Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidad
Logo de OpenStax
Física Universitaria Volumen 1

13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler

Física Universitaria Volumen 113.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Describir las secciones cónicas y su relación con el movimiento orbital.
  • Describir cómo se relaciona la velocidad orbital con la conservación del momento angular.
  • Determinar el periodo de una órbita elíptica a partir de su eje mayor.

Usando los datos precisos recogidos por Tycho Brahe, Johannes Kepler analizó cuidadosamente las posiciones en el cielo de todos los planetas conocidos y de la Luna, y trazó sus posiciones a intervalos regulares de tiempo. A partir de este análisis formuló tres leyes, las cuales abordamos en esta sección.

Primera ley de Kepler

La opinión predominante en la época de Kepler era que todas las órbitas planetarias eran circulares. Los datos de Marte presentaron el mayor desafío a este punto de vista y eso finalmente animó a Kepler a abandonar la idea popular. La primera ley de Kepler establece que cada planeta se mueve a lo largo de una elipse, con el Sol situado en un foco de esta. Una elipse se define como el conjunto de todos los puntos tales que la suma de la distancia de cada punto a dos focos es una constante. La Figura 13.16 muestra una elipse y describe una forma sencilla de crearla.

La figura a muestra un sistema de coordenadas x y y una elipse centrada en el origen con los focos f 1 a la izquierda y f 2 a la derecha, ambos en el eje x. El foco f 1 también está etiquetado como M. Un punto por encima del foco f 2 está etiquetado como m. El triángulo rectángulo formado por f 1, f 2 y m se muestra en rojo. La figura b muestra una elipse similar, con el Sol mostrado y etiquetado como M y como “Sol” en f 1. Se muestra una masa planetaria m sobre f 1, a una distancia vertical r de f 1. El lugar donde la elipse se cruza con el eje horizontal a la izquierda se denomina punto A, y el lugar donde la elipse se cruza con el eje horizontal a la derecha se denomina punto B.
Figura 13.16 a) Una elipse es una curva en la que la suma de las distancias de un punto de la curva a dos focos ( f 1 y f 2 ) ( f 1 y f 2 ) es una constante. A partir de esta definición, se puede ver que una elipse se puede crear de la siguiente manera. Coloque un alfiler en cada foco y, a continuación, coloque un lazo de cuerda alrededor de un lápiz y de los alfileres. Manteniendo la cuerda tensa, mueva el lápiz en un circuito completo. Si los dos focos ocupan el mismo lugar, el resultado es un círculo, un caso especial de elipse. (b) Para una órbita elíptica, si m M m M , entonces m sigue una trayectoria elíptica con M en un foco. Más exactamente, tanto m como M se mueven en su propia elipse alrededor del centro de masa común.

Para las órbitas elípticas, el punto de mayor aproximación de un planeta al Sol se denomina perihelio. Está etiquetado como punto A en la Figura 13.16. El punto más lejano es el afelio y está etiquetado como punto B en la figura. Para la órbita de la Luna alrededor de la Tierra, esos puntos se llaman perigeo y apogeo, respectivamente.

Una elipse tiene varias formas matemáticas, pero todas son un caso específico de la ecuación más general para secciones cónicas. Hay cuatro secciones cónicas diferentes, todas ellas dadas por la ecuación

αr=1+ecosθ.αr=1+ecosθ.
13.10

Las variables r y θθ se muestran en la Figura 13.17 en el caso de una elipse. Las constantes αα y e están determinadas por la energía total y el momento angular del satélite en un punto dado. La constante e se llama excentricidad. Los valores de αα y e determinan cuál de las cuatro secciones cónicas representa la trayectoria del satélite.

Se muestra un sistema de coordenadas x y y una elipse centrada en el origen con focos f 1 a la izquierda y f 2 a la derecha, ambos en el eje x. El foco f 1 también está etiquetado como M. Un punto de la elipse en el primer cuadrante está etiquetado como m. El segmento horizontal que une los focos f 1 y f 2 y el segmento que une f 1 y m se muestran en rojo. El ángulo entre esos segmentos está etiquetado como “Theta”.
Figura 13.17 Como antes, la distancia entre el planeta y el Sol es r, y el ángulo medido desde el eje x, que está a lo largo del eje mayor de la elipse, es θ θ .

Uno de los verdaderos triunfos de la ley de la gravitación universal de Newton, con la fuerza es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado, es que cuando se combina con su segunda ley, la solución para la trayectoria de cualquier satélite es una sección cónica. Cada camino que toma m es una de las cuatro secciones cónicas: un círculo o una elipse para órbitas limitadas o cerradas, o una parábola o una hipérbola para órbitas no limitadas o abiertas. Estas secciones cónicas se muestran en la Figura 13.18.

