Omitir e ir al contenidoIr a la página de accesibilidad
Logo de OpenStax
Física Universitaria Volumen 1

11.1 Movimiento rodadura

Física Universitaria Volumen 111.1 Movimiento rodadura
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Describir la física del movimiento rodadura sin deslizamiento.
  • Explicar cómo se relacionan las variables lineales con las angulares para el caso del movimiento rodadura sin deslizamiento.
  • Hallar la aceleración lineal y angular en el movimiento rodadura con y sin deslizamiento.
  • Calcular la fuerza de fricción estática asociada al movimiento rodadura sin deslizamiento.
  • Utilizar la conservación de energía para analizar el movimiento rodadura.

El movimiento rodadura es esa combinación común de movimiento rotacional y traslacional que vemos en todas partes, todos los días. Piense en las diferentes situaciones de ruedas que se mueven en un auto por una autopista, las ruedas de un avión que aterriza en una pista o las ruedas de un explorador robótico en otro planeta. Comprender las fuerzas y los torques que intervienen en el movimiento rodadura es un factor crucial en muchos tipos de situaciones diferentes.

Para analizar el movimiento rodadura en este capítulo, consulte la Figura 10.20 en Rotación de eje fijo para hallar los momentos de inercia de algunos objetos geométricos comunes. También sirve en otros cálculos que impliquen rotación.

Movimiento rodadura sin deslizamiento

El movimiento rodadura sin deslizamiento se ha observado desde la invención de la rueda. Por ejemplo, podemos observar la interacción de los neumáticos de un auto con la superficie de la carretera. Si el conductor pisa el acelerador hasta el fondo, de manera que los neumáticos giren sin que el auto avance, habrá fricción cinética entre las ruedas y la superficie de la carretera. Si el conductor pisa el acelerador lentamente, haciendo que el auto avance, entonces los neumáticos ruedan sin resbalar. Para la mayoría de la gente es sorprendente que, de hecho, la parte inferior de la rueda esté en reposo con respecto al suelo, lo que indica que debe haber fricción estática entre los neumáticos y la superficie de la carretera. En la Figura 11.2, la bicicleta está en movimiento y el ciclista se mantiene erguido. Los neumáticos están en contacto con la superficie de la carretera y, aunque están rodando, los partes inferiores de los neumáticos se deforman ligeramente, no resbalan y están en reposo con respecto a la superficie de la carretera durante un tiempo medible. Para que esto sea así, deberá haber fricción estática entre el neumático y la superficie de la carretera.

La Figura a es la fotografía de una persona montando en bicicleta. La cámara siguió la bicicleta, por lo que la imagen de la bicicleta y el piloto es nítida, el fondo está borroso debido al movimiento de la bicicleta. La Figura b es la fotografía de una rueda de bicicleta rodando por el suelo, con la cámara inmóvil respecto al suelo. La rueda y los radios están borrosos en la parte superior, pero están claros en la inferior.
Figura 11.2 (a) La bicicleta avanza y sus neumáticos no resbalan. La parte inferior de la rueda ligeramente deformada está en reposo con respecto a la superficie de la carretera durante un tiempo medible. (b) Esta imagen muestra que la parte superior de una rueda rodante aparece borrosa por su movimiento, pero la parte inferior está instantáneamente en reposo (créditos: a. modificación del trabajo de Nelson Lourenço; b. modificación del trabajo de Colin Rose).

Para analizar la rodadura sin deslizamiento, primero derivamos las variables lineales de velocidad y aceleración del centro de masa de la rueda en términos de las variables angulares que describen el movimiento de la rueda. La situación se muestra en la Figura 11.3.

