Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidad
Logo de OpenStax
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Describir la naturaleza vectorial del momento angular.
  • Encontrar el momento angular total y el torque alrededor de un origen designado de un sistema de partículas.
  • Calcular el momento angular de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo.
  • Calcular el torque de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo.
  • Utilizar la conservación del momento angular en el análisis de objetos que cambian su tasa de rotación.

¿Por qué la Tierra gira? ¿Qué fue lo que hizo que empezara a girar? ¿Por qué la atracción gravitacional de la Tierra no hace que la Luna se estrelle contra la Tierra? ¿Cómo consigue una patinadora de hielo girar cada vez más rápido simplemente poniendo los brazos contra su cuerpo? ¿Por qué no tiene que ejercer un torque para girar más rápido?

Este tipo de preguntas tienen respuestas basadas en el momento angular, el análogo rotacional del momento lineal. En este capítulo, primero definimos y luego exploramos el momento angular desde diversos puntos de vista. Sin embargo, primero investigamos el momento angular de una sola partícula. Esto nos permite desarrollar el momento angular para un sistema de partículas y para un cuerpo rígido con simetría cilíndrica.

Momento angular de una sola partícula

La Figura 11.9 muestra una partícula en una posición rr con un momento lineal p=mvp=mv con respecto al origen. Aunque la partícula no gire en torno al origen, aun así, podemos definir el momento angular en términos del vector de posición y del momento lineal.

Momento angular de una partícula

El momento angular ll de una partícula se define como el producto cruz de rr y pp, y es perpendicular al plano que contiene a rr y p:p:

l=r×p.l=r×p.
11.5
Se muestra un sistema de coordenadas x y z en el que la x apunta hacia afuera de la página, la y apunta hacia la derecha y la z apunta hacia arriba. El vector r apunta desde el origen hasta un punto del plano x y, en el primer cuadrante. El vector apunta desde la punta del vector r, en un ángulo de theta en sentido contrario al de la dirección del vector r, visto desde arriba. Los vectores r y p están en el plano x y. El vector l apunta hacia arriba, y es perpendicular al plano x y, en consonancia con la regla de la mano derecha. Cuando la mano derecha tiene los dedos curvados en sentido contrario de las agujas del reloj, visto desde arriba, el pulgar apunta hacia arriba, en la dirección de l. También se nos muestran los componentes del vector r paralelos y perpendiculares al vector p. El vector r sub perpendicular es la proyección del vector r perpendicular a la dirección del vector p.
Figura 11.9 En el espacio tridimensional, el vector de posición r r localiza una partícula en el plano xy con un momento lineal p p . El momento angular con respecto al origen es l = r × p l = r × p , que está en la dirección de la z. La dirección de l l está dada por la regla de la mano derecha, como se muestra.

La intención de elegir la dirección del momento angular para que sea perpendicular al plano que contiene a rr y pp es similar a la elección de la dirección del torque para que sea perpendicular al plano de ryF,ryF, como se ha analizado en Rotación de eje fijo. La magnitud del momento angular se encuentra a partir de la definición del producto cruz,

l=rpsenθ,l=rpsenθ,

donde θθ es el ángulo entre rr y p.p. Las unidades de momento angular son kg·m2/skg·m2/s.

Al igual que con la definición del torque, podemos definir un brazo de palanca rr que es la distancia perpendicular del vector de momento pp al origen, r=rsenθ.r=rsenθ. Con esta definición, la magnitud del momento angular se convierte en

l=rp=rmv.l=rp=rmv.

Vemos que, si la dirección de pp es tal que pasa por el origen, entonces θ=0,θ=0, y el momento angular es cero porque el brazo de palanca es cero. En este sentido, la magnitud del momento angular depende de la elección del origen.

Si tomamos la derivada de tiempo del momento angular, llegamos a una expresión para el torque en la partícula:

dldt=drdt×p+r×dpdt=v×mv+r×dpdt=r×dpdt.dldt=drdt×p+r×dpdt=v×mv+r×dpdt=r×dpdt.

