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Física Universitaria Volumen 1

16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada

Física Universitaria Volumen 116.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Determinar los factores que afectan la velocidad de una onda en una cuerda.
  • Escribir una expresión matemática para la velocidad de una onda en una cuerda y generalizar estos conceptos para otros medios.

La velocidad de una onda depende de las características del medio. Por ejemplo, en el caso de una guitarra, las cuerdas vibran para producir el sonido. La velocidad de las ondas en las cuerdas y la longitud de onda determinan la frecuencia del sonido producido. Las cuerdas de una guitarra tienen un grosor diferente pero pueden estar hechas de un material similar. Tienen diferentes densidades lineales, donde la densidad lineal se define como la masa por longitud,

μ=masa de la cuerdalongitud de la cuerda=ml.μ=masa de la cuerdalongitud de la cuerda=ml.
16.7

En este capítulo solo consideramos la cuerda con una densidad lineal constante. Si la densidad lineal es constante, entonces la masa (Δm)(Δm) de un pequeño trozo de cuerda (Δx)(Δx) es Δm=μΔx.Δm=μΔx. Por ejemplo, si la cuerda tiene una longitud de 2,00 m y una masa de 0,06 kg, entonces la densidad lineal es μ=0,06kg2,00m=0,03kgm.μ=0,06kg2,00m=0,03kgm. Si se corta una sección de 1,00 mm de la cuerda, la masa de la longitud de 1,00 mm es Δm=μΔx=(0,03kgm)0,001m=3,00×10−5kg.Δm=μΔx=(0,03kgm)0,001m=3,00×10−5kg. La guitarra también tiene un método para cambiar la tensión de las cuerdas. La tensión de las cuerdas se ajusta girando unos husillos, llamados clavijas de afinación, alrededor de los cuales se enrollan las cuerdas. En el caso de la guitarra, la densidad lineal de la cuerda y su tensión determinan la velocidad de las ondas en la cuerda, y la frecuencia del sonido producido es proporcional a la rapidez de onda.

Rapidez de onda en una cuerda bajo tensión

Para ver cómo la velocidad de una onda en una cuerda depende de la tensión y a la densidad lineal, considere un pulso enviado por una cuerda estirada (Figura 16.13). Cuando la cuerda estirada está en reposo en la posición de equilibrio, la tensión de la cuerda FTFT es constante. Considere un pequeño elemento de la cuerda con una masa igual a Δm=μΔx.Δm=μΔx. El elemento de masa está en reposo y en equilibrio y la fuerza de tensión de cada lado del elemento de masa es igual y opuesta.

La figura muestra una sección de una cuerda con una parte resaltada. La longitud de la porción resaltada está identificada como delta x. Dos flechas de esta porción señalan en direcciones opuestas a lo largo de la cuerda. Estos están identificados como F subíndice T. La parte resaltada está identificada como delta m igual a mu delta x.
Figura 16.13 Elemento de masa de una cuerda que se mantiene estirada con una tensión F T F T . El elemento de masa está en equilibrio estático, y la fuerza de tensión que actúa en cada lado del elemento de masa es igual en magnitud y opuesta en dirección.

Si se puntea una cuerda bajo tensión, una onda transversal se mueve en la dirección x positiva, como se muestra en la Figura 16.14. El elemento de masa es pequeño, pero se ha ampliado en la figura para hacerlo visible. El elemento de masa pequeño oscila perpendicularmente al movimiento de la onda como consecuencia de la fuerza restauradora proporcionada por la cuerda y no se mueve en la dirección x. La tensión FTFT en la cuerda, que actúa en la dirección x positiva y negativa, es aproximadamente constante y es independiente de la posición y el tiempo.

La figura muestra una onda de pulso. Se muestran dos flechas a lo largo de la pendiente ascendente de la onda, una que señala hacia arriba y a la derecha y la otra que señala hacia abajo y a la izquierda. Estas flechas, identificadas como F, hacen ángulos theta 2 y theta 1 respectivamente con
Figura 16.14 Una cuerda bajo tensión se puntea, y provoca un pulso que se desplaza a lo largo de la cuerda en la dirección x positiva.

