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Física Universitaria Volumen 1

13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre

Física Universitaria Volumen 113.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explique la relación entre las constantes GG y gg
  • Determine la masa de un cuerpo astronómico a partir de la aceleración en caída libre en su superficie.
  • Describa cómo el valor de gg varía según la ubicación y la rotación de la Tierra

En esta sección, observamos cómo se aplica la ley de la gravitación de Newton en la superficie de un planeta y cómo se vincula con lo que aprendimos antes sobre la caída libre. También examinamos los efectos gravitatorios dentro de los cuerpos esféricos.

Peso

Recordemos que la aceleración de un objeto en caída libre cerca de la superficie de la Tierra es aproximadamente g=9,80m/s2g=9,80m/s2. La fuerza que causa esta aceleración se denomina peso del objeto, y a partir de la segunda ley de Newton, tiene el valor mg. Este peso está presente, independientemente de que el objeto esté en caída libre. Ahora sabemos que esta fuerza es la fuerza gravitatoria entre el objeto y la Tierra. Si sustituimos mg por la magnitud de F12F12 en la ley de gravitación universal de Newton, m para m1m1, y MEME para m2m2, obtenemos la ecuación escalar

mg=GmMEr2mg=GmMEr2

donde r es la distancia entre los centros de masa del objeto y de la Tierra. El radio medio de la Tierra es de unos 6370 km. De allí que, en lo que respecta a los objetos situados a pocos kilómetros de la superficie de la Tierra, podemos tomar r=REr=RE (Figura 13.7). La masa m del objeto se anula, lo que da

g=GMEr2.g=GMEr2.
13.2

Esto explica por qué todas las masas caen libremente con la misma aceleración. Hemos ignorado el hecho de que la Tierra también acelera hacia el objeto que cae, pero eso es aceptable siempre que la masa de la Tierra sea mucho mayor que la del objeto.

Esta figura es una ilustración de la Tierra, con un edificio en su superficie. Un corte de una cuarta parte de la Tierra muestra varias capas. El centro de la Tierra se marca como C M, y el radio desde el centro hasta el edificio se marca como R E. También se muestra una vista ampliada del edificio y una parte de la Tierra. En esta vista, vemos que la flecha etiquetada como R E termina en el edificio, ligeramente por encima de la superficie de la tierra.
Figura 13.7 Podemos tomar la distancia entre los centros de masa de la Tierra y un objeto en su superficie como el radio de la Tierra, siempre que su tamaño sea mucho menor que el radio de la Tierra.

Ejemplo 13.3

Masas de la Tierra y la Luna

¿Se ha preguntado alguna vez cómo conocemos la masa de la Tierra? Desde luego, no podemos situarlo en una escala. Los valores de g y el radio de la Tierra se midieron con razonable exactitud hace siglos.
  1. Utilice los valores estándar de g, RERE y la Ecuación 13.2 para hallar la masa de la Tierra.
  2. Calcule el valor de g en la Luna. Utilice el hecho de que la Luna tiene un radio de unos 1700 km (un valor de esta exactitud se determinó hace muchos siglos) y suponga que tiene la misma densidad media que la Tierra, 5.500kg/m35.500kg/m3.

Estrategia

Con los valores conocidos de g y RERE, podemos utilizar la Ecuación 13.2 para hallar MEME. En el caso de la Luna, esgrimimos la hipótesis de una densidad media igual para determinar la masa a partir de una relación de los volúmenes de la Tierra y de la Luna.

Solución

  1. Reordenando la Ecuación 13.2, tenemos
    ME=gRE2G=9,80m/s2(6,37×106m)26,67×10−11N·m2/kg2=5,95×1024kg.ME=gRE2G=9,80m/s2(6,37×106m)26,67×10−11N·m2/kg2=5,95×1024kg.
  2. El volumen de una esfera es proporcional al radio al cubo, por lo que un simple cociente nos da
    MMME=RM3RE3MM=((1,7×106m)3(6,37×106m)3)(5,95×1024kg)=1,1×1023kg.MMME=RM3RE3MM=((1,7×106m)3(6,37×106m)3)(5,95×1024kg)=1,1×1023kg.
    Ahora utilizamos la Ecuación 13.2.
    gM=GMMrM2=(6,67×10−11N·m2/kg2)(1,1×1023kg)(1,7×106m)2=2,5m/s2gM=GMMrM2=(6,67×10−11N·m2/kg2)(1,1×1023kg)(1,7×106m)2=2,5m/s2

