Estrategia

No podemos utilizar directamente la Ecuación 13.7 y la Ecuación 13.8 porque se derivaron asumiendo que el objeto de masa m orbitaba alrededor del centro de un planeta mucho mayor de masa M. Determinamos la fuerza gravitatoria en el Ejemplo 13.2 por medio de la ley de gravitación universal de Newton. Podemos utilizar la segunda ley de Newton, aplicada a la aceleración centrípeta de cualquiera de las galaxias, para determinar su velocidad tangencial. A partir de este resultado podemos determinar el periodo de la órbita.

Solución

En el Ejemplo 13.2, hallamos que la fuerza entre las galaxias es
F12=Gm1m2r2=(6,67×10−11N·m2/kg2)[(800×109)(2,0×1030kg)]2[(2,5×106)(9,5×1015m)]2=3,0×1029NF12=Gm1m2r2=(6,67×10−11N·m2/kg2)[(800×109)(2,0×1030kg)]2[(2,5×106)(9,5×1015m)]2=3,0×1029N

y que la aceleración de cada galaxia es

a=Fm=3,0×1029N(800×109)(2,0×1030kg)=1,9×10−13m/s2.a=Fm=3,0×1029N(800×109)(2,0×1030kg)=1,9×10−13m/s2.

Ya que las galaxias están en una órbita circular, tienen una aceleración centrípeta. Si ignoramos el efecto de otras galaxias, entonces, como aprendimos en Momento lineal y colisiones y Rotación en eje fijo, los centros de masa de las dos galaxias permanecen fijos. De allí que las galaxias deben orbitar alrededor de este centro de masa común. En el caso de las masas iguales, el centro de masa está exactamente a mitad de camino entre ellas. Así que el radio de la órbita, rórbitarórbita, no es la misma que la distancia entre las galaxias, sino la mitad de ese valor, es decir, 1,25 millones de años luz. Estos dos valores diferentes se muestran en la Figura 13.14.

Se ilustran dos galaxias separadas por una distancia r que se muestra en el diagrama. La galaxia de la izquierda es más grande que la de la derecha. Se muestra una distancia desde el centro de la galaxia de la izquierda hasta un punto entre las dos galaxias, pero más cercano a la izquierda, etiquetado como órbita r.
Figura 13.14 La distancia entre dos galaxias, que determina la fuerza gravitatoria entre ellas, es r, y es diferente de r órbita r órbita , que es el radio de la órbita de cada uno. Para masas iguales, r órbita = 1 / 2 r r órbita = 1 / 2 r (créditos: modificación del trabajo de Marc Van Norden).

Utilizando la expresión de la aceleración centrípeta, tenemos

ac=vórbita2rórbita1,9×10−13m/s2=vórbita2(1,25×106)(9,5×1015m).ac=vórbita2rórbita1,9×10−13m/s2=vórbita2(1,25×106)(9,5×1015m).

Resolviendo la velocidad de la órbita, tenemos vórbita=47km/svórbita=47km/s. Por último, podemos determinar el periodo de la órbita directamente a partir de T=2πr/vórbitaT=2πr/vórbita, para hallar que el periodo es T=1,6×1018sT=1,6×1018s, unos 50.000 millones de años.

Importancia

La rapidez orbital de 47 km/s puede parecer alta a primera vista. Sin embargo, esta velocidad es comparable a la velocidad de escape del Sol, que hemos calculado en un ejemplo anterior. Para dar aún más perspectiva, este periodo es casi cuatro veces más largo que el tiempo que ha existido el universo.

De hecho, el movimiento relativo actual de estas dos galaxias es tal que se espera que colisionen en unos 4.000 millones de años. Aunque la densidad de estrellas en cada galaxia hace improbable la colisión directa de dos estrellas, dicha colisión tendría un efecto dramático en la forma de las galaxias. Los ejemplos de estas colisiones son bien conocidos en astronomía.

Compruebe Lo Aprendido 13.8

Las galaxias no son objetos individuales. ¿Cómo se compara la fuerza gravitatoria que ejerce una galaxia sobre las estrellas "más cercanas" de la otra galaxia con las más lejanas? ¿Qué efecto tendría esto en la forma de las propias galaxias?

Interactivo

Consulte la página del Sloan Digital Sky Survey para obtener más información sobre las galaxias en colisión.

Utilice esta simulación interactiva para mover el Sol, la Tierra, la Luna y la estación espacial y ver los efectos en sus fuerzas gravitatorias y trayectorias orbitales. Visualice los tamaños y las distancias entre los diferentes cuerpos celestes; desactive la gravedad para ver qué pasaría sin ella.

Energía en órbitas circulares

En Energía potencial gravitacional y energía total, argumentamos que los objetos tienen límite gravitacional si su energía total es negativa. El argumento se basaba en el caso simple de que la velocidad se alejara o se acercara directamente al planeta. Ahora examinamos la energía total para una órbita circular y mostramos que, efectivamente, la energía total es negativa. Al igual que antes, partimos de la segunda ley de Newton aplicada a una órbita circular,

GmMEr2=mac=mv2rGmMEr=mv2.GmMEr2=mac=mv2rGmMEr=mv2.

En el último paso, multiplicamos por r en cada lado. El lado derecho es solo el doble de la energía cinética, por lo que tenemos

K=12mv2=GmME2r.K=12mv2=GmME2r.