Aquí hemos utilizado la definición de pp y el hecho de que un vector cruzado en sí mismo es cero. A partir de la segunda ley de Newton, dpdt=F,dpdt=F, la fuerza neta que actúa sobre la partícula, y la definición del torque neto, podemos escribir

dldt=τ.dldt=τ.
11.6

Observe la similitud con el resultado lineal de la segunda ley de Newton, dpdt=Fdpdt=F. La siguiente estrategia de resolución de problemas sirve para calcular el momento angular de una partícula.

Estrategia de Resolución De Problemas

Momento angular de una partícula

  1. Elija un sistema de coordenadas sobre el que se va a calcular el momento angular.
  2. Escriba vector del radio a la partícula puntual en notación vectorial unitaria.
  3. Escriba el vector de momento lineal de la partícula en notación vectorial unitaria.
  4. Tome el producto cruz l=r×pl=r×p y utilice la regla de la mano derecha para establecer la dirección del vector de momento angular.
  5. Compruebe si hay dependencia temporal en la expresión del vector de momento angular. Si la hay, entonces existe un torque en torno al origen, y utilice dldt=τdldt=τ para calcular el torque. Si no hay dependencia temporal en la expresión del momento angular, entonces el torque neto es cero.

Ejemplo 11.4

Momento angular y torque en un meteorito

Un meteorito entra en la atmósfera del planeta (Figura 11.10) y alguien lo observa desde la Tierra antes de que se queme en la atmósfera. El vector r=25kmi^+25kmj^r=25kmi^+25kmj^ da la posición del meteorito con respecto al observador. En el momento en que el observador ve el meteorito, este tiene un momento lineal p=15,0kg(−2,0km/sj^)p=15,0kg(−2,0km/sj^), y se acelera a una constante de 2,0m/s2(-j^)2,0m/s2(-j^) a lo largo de su trayectoria, que para nuestros propósitos puede tomarse como una línea recta: (a) ¿Cuál es el momento angular del meteorito en torno al origen, que se encuentra en la ubicación del observador? (b) ¿Cuál es el torque del meteorito en torno al origen?
Se muestra un sistema de coordenadas x y, con la x positiva hacia la derecha, a lo largo del suelo, y la y positiva verticalmente hacia arriba. Se muestra un observador cerca del origen. Se muestra un vector r desde el origen hasta un meteorito en grandes coordenadas de la x positiva y de la y positiva. El vector p en la ubicación del meteorito apunta hacia abajo.
Figura 11.10 Un observador en tierra ve un meteorito en la posición r r con un momento lineal p p .

Estrategia

Resolvemos la aceleración en componentes x y y, y utilizamos las ecuaciones cinemáticas para expresar la velocidad en función de la aceleración y el tiempo. Insertamos estas expresiones en el momento lineal y luego calculamos el momento angular con el producto cruz. Dado que los vectores de posición y momento están en el plano xy, esperamos que el vector de momento angular esté a lo largo del eje de la z. Para encontrar el torque, tomamos la derivada de tiempo del momento angular.

Solución

El meteorito entra en la atmósfera terrestre en un ángulo de 90,0°90,0° por debajo de la horizontal, por lo que los componentes de la aceleración en las direcciones de la x y la y son
ax=0,ay=−2,0m/s2.ax=0,ay=−2,0m/s2.

Escribimos las velocidades con las ecuaciones cinemáticas.

vx=0,vy=−2,0×103m/s-(2,0m/s2)t.vx=0,vy=−2,0×103m/s-(2,0m/s2)t.
  1. El momento angular es
    l=r×p=(25,0kmi^+25,0kmj^)×15,0kg(0i^+vyj^)=15,0kg[25,0km(vy)k^]=15,0kg[2,50×104m(−2,0×103m/s-(2,0m/s2)t)k^].l=r×p=(25,0kmi^+25,0kmj^)×15,0kg(0i^+vyj^)=15,0kg[25,0km(vy)k^]=15,0kg[2,50×104m(−2,0×103m/s-(2,0m/s2)t)k^].
    En t=0t=0, el momento angular del meteorito en torno al origen es
    l0=15,0kg[2,50×104m(−2,0×103m/s)k^]=7,50×108kg·m2/s(-k^).l0=15,0kg[2,50×104m(−2,0×103m/s)k^]=7,50×108kg·m2/s(-k^).
    Este es el instante en que el observador ve el meteorito.
  2. Para encontrar el torque, tomamos la derivada de tiempo del momento angular. Tomando la derivada de tiempo de ll en función del tiempo, que es la segunda ecuación inmediatamente anterior, tenemos
    dldt=−15,0kg(2,50×104m)(2,0m/s2)k^.dldt=−15,0kg(2,50×104m)(2,0m/s2)k^.
    Luego, dado que dldt=τdldt=τ, tenemos
    τ=-7.5×105N·mk^.τ=-7.5×105N·mk^.
    Las unidades de torque se indican en newton-metros, que no deben confundirse con los julios. A modo de comprobación, observamos que el brazo de palanca es el componente x del vector rr en la Figura 11.10, ya que es perpendicular a la fuerza que actúa sobre el meteorito, que está a lo largo de su trayectoria. Por la segunda ley de Newton, esta fuerza es
    F=ma(-j^)=15,0kg(2,0m/s2)(-j^)=30,0kg·m/s2(-j^).F=ma(-j^)=15,0kg(2,0m/s2)(-j^)=30,0kg·m/s2(-j^).
    El brazo de palanca es
    r=2,5×104mi^.r=2,5×104mi^.
    Así, el torque es
    τ=r×F=(2,5×104mi^)×(−30,0kg·m/s2j^),=7,5×105N·m(-k^).τ=r×F=(2,5×104mi^)×(−30,0kg·m/s2j^),=7,5×105N·m(-k^).

Importancia

Dado que el meteorito acelera hacia la Tierra, su radio y su vector de velocidad cambian. Por lo tanto, dado que l=r×pl=r×p, el momento angular cambia como función del tiempo. Sin embargo, el torque del meteorito en torno al origen es constante, porque el brazo de palanca rr y la fuerza sobre el meteorito son constantes. Este ejemplo es importante porque ilustra que el momento angular depende de la elección del origen sobre el que se calcula. Los métodos utilizados en este ejemplo también son importantes para desarrollar el momento angular para un sistema de partículas y para un cuerpo rígido.

Compruebe Lo Aprendido 11.2

Un protón que gira alrededor de un campo magnético ejecuta un movimiento circular en el plano del papel, como se muestra a continuación. La trayectoria circular tiene un radio de 0,4 m y el protón tiene una velocidad 4,0×106m/s4,0×106m/s. ¿Cuál es el momento angular del protón respecto al origen?

Un protón se mueve en un círculo en sentido contrario de las agujas del reloj. El círculo tiene un radio r. El protón se muestra cuando está a la derecha del centro del círculo, y su velocidad es v sub perpendicular en la dirección de la y positiva, hacia arriba.

Momento angular de un sistema de partículas

El momento angular de un sistema de partículas es importante en muchas disciplinas científicas, una de ellas la astronomía. Consideremos una galaxia espiral, una isla de estrellas en rotación como nuestra Vía Láctea. Cada una de las estrellas puede tratarse como partículas puntuales, cada una de las cuales tiene su propio momento angular. La suma vectorial de cada uno de los momentos angulares da el total de la galaxia. En esta sección, desarrollamos las herramientas con las que podemos calcular el momento angular total de un sistema de partículas.

En la sección anterior, hemos introducido el momento angular de una sola partícula acerca de un origen designado. La expresión de este momento angular es l=r×p,l=r×p, donde el vector rr es desde el origen hasta la partícula, y pp es el momento lineal de la partícula. Si tenemos un sistema de N partículas, cada una con un vector de posición desde el origen dado por riri y cada uno con un momento pi,pi, entonces el momento angular total del sistema de partículas en torno al origen es la suma vectorial de cada uno de los momentos angulares en torno al origen. Esto es,

L=l1+l2++lN.L=l1+l2++lN.
11.7

Del mismo modo, si la partícula i está sometida a un torque neto τiτi en torno al origen, entonces podemos encontrar el torque neto debido al sistema de partículas al diferenciar la Ecuación 11.7:

dLdt=idlidt=iτi.dLdt=idlidt=iτi.