Suponga que la inclinación de la cuerda desplazada con respecto al eje horizontal es pequeña. La fuerza neta sobre el elemento de la cuerda, que actúa en paralelo a esta, es la suma de la tensión en la cuerda y la fuerza restauradora. Los componentes x de la fuerza de tensión se cancelan, por lo que la fuerza neta es igual a la suma de los componentes y de la fuerza. La magnitud del componente x de la fuerza es igual a la fuerza horizontal de tensión de la cuerda FTFT como se muestra en la Figura 16.14. Para obtener el componente y de la fuerza, hay que tener en cuenta que tanθ1=F1FTtanθ1=F1FT y tanθ2=F2FT.tanθ2=F2FT. La tanθtanθ es igual a la pendiente de una función en un punto, lo cual es igual a la derivada parcial de y con respecto a x en ese punto. Por lo tanto, F1FTF1FT es igual a la pendiente negativa de la cuerda en x1x1 y F2FTF2FT es igual a la pendiente de la cuerda en x2:x2:

F1FT=(yx)x1yF2FT=(yx)x2.F1FT=(yx)x1yF2FT=(yx)x2.

La fuerza neta sobre el elemento de masa pequeño se puede escribir como

Fneta=F1+F2=FT[(yx)x2(yx)x1].Fneta=F1+F2=FT[(yx)x2(yx)x1].

De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza neta es igual a la masa por la aceleración. La densidad lineal de la cuerda μμ es la masa por longitud de la cuerda, y la masa de la porción de cuerda es μΔxμΔx,

FT[(yx)x2(yx)x1]=Δma,FT[(yx)x2(yx)x1]=μΔx2yt2.FT[(yx)x2(yx)x1]=Δma,FT[(yx)x2(yx)x1]=μΔx2yt2.

Al dividir entre FTΔxFTΔx y tomar el límite como ΔxΔx se acerca a cero,

[(yx)x2(yx)x1]Δx=μFT2yt2limΔx0[(yx)x2(yx)x1]Δx=μFT2yt22yx2=μFT2yt2.[(yx)x2(yx)x1]Δx=μFT2yt2limΔx0[(yx)x2(yx)x1]Δx=μFT2yt22yx2=μFT2yt2.

Recuerde que la ecuación lineal de onda es

2y(x,t)x2=1v22y(x,t)t2.2y(x,t)x2=1v22y(x,t)t2.

Por lo tanto,

1v2=μFT.1v2=μFT.

Al resolver para v, vemos que la velocidad de la onda en una cuerda depende de la tensión y de la densidad lineal.

Velocidad de una onda en una cuerda bajo tensión

La velocidad de un pulso u onda en una cuerda bajo tensión se puede calcular con la ecuación

|v|=FTμ|v|=FTμ
16.8

donde FTFT es la tensión de la cuerda y μμ es la masa por longitud de la cuerda.

Ejemplo 16.5

Rapidez de onda de un resorte de guitarra

En una guitarra de seis cuerdas, la cuerda mi aguda tiene una densidad lineal de μmi aguda=3,09×10−4kg/mμmi aguda=3,09×10−4kg/m y la cuerda mi grave tiene una densidad lineal de μmi grave=5,78×10−3kg/m.μmi grave=5,78×10−3kg/m. (a) Si se puntea la cuerda mi aguda, lo que produce una onda en la cuerda, ¿cuál es la rapidez de la onda si la tensión de la cuerda es de 56,40 N? (b) La densidad lineal de la cuerda mi grave es, aproximadamente, 20 veces mayor que la de la cuerda mi aguda. Para que las ondas se desplacen a través de la cuerda de la mi grave a la misma rapidez de onda que la de la mi aguda, ¿la tensión tendría que ser mayor o menor que la de la cuerda de la mi aguda? ¿Cuál sería la tensión aproximada? (c) Calcule la tensión de la cuerda mi grave necesaria para la misma rapidez de onda.

