13.4 Órbita satelital y energía

Órbita circular

Como se indicó al principio de este capítulo, Nicolás Copérnico fue el primero en sugerir que la Tierra y todos los demás planetas realizan una órbita circular alrededor del Sol. Además, observó que el periodo orbital aumenta con la distancia al Sol. Posteriormente, Kepler demostró que estas órbitas son en realidad elipses, pero las de la mayoría de los planetas del sistema solar son casi circulares. La distancia orbital de la Tierra al Sol varía apenas un 2 %. La excepción es la órbita excéntrica de Mercurio, cuya distancia orbital varía casi un 40 %.

La determinación de la rapidez orbital y el periodo orbital de un satélite es mucho más fácil para las órbitas circulares, por lo que hacemos esa suposición en la derivación que sigue. Como hemos descrito en el apartado anterior, un objeto con energía total negativa tiene límite gravitacional y, por tanto, está en órbita. Nuestro cálculo para el caso especial de la órbita circular lo confirmará. Nos centramos en los objetos que orbitan la Tierra, pero nuestros resultados pueden generalizarse para otros casos.

Considere un satélite de masa m en una órbita circular alrededor de la Tierra a una distancia r del centro de la Tierra (Figura 13.12). Tiene una aceleración centrípeta dirigida hacia el centro de la Tierra. La gravedad de la Tierra es la única fuerza que actúa, por lo que la segunda ley de Newton da

Figura 13.12 Un satélite de masa m que orbita a un radio r del centro de la Tierra. La fuerza gravitatoria proporciona la aceleración centrípeta.

Resolvemos la velocidad de la órbita, al observar que m se cancela, para obtener la rapidez orbital

En consonancia con lo que vimos en la Ecuación 13.2 y la Ecuación 13.6, m no aparece en la Ecuación 13.7. El valor de g, la velocidad de escape y la velocidad orbital dependen solo de la distancia al centro del planeta, y no de la masa del objeto sobre el que se actúa. Obsérvese la similitud de las ecuaciones para $v_{\text{órbita}}$ y $v_{\text{esc}}$. La velocidad de escape es exactamente $\sqrt{2}$ veces mayor, aproximadamente un 40 %, que la velocidad orbital. Esta comparación se observó en el Ejemplo 13.7, y es válida para un satélite de cualquier radio.

Para hallar el periodo de una órbita circular, observamos que el satélite recorre la circunferencia de la órbita $2\pi r$ en un periodo T. Utilizando la definición de rapidez, tenemos $v_{\text{órbita}}=2\pi r\text{/}T$. Sustituimos esto en la Ecuación 13.7 y reordenamos para obtener

Veremos en la siguiente sección que esto representa la tercera ley de Kepler para el caso de las órbitas circulares. También confirma la observación de Copérnico de que el periodo de un planeta aumenta con el incremento de la distancia al Sol. Solo tenemos que sustituir $M_{\text{E}}$ con $M_{\text{Sol}}$ en la Ecuación 13.8.

Concluimos esta sección al volver a nuestro debate anterior sobre los astronautas en órbita que parecen no tener peso, como si estuvieran en caída libre hacia la Tierra. De hecho, están en caída libre. Considere las trayectorias que se muestran en la Figura 13.13. (Esta figura está basada en un dibujo de Newton en sus Principia y también apareció anteriormente en El movimiento en dos y tres dimensiones). Todas las trayectorias mostradas que chocan con la superficie de la Tierra tienen una velocidad inferior a la orbital. Los astronautas acelerarían hacia la Tierra por las trayectorias no circulares mostradas y se sentirían ingrávidos. (Los astronautas se entrenan para la vida en órbita montando en aviones en caída libre durante 30 segundos cada vez). Sin embargo, con la velocidad orbital correcta, la superficie de la Tierra se aleja de ellos exactamente a la misma velocidad que caen hacia la Tierra. Por supuesto, permanecer a la misma distancia de la superficie es el punto de una órbita circular.