La Figura a muestra un diagrama de cuerpo libre de una rueda, que incluye el lugar donde actúan las fuerzas. Se muestran cuatro fuerzas: M g es una fuerza descendente que actúa en el centro de la rueda. N es una fuerza ascendente que actúa sobre la parte inferior de la rueda. F es una fuerza hacia la derecha, que actúa sobre el centro de la rueda, y f sub s es una fuerza hacia la izquierda que actúa sobre la parte inferior de la rueda. La fuerza f sub s es menor o igual a mu sub s por N. La Figura b es la ilustración de una rueda que rueda sin resbalar sobre una superficie horizontal. El punto P es el punto de contacto entre la parte inferior de la rueda y la superficie. La rueda tiene una rotación en el sentido de las agujas del reloj, una aceleración a la derecha de a sub C M y una velocidad a la derecha de v sub V M. Se dan las relaciones omega igual a v sub C M sobre R y alfa igual a sub C M sobre R. Se muestra un sistema de coordenadas con la x positiva hacia la derecha y la y positiva hacia arriba. La Figura c muestra la rueda en el marco del centro de masa. El punto P tiene un vector de velocidad en la dirección negativa con respecto al centro de masa de la rueda. Ese vector se muestra en el diagrama y se etiqueta como menos R omega por el vector i. Es tangente a la rueda en la parte inferior, y apunta hacia la izquierda. Se muestran otros vectores en varios lugares de la llanta de la rueda, todos ellos tangentes a la rueda y apuntando en el sentido de las agujas del reloj.
Figura 11.3 a) Una rueda es halada sobre una superficie horizontal por una fuerza F F . La fuerza de la fricción estática f s , | f s | μ s N f s , | f s | μ s N es lo suficientemente grande como para evitar que se deslice. (b) Los vectores de velocidad y aceleración lineal del centro de masa y las expresiones pertinentes para ω y α ω y α . El punto P está en reposo respecto a la superficie. (c) Respecto al marco del centro de masa (CM), el punto P tiene una velocidad lineal - R ω i ^ - R ω i ^ .

En la Figura 11.3(a), vemos los vectores de fuerza que intervienen para evitar el deslizamiento de la rueda. En (b), el punto P que toca la superficie está en reposo respecto a la superficie. En relación con el centro de masa, el punto P tiene una velocidad -Rωi^-Rωi^, donde R es el radio de la rueda y ωω es la velocidad angular de la rueda en torno a su eje. Dado que la rueda está rodando, la velocidad de P con respecto a la superficie es su velocidad con respecto al centro de masa más la velocidad del centro de masa con respecto a la superficie:

vP=-Rωi^+vCMi^.vP=-Rωi^+vCMi^.

Dado que la velocidad de P con respecto a la superficie es cero, vP=0vP=0, esto indica que

vCM=Rω.vCM=Rω.
11.1

Así, la velocidad del centro de masa de la rueda es su radio por la velocidad angular alrededor de su eje. Mostramos la correspondencia de la variable lineal en el lado izquierdo de la ecuación con la variable angular en el lado derecho de la ecuación. Esto se hace a continuación para la aceleración lineal.

Si diferenciamos la Ecuación 11.1 en el lado izquierdo de la ecuación, obtenemos una expresión para la aceleración lineal del centro de masa. En el lado derecho de la ecuación, R es una constante y dado que α=dωdt,α=dωdt, tenemos

aCM=Rα.aCM=Rα.
11.2

Además, podemos hallar la distancia que recorre la rueda en términos de variables angulares al consultar la Figura 11.4. Cuando la rueda se mueve desde el punto A hasta el punto B, su superficie exterior se traza en el suelo exactamente por la distancia recorrida, que es dCM.dCM. Vemos en la Figura 11.4 que la longitud de la superficie exterior que se traza en el suelo es la longitud del arco RθRθ. Al igualar las dos distancias, obtenemos

dCM=Rθ.dCM=Rθ.
11.3
Una rueda, de radio R, que rueda sobre una superficie horizontal y se desplaza hacia la derecha a v sub C M se dibuja en dos posiciones. En la primera posición, el punto A de la rueda está en la parte inferior, en contacto con la superficie, y el punto B está en la parte superior. La longitud de arco de A a B a lo largo de la llanta de la rueda está resaltada y marcada como R theta. En la segunda posición, el punto B de la rueda está en la parte inferior, en contacto con la superficie, y el punto A está en la parte superior. La distancia horizontal entre el punto de contacto de la rueda con la superficie en las dos posiciones ilustradas es d sub C M. La longitud de arco A B está ahora en el otro lado de la rueda.
Figura 11.4 A medida que la rueda se mueve sobre la superficie, la longitud del arco R θ R θ de A a B se traza en la superficie, correspondiente a la distancia d CM d CM que el centro de masa se ha movido.

Ejemplo 11.1

Rodar hacia abajo por un plano inclinado

Un cilindro macizo rueda hacia abajo por un plano inclinado sin deslizarse, partiendo del reposo. Tiene masa m y radio r. (a) ¿Cuál es su aceleración? (b) ¿Qué condición debe cumplir el coeficiente de fricción estática μsμs para que el cilindro no se deslice?