Estrategia

  1. La rapidez de la onda se puede calcular a partir de la densidad lineal y la tensión v=FTμ.v=FTμ.
  2. A partir de la ecuación v=FTμ,v=FTμ, si la densidad lineal se incrementa en un factor de casi 20, la tensión tendría que incrementarse en un factor de 20.
  3. Conociendo la velocidad y la densidad lineal, se puede resolver la ecuación de velocidad para la fuerza de tensión FT=μv2.FT=μv2.

Solución

  1. Use la ecuación de velocidad para calcular la rapidez:
    v=FTμ=56,40N3,09×10−4kg/m=427,23m/s.v=FTμ=56,40N3,09×10−4kg/m=427,23m/s.
  2. La tensión tendría que ser aumentada por un factor de 20 aproximadamente. La tensión sería ligeramente inferior a 1.128 N.
  3. Use la ecuación de velocidad para calcular la tensión real:
    FT=μv2=5,78×10−3kg/m(427,23m/s)2=1055,00N.FT=μv2=5,78×10−3kg/m(427,23m/s)2=1055,00N.
    Esta solución está dentro del 7%7% de la aproximación.

Importancia

Las notas estándar de las seis cuerdas (mi aguda, si, sol, se, la, mi grave) están afinadas para vibrar en las frecuencias fundamentales (329,63 Hz, 246,94 Hz, 196,00 Hz, 146,83 Hz, 110,00 Hz y 82,41 Hz) cuando se puntean. Las frecuencias dependen de la rapidez de las ondas en la cuerda y de la longitud de onda de las ondas. Las seis cuerdas tienen diferentes densidades lineales y se “afinan” mediante el cambio de tensiones de las cuerdas. En la sección Interferencia de ondas veremos que la longitud de onda depende de la longitud de las cuerdas y de las condiciones de frontera. Para tocar otras notas que no sean las fundamentales, las longitudes de las cuerdas se cambian cuando se presionan las cuerdas.

Compruebe Lo Aprendido 16.5

La rapidez de onda de una onda en una cuerda depende de la tensión y de la densidad lineal de masa. Si se duplica la tensión, ¿qué ocurre con la rapidez de las ondas en la cuerda?

Rapidez de las ondas de compresión en un fluido

La rapidez de una onda en una cuerda depende de la raíz cuadrada de la tensión dividida entre la masa por longitud, la densidad lineal. En general, la rapidez de una onda a través de un medio depende de las propiedades elásticas y de la propiedad inercial del medio.

|v|=propiedades elásticaspropiedad inercial|v|=propiedades elásticaspropiedad inercial

Las propiedades elásticas describen la tendencia de las partículas del medio a volver a su posición inicial cuando se alteran. La propiedad inercial describe la tendencia de la partícula a resistir cambios de velocidad.

La rapidez de una onda longitudinal a través de un líquido o un gas depende de la densidad del fluido y de su módulo de compresibilidad,

v=Βρ.v=Βρ.
16.9

Aquí el módulo de compresibilidad se define como Β=ΔPΔVV0,Β=ΔPΔVV0, donde ΔPΔP es el cambio de presión, el denominador es la relación entre el cambio de volumen y el volumen inicial y ρmVρmV es la masa por unidad de volumen. Por ejemplo, el sonido es una onda mecánica que se desplaza a través de un fluido o de un sólido. La velocidad del sonido en el aire con una presión atmosférica de 1,013×105Pa1,013×105Pa y una temperatura de 20 °C20 °C es vs343,00m/s.vs343,00m/s. Como la densidad depende de la temperatura, la velocidad del sonido en el aire depende de la temperatura del aire. Esto se analizará en detalle en la sección Sonido.

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