Figura 13.13 Una órbita circular es el resultado de elegir una velocidad tangencial tal que la superficie de la Tierra se aleja a la misma velocidad que el objeto cae hacia la Tierra.

Podemos resumir nuestro debate sobre los satélites en órbita en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Ejemplo 13.11

Rapidez y periodo galácticos

Repasemos el Ejemplo 13.2. Supongamos que la Vía Láctea y la galaxia de Andrómeda están en una órbita circular una alrededor de la otra. ¿Cuál sería la velocidad de cada una y cuál sería su periodo orbital? Supongamos que la masa de cada una es de 800.000 millones de masas solares y que sus centros están separados por 2,5 millones de años luz.

Estrategia

No podemos utilizar directamente la Ecuación 13.7 y la Ecuación 13.8 porque se derivaron asumiendo que el objeto de masa m orbitaba alrededor del centro de un planeta mucho mayor de masa M. Determinamos la fuerza gravitatoria en el Ejemplo 13.2 por medio de la ley de gravitación universal de Newton. Podemos utilizar la segunda ley de Newton, aplicada a la aceleración centrípeta de cualquiera de las galaxias, para determinar su velocidad tangencial. A partir de este resultado podemos determinar el periodo de la órbita.

Solución

En el Ejemplo 13.2, hallamos que la fuerza entre las galaxias es

$$F_{12}=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}=(\mathrm{6,67}\times {10}^{\mathrm{-11}}\text{N}·{\text{m}}^2{\text{/kg}}^2)\frac{{[(800\times {10}^9)(\mathrm{2,0}\times {10}^{30}\text{kg})]}^2}{{[(\mathrm{2,5}\times {10}^6)(\mathrm{9,5}\times {10}^{15}\text{m})]}^2}=\mathrm{3,0}\times {10}^{29}\text{N}$$

y que la aceleración de cada galaxia es

$$a=\frac{F}{m}=\frac{\mathrm{3,0}\times {10}^{29}\text{N}}{(800\times {10}^9)(\mathrm{2,0}\times {10}^{30}\text{kg})}=\mathrm{1,9}\times {10}^{\mathrm{-13}}{\text{m/s}}^2.$$

Ya que las galaxias están en una órbita circular, tienen una aceleración centrípeta. Si ignoramos el efecto de otras galaxias, entonces, como aprendimos en Momento lineal y colisiones y Rotación en eje fijo, los centros de masa de las dos galaxias permanecen fijos. De allí que las galaxias deben orbitar alrededor de este centro de masa común. En el caso de las masas iguales, el centro de masa está exactamente a mitad de camino entre ellas. Así que el radio de la órbita, $r_{\text{órbita}}$, no es la misma que la distancia entre las galaxias, sino la mitad de ese valor, es decir, 1,25 millones de años luz. Estos dos valores diferentes se muestran en la Figura 13.14.

Figura 13.14 La distancia entre dos galaxias, que determina la fuerza gravitatoria entre ellas, es r, y es diferente de $r_{\text{órbita}}$, que es el radio de la órbita de cada uno. Para masas iguales, $r_{\text{órbita}}=1\text{/}2r$ (créditos: modificación del trabajo de Marc Van Norden).

Utilizando la expresión de la aceleración centrípeta, tenemos

$$\begin{array}{ccc}\hfill a_{\text{c}}& =\hfill & \frac{v_{\text{órbita}}^2}{r_{\text{órbita}}}\hfill \\ \hfill \mathrm{1,9}\times {10}^{\mathrm{-13}}{\text{m/s}}^2& =\hfill & \frac{v_{\text{órbita}}^2}{(\mathrm{1,25}\times {10}^6)(\mathrm{9,5}\times {10}^{15}\text{m})}.\hfill \end{array}$$

Resolviendo la velocidad de la órbita, tenemos $v_{\text{órbita}}=47\text{km/s}$. Por último, podemos determinar el periodo de la órbita directamente a partir de $T=2\pi r\text{/}{v}_{\text{órbita}}$, para hallar que el periodo es $T=\mathrm{1,6}\times {10}^{18}\text{s}$, unos 50.000 millones de años.