La suma de cada uno de los torques produce un torque externo neto en el sistema, que designamos τ.τ. Así,

dLdt=τ.dLdt=τ.
11.8

La Ecuación 11.8 afirma que la tasa de cambio del momento angular total de un sistema es igual al torque externo neto que actúa sobre el sistema cuando ambas cantidades se miden con respecto a un origen determinado. La Ecuación 11.8 se aplica a cualquier sistema que tenga momento angular neto, incluidos los cuerpos rígidos, como se analiza en la siguiente sección.

Ejemplo 11.5

Momento angular de tres partículas

Refiriéndose a la Figura 11.11(a), determine el momento angular total debido a las tres partículas en torno al origen. (b) ¿Cuál es la tasa de cambio del momento angular?
Se muestran tres partículas en el plano x y con diferentes vectores de posición y momento. Los ejes de la x y la y muestran la posición en metros y tienen un rango de -4,0 a 4,0 metros. La partícula 1 está en la x=-2,0 metros y la y=1,0 metros, m sub 1 es igual a 2,0 kilogramos, v sub 1 es 4,0 por el vector j metros por segundo, hacia arriba, y F sub 1 es -6,0 por el vector i Newtons hacia la izquierda. La partícula 2 está en la x=4,0 metros y la y=1,0 metros, m sub 2 es igual a 4,0 kilogramos, v sub 2 es 5,0 por el vector i metros por segundo, hacia la derecha, y F sub 2 es 10,0 por el vector j Newtons hacia arriba. La partícula 3 está en la x=2,0 metros y la y=-2,0 metros, m sub 3 es igual a 1,0 kilogramos, v sub 3 es 3,0 por el vector i metros por segundo, hacia la derecha, y F sub 3 es -8,0 por el vector j Newtons hacia abajo.
Figura 11.11 Tres partículas en el plano xy con diferentes vectores de posición y momento.

Estrategia

Escriba los vectores de posición y momento de las tres partículas. Calcule cada uno de los momentos angulares y súmelos como vectores para hallar el momento angular total. Luego haga lo mismo para los torques.

Solución

  1. Partícula 1: r1=−2,0mi^+1,0mj^,p1=2,0kg(4,0m/sj^)=8,0kg·m/sj^,r1=−2,0mi^+1,0mj^,p1=2,0kg(4,0m/sj^)=8,0kg·m/sj^,
    l1=r1×p1=−16,0kg·m2/sk^.l1=r1×p1=−16,0kg·m2/sk^.
    Partícula 2: r2=4,0mi^+1,0mj^,p2=4,0kg(5,0m/si^)=20,0kg·m/si^r2=4,0mi^+1,0mj^,p2=4,0kg(5,0m/si^)=20,0kg·m/si^,
    l2=r2×p2=−20,0kg·m2/sk^.l2=r2×p2=−20,0kg·m2/sk^.
    Partícula 3: r3=2,0mi^-2,0mj^,p3=1,0kg(3,0m/si^)=3,0kg·m/si^r3=2,0mi^-2,0mj^,p3=1,0kg(3,0m/si^)=3,0kg·m/si^,
    l3=r3×p3=6,0kg·m2/sk^.l3=r3×p3=6,0kg·m2/sk^.
    Sumamos cada uno de los momentos angulares para hallar el total en torno al origen:
    lT=l1+l2+l3=−30kg·m2/sk^.lT=l1+l2+l3=−30kg·m2/sk^.
  2. Las fuerzas individuales y los brazos de palanca son
    r1=1,0mj^,F1=−6,0Ni^,τ1=6,0N·mk^ r2=4,0mi^,F2=10,0Nj^,τ2=40,0N·mk^ r3=2,0mi^,F3=−8,0Nj^,τ3=−16,0N·mk^.r1=1,0mj^,F1=−6,0Ni^,τ1=6,0N·mk^ r2=4,0mi^,F2=10,0Nj^,τ2=40,0N·mk^ r3=2,0mi^,F3=−8,0Nj^,τ3=−16,0N·mk^.
    Por lo tanto:
    iτi=τ1+τ2+τ3=30N·mk^.iτi=τ1+τ2+τ3=30N·mk^.

Importancia

Este ejemplo ilustra el principio de superposición para el momento angular y el torque de un sistema de partículas. Hay que tener cuidado al evaluar los vectores de radio riri de las partículas para calcular los momentos angulares, y los brazos de palanca, riri para calcular los torques, ya que son cantidades completamente diferentes.

Momento angular de un cuerpo rígido

Hemos investigado el momento angular de una sola partícula, que hemos generalizado a un sistema de partículas. Ahora podemos utilizar los principios analizados en la sección anterior para desarrollar el concepto de momento angular de un cuerpo rígido. Los objetos celestes, como los planetas, tienen momento angular debido a su giro y a sus órbitas alrededor de las estrellas. En ingeniería, todo lo que está en rotación en torno a un eje conlleva un momento angular, como los volantes de inercia, las hélices y las piezas rotativas de los motores. El conocimiento del momento angular de estos objetos es crucial para el diseño del sistema del que forman parte.

Para desarrollar el momento angular de un cuerpo rígido, modelamos un cuerpo rígido como si estuviera formado por pequeños segmentos de masa, Δmi.Δmi. En la Figura 11.12, un cuerpo rígido está obligado a rotar alrededor del eje de la z con una velocidad angular ωω. Todos los segmentos de masa que componen el cuerpo rígido experimentan un movimiento circular alrededor del eje de la z con la misma velocidad angular. La parte (a) de la figura muestra el segmento de masa ΔmiΔmi con vector de posición riri desde el origen y radio RiRi al eje de la z. La magnitud de su velocidad tangencial es vi=Riωvi=Riω. Ya que los vectores viyriviyri son perpendiculares entre sí, la magnitud del momento angular de este segmento de masa es

li=ri(Δmvi)sen90°.li=ri(Δmvi)sen90°.
La Figura a muestra un objeto con forma de pomo y un sistema de coordenadas x y z. El objeto está dispuesto verticalmente y centrado en el eje de la z, con el pomo ancho en la parte superior. El objeto está en rotación alrededor del eje de la z, en sentido contrario de las agujas del reloj visto desde arriba, con una velocidad angular omega. Se resalta una pequeña parte del objeto. Este segmento de masa, marcado como delta m sub i, está situado en el vector r sub i, se mueve con el vector de velocidad v sub i, y traza un círculo de radio R sub i en sentido contrario de las agujas del reloj. El vector r sub i se extiende desde el origen hasta el segmento de masa y hace un ángulo de theta sub i con el eje de la z. El vector v sub i es tangente a la circunferencia trazada por el segmento de masa. La Figura b muestra el sistema de coordenadas x y y el segmento de masa. Los vectores r sub i y v sub i se muestran de nuevo, así como el ángulo theta sub i entre el vector r sub i y el eje de la z. También se muestra el vector de momento angular del segmento de masa, el vector l sub i. El vector l sub i es perpendicular tanto a r como a v, según la regla de la mano derecha, y tiene un componente z hacia arriba, mostrado en el diagrama y marcado como l sub i z. El lado restante del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es l sub i y el lado vertical es l sub i z se muestra como una línea discontinua. El ángulo adyacente a este lado, y opuesto al lado vertical l sub i z, es theta sub i.
Figura 11.12 (a) Un cuerpo rígido está obligado a rotar alrededor del eje de la z. El cuerpo rígido es simétrico respecto al eje de la z. Un segmento de masa Δ m i Δ m i se encuentra en la posición r i , r i , que forma un ángulo θ i θ i con respecto al eje de la z. Se muestra el movimiento circular de un segmento de masa infinitesimal. (b) l i l i es el momento angular del segmento de masa y tiene un componente a lo largo del eje de la z ( l i ) z ( l i ) z .

Utilizando la regla de la mano derecha, el vector momento angular apunta en la dirección indicada en la parte (b). La suma de los momentos angulares de todos los segmentos de masa contiene componentes tanto a lo largo como perpendiculares al eje de rotación. Cada segmento de masa tiene un componente perpendicular del momento angular que cancelará el componente perpendicular de un segmento de masa idéntico en el lado opuesto del cuerpo rígido, porque es cilíndricamente simétrico. Así, el componente a lo largo del eje de rotación es el único componente que da un valor diferente de cero cuando se suma sobre todos los segmentos de masa. De la parte (b), el componente de lili a lo largo del eje de rotación es

(li)z=lisenθi=(riΔmivi)senθi,=(risenθi)(Δmivi)=RiΔmivi.(li)z=lisenθi=(riΔmivi)senθi,=(risenθi)(Δmivi)=RiΔmivi.

El momento angular neto del cuerpo rígido a lo largo del eje de rotación es

L=i(li)z=iRiΔmivi=iRiΔmi(Riω)=ωiΔmi(Ri)2.L=i(li)z=iRiΔmivi=iRiΔmi(Riω)=ωiΔmi(Ri)2.

La sumatoria iΔmi(Ri)2iΔmi(Ri)2 es simplemente el momento de inercia I del cuerpo rígido alrededor del eje de rotación. Para un aro delgado que rota alrededor de un eje perpendicular al plano del aro, todos los RiRi son iguales a R, por lo que la sumatoria se reduce a R2iΔmi=mR2,R2iΔmi=mR2, que es el momento de inercia para un aro delgado que se encuentra en la Figura 10.20. Así, la magnitud del momento angular a lo largo del eje de rotación de un cuerpo rígido que rota a velocidad angular ωω alrededor del eje es

L=Iω.L=Iω.
11.9

Esta ecuación es análoga a la magnitud del momento lineal p=mvp=mv. La dirección del vector de momento angular se dirige a lo largo del eje de rotación dado por la regla de la mano derecha.

Ejemplo 11.6

Momento angular de un brazo robótico

El brazo robótico de un explorador de Marte como el Curiosity, que se muestra en la Figura 11.8, mide 1,0 m de largo y tiene pinzas en el extremo libre para recoger rocas. La masa del brazo es de 2,0 kg y la de las pinzas es de 1,0 kg. Vea la Figura 11.13. El brazo del robot y las pinzas se mueven desde el reposo a ω=0,1πrad/sω=0,1πrad/s en 0,1 s. Rota hacia abajo y recoge una roca de Marte que tiene una masa de 1,5 kg. El eje de rotación es el punto en el que el brazo robótico se conecta al explorador. (a) ¿Cuál es el momento angular del brazo robótico por sí mismo en torno al eje de rotación después de 0,1 s cuando el brazo deja de acelerar? (b) ¿Cuál es el momento angular del brazo robótico cuando tiene la roca de Marte en sus pinzas y rota hacia arriba? (c) Cuando el brazo no tiene ninguna roca en las pinzas, ¿cuál es el torque en torno al punto en el que el brazo se conecta al explorador cuando acelera desde el reposo hasta su velocidad angular final?
Ilustración del explorador de Marte. Un brazo con una garra en el extremo se extiende desde un extremo del explorador y puede rotar hacia arriba y hacia abajo para recoger una roca. El eje de rotación es el punto en el que el brazo del robot se conecta al explorador.
Figura 11.13 Un brazo robótico de un explorador de Marte se balancea hacia abajo y recoge una roca de Marte (créditos: modificación de un trabajo de la NASA / JPL-Caltech).

Estrategia

Utilizamos la Ecuación 11.9 para hallar el momento angular en las distintas configuraciones. Cuando el brazo rota hacia abajo, la regla de la mano derecha da el vector de momento angular dirigido hacia afuera de la página, que llamaremos la dirección de la z positiva. Cuando el brazo rota hacia arriba, la regla de la mano derecha da la dirección del vector de momento angular hacia la página o en la dirección de la z negativa. El momento de inercia es la suma de cada uno de los momentos de inercia. Se puede aproximar el brazo con una varilla sólida, mientras que las pinzas y la roca de Marte pueden tomarse como masas puntuales, situadas a una distancia de 1 m desde el origen. En la parte (c), utilizamos la segunda ley del movimiento de Newton para la rotación con el fin de hallar el torque en el brazo del robot.

Solución

  1. Anotando cada uno de los momentos de inercia, tenemos:
    Brazo de robot: IR=13mRr2=13(2,00kg)(1,00m)2=23kg·m2.IR=13mRr2=13(2,00kg)(1,00m)2=23kg·m2.
    Pinzas: IF=mFr2=(1,0kg)(1,0m)2=1,0kg·m2.IF=mFr2=(1,0kg)(1,0m)2=1,0kg·m2.
    Roca de Marte: IMR=mMRr2=(1,5kg)(1,0m)2=1,5kg·m2.IMR=mMRr2=(1,5kg)(1,0m)2=1,5kg·m2.
    Por lo tanto, sin la roca de Marte, el momento de inercia total es
    ITotal=IR+IF=1,67kg·m2ITotal=IR+IF=1,67kg·m2
    y la magnitud del momento angular es
    L=Iω=1,67kg·m2(0,1πrad/s)=0,17πkg·m2/s.L=Iω=1,67kg·m2(0,1πrad/s)=0,17πkg·m2/s.
    El vector de momento angular se dirige hacia afuera de la página en la dirección k^k^, ya que el brazo del robot rota en sentido contrario de las agujas del reloj.
  2. Debemos incluir la roca de Marte en el cálculo del momento de inercia, por lo que tenemos
    ITotal=IR+IF+IMR=3,17kg·m2ITotal=IR+IF+IMR=3,17kg·m2
    y
    L=Iω=3,17kg·m2(0,1πrad/s)=0,32πkg·m2/s.L=Iω=3,17kg·m2(0,1πrad/s)=0,32πkg·m2/s.
    Ahora el vector de momento angular se dirige hacia la página en la dirección -k^-k^, por la regla de la mano derecha, ya que el brazo del robot ahora rota en el sentido de las agujas del reloj.
  3. Hallamos el torque cuando el brazo no tiene la roca al tomar la derivada del momento angular con la Ecuación 11.8 dLdt=τ.dLdt=τ. Sin embargo, dado que L=IωL=Iω, y en el entendido de que la dirección de los vectores de momento angular y de torque son a lo largo del eje de rotación, podemos suprimir la notación vectorial y encontrar
    dLdt=d(Iω)dt=Idωdt=Iα= τ,dLdt=d(Iω)dt=Idωdt=Iα= τ,
    que es la segunda ley de Newton para la rotación. Dado que α=0,1πrad/s0,1s=πrad/s2α=0,1πrad/s0,1s=πrad/s2, podemos calcular el torque neto:
    τ=Iα=1,67kg·m2(πrad/s2)=1,67πN·m. τ=Iα=1,67kg·m2(πrad/s2)=1,67πN·m.

Importancia

El momento angular en (a) es menor que el de (b) debido a que el momento de inercia en (b) es mayor que en (a), mientras que la velocidad angular es la misma.

Compruebe Lo Aprendido 11.3

¿Qué tiene mayor momento angular: una esfera sólida de masa m que está en rotación a una frecuencia angular constante ω0ω0 en torno al eje de la z, o un cilindro sólido de la misma masa y tasa de rotación en torno al eje de la z?

Interactivo

Visite la simulación interactiva del momento angular de la Universidad de Colorado para aprender más sobre el momento angular.

Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro es Creative Commons Attribution License 4.0 y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/f%C3%ADsica-universitaria-volumen-1/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/f%C3%ADsica-universitaria-volumen-1/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 2 sept. 2021 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution License 4.0 license. El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.