Estrategia

Dibuje un esquema y un diagrama de cuerpo libre, y elija un sistema de coordenadas. Ponemos la x en la dirección hacia abajo del plano y la y hacia arriba perpendicular al plano. Identifique las fuerzas implicadas. Se trata de la fuerza normal, la fuerza de gravedad y la fuerza debida a la fricción. Escriba las leyes de Newton en las direcciones de la x y la y, y la ley de Newton para la rotación, y luego resuelva la aceleración y la fuerza debida a la fricción.

Solución

  1. El diagrama de cuerpo libre y el esquema se muestran en la Figura 11.5, incluso la fuerza normal, los componentes del peso y la fuerza de fricción estática. Apenas hay suficiente fricción para que el cilindro siga rodando sin deslizarse. Dado que no hay deslizamiento, la magnitud de la fuerza de fricción es menor o igual a μsNμsN. Al escribir las leyes de Newton en las direcciones de la x y la y, tenemos
    Fx=max; Fy=may. Fx=max; Fy=may.

    Diagrama de un cilindro que rueda hacia abajo sin deslizarse por un plano inclinado y diagrama de cuerpo libre del cilindro. A la izquierda hay una ilustración que muestra el plano inclinado, que forma un ángulo theta con la horizontal. El cilindro se muestra en reposo en la parte superior, y luego se mueve a lo largo de la inclinación cuando está más bajo. A la derecha hay un diagrama de cuerpo libre. El sistema de coordenadas x y está inclinado de manera que la dirección x positiva es paralela al plano inclinado y apunta hacia su parte inferior, y la dirección y positiva es hacia el exterior, perpendicular al plano. Se muestran cuatro fuerzas. N j hat actúa en el centro del cilindro y apunta en la dirección y positiva. m g seno theta i hat actúa en el centro del cilindro y apunta en la dirección x positiva. Menos m g coseno de theta por el vector j actúa en el centro del cilindro y apunta en la dirección de la y negativa. Menos f sub s por el vector i actúa en el punto de contacto y apunta en la dirección de la x negativa.
    Figura 11.5 Un cilindro macizo rueda hacia abajo por un plano inclinado sin deslizarse del reposo. El sistema de coordenadas tiene la x en la dirección hacia abajo del plano inclinado y la y perpendicular al plano. El diagrama de cuerpo libre se muestra con la fuerza normal, la fuerza de fricción estática y los componentes del peso m g m g . La fricción hace que el cilindro ruede hacia abajo por el plano en lugar de deslizarse.

    Sustituyendo a partir del diagrama de cuerpo libre,
    mgsenθ-fs=m(aCM)x,N-mgcosθ=0mgsenθ-fs=m(aCM)x,N-mgcosθ=0
    podemos entonces resolver la aceleración lineal del centro de masa a partir de estas ecuaciones:
    aCM=gsenθ-fsmaCM=gsenθ-fsm

    Sin embargo, es útil expresar la aceleración lineal en términos del momento de inercia. Para ello, escribimos la segunda ley de Newton para la rotación,
    τCM=ICMα. τCM=ICMα.

    Los torques se calculan en torno al eje que pasa por el centro de masa del cilindro. El único torque que no es cero lo proporciona la fuerza de fricción. Tenemos
    fsr=ICMα.fsr=ICMα.

    Finalmente, la aceleración lineal se relaciona con la aceleración angular mediante
    (aCM)x=rα.(aCM)x=rα.

    Estas ecuaciones pueden utilizarse para resolver aCM,α,yfsaCM,α,yfs en términos del momento de inercia, donde hemos suprimido el subíndice x. Reescribimos aCMaCM en términos del componente vertical de la gravedad y de la fuerza de fricción, y hacemos las siguientes sustituciones.
    fs=ICMαr=ICMaCMr2fs=ICMαr=ICMaCMr2
    De ello obtenemos
    aCM=gsenθ-ICMaCMmr2,=mgsenθm+(ICM/r2).aCM=gsenθ-ICMaCMmr2,=mgsenθm+(ICM/r2).

    Observe que este resultado es independiente del coeficiente de fricción estática, μsμs.
    Dado que tenemos un cilindro macizo, a partir de la Figura 10.20, tenemos ICM=mr2/2ICM=mr2/2 y
    aCM=mgsenθm+(mr2/2r2)=23gsenθ.aCM=mgsenθm+(mr2/2r2)=23gsenθ.

