11.1 Movimiento rodadura

Movimiento rodadura sin deslizamiento

El movimiento rodadura sin deslizamiento se ha observado desde la invención de la rueda. Por ejemplo, podemos observar la interacción de los neumáticos de un auto con la superficie de la carretera. Si el conductor pisa el acelerador hasta el fondo, de manera que los neumáticos giren sin que el auto avance, habrá fricción cinética entre las ruedas y la superficie de la carretera. Si el conductor pisa el acelerador lentamente, haciendo que el auto avance, entonces los neumáticos ruedan sin resbalar. Para la mayoría de la gente es sorprendente que, de hecho, la parte inferior de la rueda esté en reposo con respecto al suelo, lo que indica que debe haber fricción estática entre los neumáticos y la superficie de la carretera. En la Figura 11.2, la bicicleta está en movimiento y el ciclista se mantiene erguido. Los neumáticos están en contacto con la superficie de la carretera y, aunque están rodando, los partes inferiores de los neumáticos se deforman ligeramente, no resbalan y están en reposo con respecto a la superficie de la carretera durante un tiempo medible. Para que esto sea así, deberá haber fricción estática entre el neumático y la superficie de la carretera.

Figura 11.2 (a) La bicicleta avanza y sus neumáticos no resbalan. La parte inferior de la rueda ligeramente deformada está en reposo con respecto a la superficie de la carretera durante un tiempo medible. (b) Esta imagen muestra que la parte superior de una rueda rodante aparece borrosa por su movimiento, pero la parte inferior está instantáneamente en reposo (créditos: a. modificación del trabajo de Nelson Lourenço; b. modificación del trabajo de Colin Rose).

Para analizar la rodadura sin deslizamiento, primero derivamos las variables lineales de velocidad y aceleración del centro de masa de la rueda en términos de las variables angulares que describen el movimiento de la rueda. La situación se muestra en la Figura 11.3.

Figura 11.3 a) Una rueda es halada sobre una superficie horizontal por una fuerza $\overrightarrow{F}$. La fuerza de la fricción estática ${\overrightarrow{f}}_{\text{s}},\left|{\overrightarrow{f}}_{\text{s}}\right|\le {\mu }_{\text{s}}N$ es lo suficientemente grande como para evitar que se deslice. (b) Los vectores de velocidad y aceleración lineal del centro de masa y las expresiones pertinentes para $\omega \text{y}\alpha$. El punto P está en reposo respecto a la superficie. (c) Respecto al marco del centro de masa (CM), el punto P tiene una velocidad lineal $\text{-}R\omega \widehat{i}$.

En la Figura 11.3(a), vemos los vectores de fuerza que intervienen para evitar el deslizamiento de la rueda. En (b), el punto P que toca la superficie está en reposo respecto a la superficie. En relación con el centro de masa, el punto P tiene una velocidad $\text{-}R\omega \widehat{i}$, donde R es el radio de la rueda y $\omega$ es la velocidad angular de la rueda en torno a su eje. Dado que la rueda está rodando, la velocidad de P con respecto a la superficie es su velocidad con respecto al centro de masa más la velocidad del centro de masa con respecto a la superficie:

Dado que la velocidad de P con respecto a la superficie es cero, $v_P=0$, esto indica que

Así, la velocidad del centro de masa de la rueda es su radio por la velocidad angular alrededor de su eje. Mostramos la correspondencia de la variable lineal en el lado izquierdo de la ecuación con la variable angular en el lado derecho de la ecuación. Esto se hace a continuación para la aceleración lineal.

Si diferenciamos la Ecuación 11.1 en el lado izquierdo de la ecuación, obtenemos una expresión para la aceleración lineal del centro de masa. En el lado derecho de la ecuación, R es una constante y dado que $\alpha =\frac{d\omega }{dt},$ tenemos

Además, podemos hallar la distancia que recorre la rueda en términos de variables angulares al consultar la Figura 11.4. Cuando la rueda se mueve desde el punto A hasta el punto B, su superficie exterior se traza en el suelo exactamente por la distancia recorrida, que es $d_{\text{CM}}.$ Vemos en la Figura 11.4 que la longitud de la superficie exterior que se traza en el suelo es la longitud del arco $R\theta$. Al igualar las dos distancias, obtenemos

Figura 11.4 A medida que la rueda se mueve sobre la superficie, la longitud del arco $R\theta$ de A a B se traza en la superficie, correspondiente a la distancia $d_{\text{CM}}$ que el centro de masa se ha movido.

