William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Determinar los factores que afectan la velocidad de una onda en una cuerda.
Escribir una expresión matemática para la velocidad de una onda en una cuerda y generalizar estos conceptos para otros medios.

La velocidad de una onda depende de las características del medio. Por ejemplo, en el caso de una guitarra, las cuerdas vibran para producir el sonido. La velocidad de las ondas en las cuerdas y la longitud de onda determinan la frecuencia del sonido producido. Las cuerdas de una guitarra tienen un grosor diferente pero pueden estar hechas de un material similar. Tienen diferentes densidades lineales, donde la densidad lineal se define como la masa por longitud,

μ = \frac{masa de la cuerda}{longitud de la cuerda} = \frac{m}{l} .

16.7

En este capítulo solo consideramos la cuerda con una densidad lineal constante. Si la densidad lineal es constante, entonces la masa $(Δ m)$ de un pequeño trozo de cuerda $(Δ x)$ es $Δ m = μ Δ x .$ Por ejemplo, si la cuerda tiene una longitud de 2,00 m y una masa de 0,06 kg, entonces la densidad lineal es $μ = \frac{0,06 kg}{2,00 m} = 0,03 \frac{kg}{m} .$ Si se corta una sección de 1,00 mm de la cuerda, la masa de la longitud de 1,00 mm es $Δ m = μ Δ x = (0,03 \frac{kg}{m}) 0,001 m = 3,00 \times 10^{−5} kg .$ La guitarra también tiene un método para cambiar la tensión de las cuerdas. La tensión de las cuerdas se ajusta girando unos husillos, llamados clavijas de afinación, alrededor de los cuales se enrollan las cuerdas. En el caso de la guitarra, la densidad lineal de la cuerda y su tensión determinan la velocidad de las ondas en la cuerda, y la frecuencia del sonido producido es proporcional a la rapidez de onda.

Rapidez de onda en una cuerda bajo tensión

Para ver cómo la velocidad de una onda en una cuerda depende de la tensión y a la densidad lineal, considere un pulso enviado por una cuerda estirada (Figura 16.13). Cuando la cuerda estirada está en reposo en la posición de equilibrio, la tensión de la cuerda $F_{T}$ es constante. Considere un pequeño elemento de la cuerda con una masa igual a $Δ m = μ Δ x .$ El elemento de masa está en reposo y en equilibrio y la fuerza de tensión de cada lado del elemento de masa es igual y opuesta.

La figura muestra una sección de una cuerda con una parte resaltada. La longitud de la porción resaltada está identificada como delta x. Dos flechas de esta porción señalan en direcciones opuestas a lo largo de la cuerda. Estos están identificados como F subíndice T. La parte resaltada está identificada como delta m igual a mu delta x.

Figura 16.13 Elemento de masa de una cuerda que se mantiene estirada con una tensión

F_{T}

. El elemento de masa está en equilibrio estático, y la fuerza de tensión que actúa en cada lado del elemento de masa es igual en magnitud y opuesta en dirección.

Si se puntea una cuerda bajo tensión, una onda transversal se mueve en la dirección x positiva, como se muestra en la Figura 16.14. El elemento de masa es pequeño, pero se ha ampliado en la figura para hacerlo visible. El elemento de masa pequeño oscila perpendicularmente al movimiento de la onda como consecuencia de la fuerza restauradora proporcionada por la cuerda y no se mueve en la dirección x. La tensión $F_{T}$ en la cuerda, que actúa en la dirección x positiva y negativa, es aproximadamente constante y es independiente de la posición y el tiempo.

La figura muestra una onda de pulso. Se muestran dos flechas a lo largo de la pendiente ascendente de la onda, una que señala hacia arriba y a la derecha y la otra que señala hacia abajo y a la izquierda. Estas flechas, identificadas como F, hacen ángulos theta 2 y theta 1 respectivamente con

Figura 16.14 Una cuerda bajo tensión se puntea, y provoca un pulso que se desplaza a lo largo de la cuerda en la dirección x positiva.