    Por lo tanto, tenemos
    α=aCMr=23rgsenθ.α=aCMr=23rgsenθ.
  2. Dado que no se produce el deslizamiento, fsμsNfsμsN. Resolviendo la fuerza de fricción,
    fs=ICMαr=ICM(aCM)r2=ICMr2(mgsenθm+(ICM/r2))=mgICMsenθmr2+ICM.fs=ICMαr=ICM(aCM)r2=ICMr2(mgsenθm+(ICM/r2))=mgICMsenθmr2+ICM.

    Sustituyendo esta expresión en la condición de no deslizamiento, y observando que N=mgcosθN=mgcosθ, tenemos
    mgICMsenθmr2+ICMμsmgcosθmgICMsenθmr2+ICMμsmgcosθ

    o
    μstanθ1+(mr2/ICM).μstanθ1+(mr2/ICM).

    Para el cilindro macizo, esto se convierte en
    μstanθ1+(2mr2/mr2)=13tanθ.μstanθ1+(2mr2/mr2)=13tanθ.

Importancia

  1. La aceleración lineal es linealmente proporcional a senθ.senθ. Así, cuanto mayor sea el ángulo de la pendiente, mayor será la aceleración lineal, como cabría esperar. La aceleración angular, sin embargo, es linealmente proporcional al senθsenθ e inversamente proporcional al radio del cilindro. Así, cuanto mayor sea el radio, menor será la aceleración angular.
  2. Para que no se produzca ningún deslizamiento, el coeficiente de fricción estática deberá ser mayor o igual a (1/3)tanθ(1/3)tanθ. Así, cuanto mayor sea el ángulo de inclinación, mayor deberá ser el coeficiente de fricción estática para evitar el deslizamiento del cilindro.

Compruebe Lo Aprendido 11.1

Un cilindro hueco se encuentra en una pendiente con un ángulo de 60°.60°. El coeficiente de fricción estática en la superficie es μs=0,6μs=0,6. (a) ¿Rodará el cilindro sin deslizarse? (b) ¿Rodará un cilindro macizo sin deslizarse?

Vale la pena repetir la ecuación derivada en este ejemplo para la aceleración de un objeto que rueda sin deslizar:

aCM=mgsenθm+(ICM/r2).aCM=mgsenθm+(ICM/r2).
11.4

Esta es una ecuación muy útil para resolver problemas de rodadura sin deslizamiento. Observe que la aceleración es menor que la de un objeto que se desliza por un plano sin fricción y sin rotación. La aceleración también será diferente para dos objetos en rotación con distintas inercias rotacionales.

Movimiento rodadura con deslizamiento

En el caso del movimiento rodadura con deslizamiento, debemos utilizar el coeficiente de fricción cinética, que da lugar a la fuerza de fricción cinética dado que no existe fricción estática. La situación se muestra en la Figura 11.6. En caso de deslizamiento, vCM-Rω0vCM-Rω0, porque el punto P de la rueda no está en reposo en la superficie, y vP0vP0. Así, ωvCMR,αaCMRωvCMR,αaCMR.

La Figura a muestra un diagrama de cuerpo libre de una rueda, que incluye el lugar donde actúan las fuerzas. Se muestran cuatro fuerzas: M g es una fuerza descendente que actúa en el centro de la rueda. N es una fuerza ascendente que actúa sobre la parte inferior de la rueda. F es una fuerza hacia la derecha, que actúa sobre el centro de la rueda, y f sub k es una fuerza hacia la izquierda que actúa sobre la parte inferior de la rueda. La fuerza f sub k es igual a mu sub k por N. La Figura b es la ilustración de la rueda rodando y deslizándose por una superficie horizontal. La rueda tiene una rotación en el sentido de las agujas del reloj, una aceleración hacia la derecha de a sub C M y una velocidad hacia la derecha de v sub V M. omega no es igual a v sub C M sobre R y alfa no es igual a sub C M sobre R. Se muestra un sistema de coordenadas con la x positiva a la derecha y la y positiva hacia arriba.
Figura 11.6 (a) La fricción cinética se produce entre la rueda y la superficie porque la rueda desliza. (b) Las relaciones simples entre las variables lineales y angulares ya no son válidas.

Ejemplo 11.2

Rodar hacia abajo por un plano inclinado con deslizamiento

Un cilindro macizo rueda hacia abajo por un plano inclinado desde el reposo y sufre un deslizamiento (Figura 11.7). Tiene una masa m y un radio r. (a) ¿Cuál es su aceleración lineal? (b) ¿Cuál es su aceleración angular en torno a un eje que pasa por el centro de masa?