Se muestra un cono y sus secciones cónicas. En la parte superior hay un corte horizontal sombreado y una línea discontinua que atraviesa el sombreado. Esta sección está marcada con un círculo. Debajo de esto se muestra un corte diagonal y una línea. La línea y el corte se cruzan con los lados del cono. Esta sección está etiquetada como “elipse”. A continuación hay un corte diagonal y una línea que intersecan los lados y la parte inferior del cono y se etiquetan como “parábola”. La última sección es una línea vertical y un corte sombreado etiquetado como “hipérbola”.
Figura 13.18 Todo movimiento causado por una fuerza cuadrada inversa es una de las cuatro secciones cónicas y está determinado por la energía y la dirección del cuerpo en movimiento.

Si la energía total es negativa, entonces 0e<10e<1, y la Ecuación 13.10 representa un límite o una órbita cerrada de una elipse o un círculo, donde e=0e=0 [puede ver en la Ecuación 13.10 que para e=0e=0, r=αr=α, y por tanto el radio es constante]. Para las elipses, la excentricidad está relacionada con lo oblonga que se presente la elipse. Un círculo tiene una excentricidad cero, mientras que una elipse muy larga y dibujada tiene una excentricidad cercana a uno.

Si la energía total es exactamente cero, entonces e=1e=1 y la trayectoria es una parábola. Recordemos que un satélite con energía total cero tiene exactamente la velocidad de escape (la parábola se forma solamente cortando el cono paralelo a la línea tangente a lo largo de la superficie). Por último, si la energía total es positiva, entonces e>1e>1 y la trayectoria es una hipérbola. Estas dos últimas trayectorias representan órbitas no limitadas, donde m pasa por M una y solo una vez. Esta situación se ha observado en varios cometas que se acercan al Sol y luego se alejan para no volver jamás.

Nos hemos limitado al caso en el que la masa más pequeña (el planeta) orbita alrededor de una masa mucho más grande y, por tanto, estacionaria (el Sol), pero la Ecuación 13.10 se aplica también a dos masas cualesquiera que interactúen gravitatoriamente. Cada masa traza exactamente la misma forma de sección cónica que la otra. Esa forma está determinada por la energía total y el momento angular del sistema, con el centro de masa del sistema situado en el foco. La relación de las dimensiones de las dos trayectorias es la inversa de la relación de sus masas.

Interactivo

Puede ver una animación de dos objetos que interactúan en la página My Solar System (Mi sistema solar) en Phet. Elija la opción predeterminada Sun and Planet (Sol y planeta). También puede ver los problemas más complicados de varios cuerpos. Puede que la trayectoria real de la Luna le resulte bastante sorprendente, aunque obedece a las sencillas leyes del movimiento de Newton.

Transferencias orbitales

La gente ha imaginado viajar a los otros planetas de nuestro sistema solar desde que se descubrieron. Pero ¿cuál es la mejor manera de hacerlo? El método más eficaz fue descubierto en 1925 por Walter Hohmann, quien se inspiró en una popular novela de ciencia ficción de la época. El método se llama ahora transferencia de Hohmann. Para el caso de viajar entre dos órbitas circulares, la transferencia se realiza a lo largo de una elipse de “transferencia” que intercepta perfectamente esas órbitas en el afelio y el perihelio de la elipse. La Figura 13.19 muestra el caso de un viaje desde la órbita de la Tierra a la de Marte. Como se mostró antes, el Sol está en el foco de la elipse.

Para cualquier elipse, el semieje mayor se define como la mitad de la suma del perihelio y el afelio. En la Figura 13.17, el semieje mayor es la distancia desde el origen a cualquier lado de la elipse a lo largo del eje x, o sea, justo la mitad del eje más largo (llamado eje mayor). Por lo tanto, para viajar desde una órbita circular de radio r1r1 hasta otra órbita circular de radio r2r2, el afelio de la elipse de transferencia será igual al valor de la órbita mayor, mientras que el perihelio será la órbita menor. Por lo tanto, el semieje mayor, denominado a, viene dado por a=12(r1+r2)a=12(r1+r2).