Vale la pena repetir la ecuación derivada en este ejemplo para la aceleración de un objeto que rueda sin deslizar:

Esta es una ecuación muy útil para resolver problemas de rodadura sin deslizamiento. Observe que la aceleración es menor que la de un objeto que se desliza por un plano sin fricción y sin rotación. La aceleración también será diferente para dos objetos en rotación con distintas inercias rotacionales.

Movimiento rodadura con deslizamiento

En el caso del movimiento rodadura con deslizamiento, debemos utilizar el coeficiente de fricción cinética, que da lugar a la fuerza de fricción cinética dado que no existe fricción estática. La situación se muestra en la Figura 11.6. En caso de deslizamiento, $v_{\text{CM}}-R\omega \ne 0$, porque el punto P de la rueda no está en reposo en la superficie, y $v_P\ne 0$. Así, $\omega \ne \frac{v_{\text{CM}}}{R},\alpha \ne \frac{a_{\text{CM}}}{R}$.

Figura 11.6 (a) La fricción cinética se produce entre la rueda y la superficie porque la rueda desliza. (b) Las relaciones simples entre las variables lineales y angulares ya no son válidas.

Ejemplo 11.2

Rodar hacia abajo por un plano inclinado con deslizamiento

Un cilindro macizo rueda hacia abajo por un plano inclinado desde el reposo y sufre un deslizamiento (Figura 11.7). Tiene una masa m y un radio r. (a) ¿Cuál es su aceleración lineal? (b) ¿Cuál es su aceleración angular en torno a un eje que pasa por el centro de masa?

Estrategia

Dibuje un esquema y un diagrama de cuerpo libre que muestre las fuerzas implicadas. El diagrama de cuerpo libre es similar al caso sin deslizamiento, excepto por la fuerza de fricción, que es cinética en lugar de estática. Utilice la segunda ley de Newton para resolver la aceleración en la dirección de la x. Utilice la segunda ley de Newton para la rotación para resolver la aceleración angular.

Solución

Figura 11.7 Un cilindro macizo rueda hacia abajo por un plano inclinado desde el reposo y sufre un deslizamiento. El sistema de coordenadas tiene la x en la dirección hacia abajo del plano inclinado y la y hacia arriba perpendicular al plano. El diagrama de cuerpo libre muestra la fuerza normal, la fuerza de fricción cinética y los componentes del peso $m\overrightarrow{g}.$

La suma de las fuerzas en la dirección de la y es cero, por lo que la fuerza de fricción es ahora $f_{\text{k}}={\mu }_{\text{k}}N={\mu }_{\text{k}}mg\text{cos}\theta .$

La segunda ley de Newton en la dirección de la x se convierte en

$${\displaystyle \sum F_x}=m{a}_x,$$

$$mg\text{sen}\theta -{\mu }_{\text{k}}mg\text{cos}\theta =m{(a_{\text{CM}})}_x,$$

o

$${(a_{\text{CM}})}_x=g(\text{sen}\theta -{\mu }_{\text{k}}\text{cos}\theta ).$$

La fuerza de fricción proporciona el único torque en torno al eje que pasa por el centro de masa, por lo que la segunda ley de Newton para la rotación se convierte en

$${\displaystyle \sum {\tau }_{\text{CM}}}=I_{\text{CM}}\alpha ,$$

$$f_{\text{k}}r=I_{\text{CM}}\alpha =\frac{1}{2}m{r}^2\alpha .$$

Resolviendo para $\alpha$, tenemos

$$\alpha =\frac{2f_{\text{k}}}{mr}=\frac{2{\mu }_{\text{k}}g\text{cos}\theta }{r}.$$

Importancia

Escribimos la aceleración lineal y angular en términos del coeficiente de fricción cinética. La aceleración lineal es la misma que la calculada para un objeto que se desliza por un plano inclinado con fricción cinética. La aceleración angular sobre el eje de rotación es linealmente proporcional a la fuerza normal, que depende del coseno del ángulo de inclinación. Dado que $\theta \to 90\text{°}$, esta fuerza llega a cero y, por tanto, la aceleración angular llega a cero.

Conservación de la energía mecánica en el movimiento rodadura

En el capítulo anterior, hemos introducido la energía cinética rotacional. Cualquier objeto que ruede lleva consigo energía cinética rotacional, así como energía cinética traslacional y energía potencial si el sistema lo requiere. Incluyendo la energía potencial gravitacional, la energía mecánica total de un objeto que rueda es

En ausencia de cualquier fuerza no conservativa que saque energía del sistema en forma de calor, la energía total de un objeto que rueda sin deslizar se conserva y es constante durante todo el movimiento. Ejemplos en los que la energía no se conserva son un objeto que rueda y desliza, la producción de calor como resultado de la fricción cinética y un objeto que rueda y encuentra resistencia del aire.