Estrategia

Dibuje un esquema y un diagrama de cuerpo libre que muestre las fuerzas implicadas. El diagrama de cuerpo libre es similar al caso sin deslizamiento, excepto por la fuerza de fricción, que es cinética en lugar de estática. Utilice la segunda ley de Newton para resolver la aceleración en la dirección de la x. Utilice la segunda ley de Newton para la rotación para resolver la aceleración angular.

Solución

Diagrama de un cilindro que rueda y se desliza hacia abajo por un plano inclinado y diagrama de cuerpo libre del cilindro. A la izquierda hay una ilustración que muestra el plano inclinado, que forma un ángulo theta con la horizontal. El cilindro se muestra en reposo en la parte superior, y luego se mueve a lo largo de la inclinación cuando está más bajo. A la derecha hay un diagrama de cuerpo libre. El sistema de coordenadas x y está inclinado de manera que la dirección x positiva es paralela al plano inclinado y apunta hacia su parte inferior, y la dirección y positiva es hacia el exterior, perpendicular al plano. Se muestran cuatro fuerzas. N j hat actúa en el centro del cilindro y apunta en la dirección y positiva. m g seno theta i hat actúa en el centro del cilindro y apunta en la dirección x positiva. Menos m g coseno de theta por el vector j actúa en el centro del cilindro y apunta en la dirección de la y negativa. Menos f sub k por el vector i que actúa en el punto de contacto y apunta en la dirección de la x negativa.
Figura 11.7 Un cilindro macizo rueda hacia abajo por un plano inclinado desde el reposo y sufre un deslizamiento. El sistema de coordenadas tiene la x en la dirección hacia abajo del plano inclinado y la y hacia arriba perpendicular al plano. El diagrama de cuerpo libre muestra la fuerza normal, la fuerza de fricción cinética y los componentes del peso m g . m g .

La suma de las fuerzas en la dirección de la y es cero, por lo que la fuerza de fricción es ahora fk=μkN=μkmgcosθ.fk=μkN=μkmgcosθ.

La segunda ley de Newton en la dirección de la x se convierte en

Fx=max, Fx=max,
mgsenθ-μkmgcosθ=m(aCM)x,mgsenθ-μkmgcosθ=m(aCM)x,

o

(aCM)x=g(senθ-μkcosθ).(aCM)x=g(senθ-μkcosθ).

La fuerza de fricción proporciona el único torque en torno al eje que pasa por el centro de masa, por lo que la segunda ley de Newton para la rotación se convierte en

τCM=ICMα, τCM=ICMα,
fkr=ICMα=12mr2α.fkr=ICMα=12mr2α.

Resolviendo para αα, tenemos

α=2fkmr=2μkgcosθr.α=2fkmr=2μkgcosθr.

Importancia

Escribimos la aceleración lineal y angular en términos del coeficiente de fricción cinética. La aceleración lineal es la misma que la calculada para un objeto que se desliza por un plano inclinado con fricción cinética. La aceleración angular sobre el eje de rotación es linealmente proporcional a la fuerza normal, que depende del coseno del ángulo de inclinación. Dado que θ90°θ90°, esta fuerza llega a cero y, por tanto, la aceleración angular llega a cero.

Conservación de la energía mecánica en el movimiento rodadura

En el capítulo anterior, hemos introducido la energía cinética rotacional. Cualquier objeto que ruede lleva consigo energía cinética rotacional, así como energía cinética traslacional y energía potencial si el sistema lo requiere. Incluyendo la energía potencial gravitacional, la energía mecánica total de un objeto que rueda es

ET=12mvCM2+12ICMω2+mgh.ET=12mvCM2+12ICMω2+mgh.

En ausencia de cualquier fuerza no conservativa que saque energía del sistema en forma de calor, la energía total de un objeto que rueda sin deslizar se conserva y es constante durante todo el movimiento. Ejemplos en los que la energía no se conserva son un objeto que rueda y desliza, la producción de calor como resultado de la fricción cinética y un objeto que rueda y encuentra resistencia del aire.

Se preguntará por qué un objeto que rueda y no se desliza conserva energía, ya que la fuerza de fricción estática no es conservativa. La respuesta se puede encontrar en la Figura 11.3. El punto P en contacto con la superficie está en reposo con respecto a la superficie. Por lo tanto, su desplazamiento infinitesimal drdr con respecto a la superficie es cero, y el trabajo incremental que realiza la fuerza de fricción estática es cero. Podemos aplicar la conservación de energía a nuestro estudio del movimiento rodadura para obtener algunos resultados interesantes.