Importancia

Tan pronto como Cavendish determinó el valor de G en 1798, se pudo calcular la masa de la Tierra. (De hecho, ese era el objetivo en última instancia del experimento de Cavendish). El valor que hemos calculado para g de la Luna es incorrecto. La densidad media de la Luna es en realidad solo 3.340kg/m33.340kg/m3 y g=1,6m/s2g=1,6m/s2 en la superficie. Newton intentó medir la masa de la Luna al comparar el efecto del Sol en las mareas oceánicas de la Tierra con el de la Luna. Su valor era un factor de dos demasiado pequeño. Los valores más exactos de g y de la masa de la Luna proceden del seguimiento del movimiento de las naves espaciales que han orbitado la Luna. No obstante, la masa de la Luna se puede determinar con exactitud sin necesidad de ir a la Luna. La Tierra y la Luna orbitan alrededor de un centro de masa común, y las mediciones astronómicas en detalle pueden determinar esa ubicación. La relación entre la masa de la Luna y la de la Tierra es la relación entre [la distancia del centro de masa común al centro de la Luna] y [la distancia del centro de masa común al centro de la Tierra].

Más adelante, en este capítulo, veremos que la masa de otros cuerpos astronómicos también puede determinarse por el periodo de los pequeños satélites que los orbitan. No obstante, hasta que Cavendish determinó el valor de G, las masas de todos estos cuerpos eran desconocidas.

Ejemplo 13.4

Gravedad sobre la superficie de la Tierra

¿Cuál es el valor de g a 400 km por encima de la superficie de la Tierra, donde está en órbita la Estación Espacial Internacional?

Estrategia

Utilizando el valor de MEME y al observar que el radio es r=RE+400kmr=RE+400km, utilizamos la Ecuación 13.2 para hallar g.

En laEcuación 13.2 tenemos

g=GMEr2=6,67×10−11N·m2/kg25,96×1024kg(6,37×106+400×103m)2=8,67m/s2.g=GMEr2=6,67×10−11N·m2/kg25,96×1024kg(6,37×106+400×103m)2=8,67m/s2.

Importancia

A menudo vemos videos de astronautas en estaciones espaciales, aparentemente ingrávidos. Obviamente, la fuerza de la gravedad actúa sobre ellos. Comparando el valor de g que acabamos de calcular con el de la Tierra (9,80m/s2)(9,80m/s2), vemos que los astronautas de la Estación Espacial Internacional siguen teniendo el 88% de su peso. Solo parecen ingrávidos porque están en caída libre. Volveremos a hablar de ello en Órbita satelital y energía.

Compruebe Lo Aprendido 13.2

¿Cómo se compara su peso en la cima de un edificio alto con el del primer piso? ¿Cree que los ingenieros deben tener en cuenta el cambio del valor de g cuando diseñan el soporte estructural de un edificio muy alto?

El campo gravitacional

La Ecuación 13.2 es una ecuación escalar, que da la magnitud de la aceleración gravitatoria en función de la distancia al centro de la masa que provoca la aceleración. No obstante, podríamos haber mantenido la forma vectorial de la fuerza de gravedad en la Ecuación 13.1, y escribir la aceleración en forma vectorial como

g=GMr2r^.g=GMr2r^.

Identificamos el campo vectorial representado por gg como el campo gravitacional causado por la masa MM. Podemos imaginar el campo como se muestra la Figura 13.8. Las líneas se dirigen radialmente hacia el interior y se distribuyen simétricamente alrededor de la masa.

Esta figura muestra un gráfico vectorial tridimensional. Se muestra el sistema de coordenadas x, y, z. Se muestra una masa esférica M en el origen y los vectores apuntan hacia ella. Las flechas disminuyen su longitud a medida que aumenta su distancia al origen. También se muestra una caja, alineada con los ejes de coordenadas.
Figura 13.8 Representación tridimensional del campo gravitacional creado por la masa M M . Obsérvese que las líneas están distribuidas uniformemente en todas las direcciones. (El recuadro se ha añadido únicamente como ayuda en la visualización).

Como ocurre con cualquier campo vectorial, la dirección de gg es paralelo a las líneas de campo en cualquier punto. La fuerza de gg en cualquier punto es inversamente proporcional a la distancia entre líneas. Otra forma de decirlo es que la magnitud del campo en cualquier región es proporcional al número de líneas que atraviesan una unidad de superficie, lo que supone una densidad de líneas. Dado que las líneas están igualmente espaciadas en todas las direcciones, el número de líneas por unidad de superficie a una distancia r de la masa es el número total de líneas, dividido entre la superficie de una esfera de radio r, que es proporcional a r2r2. De allí que esta imagen represente perfectamente la ley del cuadrado inverso, además de indicar la dirección del campo. En la imagen de campo, decimos que una masa m interactúa con el campo gravitacional de la masa M. Utilizaremos el concepto de campo con gran provecho en los capítulos posteriores sobre electromagnetismo.

Peso aparente: contabilización de la rotación de la Tierra

Como vimos en Aplicaciones de las leyes de Newton, los objetos que se desplazan a rapidez constante en un círculo tienen una aceleración centrípeta dirigida hacia el centro del círculo, lo que significa que deberá haber una fuerza neta dirigida hacia el centro de ese círculo. Dado que todos los objetos en la superficie de la Tierra se mueven a través de un círculo cada 24 horas, deberá haber una fuerza centrípeta neta en cada objeto, dirigida hacia el centro de ese círculo.

Consideremos primero un objeto de masa m situado en el ecuador, suspendido de una balanza (Figura 13.9). La balanza ejerce una fuerza ascendente FsFs lejos del centro de la Tierra. Esta es la lectura en la balanza; de allí que sea el peso aparente del objeto. El peso(mg) apunta hacia el centro de la Tierra. Si la Tierra no girara, la aceleración sería nula y, en consecuencia, la fuerza neta sería nula, lo que da Fs=mgFs=mg. Esta sería la verdadera lectura del peso.

Ilustración de la Tierra, girando sobre su eje norte-sur, donde se muestran en tres lugares las masas en dinamómetros. El radio de la tierra está etiquetado como R E, su centro está etiquetado como O. Un dinamómetro está sobre el polo norte. Se muestra una fuerza ascendente F S N y una fuerza descendente m g que actúan sobre la masa del dinamómetro. Se muestra una línea discontinua desde el centro de la tierra hasta el polo norte. A la derecha del ecuador se muestra otro dinamómetro y una línea discontinua conecta el centro de la tierra con el ecuador en el lado derecho de la tierra. Las fuerzas sobre la masa en este segundo dinamómetro se muestran como una fuerza F S E a la derecha y m g a la izquierda. Se muestra un tercer dinamómetro en un ángulo lambda respecto a la horizontal. Se muestra una línea discontinua en este ángulo desde el centro hasta la superficie de la tierra. La distancia horizontal desde la superficie de la tierra en este ángulo lambda hasta la línea vertical discontinua que conecta el centro con el polo norte se etiqueta como r. El punto de la línea vertical discontinua en el que se encuentra r está etiquetado como P. Se muestran tres fuerzas para la tercera masa. Una de las fuerzas se denomina F S y apunta radialmente hacia afuera. Una segunda fuerza, denominada m g apunta radialmente hacia adentro. Una tercera fuerza, denominada F c, apunta horizontalmente hacia la izquierda.
Figura 13.9 Para una persona situada en el ecuador, la aceleración centrípeta ( a c ) ( a c ) está en la misma dirección que la fuerza de gravedad. En latitud λ λ , el ángulo entre a c a c y la fuerza de la gravedad es λ λ y la magnitud de a c a c disminuye con cos λ cos λ .

Con la rotación, la suma de estas fuerzas deberá proporcionar la aceleración centrípeta, acac. Utilizando la segunda ley de Newton, tenemos

F=Fsmg=macdondeac=v2r.F=Fsmg=macdondeac=v2r.
13.3

Tenga en cuenta que acac apunta en la misma dirección que el peso; de allí que sea negativo. La rapidez tangencial v es la rapidez en el ecuador y r es RERE. Podemos calcular la rapidez simplemente al observar que los objetos en el ecuador recorren la circunferencia de la Tierra en 24 horas. En su lugar, utilicemos la expresión alternativa para acac que vimos en Movimiento en dos y tres dimensiones. Recordemos que la rapidez tangencial está relacionada con la rapidez angular (ω)(ω) por v=rωv=rω. De allí que tengamos ac=rω2ac=rω2. Reorganizando la Ecuación 13.3 y sustituyendo r=REr=RE, el peso aparente en el ecuador es

Fs=m(gREω2).Fs=m(gREω2).

La rapidez angular de la Tierra en todas partes es

ω=2πrad24hr×3.600s/h=7,27×10−5rad/s.ω=2πrad24hr×3.600s/h=7,27×10−5rad/s.

Sustituyendo los valores o RERE y ωω, tenemos REω2=0,0337m/s2REω2=0,0337m/s2. Esto es solo el 0,34% del valor de la gravedad, por lo que es claramente una pequeña corrección.

Ejemplo 13.5

Peso aparente cero

¿A qué velocidad tendría que girar la Tierra para que los que están en el ecuador tuvieran un peso aparente nulo? ¿Cuál sería la duración del día?

Estrategia

Utilizando la Ecuación 13.3, podemos establecer el peso aparente (FsFs) a cero y determinar la aceleración centrípeta necesaria. A partir de ahí, podemos determinar la velocidad en el ecuador. La duración del día es el tiempo necesario para una rotación completa.

Solución

A partir de la Ecuación 13.2, tenemos F=Fsmg=macF=Fsmg=mac, por lo que al configurar Fs=0Fs=0, obtenemos g=acg=ac. Utilizando la expresión para acac, sustituyendo el radio de la Tierra y el valor estándar de la gravedad, obtenemos
ac=v2r=gv=gr=(9,80m/s2)(6,37×106m)=7,91×103m/s.ac=v2r=gv=gr=(9,80m/s2)(6,37×106m)=7,91×103m/s.

El periodo T es el tiempo de una rotación completa. Por lo tanto, la velocidad tangencial es la circunferencia dividida entre T, por lo que tenemos

v=2πrTT=2πrv=2π(6,37×106m)7,91×103m/s=5,06×103s.v=2πrTT=2πrv=2π(6,37×106m)7,91×103m/s=5,06×103s.

Son unos 84 minutos.

Importancia

Más adelante en este capítulo veremos que esta rapidez y duración del día serían también la rapidez orbital y el periodo de un satélite en órbita en la superficie de la Tierra. Si bien una órbita de este tipo no sería posible cerca de la superficie de la Tierra debido a la resistencia del aire, ciertamente es posible a solo unos cientos de millas por encima de la Tierra.

Resultados lejos del ecuador

En los polos, ac0ac0 y Fs=mgFs=mg, al igual que ocurre sin rotación. En cualquier otra latitud λλ, la situación es más complicada. La aceleración centrípeta se dirige hacia el punto P de la figura, y el radio se convierte en r=REcosλr=REcosλ. La suma vectorial del peso y FsFs deberá apuntar hacia el punto P; de allí que FsFs ya no apunta lejos del centro de la Tierra. (La diferencia es pequeña y exagerada en la figura). Una plomada siempre apuntará en esta dirección desviada. Todos los edificios se construyen alineados a lo largo de esta dirección desviada, no a lo largo de un radio que pasa por el centro de la Tierra. En el caso de los edificios más altos, esto representa una desviación de unos cuantos pies en la parte superior.

También cabe destacar que la Tierra no es una esfera perfecta. El interior es parcialmente líquido, lo que aumenta el abultamiento de la Tierra en el ecuador debido a su rotación. El radio de la Tierra es unos 30 km mayor en el ecuador que en los polos. Se deja como ejercicio comparar la fuerza de la gravedad en los polos con la del ecuador, al utilizar la Ecuación 13.2. La diferencia es comparable a la diferencia debida a la rotación y está en la misma dirección. Al parecer, realmente se puede perder "peso" trasladándose al trópico.

La gravedad lejos de la superficie

Anteriormente hemos afirmado sin pruebas que la ley de la gravitación se aplica a los objetos esféricamente simétricos, donde la masa de cada cuerpo actúa como si estuviera en el centro del cuerpo. Ya que la Ecuación 13.2 se deriva de la Ecuación 13.1, también es válida para distribuciones de masa simétricas, aunque ambas ecuaciones son válidas solo para valores de rRErRE. Como vimos en la Ejemplo 13.4, a 400 km sobre la superficie de la Tierra, donde orbita la Estación Espacial Internacional, el valor de g es 8,67m/s28,67m/s2. (Veremos más adelante que esta es también la aceleración centrípeta de la ISS).

Para r<REr<RE, la Ecuación 13.1 y la Ecuación 13.2 no son válidas. Sin embargo, podemos determinar g para estos casos mediante un principio que proviene de la ley de Gauss. Esta poderosa herramienta matemática la estudiamos en mayor detalle, más adelante en el curso. Una consecuencia de la ley de Gauss, aplicada a la gravitación, es que solo la masa dentro de r contribuye a la fuerza gravitatoria. Además, esa masa, al igual que antes, puede considerarse situada en el centro. El efecto gravitacional de la masa fuera de r tiene un efecto neto nulo.

Se dan dos casos especiales muy interesantes. Para un planeta esférico con densidad constante, la masa dentro de r es la densidad por el volumen dentro de r. Esta masa puede considerarse situada en el centro. Al sustituir MEME con solo la masa dentro de r, M=ρ×(volumen de una esfera)M=ρ×(volumen de una esfera), y RERE con r, la Ecuación 13.2 se convierte en

g=GMERE2=Gρ(4/3πr3)r2=43Gρπr.g=GMERE2=Gρ(4/3πr3)r2=43Gρπr.

El valor de g; de allí que su peso disminuya linealmente a medida que descienda por un agujero hasta el centro del planeta esférico. En el centro, no se tiene peso, ya que la masa del planeta tira por igual en todas las direcciones. En realidad, la densidad de la Tierra es inconstante, como tampoco la Tierra es sólida en todo momento. La Figura 13.10 muestra el perfil de g si la Tierra tuviera una densidad constante y el perfil más probable basado en las estimaciones de densidad derivadas de los datos sísmicos.

Se ilustra una sección de la Tierra, donde se muestran varias capas en su interior. La leyenda indica que las capas son, desde la superficie hacia el interior, el manto superior en rosa, el manto inferior en rojo, el núcleo externo en naranja y el núcleo interno en color tostado. El manto superior es mucho más fino que el manto inferior y el núcleo externo, que tienen aproximadamente el mismo grosor. El radio del núcleo interno es mayor que el grosor del manto superior, pero menor que el del núcleo externo. Debajo de esta ilustración hay un gráfico de la aceleración en m por segundo al cuadrado en función del radio en 1000 k m. La escala vertical va de 0 a 12 metros por segundo al cuadrado y la horizontal de 0 a 14 mil kilómetros. Las barras verticales que utilizan el mismo esquema de colores que la ilustración de la Tierra se muestran alineadas con la ilustración. El núcleo interno se extiende desde 0 hasta algo más de 1000 k m. El núcleo exterior se extiende hasta algo menos de 4000 k m. El manto inferior se extiende hasta algo menos de 6000 k m. El manto superior se extiende hasta algo más de 6000 k m. Una curva azul, etiquetada como P R E M, comienza en el origen y se eleva casi linealmente hasta más de 10 m por segundo al cuadrado en el borde exterior del núcleo exterior. A continuación, la curva disminuye a menos de 10 en el borde exterior del manto superior. Luego, la curva disminuye más rápidamente, pero con una pendiente que va disminuyendo con el radio. Una segunda curva verde está etiquetada como "decaimiento constante" y es una línea recta desde el origen del gráfico hasta el punto situado en un radio de algo más de 6000 k m (la superficie) y algo menos de 10 (el valor de la curva azul en la superficie).
Figura 13.10 Para r < R E r < R E , el valor de g para el caso de densidad constante es la línea recta verde. La línea azul del Modelo Terrestre de Referencia Preliminar (Preliminary Reference Earth Model, PREM) es probablemente la más cercana al perfil real de g.

El segundo caso interesante se refiere a la vida en un planeta de cáscara esférica. Este escenario ha sido propuesto en muchas historias de ciencia ficción. Ignorando importantes cuestiones de ingeniería, la cáscara podría construirse con un radio y una masa total deseados, de manera que el g en la superficie sea el mismo que el de la Tierra. ¿Podría adivinar lo que ocurre una vez que desciende en un elevador hasta el interior de la cáscara, donde no hay masa entre su cuerpo y el centro? ¿Qué ventajas tendría esto para viajar grandes distancias de un punto a otro de la esfera? Por último, ¿qué efecto tendría si el planeta estuviera girando?

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