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Física Universitaria Volumen 1

11.4 Precesión de un giroscopio

Física Universitaria Volumen 111.4 Precesión de un giroscopio
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Describir los procesos físicos que subyacen al fenómeno de la precesión.
  • Calcular la velocidad angular de precesión de un giroscopio.

En la Figura 11.19 se muestra un giroscopio, definido como un disco giratorio en el que el eje de rotación adopta libremente cualquier orientación. Al girar, la orientación del eje de rotación no resulta afectada por la orientación del cuerpo que lo encierra. La carrocería o el vehículo que encierra el giroscopio puede moverse de un lugar a otro y la orientación del eje de giro seguirá siendo la misma. Esto hace que los giroscopios sean muy útiles en la navegación, especialmente cuando no se pueden utilizar brújulas magnéticas, como en las naves espaciales pilotadas y no pilotadas, los misiles balísticos intercontinentales, los vehículos aéreos no tripulados y los satélites como el telescopio espacial Hubble.

Dibujo de un giroscopio, consistente en un disco que gira sobre un eje, perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro. Dos anillos rodean el giroscopio. Uno de ellos está unido al eje por encima y por debajo del disco, y el otro está unido al primer anillo y está en el plano del disco, de modo que este segundo anillo es concéntrico con el disco.
Figura 11.19 Un giroscopio consiste en un disco que gira en torno a un eje, el cual adopta libremente cualquier orientación.

En las dos figuras siguientes ilustramos la precesión de un giroscopio con un ejemplo de la peonza. Si la peonza se coloca en una superficie plana cerca de la superficie de la Tierra en un ángulo con respecto a la vertical y no gira, se caerá. Esto se debe a que la fuerza de la gravedad produce un torque que actúa sobre su centro de masa. Esto se muestra en la Figura 11.20(a). Sin embargo, si la peonza gira sobre su eje, en lugar de volcarse debido a este torque, precesa en torno a la vertical, como se muestra en la parte (b) de la figura. Esto se debe al torque en el centro de masa, que proporciona el cambio en el momento angular.

Figura a: Se muestra un sistema de coordenadas x y z, con la x fuera de la página, la y a la derecha y la z hacia arriba. El origen es el punto O. Se muestra una peonza con su punto en el origen y su eje inclinado lejos del eje z en vertical. El eje de la peonza es la línea O O prima. El vector r se extiende desde el origen hacia el centro de la masa, etiquetado como C M, de la peonza. La fuerza M g actúa hacia abajo, en el centro de masa. El torque en torno al origen es igual al vector r cruzado con el vector M g. Este torque es un vector en el plano x y, perpendicular al vector r. Figura b: Se muestra la coordenada x y z, así como la peonza. La peonza se inclina de nuevo lejos del eje z y gira rápidamente en sentido contrario a las agujas del reloj en torno al eje O O primo, visto desde arriba. La precesión de la peonza traza un círculo en sentido contrario a las agujas del reloj, visto desde arriba, centrado en el eje z. El cono barrido por la precesión de la peonza se indica en líneas discontinuas.
Figura 11.20 (a) Si la peonza no gira, hay un torque r × M g r × M g en torno al origen, y la peonza se cae. (b) Si la peonza gira en torno a su eje O O , O O , no se cae, sino que precesa en torno al eje z.

La Figura 11.21 muestra las fuerzas que actúan sobre una peonza. El torque producido es perpendicular al vector de momento angular. Esto cambia la dirección del vector de momento angular LL según dL=τdt,dL=τdt, pero no su magnitud. La peonza precesa alrededor de un eje vertical, ya que el torque es siempre horizontal y perpendicular a LL. Si la peonza no gira, adquiere un momento angular en la dirección del torque, y rota alrededor de un eje horizontal, para caer tal y como cabría esperar.

Se muestra un sistema de coordenadas x y z, con la x fuera de la página, la y a la derecha y la z hacia arriba. El origen es el punto O. Se muestra una peonza con su punto en el origen y su eje inclinado en un ángulo theta lejos del eje vertical z, en el sentido de las agujas del reloj, tal como lo vemos. El vector r se extiende desde el origen hacia el centro de la masa, etiquetado como C M, de la peonza. La fuerza M g actúa hacia abajo, en el centro de masa. El torque, tau, alrededor del origen es igual al vector r cruzado con el vector M g. Este torque es un vector en el plano x y, perpendicular al vector r, en la página. La velocidad angular, omega, de la peonza es contraria a las agujas del reloj, vista desde arriba. El momento angular, L, está en la misma dirección que el vector r, inclinado hacia arriba, a lo largo del eje de la peonza. El círculo trazado por la precesión de la peonza se muestra como un círculo horizontal sobre esta. La velocidad angular de precesión omega sub p va en dirección contraria a las agujas del reloj, vista desde arriba. El radio del círculo de precesión es L seno theta. El vector d L es tangente al círculo, apunta hacia la página y es igual al vector tau d t. Se muestra el triángulo formado L seno theta y d L, y el ángulo transversal a d L se etiqueta como d phi.
Figura 11.21 La fuerza de gravedad que actúa sobre el centro de masa produce un torque τ τ en dirección perpendicular a L . L . La magnitud de L L no cambia, pero sí su dirección, y la peonza precesa en torno al eje z.

Podemos experimentar este fenómeno de primera mano cuando sujetamos una rueda de bicicleta y tratamos de hacerla girar alrededor de un eje perpendicular al eje de giro. Como se muestra en la Figura 11.22, la persona aplica fuerzas perpendiculares al eje de giro en un intento por hacer girar la rueda, pero en su lugar, el eje de la rueda comienza a cambiar de dirección hacia la izquierda de la persona debido al torque aplicado.