Ejemplo 11.3

Explorador Curiosity

El explorador Curiosity, mostrado en la Figura 11.8, se desplegó en Marte el 6 de agosto de 2012. Las ruedas del explorador tienen un radio de 25 cm. Supongamos que los astronautas llegan a Marte en el año 2050 y encuentran el Curiosity, ahora inoperante, en la ladera de una cuenca. Mientras desmontan el explorador, un astronauta pierde accidentalmente el agarre de una de las ruedas, que gira sin deslizarse hasta el fondo de la cuenca, 25 metros más abajo. Si la rueda tiene una masa de 5 kg, ¿cuál es su velocidad en el fondo de la cuenca?
Fotografía del explorador Curiosity de la NASA durante las pruebas en el Laboratorio de Propulsión a Chorro.
Figura 11.8 El explorador Curiosity del Laboratorio Científico de Marte de la NASA durante las pruebas realizadas el 3 de junio de 2011. El lugar se encuentra dentro de la Instalación de Ensamblaje de Naves Espaciales en el Laboratorio de Propulsión a Chorro de la NASA en Pasadena, California (créditos: NASA / Laboratorio de Propulsión a Chorro [Jet Propulsion Laboratory, JPL] - Instituto de Tecnología de California [California Institute of Technology, Caltech]).

Estrategia

Utilizamos la conservación de energía mecánica para analizar el problema. En la cima de la colina, la rueda está en reposo y solo tiene energía potencial. En el fondo de la cuenca, la rueda tiene energía cinética rotacional y traslacional, que deberá ser igual a la energía potencial inicial por conservación de energía. Dado que la rueda se mueve sin deslizarse, utilizamos la relación vCM=rωvCM=rω para relacionar las variables traslacionales con las rotacionales en la ecuación de conservación de energía. A continuación, resolvemos la velocidad. En la Figura 11.8, vemos que un cilindro hueco es una buena aproximación para la rueda, por lo que podemos utilizar este momento de inercia para simplificar el cálculo.

Solución

La energía en la parte superior de la cuenca es igual a la energía en la parte inferior:
mgh=12mvCM2+12ICMω2.mgh=12mvCM2+12ICMω2.

Las cantidades conocidas son ICM=mr2,r=0,25m,yh=25,0mICM=mr2,r=0,25m,yh=25,0m.

Reescribimos la ecuación de conservación de energía al eliminar ωω al utilizar ω=vCMr.ω=vCMr. Tenemos

mgh=12mvCM2+12mr2vCM2r2mgh=12mvCM2+12mr2vCM2r2

o

gh=12vCM2+12vCM2vCM=gh.gh=12vCM2+12vCM2vCM=gh.

En Marte, la aceleración de la gravedad es 3,71m/s2,3,71m/s2, que da la magnitud de la velocidad en el fondo de la cuenca como

vCM=(3,71m/s2)25,0m=9,63m/s.vCM=(3,71m/s2)25,0m=9,63m/s.

Importancia

Se trata de un resultado bastante preciso si se tiene en cuenta que Marte tiene muy poca atmósfera, y la pérdida de energía debida a la resistencia del aire sería mínima. El resultado también supone que el terreno es liso, de manera que la rueda no se toparía con rocas y baches en el camino.

Además, en este ejemplo, la energía cinética, o energía del movimiento, se reparte por igual entre el movimiento lineal y rotacional. Si observamos los momentos de inercia en la Figura 10.20, vemos que el cilindro hueco tiene el mayor momento de inercia para un radio y una masa dados. Si las ruedas del explorador fueran sólidas y se tomaran como cilindros sólidos, por ejemplo, habría más energía cinética en el movimiento lineal que en el movimiento rotacional. Esto daría a la rueda una velocidad lineal mayor que si se toma como un cilindro hueco. Así, el cilindro macizo llegaría al fondo de la cuenca más rápido que el cilindro hueco.

Cita/Atribución

¿Desea citar, compartir o modificar este libro? Este libro es Creative Commons Attribution License 4.0 y debe atribuir a OpenStax.

Información de atribución
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada página física la siguiente atribución:
    Acceso gratis en https://openstax.org/books/f%C3%ADsica-universitaria-volumen-1/pages/1-introduccion
  • Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la página digital la siguiente atribución:
    Acceso gratuito en https://openstax.org/books/f%C3%ADsica-universitaria-volumen-1/pages/1-introduccion
Información sobre citas

© 2 sept. 2021 OpenStax. El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution License 4.0 license. El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.