Suponga que la inclinación de la cuerda desplazada con respecto al eje horizontal es pequeña. La fuerza neta sobre el elemento de la cuerda, que actúa en paralelo a esta, es la suma de la tensión en la cuerda y la fuerza restauradora. Los componentes x de la fuerza de tensión se cancelan, por lo que la fuerza neta es igual a la suma de los componentes y de la fuerza. La magnitud del componente x de la fuerza es igual a la fuerza horizontal de tensión de la cuerda $F_{T}$ como se muestra en la Figura 16.14. Para obtener el componente y de la fuerza, hay que tener en cuenta que $tan θ_{1} = \frac{– F_{1}}{F_{T}}$ y $tan θ_{2} = \frac{F_{2}}{F_{T}} .$ La $tan θ$ es igual a la pendiente de una función en un punto, lo cual es igual a la derivada parcial de y con respecto a x en ese punto. Por lo tanto, $\frac{F_{1}}{F_{T}}$ es igual a la pendiente negativa de la cuerda en $x_{1}$ y $\frac{F_{2}}{F_{T}}$ es igual a la pendiente de la cuerda en $x_{2} :$

\frac{F_{1}}{F_{T}} = – {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{1}} y \frac{F_{2}}{F_{T}} = {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{2}} .

La fuerza neta sobre el elemento de masa pequeño se puede escribir como

F_{neta} = F_{1} + F_{2} = F_{T} [{(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{2}} - {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{1}}] .

De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza neta es igual a la masa por la aceleración. La densidad lineal de la cuerda $μ$ es la masa por longitud de la cuerda, y la masa de la porción de cuerda es $μ Δ x$ ,

\begin{matrix} F_{T} [{(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{2}} - {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{1}}] = Δ m a, \\ F_{T} [{(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{2}} - {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{1}}] = μ Δ x \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} . \end{matrix}

Al dividir entre $F_{T} Δ x$ y tomar el límite como $Δ x$ se acerca a cero,

\begin{matrix} \frac{[{(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{2}} - {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{1}}]}{Δ x} & = & \frac{μ}{F_{T}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} \\ lim_{Δ x \to 0} \frac{[{(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{2}} - {(\frac{\partial y}{\partial x})}_{x_{1}}]}{Δ x} & = & \frac{μ}{F_{T}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} \\ \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = \frac{μ}{F_{T}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} . \end{matrix}

Recuerde que la ecuación lineal de onda es

\frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y (x, t)}{\partial t^{2}} .

Por lo tanto,

\frac{1}{v^{2}} = \frac{μ}{F_{T}} .

Al resolver para v, vemos que la velocidad de la onda en una cuerda depende de la tensión y de la densidad lineal.

Velocidad de una onda en una cuerda bajo tensión

La velocidad de un pulso u onda en una cuerda bajo tensión se puede calcular con la ecuación

| v | = \sqrt{\frac{F_{T}}{μ}}

16.8

donde $F_{T}$ es la tensión de la cuerda y $μ$ es la masa por longitud de la cuerda.

Ejemplo 16.5

Rapidez de onda de un resorte de guitarra

En una guitarra de seis cuerdas, la cuerda mi aguda tiene una densidad lineal de

μ_{mi aguda} = 3,09 \times 10^{−4} kg/m

y la cuerda mi grave tiene una densidad lineal de

μ_{mi grave} = 5,78 \times 10^{−3} kg/m .

(a) Si se puntea la cuerda mi aguda, lo que produce una onda en la cuerda, ¿cuál es la rapidez de la onda si la tensión de la cuerda es de 56,40 N? (b) La densidad lineal de la cuerda mi grave es, aproximadamente, 20 veces mayor que la de la cuerda mi aguda. Para que las ondas se desplacen a través de la cuerda de la mi grave a la misma rapidez de onda que la de la mi aguda, ¿la tensión tendría que ser mayor o menor que la de la cuerda de la mi aguda? ¿Cuál sería la tensión aproximada? (c) Calcule la tensión de la cuerda mi grave necesaria para la misma rapidez de onda.