Se muestra una ilustración del Sol y tres órbitas alrededor de él. Las tres órbitas son circulares. La órbita más interna está centrada en el Sol y se denomina órbita terrestre. La órbita media no está centrada en el Sol. Coincide con la órbita terrestre en un punto marcado como “Lanzamiento” a la derecha del Sol. Una flecha indica que el lanzamiento es hacia arriba y hacia la izquierda. El diámetro de la órbita está etiquetado como una distancia “2 a” y se muestra desde el punto de lanzamiento a la derecha hasta un punto etiquetado como “llegada a Marte” a la izquierda. El Sol se encuentra en este diámetro. La órbita más externa está centrada en el Sol y está etiquetada como “órbita de Marte”. Esta órbita coincide con la órbita media en el punto marcado como “llegada a Marte”. Un punto en el segundo cuadrante (situado en el sentido de las agujas del reloj desde el punto de llegada) se etiqueta como “posición de Marte en el momento del lanzamiento”.
Figura 13.19 La elipse de transferencia tiene su perihelio en la órbita de la Tierra y su afelio en la órbita de Marte.

Tomemos el caso de viajar de la Tierra a Marte. Por el momento, ignoramos los planetas y suponemos que estamos solos en la órbita de la Tierra y deseamos trasladarnos a la órbita de Marte. A partir de la Ecuación 13.9, la expresión de la energía total, podemos ver que la energía total para una nave espacial en la órbita mayor (Marte) es mayor (menos negativa) que la de la órbita menor (Tierra). Para pasar a la elipse de transferencia desde la órbita de la Tierra, necesitaremos aumentar nuestra energía cinética, es decir, necesitamos un impulso de velocidad. El método más eficaz es una aceleración muy rápida a lo largo de la trayectoria orbital circular, que es también a lo largo de la trayectoria de la elipse en ese punto (de hecho, la aceleración debe ser instantánea, de manera que las órbitas circular y elíptica sean congruentes durante la aceleración. En la práctica, la aceleración finita es lo suficientemente corta como para que la diferencia no sea una consideración significativa). Una vez que haya llegado a la órbita de Marte, necesitará otro impulso de velocidad para entrar en esa órbita, o se quedará en la órbita elíptica y simplemente caerá de nuevo al perihelio donde empezó. Para el viaje de vuelta, simplemente se invierte el proceso con un retroceso en cada punto de transferencia.

Para realizar el movimiento hacia la elipse de transferencia y luego hacia fuera, necesitamos conocer la velocidad de cada órbita circular y las velocidades de la órbita de transferencia en el perihelio y el afelio. El aumento de velocidad necesario es simplemente la diferencia entre la velocidad de la órbita circular y la velocidad de la órbita elíptica en cada punto. Podemos encontrar las velocidades orbitales circulares a partir de la Ecuación 13.7. Para determinar las velocidades de la elipse, afirmamos sin pruebas (ya que está fuera del alcance de este curso) que la energía total para una órbita elíptica es

E=GmMS2aE=GmMS2a

donde MSMS es la masa del Sol y a es el semieje mayor. Sorprendentemente, esto es lo mismo que la Ecuación 13.9 para órbitas circulares, pero con el valor del semieje mayor que sustituye al radio orbital. Como conocemos la energía potencial a partir de la Ecuación 13.4, podemos encontrar la energía cinética y, por tanto, la velocidad necesaria para cada punto de la elipse. Dejamos como problema de desafío encontrar esas velocidades de transferencia para un viaje de la Tierra a Marte.

Terminamos este debate con algunos detalles importantes. En primer lugar, no hemos tenido en cuenta la energía potencial gravitacional de la Tierra y Marte ni la mecánica de aterrizaje en Marte. En la práctica, eso debe formar parte de los cálculos. En segundo lugar, el momento lo es todo. No se quiere llegar a la órbita de Marte para descubrir que no está allí. Debemos salir de la Tierra en el momento exacto para que Marte esté en el afelio de nuestra elipse de transferencia justo cuando lleguemos. Esa oportunidad se presenta cada 2 años. Y el regreso también requiere una sincronización correcta. ¡El viaje total duraría algo menos de 3 años! Hay otras opciones que permiten un tránsito más rápido, como un sobrevuelo de Venus asistido por la gravedad. Pero estas otras opciones tienen un costo adicional en energía y peligro para los astronautas.

Interactivo

Visite este sitio para obtener más detalles sobre la planificación de un viaje a Marte.

Segunda ley de Kepler

La segunda ley de Kepler establece que un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir, el área dividida entre el tiempo, llamada velocidad areolar, es constante. Considere la Figura 13.20. El tiempo que tarda un planeta en desplazarse de la posición A a la B, barriendo el área A1A1, es exactamente el tiempo que se tarda en pasar de la posición C a la D, barriendo el área A2A2, y pasar de E a F, barriendo el área A3A3. Estas áreas son las mismas: A1=A2=A3A1=A2=A3.

Se muestra un sistema de coordenadas x y con el Sol, también etiquetado como M, en el eje x a la izquierda del origen y un punto no etiquetado a la derecha del origen. En el segundo cuadrante se muestra un planeta, etiquetado también como m. Una flecha, etiquetada como v, se extiende desde el planeta y apunta hacia abajo y hacia la izquierda, tangente a la órbita. Los puntos A, B, C, D, E y F están marcados en la órbita. Los puntos A y B están en el tercer cuadrante. El área de la región definida por A B y el Sol está etiquetada como “A 1”. Los puntos C y D están en la órbita a ambos lados del eje –y. El área de la región definida por C D y el Sol está etiquetada como “A 2”. Los puntos E y F están en el primer cuadrante. El área de la región definida por E F y el Sol está etiquetada como “A 3”. El par de puntos A B tiene la mayor distancia entre ellos y es el más cercano al Sol. E F tienen la menor distancia entre ellos y están más alejados del Sol.
Figura 13.20 Las regiones sombreadas mostradas tienen áreas iguales y representan el mismo intervalo de tiempo.

Al comparar las áreas en la figura y la distancia recorrida a lo largo de la elipse en cada caso, podemos ver que para que las áreas sean iguales, el planeta debe acelerar a medida que se acerca al Sol y frenar a medida que se aleja. Este comportamiento es completamente coherente con nuestra ecuación de conservación, la Ecuación 13.5. Pero mostraremos que la segunda ley de Kepler es en realidad una consecuencia de la conservación del momento angular, que se mantiene para cualquier sistema con fuerzas radiales solamente.

Recuerde la definición de momento angular en la sección Momento angular, L=r×pL=r×p. Para el caso del movimiento orbital, LL es el momento angular del planeta alrededor del Sol, rr es el vector de posición del planeta medido desde el Sol, y p=mvp=mv es el momento lineal instantáneo en cualquier punto de la órbita. Como el planeta se mueve a lo largo de la elipse, pp es siempre tangente a la elipse.

Podemos resolver el momento lineal en dos componentes: un componente radial pradprad a lo largo de la línea hacia el Sol, y un componente pperppperp perpendicular a rr. El producto cruz para el momento angular puede escribirse entonces como

L=r×p=r×(prad+pperp)=r×prad+r×pperpL=r×p=r×(prad+pperp)=r×prad+r×pperp.

El primer término de la derecha es cero porque rr es paralelo a pradprad, y en segundo término rr es perpendicular a pperppperp, entonces la magnitud del producto cruz se reduce a L=rpperp=rmvperpL=rpperp=rmvperp. Obsérvese que el momento angular no depende de pradprad. Dado que la fuerza gravitacional es solo en la dirección radial, únicamente puede cambiar pradprad y no pperppperp; por lo tanto, el momento angular debe permanecer constante.

Ahora considere la Figura 13.21. Una pequeña área triangular ΔAΔA es barrida a tiempo ΔtΔt. La velocidad es a lo largo de la trayectoria y hace un ángulo θθ con la dirección radial. Por lo tanto, la velocidad perpendicular viene dada por vperp=vsenθvperp=vsenθ. El planeta se mueve una distancia Δs=vΔtsenθΔs=vΔtsenθ proyectada a lo largo de la dirección perpendicular a r. Como el área de un triángulo es la mitad de la base(r) por la altura (Δs)(Δs), para un pequeño desplazamiento, el área viene dada por ΔA=12rΔsΔA=12rΔs. Al sustituir por ΔsΔs, multiplicar por m en el numerador y el denominador y reordenar, obtenemos

ΔA=12rΔs=12r(vΔtsenθ)=12mr(mvsenθΔt)=12mr(mvperpΔt)=L2mΔt.ΔA=12rΔs=12r(vΔtsenθ)=12mr(mvsenθΔt)=12mr(mvperpΔt)=L2mΔt.
Un diagrama que muestra el Sol y un planeta separados por una distancia r. El vector velocidad del planeta se muestra como una flecha que apunta a un ángulo obtuso con respecto a la distancia r entre el Sol y el planeta. La línea que conecta el Sol y el planeta se prolonga más allá del planeta como una línea discontinua, y se dibuja otra línea discontinua desde la punta de la flecha de velocidad hasta la extensión discontinua de r. Las líneas discontinuas se unen en un ángulo recto y forman un triángulo con la flecha de velocidad formando la hipotenusa y el planeta en un vórtice. El ángulo cercano al planeta está etiquetado como “theta”. La hipotenusa también se etiqueta como “v delta t”, y el lado opuesto al planeta como “v delta t sen theta”. La región triangular definida por el Sol, el planeta y la punta de la flecha de velocidad se etiqueta como “Delta A”, y el ángulo cercano al Sol como “delta phi”.
Figura 13.21 El elemento de área Δ A Δ A barrido a tiempo Δ t Δ t cuando el planeta se mueve a través del ángulo Δ ϕ Δ ϕ . El ángulo entre la dirección radial y v v es θ θ .

La velocidad areolar es simplemente la tasa de cambio del área con el tiempo, por lo que tenemos

velocidad areolar=ΔAΔt=L2m.velocidad areolar=ΔAΔt=L2m.

Como el momento angular es constante, la velocidad areolar también debe ser constante. Esta es exactamente la segunda ley de Kepler. Al igual que la primera ley de Kepler, Newton demostró que era una consecuencia natural de su ley de la gravitación.

Interactivo

Puede ver una versión animada de la Figura 13.20, y muchas otras animaciones interesantes también, en el sitio de la Escuela de Física (Universidad de Nueva Gales del Sur).

Tercera ley de Kepler

La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita. En la sección Órbitas de satélites y energía derivamos la tercera ley de Kepler para el caso especial de una órbita circular. La Ecuación 13.8 nos da el periodo de una órbita circular de radio r alrededor de la Tierra:

T=2πr3GME.T=2πr3GME.

Para una elipse, recuerde que el semieje mayor es la mitad de la suma del perihelio y el afelio. Para una órbita circular, el semieje mayor (a) es el mismo que el radio de la órbita. De hecho, la Ecuación 13.8 nos da la tercera ley de Kepler si simplemente sustituimos r por a y elevamos al cuadrado ambos lados.

T2=4π2GMa3T2=4π2GMa3
13.11

Hemos cambiado la masa de la Tierra por la más general M, ya que esta ecuación se aplica a los satélites que orbitan cualquier masa grande.

Ejemplo 13.13

Órbita del cometa Halley

Determine el semieje mayor de la órbita del cometa Halley, dado que llega al perihelio cada 75,3 años. Si el perihelio está a 0,586 UA, ¿cuál es el afelio?

Estrategia

Se nos da el periodo, por lo que podemos reordenar la Ecuación 13.11, y resolver el semieje mayor. Dado que conocemos el valor del perihelio, podemos usar la definición del semieje mayor, dada anteriormente en esta sección, para encontrar el afelio. Observamos que 1 unidad astronómica (UA) es el radio medio de la órbita de la Tierra y se define como 1UA=1,50×1011m1UA=1,50×1011m.

Solución

Al reordenar la Ecuación 13.11 e insertar los valores del periodo del cometa Halley y la masa del Sol, tenemos
a=(GM4π2T2)1/3=((6,67×10−11N·m2/kg2)(2,00×1030kg)4π2(75,3año×365días/año×24h/día×3.600s/h)2)1/3.a=(GM4π2T2)1/3=((6,67×10−11N·m2/kg2)(2,00×1030kg)4π2(75,3año×365días/año×24h/día×3.600s/h)2)1/3.

El resultado es un valor de 2,67×1012m2,67×1012m o 17,8 UA para el semieje mayor.

El semieje mayor es la mitad de la suma del afelio y del perihelio, por lo que tenemos

a=12(afelio+perihelio)afelio=2aperihelio.a=12(afelio+perihelio)afelio=2aperihelio.

Al sustituir los valores encontrados para el semieje mayor y el valor dado para el perihelio, encontramos que el valor del afelio es de 35,0 UA.

Importancia

Edmond Halley, contemporáneo de Newton, fue el primero en sospechar que tres cometas, registrados en 1531, 1607 y 1682, eran en realidad el mismo cometa. Antes de que Tycho Brahe hiciera mediciones de cometas, se creía que se trataba de acontecimientos puntuales, tal vez perturbaciones de la atmósfera, y que no se veían afectados por el Sol. Halley usó la nueva mecánica de Newton para predecir el regreso de su cometa homónimo en 1758.

Compruebe Lo Aprendido 13.9

La órbita casi circular de Saturno tiene un radio medio de unas 9,5 UA y un periodo de 30 años, mientras que la de Urano es de unas 19 UA y tiene un periodo de 84 años. ¿Es esto coherente con nuestros resultados para el cometa Halley?

Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro es Creative Commons Attribution License 4.0 y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/f%C3%ADsica-universitaria-volumen-1/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/f%C3%ADsica-universitaria-volumen-1/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 2 sept. 2021 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution License 4.0 license. El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.