La energía total es la suma de las energías cinética y potencial, por lo que nuestro resultado final es

E=K+U=GmME2rGmMEr=GmME2r.E=K+U=GmME2rGmMEr=GmME2r.
13.9

Podemos ver que la energía total es negativa, con la misma magnitud que la energía cinética. Para las órbitas circulares, la magnitud de la energía cinética es exactamente la mitad de la magnitud de la energía potencial. Sorprendentemente, este resultado se aplica a dos masas cualesquiera en órbitas circulares alrededor de su centro de masa común, a una distancia r entre sí. La prueba de esto se deja como ejercicio. Veremos en la siguiente sección que una expresión muy similar se aplica en el caso de las órbitas elípticas.

Ejemplo 13.12

Energía necesaria para orbitar

En el Ejemplo 13.8, calculamos la energía necesaria para elevar simplemente el vehículo Soyuz, de 9000 kg, desde la superficie de la Tierra hasta la altura de la ISS, a 400 km por encima de la superficie. En otras palabras, calculamos su cambio de energía potencial. Ahora nos preguntamos, ¿qué cambio de energía total en el vehículo Soyuz se requiere para sacarlo de la superficie de la Tierra y ponerlo en órbita con la ISS para un encuentro (Figura 13.15)? ¿Qué parte de esa energía total es energía cinética?
Demostración de la ISS y la Soyuz en órbitas paralelas alrededor de la Tierra.
Figura 13.15 La Soyuz en un encuentro con la ISS. Obsérvese que este diagrama no está a escala; la Soyuz es mucho más pequeña que la ISS y su órbita está mucho más cerca de la Tierra (créditos: modificación de trabajos de la NASA).

Estrategia

La energía necesaria es la diferencia entre la energía total de la Soyuz en órbita y la de la superficie terrestre. Podemos utilizar la Ecuación 13.9 para hallar la energía total de la Soyuz en la órbita de la ISS. No obstante, la energía total en la superficie es simplemente la energía potencial, ya que parte del reposo. [Nótese que no utilizamos la Ecuación 13.9 en la superficie, ya que no estamos en órbita en la superficie]. La energía cinética se halla entonces a partir de la diferencia en el cambio de energía total y el cambio de energía potencial en Ejemplo 13.8. Alternativamente, podemos utilizar la Ecuación 13.7 para calcular vórbitavórbita y calcular la energía cinética directamente a partir de ella. La energía total requerida es entonces la energía cinética más el cambio de energía potencial que en el Ejemplo 13.8.

Solución

Desde la Ecuación 13.9, la energía total de la Soyuz en la misma órbita que la ISS es
Eórbita=Kórbita+Uórbita=GmME2r=(6,67×10−11N·m2/kg2)(9.000kg)(5,96×1024kg)2(6,36×106+4,00×105m)=-2,65×1011J.Eórbita=Kórbita+Uórbita=GmME2r=(6,67×10−11N·m2/kg2)(9.000kg)(5,96×1024kg)2(6,36×106+4,00×105m)=-2,65×1011J.

La energía total en la superficie de la Tierra es

Esuperficie=Ksuperficie+Usuperficie=0GmMEr=(6,67×10−11N·m2/kg2)(9.000kg)(5,96×1024kg)(6,36×106m)=-5,63×1011J.Esuperficie=Ksuperficie+Usuperficie=0GmMEr=(6,67×10−11N·m2/kg2)(9.000kg)(5,96×1024kg)(6,36×106m)=-5,63×1011J.

El cambio de energía es ΔE=EórbitaEsuperficie=2,98×1011JΔE=EórbitaEsuperficie=2,98×1011J. Para obtener la energía cinética, restamos el cambio de energía potencial del Ejemplo 13.6, ΔU=3,32×1010JΔU=3,32×1010J. Eso nos da Kórbita=2,98×10113,32×1010=2,65×1011JKórbita=2,98×10113,32×1010=2,65×1011J. Como se indicó anteriormente, la energía cinética de una órbita circular es siempre la mitad de la magnitud de la energía potencial, y la misma que la magnitud de la energía total. Nuestro resultado lo confirma.

El segundo enfoque consiste en utilizar la Ecuación 13.7 para hallar la rapidez orbital de la Soyuz, lo que hicimos para la ISS en el Ejemplo 13.9.

vórbita=GMEr=(6,67×10−11N·m2/kg2)(5,96×1024kg)(6,36×106+4,00×105m)=7,67×103m/s.vórbita=GMEr=(6,67×10−11N·m2/kg2)(5,96×1024kg)(6,36×106+4,00×105m)=7,67×103m/s.

Así que la energía cinética de la Soyuz en órbita es

Kórbita=12mvórbita2=12(9.000kg)(7,67×103m/s)2=2,65×1011J,Kórbita=12mvórbita2=12(9.000kg)(7,67×103m/s)2=2,65×1011J,

lo mismo que en el método anterior. La energía total es solo

Eórbita=Kórbita+ΔU=2,65×1011+3,32×1010=2,95×1011J.Eórbita=Kórbita+ΔU=2,65×1011+3,32×1010=2,95×1011J.

Importancia

La energía cinética de la Soyuz es casi ocho veces el cambio de su energía potencial, o el 90 % de la energía total necesaria para el encuentro con la ISS. Es importante recordar que esta energía representa solo la que debe darse a la Soyuz. Con nuestra actual tecnología de cohetes, la masa del sistema de propulsión (el combustible del cohete, su contenedor y el sistema de combustión) supera con creces la de la carga útil, y hay que dar una enorme cantidad de energía cinética a esa masa. Así que el coste real en energía es muchas veces superior al cambio de energía de la propia carga útil.
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