Estrategia

La rapidez de la onda se puede calcular a partir de la densidad lineal y la tensión $v = \sqrt{\frac{F_{T}}{μ}} .$
A partir de la ecuación $v = \sqrt{\frac{F_{T}}{μ}},$ si la densidad lineal se incrementa en un factor de casi 20, la tensión tendría que incrementarse en un factor de 20.
Conociendo la velocidad y la densidad lineal, se puede resolver la ecuación de velocidad para la fuerza de tensión $F_{T} = μ v^{2} .$

Solución

Use la ecuación de velocidad para calcular la rapidez:
$v = \sqrt{\frac{F_{T}}{μ}} = \sqrt{\frac{56,40 N}{3,09 \times 10^{−4} kg/m}} = 427,23 m/s .$
La tensión tendría que ser aumentada por un factor de 20 aproximadamente. La tensión sería ligeramente inferior a 1.128 N.
Use la ecuación de velocidad para calcular la tensión real:
$F_{T} = μ v^{2} = 5,78 \times 10^{−3} kg / m {(427,23 m/s)}^{2} = 1055,00 N .$
Esta solución está dentro del $7 %$ de la aproximación.

Importancia

Las notas estándar de las seis cuerdas (mi aguda, si, sol, se, la, mi grave) están afinadas para vibrar en las frecuencias fundamentales (329,63 Hz, 246,94 Hz, 196,00 Hz, 146,83 Hz, 110,00 Hz y 82,41 Hz) cuando se puntean. Las frecuencias dependen de la rapidez de las ondas en la cuerda y de la longitud de onda de las ondas. Las seis cuerdas tienen diferentes densidades lineales y se “afinan” mediante el cambio de tensiones de las cuerdas. En la sección Interferencia de ondas veremos que la longitud de onda depende de la longitud de las cuerdas y de las condiciones de frontera. Para tocar otras notas que no sean las fundamentales, las longitudes de las cuerdas se cambian cuando se presionan las cuerdas.

Compruebe Lo Aprendido 16.5

La rapidez de onda de una onda en una cuerda depende de la tensión y de la densidad lineal de masa. Si se duplica la tensión, ¿qué ocurre con la rapidez de las ondas en la cuerda?

Rapidez de las ondas de compresión en un fluido

La rapidez de una onda en una cuerda depende de la raíz cuadrada de la tensión dividida entre la masa por longitud, la densidad lineal. En general, la rapidez de una onda a través de un medio depende de las propiedades elásticas y de la propiedad inercial del medio.

| v | = \sqrt{\frac{propiedades elásticas}{propiedad inercial}}

Las propiedades elásticas describen la tendencia de las partículas del medio a volver a su posición inicial cuando se alteran. La propiedad inercial describe la tendencia de la partícula a resistir cambios de velocidad.

La rapidez de una onda longitudinal a través de un líquido o un gas depende de la densidad del fluido y de su módulo de compresibilidad,

v = \sqrt{\frac{Β}{ρ}} .

16.9

Aquí el módulo de compresibilidad se define como $Β = - \frac{Δ P}{\frac{Δ V}{V_{0}}},$ donde $Δ P$ es el cambio de presión, el denominador es la relación entre el cambio de volumen y el volumen inicial y $ρ \equiv \frac{m}{V}$ es la masa por unidad de volumen. Por ejemplo, el sonido es una onda mecánica que se desplaza a través de un fluido o de un sólido. La velocidad del sonido en el aire con una presión atmosférica de $1,013 \times 10^{5} Pa$ y una temperatura de $20 ° C$ es $v_{s} \approx 343,00 m/s .$ Como la densidad depende de la temperatura, la velocidad del sonido en el aire depende de la temperatura del aire. Esto se analizará en detalle en la sección Sonido.

16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada