13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre

Peso

Recordemos que la aceleración de un objeto en caída libre cerca de la superficie de la Tierra es aproximadamente $g=\mathrm{9,80}{\text{m/s}}^2$. La fuerza que causa esta aceleración se denomina peso del objeto, y a partir de la segunda ley de Newton, tiene el valor mg. Este peso está presente, independientemente de que el objeto esté en caída libre. Ahora sabemos que esta fuerza es la fuerza gravitatoria entre el objeto y la Tierra. Si sustituimos mg por la magnitud de ${\overrightarrow{F}}_{12}$ en la ley de gravitación universal de Newton, m para $m_1$, y $M_{\text{E}}$ para $m_2$, obtenemos la ecuación escalar

donde r es la distancia entre los centros de masa del objeto y de la Tierra. El radio medio de la Tierra es de unos 6370 km. De allí que, en lo que respecta a los objetos situados a pocos kilómetros de la superficie de la Tierra, podemos tomar $r=R_{\text{E}}$ (Figura 13.7). La masa m del objeto se anula, lo que da

Esto explica por qué todas las masas caen libremente con la misma aceleración. Hemos ignorado el hecho de que la Tierra también acelera hacia el objeto que cae, pero eso es aceptable siempre que la masa de la Tierra sea mucho mayor que la del objeto.

Figura 13.7 Podemos tomar la distancia entre los centros de masa de la Tierra y un objeto en su superficie como el radio de la Tierra, siempre que su tamaño sea mucho menor que el radio de la Tierra.

El campo gravitacional

La Ecuación 13.2 es una ecuación escalar, que da la magnitud de la aceleración gravitatoria en función de la distancia al centro de la masa que provoca la aceleración. No obstante, podríamos haber mantenido la forma vectorial de la fuerza de gravedad en la Ecuación 13.1, y escribir la aceleración en forma vectorial como

Identificamos el campo vectorial representado por $\overrightarrow{g}$ como el campo gravitacional causado por la masa $M$. Podemos imaginar el campo como se muestra la Figura 13.8. Las líneas se dirigen radialmente hacia el interior y se distribuyen simétricamente alrededor de la masa.

Figura 13.8 Representación tridimensional del campo gravitacional creado por la masa $M$. Obsérvese que las líneas están distribuidas uniformemente en todas las direcciones. (El recuadro se ha añadido únicamente como ayuda en la visualización).

Como ocurre con cualquier campo vectorial, la dirección de $\overrightarrow{g}$ es paralelo a las líneas de campo en cualquier punto. La fuerza de $\overrightarrow{g}$ en cualquier punto es inversamente proporcional a la distancia entre líneas. Otra forma de decirlo es que la magnitud del campo en cualquier región es proporcional al número de líneas que atraviesan una unidad de superficie, lo que supone una densidad de líneas. Dado que las líneas están igualmente espaciadas en todas las direcciones, el número de líneas por unidad de superficie a una distancia r de la masa es el número total de líneas, dividido entre la superficie de una esfera de radio r, que es proporcional a $r^2$. De allí que esta imagen represente perfectamente la ley del cuadrado inverso, además de indicar la dirección del campo. En la imagen de campo, decimos que una masa m interactúa con el campo gravitacional de la masa M. Utilizaremos el concepto de campo con gran provecho en los capítulos posteriores sobre electromagnetismo.

Peso aparente: contabilización de la rotación de la Tierra

Como vimos en Aplicaciones de las leyes de Newton, los objetos que se desplazan a rapidez constante en un círculo tienen una aceleración centrípeta dirigida hacia el centro del círculo, lo que significa que deberá haber una fuerza neta dirigida hacia el centro de ese círculo. Dado que todos los objetos en la superficie de la Tierra se mueven a través de un círculo cada 24 horas, deberá haber una fuerza centrípeta neta en cada objeto, dirigida hacia el centro de ese círculo.

Consideremos primero un objeto de masa m situado en el ecuador, suspendido de una balanza (Figura 13.9). La balanza ejerce una fuerza ascendente ${\overrightarrow{F}}_{\text{s}}$ lejos del centro de la Tierra. Esta es la lectura en la balanza; de allí que sea el peso aparente del objeto. El peso(mg) apunta hacia el centro de la Tierra. Si la Tierra no girara, la aceleración sería nula y, en consecuencia, la fuerza neta sería nula, lo que da $F_{\text{s}}=mg$. Esta sería la verdadera lectura del peso.

Figura 13.9 Para una persona situada en el ecuador, la aceleración centrípeta $(a_{\text{c}})$ está en la misma dirección que la fuerza de gravedad. En latitud $\lambda$, el ángulo entre $a_{\text{c}}$ y la fuerza de la gravedad es $\lambda$ y la magnitud de $a_{\text{c}}$ disminuye con $\text{cos}\lambda$.

Con la rotación, la suma de estas fuerzas deberá proporcionar la aceleración centrípeta, $a_{\text{c}}$. Utilizando la segunda ley de Newton, tenemos

Tenga en cuenta que $a_{\text{c}}$ apunta en la misma dirección que el peso; de allí que sea negativo. La rapidez tangencial v es la rapidez en el ecuador y r es $R_{\text{E}}$. Podemos calcular la rapidez simplemente al observar que los objetos en el ecuador recorren la circunferencia de la Tierra en 24 horas. En su lugar, utilicemos la expresión alternativa para $a_{\text{c}}$ que vimos en Movimiento en dos y tres dimensiones. Recordemos que la rapidez tangencial está relacionada con la rapidez angular $\left(\omega \right)$ por $v=r\omega$. De allí que tengamos $a_c=\text{−}r{\omega }^2$. Reorganizando la Ecuación 13.3 y sustituyendo $r=R_{\text{E}}$, el peso aparente en el ecuador es

La rapidez angular de la Tierra en todas partes es

Sustituyendo los valores o $R_{\text{E}}$ y $\omega$, tenemos $R_{\text{E}}{\omega }^2=\mathrm{0,0337}{\text{m/s}}^2$. Esto es solo el 0,34% del valor de la gravedad, por lo que es claramente una pequeña corrección.

Resultados lejos del ecuador

En los polos, $a_{\text{c}}\to 0$ y $F_{\text{s}}=mg$, al igual que ocurre sin rotación. En cualquier otra latitud $\lambda$, la situación es más complicada. La aceleración centrípeta se dirige hacia el punto P de la figura, y el radio se convierte en $r=R_{\text{E}}\text{cos}\lambda$. La suma vectorial del peso y ${\overrightarrow{F}}_{\text{s}}$ deberá apuntar hacia el punto P; de allí que ${\overrightarrow{F}}_{\text{s}}$ ya no apunta lejos del centro de la Tierra. (La diferencia es pequeña y exagerada en la figura). Una plomada siempre apuntará en esta dirección desviada. Todos los edificios se construyen alineados a lo largo de esta dirección desviada, no a lo largo de un radio que pasa por el centro de la Tierra. En el caso de los edificios más altos, esto representa una desviación de unos cuantos pies en la parte superior.

También cabe destacar que la Tierra no es una esfera perfecta. El interior es parcialmente líquido, lo que aumenta el abultamiento de la Tierra en el ecuador debido a su rotación. El radio de la Tierra es unos 30 km mayor en el ecuador que en los polos. Se deja como ejercicio comparar la fuerza de la gravedad en los polos con la del ecuador, al utilizar la Ecuación 13.2. La diferencia es comparable a la diferencia debida a la rotación y está en la misma dirección. Al parecer, realmente se puede perder "peso" trasladándose al trópico.

La gravedad lejos de la superficie

Anteriormente hemos afirmado sin pruebas que la ley de la gravitación se aplica a los objetos esféricamente simétricos, donde la masa de cada cuerpo actúa como si estuviera en el centro del cuerpo. Ya que la Ecuación 13.2 se deriva de la Ecuación 13.1, también es válida para distribuciones de masa simétricas, aunque ambas ecuaciones son válidas solo para valores de $r\ge R_{\text{E}}$. Como vimos en la Ejemplo 13.4, a 400 km sobre la superficie de la Tierra, donde orbita la Estación Espacial Internacional, el valor de g es $\mathrm{8,67}{\text{m/s}}^2$. (Veremos más adelante que esta es también la aceleración centrípeta de la ISS).

Para $r<R_{\text{E}}$, la Ecuación 13.1 y la Ecuación 13.2 no son válidas. Sin embargo, podemos determinar g para estos casos mediante un principio que proviene de la ley de Gauss. Esta poderosa herramienta matemática la estudiamos en mayor detalle, más adelante en el curso. Una consecuencia de la ley de Gauss, aplicada a la gravitación, es que solo la masa dentro de r contribuye a la fuerza gravitatoria. Además, esa masa, al igual que antes, puede considerarse situada en el centro. El efecto gravitacional de la masa fuera de r tiene un efecto neto nulo.

Se dan dos casos especiales muy interesantes. Para un planeta esférico con densidad constante, la masa dentro de r es la densidad por el volumen dentro de r. Esta masa puede considerarse situada en el centro. Al sustituir $M_{\text{E}}$ con solo la masa dentro de r, $M=\rho \times (\text{volumen de una esfera})$, y $R_{\text{E}}$ con r, la Ecuación 13.2 se convierte en

El valor de g; de allí que su peso disminuya linealmente a medida que descienda por un agujero hasta el centro del planeta esférico. En el centro, no se tiene peso, ya que la masa del planeta tira por igual en todas las direcciones. En realidad, la densidad de la Tierra es inconstante, como tampoco la Tierra es sólida en todo momento. La Figura 13.10 muestra el perfil de g si la Tierra tuviera una densidad constante y el perfil más probable basado en las estimaciones de densidad derivadas de los datos sísmicos.

Figura 13.10 Para $r<R_{\text{E}}$, el valor de g para el caso de densidad constante es la línea recta verde. La línea azul del Modelo Terrestre de Referencia Preliminar (Preliminary Reference Earth Model, PREM) es probablemente la más cercana al perfil real de g.

El segundo caso interesante se refiere a la vida en un planeta de cáscara esférica. Este escenario ha sido propuesto en muchas historias de ciencia ficción. Ignorando importantes cuestiones de ingeniería, la cáscara podría construirse con un radio y una masa total deseados, de manera que el g en la superficie sea el mismo que el de la Tierra. ¿Podría adivinar lo que ocurre una vez que desciende en un elevador hasta el interior de la cáscara, donde no hay masa entre su cuerpo y el centro? ¿Qué ventajas tendría esto para viajar grandes distancias de un punto a otro de la esfera? Por último, ¿qué efecto tendría si el planeta estuviera girando?