En la Figura a, una mujer, de cara al espectador, sostiene por el eje una rueda de bicicleta de radio r. La rueda está de forma que la velocidad angular omega y el momento angular L están a lo largo de su eje de rotación, a la izquierda de la persona (a la derecha del espectador). Es decir, el movimiento de la rueda es tal que su parte inferior se mueve hacia la persona (hacia la página.) La dirección de la fuerza F aplicada por su mano izquierda se muestra hacia abajo y la de su mano derecha, hacia arriba. El torque tau es hacia la persona (hacia la página.) En la Figura b, se muestra la suma de dos vectores L y delta-L, en paralelo al torque tau. La resultante de los dos vectores se denomina L más delta L. El sentido de rotación, omega sub p, es contrario a las agujas del reloj, visto desde arriba.
Figura 11.22 (a) Una persona que sostiene la rueda de bicicleta la levanta con su mano derecha y empuja hacia abajo con su mano izquierda en un intento por hacerla girar. Esta acción crea un torque directamente hacia la persona. Este torque provoca un cambio en el momento angular Δ L Δ L en exactamente la misma dirección. (b) Un diagrama vectorial que representa cómo Δ L y L Δ L y L sumar, lo que produce un nuevo momento angular que apunta más hacia la persona. La rueda se mueve hacia la persona, perpendicular a las fuerzas que ejerce sobre la rueda.

Todos sabemos lo fácil que es que una bicicleta se vuelque cuando se está sentado en ella en reposo. Sin embargo, cuando se conduce la bicicleta a buen ritmo, volcarse implica cambiar el vector de momento angular de las ruedas.

Interactivo

Vea el sobre la precesión del giroscopio para una demostración completa de la precesión de la rueda de bicicleta.

Además, cuando se pone un disco giratorio en una caja como la de un reproductor de Blu-Ray, se intenta moverlo. Es fácil trasladar la caja en una dirección determinada, pero es difícil hacerla girar en torno a un eje perpendicular al eje del disco giratorio, ya que estamos ejerciendo un torque sobre la caja que provocará la precesión del vector momento angular del disco giratorio.

Podemos calcular la tasa de precesión de la peonza en laFigura 11.21. En la Figura 11.21, vemos que la magnitud del torque es

τ=rMgsenθ.τ=rMgsenθ.

Así,

dL=rMgsenθdt.dL=rMgsenθdt.

El ángulo de precesión de la peonza en el tiempo dt es

dϕ=dLLsenθ=rMgsenθLsenθdt=rMgLdt.dϕ=dLLsenθ=rMgsenθLsenθdt=rMgLdt.

La velocidad angular de precesión es ωP=dϕdtωP=dϕdt y de esta ecuación vemos que

ωP=rMgL.o, dado queL=Iω,ωP=rMgL.o, dado queL=Iω,
ωP=rMgIω.ωP=rMgIω.
11.12

En esta derivación, asumimos que ωPω,ωPω, es decir, que la velocidad angular de precesión es mucho menor que la velocidad angular del disco del giroscopio. La velocidad angular de precesión añade un pequeña componente al momento angular a lo largo del eje zz. Esto se traduce en un ligero balanceo hacia arriba y hacia abajo, a medida que el giroscopio precesa, lo que se denomina nutación.

La propia Tierra actúa como un gigantesco giroscopio. Su momento angular se encuentra a lo largo de su eje y actualmente apunta a Polaris, la Estrella Polar. Sin embargo, la Tierra precesa lentamente (una vez cada 26.000 años aproximadamente) debido al torque del Sol y de la Luna sobre su forma no esférica.

Ejemplo 11.10

Período de precesión

Un giroscopio gira con su punta en el suelo y con una resistencia a la fricción que es despreciable. El disco del giroscopio tiene una masa de 0,3 kg y gira a 20 rev/s. Su centro de masa está a 5,0 cm del pivote y el radio del disco es de 5,0 cm. ¿Cuál es el periodo de precesión del giroscopio?

Estrategia

Utilizamos la Ecuación 11.12 para calcular la velocidad angular precesional del giroscopio. Esto nos permite hallar el periodo de precesión.

Solución

El momento de inercia del disco es
I=12mr2=12(0,30kg)(0,05m)2=3,75×10−4kg·m2.I=12mr2=12(0,30kg)(0,05m)2=3,75×10−4kg·m2.

La velocidad angular del disco es

20,0rev/s=20,0(2π)rad/s=125,66rad/s.20,0rev/s=20,0(2π)rad/s=125,66rad/s.

Ahora podemos sustituir en la Ecuación 11.12. La velocidad angular de precesión es

ωP=rMgIω=(0,05m)(0,3kg)(9,8m/s2)(3,75×10−4kg·m2)(125,66rad/s)=3,12rad/s.ωP=rMgIω=(0,05m)(0,3kg)(9,8m/s2)(3,75×10−4kg·m2)(125,66rad/s)=3,12rad/s.

El periodo de precesión del giroscopio es

TP=2π3,12rad/s=2,0s.TP=2π3,12rad/s=2,0s.

Importancia

La frecuencia angular de precesión del giroscopio, 3,12 rad/s, o sea, unas 0,5 rev/s, es mucho menor que la velocidad angular 20 rev/s del disco del giroscopio. Por lo tanto, no esperamos que surja un gran componente del momento angular debido a la precesión, y la Ecuación 11.12 es una buena aproximación de la velocidad angular de precesión.

Compruebe Lo Aprendido 11.5

Una peonza tiene una frecuencia de precesión de 5,0 rad/s en la Tierra. ¿Cuál es su frecuencia de precesión en la Luna?

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