13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler

Primera ley de Kepler

La opinión predominante en la época de Kepler era que todas las órbitas planetarias eran circulares. Los datos de Marte presentaron el mayor desafío a este punto de vista y eso finalmente animó a Kepler a abandonar la idea popular. La primera ley de Kepler establece que cada planeta se mueve a lo largo de una elipse, con el Sol situado en un foco de esta. Una elipse se define como el conjunto de todos los puntos tales que la suma de la distancia de cada punto a dos focos es una constante. La Figura 13.16 muestra una elipse y describe una forma sencilla de crearla.

Figura 13.16 a) Una elipse es una curva en la que la suma de las distancias de un punto de la curva a dos focos $(f_1\text{y}{f}_2)$ es una constante. A partir de esta definición, se puede ver que una elipse se puede crear de la siguiente manera. Coloque un alfiler en cada foco y, a continuación, coloque un lazo de cuerda alrededor de un lápiz y de los alfileres. Manteniendo la cuerda tensa, mueva el lápiz en un circuito completo. Si los dos focos ocupan el mismo lugar, el resultado es un círculo, un caso especial de elipse. (b) Para una órbita elíptica, si $m\ll M$, entonces m sigue una trayectoria elíptica con M en un foco. Más exactamente, tanto m como M se mueven en su propia elipse alrededor del centro de masa común.

Para las órbitas elípticas, el punto de mayor aproximación de un planeta al Sol se denomina perihelio. Está etiquetado como punto A en la Figura 13.16. El punto más lejano es el afelio y está etiquetado como punto B en la figura. Para la órbita de la Luna alrededor de la Tierra, esos puntos se llaman perigeo y apogeo, respectivamente.

Una elipse tiene varias formas matemáticas, pero todas son un caso específico de la ecuación más general para secciones cónicas. Hay cuatro secciones cónicas diferentes, todas ellas dadas por la ecuación

Las variables r y $\theta$ se muestran en la Figura 13.17 en el caso de una elipse. Las constantes $\alpha$ y e están determinadas por la energía total y el momento angular del satélite en un punto dado. La constante e se llama excentricidad. Los valores de $\alpha$ y e determinan cuál de las cuatro secciones cónicas representa la trayectoria del satélite.

Figura 13.17 Como antes, la distancia entre el planeta y el Sol es r, y el ángulo medido desde el eje x, que está a lo largo del eje mayor de la elipse, es $\theta$.

Uno de los verdaderos triunfos de la ley de la gravitación universal de Newton, con la fuerza es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado, es que cuando se combina con su segunda ley, la solución para la trayectoria de cualquier satélite es una sección cónica. Cada camino que toma m es una de las cuatro secciones cónicas: un círculo o una elipse para órbitas limitadas o cerradas, o una parábola o una hipérbola para órbitas no limitadas o abiertas. Estas secciones cónicas se muestran en la Figura 13.18.

Figura 13.18 Todo movimiento causado por una fuerza cuadrada inversa es una de las cuatro secciones cónicas y está determinado por la energía y la dirección del cuerpo en movimiento.

Si la energía total es negativa, entonces $0\le e<1$, y la Ecuación 13.10 representa un límite o una órbita cerrada de una elipse o un círculo, donde $e=0$ [puede ver en la Ecuación 13.10 que para $e=0$, $r=\alpha$, y por tanto el radio es constante]. Para las elipses, la excentricidad está relacionada con lo oblonga que se presente la elipse. Un círculo tiene una excentricidad cero, mientras que una elipse muy larga y dibujada tiene una excentricidad cercana a uno.

Si la energía total es exactamente cero, entonces $e=1$ y la trayectoria es una parábola. Recordemos que un satélite con energía total cero tiene exactamente la velocidad de escape (la parábola se forma solamente cortando el cono paralelo a la línea tangente a lo largo de la superficie). Por último, si la energía total es positiva, entonces $e>1$ y la trayectoria es una hipérbola. Estas dos últimas trayectorias representan órbitas no limitadas, donde m pasa por M una y solo una vez. Esta situación se ha observado en varios cometas que se acercan al Sol y luego se alejan para no volver jamás.

Nos hemos limitado al caso en el que la masa más pequeña (el planeta) orbita alrededor de una masa mucho más grande y, por tanto, estacionaria (el Sol), pero la Ecuación 13.10 se aplica también a dos masas cualesquiera que interactúen gravitatoriamente. Cada masa traza exactamente la misma forma de sección cónica que la otra. Esa forma está determinada por la energía total y el momento angular del sistema, con el centro de masa del sistema situado en el foco. La relación de las dimensiones de las dos trayectorias es la inversa de la relación de sus masas.

Transferencias orbitales

La gente ha imaginado viajar a los otros planetas de nuestro sistema solar desde que se descubrieron. Pero ¿cuál es la mejor manera de hacerlo? El método más eficaz fue descubierto en 1925 por Walter Hohmann, quien se inspiró en una popular novela de ciencia ficción de la época. El método se llama ahora transferencia de Hohmann. Para el caso de viajar entre dos órbitas circulares, la transferencia se realiza a lo largo de una elipse de “transferencia” que intercepta perfectamente esas órbitas en el afelio y el perihelio de la elipse. La Figura 13.19 muestra el caso de un viaje desde la órbita de la Tierra a la de Marte. Como se mostró antes, el Sol está en el foco de la elipse.

Para cualquier elipse, el semieje mayor se define como la mitad de la suma del perihelio y el afelio. En la Figura 13.17, el semieje mayor es la distancia desde el origen a cualquier lado de la elipse a lo largo del eje x, o sea, justo la mitad del eje más largo (llamado eje mayor). Por lo tanto, para viajar desde una órbita circular de radio $r_1$ hasta otra órbita circular de radio $r_2$, el afelio de la elipse de transferencia será igual al valor de la órbita mayor, mientras que el perihelio será la órbita menor. Por lo tanto, el semieje mayor, denominado a, viene dado por $a=\frac{1}{2}\left(r_1+r_2\right)$.

Figura 13.19 La elipse de transferencia tiene su perihelio en la órbita de la Tierra y su afelio en la órbita de Marte.

Tomemos el caso de viajar de la Tierra a Marte. Por el momento, ignoramos los planetas y suponemos que estamos solos en la órbita de la Tierra y deseamos trasladarnos a la órbita de Marte. A partir de la Ecuación 13.9, la expresión de la energía total, podemos ver que la energía total para una nave espacial en la órbita mayor (Marte) es mayor (menos negativa) que la de la órbita menor (Tierra). Para pasar a la elipse de transferencia desde la órbita de la Tierra, necesitaremos aumentar nuestra energía cinética, es decir, necesitamos un impulso de velocidad. El método más eficaz es una aceleración muy rápida a lo largo de la trayectoria orbital circular, que es también a lo largo de la trayectoria de la elipse en ese punto (de hecho, la aceleración debe ser instantánea, de manera que las órbitas circular y elíptica sean congruentes durante la aceleración. En la práctica, la aceleración finita es lo suficientemente corta como para que la diferencia no sea una consideración significativa). Una vez que haya llegado a la órbita de Marte, necesitará otro impulso de velocidad para entrar en esa órbita, o se quedará en la órbita elíptica y simplemente caerá de nuevo al perihelio donde empezó. Para el viaje de vuelta, simplemente se invierte el proceso con un retroceso en cada punto de transferencia.

Para realizar el movimiento hacia la elipse de transferencia y luego hacia fuera, necesitamos conocer la velocidad de cada órbita circular y las velocidades de la órbita de transferencia en el perihelio y el afelio. El aumento de velocidad necesario es simplemente la diferencia entre la velocidad de la órbita circular y la velocidad de la órbita elíptica en cada punto. Podemos encontrar las velocidades orbitales circulares a partir de la Ecuación 13.7. Para determinar las velocidades de la elipse, afirmamos sin pruebas (ya que está fuera del alcance de este curso) que la energía total para una órbita elíptica es

donde $M_{\text{S}}$ es la masa del Sol y a es el semieje mayor. Sorprendentemente, esto es lo mismo que la Ecuación 13.9 para órbitas circulares, pero con el valor del semieje mayor que sustituye al radio orbital. Como conocemos la energía potencial a partir de la Ecuación 13.4, podemos encontrar la energía cinética y, por tanto, la velocidad necesaria para cada punto de la elipse. Dejamos como problema de desafío encontrar esas velocidades de transferencia para un viaje de la Tierra a Marte.

Terminamos este debate con algunos detalles importantes. En primer lugar, no hemos tenido en cuenta la energía potencial gravitacional de la Tierra y Marte ni la mecánica de aterrizaje en Marte. En la práctica, eso debe formar parte de los cálculos. En segundo lugar, el momento lo es todo. No se quiere llegar a la órbita de Marte para descubrir que no está allí. Debemos salir de la Tierra en el momento exacto para que Marte esté en el afelio de nuestra elipse de transferencia justo cuando lleguemos. Esa oportunidad se presenta cada 2 años. Y el regreso también requiere una sincronización correcta. ¡El viaje total duraría algo menos de 3 años! Hay otras opciones que permiten un tránsito más rápido, como un sobrevuelo de Venus asistido por la gravedad. Pero estas otras opciones tienen un costo adicional en energía y peligro para los astronautas.

Segunda ley de Kepler

La segunda ley de Kepler establece que un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir, el área dividida entre el tiempo, llamada velocidad areolar, es constante. Considere la Figura 13.20. El tiempo que tarda un planeta en desplazarse de la posición A a la B, barriendo el área $A_1$, es exactamente el tiempo que se tarda en pasar de la posición C a la D, barriendo el área $A_2$, y pasar de E a F, barriendo el área $A_3$. Estas áreas son las mismas: $A_1=A_2=A_3$.

Figura 13.20 Las regiones sombreadas mostradas tienen áreas iguales y representan el mismo intervalo de tiempo.

Al comparar las áreas en la figura y la distancia recorrida a lo largo de la elipse en cada caso, podemos ver que para que las áreas sean iguales, el planeta debe acelerar a medida que se acerca al Sol y frenar a medida que se aleja. Este comportamiento es completamente coherente con nuestra ecuación de conservación, la Ecuación 13.5. Pero mostraremos que la segunda ley de Kepler es en realidad una consecuencia de la conservación del momento angular, que se mantiene para cualquier sistema con fuerzas radiales solamente.

Recuerde la definición de momento angular en la sección Momento angular, $\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}$. Para el caso del movimiento orbital, $\overrightarrow{L}$ es el momento angular del planeta alrededor del Sol, $\overrightarrow{r}$ es el vector de posición del planeta medido desde el Sol, y $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$ es el momento lineal instantáneo en cualquier punto de la órbita. Como el planeta se mueve a lo largo de la elipse, $\overrightarrow{p}$ es siempre tangente a la elipse.

Podemos resolver el momento lineal en dos componentes: un componente radial ${\overrightarrow{p}}_{\text{rad}}$ a lo largo de la línea hacia el Sol, y un componente ${\overrightarrow{p}}_{\text{perp}}$ perpendicular a $\overrightarrow{r}$. El producto cruz para el momento angular puede escribirse entonces como

$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}=\overrightarrow{r}\times \left({\overrightarrow{p}}_{\text{rad}}+{\overrightarrow{p}}_{\text{perp}}\right)=\overrightarrow{r}\times {\overrightarrow{p}}_{\text{rad}}+\overrightarrow{r}\times {\overrightarrow{p}}_{\text{perp}}$.

El primer término de la derecha es cero porque $\overrightarrow{r}$ es paralelo a ${\overrightarrow{p}}_{\text{rad}}$, y en segundo término $\overrightarrow{r}$ es perpendicular a ${\overrightarrow{p}}_{\text{perp}}$, entonces la magnitud del producto cruz se reduce a $L=r{p}_{\text{perp}}=rm{v}_{\text{perp}}$. Obsérvese que el momento angular no depende de $p_{\text{rad}}$. Dado que la fuerza gravitacional es solo en la dirección radial, únicamente puede cambiar $p_{\text{rad}}$ y no $p_{\text{perp}}$; por lo tanto, el momento angular debe permanecer constante.

Ahora considere la Figura 13.21. Una pequeña área triangular $\text{Δ}A$ es barrida a tiempo $\text{Δ}t$. La velocidad es a lo largo de la trayectoria y hace un ángulo $\theta$ con la dirección radial. Por lo tanto, la velocidad perpendicular viene dada por $v_{\text{perp}}=v\text{sen}\theta$. El planeta se mueve una distancia $\text{Δ}s=v\text{Δ}t\text{sen}\theta$ proyectada a lo largo de la dirección perpendicular a r. Como el área de un triángulo es la mitad de la base(r) por la altura $\left(\text{Δ}s\right)$, para un pequeño desplazamiento, el área viene dada por $\text{Δ}A=\frac{1}{2}r\text{Δ}s$. Al sustituir por $\text{Δ}s$, multiplicar por m en el numerador y el denominador y reordenar, obtenemos

Figura 13.21 El elemento de área $\text{Δ}A$ barrido a tiempo $\text{Δ}t$ cuando el planeta se mueve a través del ángulo $\text{Δ}\varphi$. El ángulo entre la dirección radial y $\overrightarrow{v}$ es $\theta$.

La velocidad areolar es simplemente la tasa de cambio del área con el tiempo, por lo que tenemos

Como el momento angular es constante, la velocidad areolar también debe ser constante. Esta es exactamente la segunda ley de Kepler. Al igual que la primera ley de Kepler, Newton demostró que era una consecuencia natural de su ley de la gravitación.

Tercera ley de Kepler

La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita. En la sección Órbitas de satélites y energía derivamos la tercera ley de Kepler para el caso especial de una órbita circular. La Ecuación 13.8 nos da el periodo de una órbita circular de radio r alrededor de la Tierra:

Para una elipse, recuerde que el semieje mayor es la mitad de la suma del perihelio y el afelio. Para una órbita circular, el semieje mayor (a) es el mismo que el radio de la órbita. De hecho, la Ecuación 13.8 nos da la tercera ley de Kepler si simplemente sustituimos r por a y elevamos al cuadrado ambos lados.

Hemos cambiado la masa de la Tierra por la más general M, ya que esta ecuación se aplica a los satélites que orbitan cualquier masa grande.