11.3 Conservación del momento angular

Hasta ahora, hemos estudiado el momento angular de sistemas formados por partículas puntuales y cuerpos rígidos. También hemos analizado los torques involucrados, mediante la expresión que relaciona el torque neto externo con el cambio de momento angular, Ecuación 11.8. Algunos ejemplos de sistemas que obedecen a esta ecuación son una rueda de bicicleta que gira libremente y desacelera con el tiempo debido al torque derivado de la fricción, o la desaceleración de la rotación de la Tierra a lo largo de millones de años debido a las fuerzas de fricción que se ejercen sobre las deformaciones de las mareas.

Sin embargo, supongamos que no hay ningún torque externo neto en el sistema, ${\displaystyle \sum \overrightarrow{\tau }}=0.$ En este caso, la Ecuación 11.8 se convierte en la ley de conservación del momento angular.

Obsérvese que el momento angular total $\overrightarrow{L}$ se conserva. Cualquiera de los momentos angulares puede cambiar mientras su suma permanezca constante. Esta ley es análoga al momento lineal que se conserva cuando la fuerza externa sobre un sistema es nula.

Como ejemplo de conservación del momento angular, la Figura 11.14 muestra a una patinadora sobre hielo ejecutando un giro. El torque neto sobre ella es muy cercano a cero porque hay relativamente poca fricción entre sus patines y el hielo. Además, la fricción se ejerce muy cerca del punto de apoyo. Tanto $\left|\overrightarrow{F}\right|\text{como}\left|\overrightarrow{r}\right|$ son pequeños, por lo que $\left|\overrightarrow{\tau }\right|$ es despreciable. En consecuencia, puede girar durante bastante tiempo. También puede aumentar su velocidad de giro al meter los brazos y las piernas. ¿Por qué al meter sus brazos y piernas aumenta su velocidad de giro? La respuesta es que su momento angular es constante, por lo que

o

donde las cantidades primas se refieren a las condiciones después de meter los brazos y reducir su momento de inercia. Porque $I^{\prime }$ es menor, la velocidad angular ${\omega }^{\prime }$ deberá aumentar para mantener constante el momento angular.

Figura 11.14 (a) Una patinadora sobre hielo gira en la punta de su patín con los brazos extendidos. Su momento angular se conserva porque el torque neto sobre ella es despreciable. (b) Su velocidad de giro aumenta significativamente cuando mete los brazos, lo que disminuye su momento de inercia. El trabajo que realiza para meter los brazos se traduce en un aumento de la energía cinética rotacional.

Es interesante ver cómo cambia la energía cinética rotacional de la patinadora cuando mete los brazos. Su energía rotacional inicial es

mientras que su energía rotacional final es

Dado que $I^{\prime }{\omega }^{\prime }=I\omega ,$ podemos sustituir por ${\omega }^{\prime }$ y hallar

Porque su momento de inercia ha disminuido, $I^{\prime }<I,$ su energía cinética rotacional final ha aumentado. La fuente de esta energía cinética rotacional adicional es el trabajo necesario para meter los brazos. Obsérvese que los brazos de la patinadora no se mueven en un círculo perfecto, sino que se mueven en espiral hacia dentro. Este trabajo provoca un aumento en la energía cinética rotacional, mientras que su momento angular permanece constante. Como está en un ambiente sin fricción, no hay energía que se escape del sistema. Así, si extendiera los brazos a su posición original, giraría a su velocidad angular original y su energía cinética volvería a su valor original.

El sistema solar es otro ejemplo de cómo funciona la conservación del momento angular en nuestro universo. Nuestro sistema solar nació de una enorme nube de gas y polvo que inicialmente tenía energía de rotación. Las fuerzas gravitacionales hicieron que la nube se contrajera y la tasa de rotación aumentó como resultado de la conservación del momento angular (Figura 11.15).

Figura 11.15 El sistema solar se unió a partir de una nube de gas y polvo que rotaba originalmente. El movimiento orbital y la rotación de los planetas están en la misma dirección que la rotación original y conservan el momento angular de la nube madre (créditos: modificación de un trabajo de la NASA).

Continuamos nuestro debate con un ejemplo que tiene aplicaciones a la ingeniería.