Importancia

La rapidez orbital de 47 km/s puede parecer alta a primera vista. Sin embargo, esta velocidad es comparable a la velocidad de escape del Sol, que hemos calculado en un ejemplo anterior. Para dar aún más perspectiva, este periodo es casi cuatro veces más largo que el tiempo que ha existido el universo.

De hecho, el movimiento relativo actual de estas dos galaxias es tal que se espera que colisionen en unos 4.000 millones de años. Aunque la densidad de estrellas en cada galaxia hace improbable la colisión directa de dos estrellas, dicha colisión tendría un efecto dramático en la forma de las galaxias. Los ejemplos de estas colisiones son bien conocidos en astronomía.

Energía en órbitas circulares

En Energía potencial gravitacional y energía total, argumentamos que los objetos tienen límite gravitacional si su energía total es negativa. El argumento se basaba en el caso simple de que la velocidad se alejara o se acercara directamente al planeta. Ahora examinamos la energía total para una órbita circular y mostramos que, efectivamente, la energía total es negativa. Al igual que antes, partimos de la segunda ley de Newton aplicada a una órbita circular,

En el último paso, multiplicamos por r en cada lado. El lado derecho es solo el doble de la energía cinética, por lo que tenemos

La energía total es la suma de las energías cinética y potencial, por lo que nuestro resultado final es

Podemos ver que la energía total es negativa, con la misma magnitud que la energía cinética. Para las órbitas circulares, la magnitud de la energía cinética es exactamente la mitad de la magnitud de la energía potencial. Sorprendentemente, este resultado se aplica a dos masas cualesquiera en órbitas circulares alrededor de su centro de masa común, a una distancia r entre sí. La prueba de esto se deja como ejercicio. Veremos en la siguiente sección que una expresión muy similar se aplica en el caso de las órbitas elípticas.

Ejemplo 13.12

Energía necesaria para orbitar

En el Ejemplo 13.8, calculamos la energía necesaria para elevar simplemente el vehículo Soyuz, de 9000 kg, desde la superficie de la Tierra hasta la altura de la ISS, a 400 km por encima de la superficie. En otras palabras, calculamos su cambio de energía potencial. Ahora nos preguntamos, ¿qué cambio de energía total en el vehículo Soyuz se requiere para sacarlo de la superficie de la Tierra y ponerlo en órbita con la ISS para un encuentro (Figura 13.15)? ¿Qué parte de esa energía total es energía cinética?

Figura 13.15 La Soyuz en un encuentro con la ISS. Obsérvese que este diagrama no está a escala; la Soyuz es mucho más pequeña que la ISS y su órbita está mucho más cerca de la Tierra (créditos: modificación de trabajos de la NASA).

Estrategia

La energía necesaria es la diferencia entre la energía total de la Soyuz en órbita y la de la superficie terrestre. Podemos utilizar la Ecuación 13.9 para hallar la energía total de la Soyuz en la órbita de la ISS. No obstante, la energía total en la superficie es simplemente la energía potencial, ya que parte del reposo. [Nótese que no utilizamos la Ecuación 13.9 en la superficie, ya que no estamos en órbita en la superficie]. La energía cinética se halla entonces a partir de la diferencia en el cambio de energía total y el cambio de energía potencial en Ejemplo 13.8. Alternativamente, podemos utilizar la Ecuación 13.7 para calcular $v_{\text{órbita}}$ y calcular la energía cinética directamente a partir de ella. La energía total requerida es entonces la energía cinética más el cambio de energía potencial que en el Ejemplo 13.8.

