11.4 Precesión de un giroscopio

En la Figura 11.19 se muestra un giroscopio, definido como un disco giratorio en el que el eje de rotación adopta libremente cualquier orientación. Al girar, la orientación del eje de rotación no resulta afectada por la orientación del cuerpo que lo encierra. La carrocería o el vehículo que encierra el giroscopio puede moverse de un lugar a otro y la orientación del eje de giro seguirá siendo la misma. Esto hace que los giroscopios sean muy útiles en la navegación, especialmente cuando no se pueden utilizar brújulas magnéticas, como en las naves espaciales pilotadas y no pilotadas, los misiles balísticos intercontinentales, los vehículos aéreos no tripulados y los satélites como el telescopio espacial Hubble.

Figura 11.19 Un giroscopio consiste en un disco que gira en torno a un eje, el cual adopta libremente cualquier orientación.

En las dos figuras siguientes ilustramos la precesión de un giroscopio con un ejemplo de la peonza. Si la peonza se coloca en una superficie plana cerca de la superficie de la Tierra en un ángulo con respecto a la vertical y no gira, se caerá. Esto se debe a que la fuerza de la gravedad produce un torque que actúa sobre su centro de masa. Esto se muestra en la Figura 11.20(a). Sin embargo, si la peonza gira sobre su eje, en lugar de volcarse debido a este torque, precesa en torno a la vertical, como se muestra en la parte (b) de la figura. Esto se debe al torque en el centro de masa, que proporciona el cambio en el momento angular.

Figura 11.20 (a) Si la peonza no gira, hay un torque $\overrightarrow{r}\times M\overrightarrow{g}$ en torno al origen, y la peonza se cae. (b) Si la peonza gira en torno a su eje $O{O}^{\prime },$ no se cae, sino que precesa en torno al eje z.

La Figura 11.21 muestra las fuerzas que actúan sobre una peonza. El torque producido es perpendicular al vector de momento angular. Esto cambia la dirección del vector de momento angular $\overrightarrow{L}$ según $d\overrightarrow{L}=\overrightarrow{\tau }dt,$ pero no su magnitud. La peonza precesa alrededor de un eje vertical, ya que el torque es siempre horizontal y perpendicular a $\overrightarrow{L}$. Si la peonza no gira, adquiere un momento angular en la dirección del torque, y rota alrededor de un eje horizontal, para caer tal y como cabría esperar.

Figura 11.21 La fuerza de gravedad que actúa sobre el centro de masa produce un torque $\overrightarrow{\tau }$ en dirección perpendicular a $\overrightarrow{L}.$ La magnitud de $\overrightarrow{L}$ no cambia, pero sí su dirección, y la peonza precesa en torno al eje z.

Podemos experimentar este fenómeno de primera mano cuando sujetamos una rueda de bicicleta y tratamos de hacerla girar alrededor de un eje perpendicular al eje de giro. Como se muestra en la Figura 11.22, la persona aplica fuerzas perpendiculares al eje de giro en un intento por hacer girar la rueda, pero en su lugar, el eje de la rueda comienza a cambiar de dirección hacia la izquierda de la persona debido al torque aplicado.

Figura 11.22 (a) Una persona que sostiene la rueda de bicicleta la levanta con su mano derecha y empuja hacia abajo con su mano izquierda en un intento por hacerla girar. Esta acción crea un torque directamente hacia la persona. Este torque provoca un cambio en el momento angular $\text{Δ}\overrightarrow{L}$ en exactamente la misma dirección. (b) Un diagrama vectorial que representa cómo $\text{Δ}\overrightarrow{L}\text{y}\overrightarrow{L}$ sumar, lo que produce un nuevo momento angular que apunta más hacia la persona. La rueda se mueve hacia la persona, perpendicular a las fuerzas que ejerce sobre la rueda.

Todos sabemos lo fácil que es que una bicicleta se vuelque cuando se está sentado en ella en reposo. Sin embargo, cuando se conduce la bicicleta a buen ritmo, volcarse implica cambiar el vector de momento angular de las ruedas.

Además, cuando se pone un disco giratorio en una caja como la de un reproductor de Blu-Ray, se intenta moverlo. Es fácil trasladar la caja en una dirección determinada, pero es difícil hacerla girar en torno a un eje perpendicular al eje del disco giratorio, ya que estamos ejerciendo un torque sobre la caja que provocará la precesión del vector momento angular del disco giratorio.

Podemos calcular la tasa de precesión de la peonza en laFigura 11.21. En la Figura 11.21, vemos que la magnitud del torque es

Así,

El ángulo de precesión de la peonza en el tiempo dt es

La velocidad angular de precesión es ${\omega }_P=\frac{d\varphi }{dt}$ y de esta ecuación vemos que

En esta derivación, asumimos que ${\omega }_P\ll \omega ,$ es decir, que la velocidad angular de precesión es mucho menor que la velocidad angular del disco del giroscopio. La velocidad angular de precesión añade un pequeña componente al momento angular a lo largo del eje $z$. Esto se traduce en un ligero balanceo hacia arriba y hacia abajo, a medida que el giroscopio precesa, lo que se denomina nutación.

La propia Tierra actúa como un gigantesco giroscopio. Su momento angular se encuentra a lo largo de su eje y actualmente apunta a Polaris, la Estrella Polar. Sin embargo, la Tierra precesa lentamente (una vez cada 26.000 años aproximadamente) debido al torque del Sol y de la Luna sobre su forma no esférica.