Ejemplo 11.7

Volantes de inercia acoplados

Un volante de inercia rota sin fricción a una velocidad angular ${\omega }_0=600\text{rev}\text{/}\text{min}$ en un eje vertical sin fricción de inercia rotacional despreciable. Se deja caer sobre otro volante de inercia, que está en reposo y tiene el triple del momento de inercia del volante en rotación (Figura 11.16). Dado que existe fricción entre las superficies, los volantes de inercia alcanzan muy rápidamente la misma velocidad de rotación, tras lo cual giran juntos. (a) Utilice la ley de conservación del momento angular para determinar la velocidad angular $\omega$ de la combinación. (b) ¿Qué fracción de la energía cinética inicial se pierde en el acoplamiento de los volantes de inercia?

Figura 11.16 Dos volantes de inercia están acoplados y giran juntos.

Estrategia

La parte (a) sirve para resolver la velocidad angular del sistema acoplado. Utilizamos el resultado de (a) para comparar las energías cinéticas inicial y final del sistema en la parte (b).

Solución

a. No hay torques externos que actúen sobre el sistema. La fuerza debida a la fricción produce un torque interno, que no afecta al momento angular del sistema. Por lo tanto, la conservación del momento angular da

$$\begin{array}{c}{I}_0{\omega }_0=(I_0+3I_0)\omega ,\hfill \\ \omega =\frac{1}{4}{\omega }_0=150\text{rev}\text{/}\text{min}=\mathrm{15,7}\text{rad}\text{/}\text{s}.\hfill \end{array}$$

b. Antes del contacto, solo rota un volante de inercia. La energía cinética rotacional de este volante de inercia es la energía cinética de rotación inicial del sistema, $\frac{1}{2}{I}_0{\omega }_0^2$. La energía cinética final es$\frac{1}{2}(4I_0){\omega }^2=\frac{1}{2}(4I_0){\left(\frac{{\omega }_0}{4}\right)}^2=\frac{1}{8}{I}_0{\omega }_0^2.$

Por lo tanto, el cociente de energía cinética final y energía cinética inicial es

$$\frac{\frac{1}{8}{I}_0{\omega }_0^2}{\frac{1}{2}{I}_0{\omega }_0^2}=\frac{1}{4}.$$

Así, 3/4 de la energía cinética inicial se pierde por el acoplamiento de los dos volantes de inercia.

Importancia

Dado que la inercia rotacional del sistema aumentó, la velocidad angular disminuyó, como se prevé de la ley de conservación del momento angular. En este ejemplo, vemos que la energía cinética final del sistema disminuye, ya que se pierde energía por el acoplamiento de los volantes de inercia. Compare esto con el ejemplo de la patinadora en la Figura 11.14 que realiza un trabajo para meter los brazos y añadir energía cinética de rotación.

Ejemplo 11.8

Salida de la barra de equilibrio

Un gimnasta de 80,0 kg realiza la salida de la barra de equilibrio. Comienza la salida en plena extensión, y luego se flexiona para completar un número de revoluciones antes de aterrizar. Su momento de inercia cuando está extendido totalmente puede calcularse aproximadamente como una varilla de 1,8 m de longitud y, cuando está flexionado, como una varilla de la mitad de esa longitud. Si su velocidad de rotación en plena extensión es de 1,0 rev/s y asume la posición agrupada cuando su centro de masa está a 3,0 m de altura moviéndose horizontalmente hacia el suelo, ¿cuántas revoluciones puede ejecutar si deshace la posición agrupada a 1,8 m de altura? Vea la Figura 11.17.

Figura 11.17 Un gimnasta realiza la salida de una barra de equilibrio y ejecuta un número de revoluciones en posición agrupada antes de aterrizar en posición vertical.

Estrategia

Utilizando la conservación del momento angular, podemos hallar su velocidad de rotación cuando está flexionado. Utilizando las ecuaciones de la cinemática, podemos hallar el intervalo de tiempo desde una altura de 3,0 m a 1,8 m. Dado que se mueve horizontalmente con respecto al suelo, las ecuaciones de la caída libre se simplifican. Esto permitirá calcular el número de revoluciones que se pueden ejecutar. Dado que utilizamos un cociente, podemos mantener las unidades como rev/s y no necesitamos convertir a radianes/s.