Solución

Desde la Ecuación 13.9, la energía total de la Soyuz en la misma órbita que la ISS es

$$\begin{array}{cc}\hfill E_{\text{órbita}}& =K_{\text{órbita}}+U_{\text{órbita}}=-\frac{Gm{M}_{\text{E}}}{2r^{}}\hfill \\ & =\frac{(\mathrm{6,67}\times {10}^{\mathrm{-11}}\text{N}·{\text{m}}^2{\text{/kg}}^2)(9.000\text{kg})(\mathrm{5,96}\times {10}^{24}\text{kg})}{2{(\mathrm{6,36}\times {10}^6+\mathrm{4,00}\times {10}^5\text{m})}^{}}=\mathrm{-2,65}\times {10}^{11}\text{J}.\hfill \end{array}$$

La energía total en la superficie de la Tierra es

$$\begin{array}{cc}\hfill E_{\text{superficie}}& =K_{\text{superficie}}+U_{\text{superficie}}=0-\frac{Gm{M}_{\text{E}}}{r^{}}\hfill \\ & =-\frac{(\mathrm{6,67}\times {10}^{\mathrm{-11}}\text{N}·{\text{m}}^2{\text{/kg}}^2)(9.000\text{kg})(\mathrm{5,96}\times {10}^{24}\text{kg})}{{(\mathrm{6,36}\times {10}^6\text{m})}^{}}\hfill \\ & =\mathrm{-5,63}\times {10}^{11}\text{J}.\hfill \end{array}$$

El cambio de energía es $\text{Δ}E=E_{\text{órbita}}-E_{\text{superficie}}=\mathrm{2,98}\times {10}^{11}\text{J}$. Para obtener la energía cinética, restamos el cambio de energía potencial del Ejemplo 13.6, $\text{Δ}U=\mathrm{3,32}\times {10}^{10}\text{J}$. Eso nos da $K_{\text{órbita}}=\mathrm{2,98}\times {10}^{11}-\mathrm{3,32}\times {10}^{10}=\mathrm{2,65}\times {10}^{11}\text{J}$. Como se indicó anteriormente, la energía cinética de una órbita circular es siempre la mitad de la magnitud de la energía potencial, y la misma que la magnitud de la energía total. Nuestro resultado lo confirma.

El segundo enfoque consiste en utilizar la Ecuación 13.7 para hallar la rapidez orbital de la Soyuz, lo que hicimos para la ISS en el Ejemplo 13.9.

$$v_{\text{órbita}}=\sqrt{\frac{G{M}_{\text{E}}}{r}}=\sqrt{\frac{(\mathrm{6,67}\times {10}^{\mathrm{-11}}\text{N}·{\text{m}}^2{\text{/kg}}^2)(\mathrm{5,96}\times {10}^{24}\text{kg})}{(\mathrm{6,36}\times {10}^6+\mathrm{4,00}\times {10}^5\text{m})}}=\mathrm{7,67}\times {10}^3\text{m/s.}$$

Así que la energía cinética de la Soyuz en órbita es

$$K_{\text{órbita}}=\frac{1}{2}m{v}_{\text{órbita}}^2=\frac{1}{2}(9.000\text{kg}){(\mathrm{7,67}\times {10}^3\text{m/s})}^2=\mathrm{2,65}\times {10}^{11}\text{J,}$$

lo mismo que en el método anterior. La energía total es solo

$$E_{\text{órbita}}=K_{\text{órbita}}+\text{Δ}U=\mathrm{2,65}\times {10}^{11}+\mathrm{3,32}\times {10}^{10}=\mathrm{2,95}\times {10}^{11}\text{J.}$$

Importancia

La energía cinética de la Soyuz es casi ocho veces el cambio de su energía potencial, o el 90 % de la energía total necesaria para el encuentro con la ISS. Es importante recordar que esta energía representa solo la que debe darse a la Soyuz. Con nuestra actual tecnología de cohetes, la masa del sistema de propulsión (el combustible del cohete, su contenedor y el sistema de combustión) supera con creces la de la carga útil, y hay que dar una enorme cantidad de energía cinética a esa masa. Así que el coste real en energía es muchas veces superior al cambio de energía de la propia carga útil.