Se preguntará por qué un objeto que rueda y no se desliza conserva energía, ya que la fuerza de fricción estática no es conservativa. La respuesta se puede encontrar en la Figura 11.3. El punto P en contacto con la superficie está en reposo con respecto a la superficie. Por lo tanto, su desplazamiento infinitesimal $d\overrightarrow{r}$ con respecto a la superficie es cero, y el trabajo incremental que realiza la fuerza de fricción estática es cero. Podemos aplicar la conservación de energía a nuestro estudio del movimiento rodadura para obtener algunos resultados interesantes.

Ejemplo 11.3

Explorador Curiosity

El explorador Curiosity, mostrado en la Figura 11.8, se desplegó en Marte el 6 de agosto de 2012. Las ruedas del explorador tienen un radio de 25 cm. Supongamos que los astronautas llegan a Marte en el año 2050 y encuentran el Curiosity, ahora inoperante, en la ladera de una cuenca. Mientras desmontan el explorador, un astronauta pierde accidentalmente el agarre de una de las ruedas, que gira sin deslizarse hasta el fondo de la cuenca, 25 metros más abajo. Si la rueda tiene una masa de 5 kg, ¿cuál es su velocidad en el fondo de la cuenca?

Figura 11.8 El explorador Curiosity del Laboratorio Científico de Marte de la NASA durante las pruebas realizadas el 3 de junio de 2011. El lugar se encuentra dentro de la Instalación de Ensamblaje de Naves Espaciales en el Laboratorio de Propulsión a Chorro de la NASA en Pasadena, California (créditos: NASA / Laboratorio de Propulsión a Chorro [Jet Propulsion Laboratory, JPL] - Instituto de Tecnología de California [California Institute of Technology, Caltech]).

Estrategia

Utilizamos la conservación de energía mecánica para analizar el problema. En la cima de la colina, la rueda está en reposo y solo tiene energía potencial. En el fondo de la cuenca, la rueda tiene energía cinética rotacional y traslacional, que deberá ser igual a la energía potencial inicial por conservación de energía. Dado que la rueda se mueve sin deslizarse, utilizamos la relación $v_{\text{CM}}=r\omega$ para relacionar las variables traslacionales con las rotacionales en la ecuación de conservación de energía. A continuación, resolvemos la velocidad. En la Figura 11.8, vemos que un cilindro hueco es una buena aproximación para la rueda, por lo que podemos utilizar este momento de inercia para simplificar el cálculo.

Solución

La energía en la parte superior de la cuenca es igual a la energía en la parte inferior:

$$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{\text{CM}}^2+\frac{1}{2}{I}_{\text{CM}}{\omega }^2.$$

Las cantidades conocidas son $I_{\text{CM}}=m{r}^2\text{,}r=\mathrm{0,25}\text{m,}\text{y}h=\mathrm{25,0}\text{m}$.

Reescribimos la ecuación de conservación de energía al eliminar $\omega$ al utilizar $\omega =\frac{v_{\text{CM}}}{r}.$ Tenemos

$$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{\text{CM}}^2+\frac{1}{2}m{r}^2\frac{v_{\text{CM}}^2}{r^2}$$

o

$$gh=\frac{1}{2}{v}_{\text{CM}}^2+\frac{1}{2}{v}_{\text{CM}}^2\Rightarrow v_{\text{CM}}=\sqrt{gh}.$$

En Marte, la aceleración de la gravedad es $\mathrm{3,71}{\text{m/s}}^2,$ que da la magnitud de la velocidad en el fondo de la cuenca como

$$v_{\text{CM}}=\sqrt{(\mathrm{3,71}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2)\mathrm{25,0}\text{m}}=\mathrm{9,63}\text{m}\text{/}\text{s}\text{.}$$

Importancia

Se trata de un resultado bastante preciso si se tiene en cuenta que Marte tiene muy poca atmósfera, y la pérdida de energía debida a la resistencia del aire sería mínima. El resultado también supone que el terreno es liso, de manera que la rueda no se toparía con rocas y baches en el camino.

Además, en este ejemplo, la energía cinética, o energía del movimiento, se reparte por igual entre el movimiento lineal y rotacional. Si observamos los momentos de inercia en la Figura 10.20, vemos que el cilindro hueco tiene el mayor momento de inercia para un radio y una masa dados. Si las ruedas del explorador fueran sólidas y se tomaran como cilindros sólidos, por ejemplo, habría más energía cinética en el movimiento lineal que en el movimiento rotacional. Esto daría a la rueda una velocidad lineal mayor que si se toma como un cilindro hueco. Así, el cilindro macizo llegaría al fondo de la cuenca más rápido que el cilindro hueco.