Solución

El momento de inercia en plena extensión es $I_0=\frac{1}{12}m{L}^2=\frac{1}{12}\mathrm{80,0}\text{kg}(1{.8\text{m})}^2=\mathrm{21,6}\text{kg}·{\text{m}}^2$.

El momento de inercia en posición agrupada es $I_{\text{f}}=\frac{1}{12}m{L}_{\text{f}}^{\text{2}}=\frac{1}{12}\mathrm{80,0}\text{kg}(0{.9\text{m})}^2=\mathrm{5,4}\text{kg}·{\text{m}}^2$.

Conservación del momento angular $I_{\text{f}}{\omega }_{\text{f}}=I_0{\omega }_0\Rightarrow {\omega }_{\text{f}}=\frac{I_0{\omega }_0}{I_{\text{f}}}=\frac{\mathrm{21,6}\text{kg}·{\text{m}}^2(\mathrm{1,0}\text{rev}\text{/}\text{s})}{\mathrm{5,4}\text{kg}·{\text{m}}^2}=\mathrm{4,0}\text{rev}\text{/}\text{s}$.

Intervalo de tiempo en posición agrupada: $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2(\mathrm{3,0}-\mathrm{1,8})\text{m}}{\mathrm{9,8}\text{m}\text{/}\text{s}}}=\mathrm{0,5}\text{s}$.

En 0,5 s, podrá ejecutar dos revoluciones a 4,0 rev/s.

Importancia

Tenga en cuenta que el número de revoluciones que puede completar dependerá del tiempo que esté en el aire. En el problema, sale de la barra de equilibrio horizontalmente hacia el suelo. También podría salir en un ángulo con respecto al suelo, lo que le daría más o menos tiempo en el aire, dependiendo del ángulo, positivo o negativo, con respecto al suelo. Los gimnastas deben tener esto en cuenta a la hora de realizar sus salidas.

Ejemplo 11.9

Conservación del momento angular de una colisión

Una bala de masa $m=\mathrm{2,0}\text{g}$ se desplaza horizontalmente a una rapidez de $\mathrm{500,0}\text{m}\text{/}\text{s}.$ La bala golpea y se incrusta en el borde de un disco sólido de masa $M=\mathrm{3,2}\text{kg}$ y el radio $R=\mathrm{0,5}\text{m}\text{.}$ El cilindro rota libremente alrededor de su eje y está inicialmente en reposo (Figura 11.18). ¿Cuál es la velocidad angular del disco inmediatamente después de que se incruste la bala?

Figura 11.18 Una bala se dispara horizontalmente y se incrusta en el borde de un disco que rota libremente en torno a su eje vertical.

Estrategia

Para el sistema de la bala y el cilindro, ningún torque externo actúa a lo largo del eje vertical que pasa por el centro del disco. Así, el momento angular a lo largo de este eje se conserva. El momento angular inicial de la bala es $mvR$, que se toma sobre el eje de rotación del disco en el momento anterior a la colisión. El momento angular inicial del cilindro es cero. Así, el momento angular neto del sistema es $mvR$. Dado que el momento angular se conserva, el momento angular inicial del sistema es igual al momento angular de la bala incrustada en el disco inmediatamente después del impacto.

Solución

El momento angular inicial del sistema es

$$L_i=mvR.$$

El momento de inercia del sistema con la bala incrustada en el disco es

$$I=m{R}^2+\frac{1}{2}M{R}^2=\left(m+\frac{M}{2}\right)R^2.$$

El momento angular final del sistema es

$$L_f=I{\omega }_f.$$

Así, por la conservación del momento angular, $L_i=L_f$ y

$$mvR=\left(m+\frac{M}{2}\right)R^2{\omega }_f.$$

Resolver para ${\omega }_f,$

$${\omega }_f=\frac{mvR}{(m+M\text{/}2)R^2}=\frac{(\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-3}}\text{kg})(\mathrm{500,0}\text{m}\text{/}\text{s})}{(\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-3}}\text{kg}+\mathrm{1,6}\text{kg})(\mathrm{0,50}\text{m})}=\mathrm{1,2}\text{rad}\text{/}\text{s}.$$

Importancia

El sistema está compuesto por una partícula puntual y un cuerpo rígido. Hay que tener cuidado al formular el momento angular antes y después de la colisión. Justo antes del impacto, el momento angular de la bala se toma alrededor del eje de rotación del disco.