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Física Universitaria Volumen 1

16.2 Matemáticas de las ondas

Física Universitaria Volumen 116.2 Matemáticas de las ondas
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Modelar una onda, que se mueve con una velocidad de onda constante, con una expresión matemática.
  • Calcular la velocidad y la aceleración del medio.
  • Mostrar cómo la velocidad del medio difiere de la velocidad de la onda (velocidad de propagación).

En la sección anterior describimos ondas periódicas por sus características de longitud de onda, periodo, amplitud y rapidez de onda. Las ondas también se pueden describir mediante el movimiento de las partículas del medio por el que se mueven. La posición de las partículas del medio se puede modelar matemáticamente como funciones de onda, las cuales se pueden usar para calcular la posición, la velocidad y la aceleración de las partículas del medio de la onda en cualquier momento.

Pulsos

Un pulso se puede describir como una onda que consiste en una única alteración que se desplaza por el medio con una amplitud constante. El pulso se mueve como un patrón que mantiene su forma mientras se propaga con una rapidez de onda constante. Dado que la rapidez de onda es constante, la distancia que recorre el pulso en un tiempo ΔtΔt es igual a Δx=vΔtΔx=vΔt (Figura 16.8).

La figura a muestra una onda de pulso, una onda con una sola cresta en el tiempo t = 0. La distancia entre el inicio y el final de la onda está identificada como lambda. La cresta está en y = 0. La distancia vertical de la cresta desde el origen está identificada con A. La onda se propaga hacia la derecha con velocidad v. La figura b muestra la misma onda en el tiempo t = t subíndice 1. El pulso se ha desplazado hacia la derecha. La distancia horizontal de la cresta desde el eje y está identificada como delta x igual a v delta t.
Figura 16.8 El pulso en el tiempo t = 0 t = 0 que se centra en x = 0 x = 0 con amplitud (A). El pulso se mueve como un patrón con una forma constante, con un valor máximo constante A. La velocidad es constante y el pulso se mueve a una distancia Δ x = v Δ t Δ x = v Δ t en un tiempo Δ t . Δ t . La distancia recorrida se mide con cualquier punto conveniente del pulso. En esta figura se usa la cresta.

Modelado de una onda sinusoidal unidimensional mediante una función de onda

Considere una cuerda que se mantiene a una tensión constante FTFT donde un extremo está fijo y el extremo libre oscila entre y=+Ay=+A y y=Ay=A a través de un dispositivo mecánico a una frecuencia constante. La Figura 16.9 muestra representaciones de la onda a un intervalo de un octavo de periodo que comienza después de un periodo (t=T).(t=T).

La figura muestra diferentes etapas de una onda transversal que se propaga hacia la derecha, tomadas a intervalos de 1 por 8 T. Los puntos marcan puntos de la onda. Estos se mueven hacia arriba y hacia abajo de –A a +A. Un punto que está en la posición de equilibrio en el tiempo t = T, se mueve a +A en el tiempo t = T más 2 por 8 T. Luego, se mueve de nuevo a la posición de equilibrio en el tiempo t = T más 4 por 8 T. Se mueve a –A en el tiempo t = T más 6 por 8 T y de nuevo a la posición de equilibrio en el tiempo t = 2T. Del mismo modo, todos los puntos se mueven a sus posiciones originales en el tiempo t = 2T.
Figura 16.9 Representaciones de una onda transversal moviéndose a través de una cuerda bajo tensión, que comienza en el tiempo t = T t = T y se toma a intervalos de 1 8 T . 1 8 T . Los puntos de color se utilizan para resaltar puntos en la cuerda. Los puntos que están a una longitud de onda de distancia en la dirección x se resaltan con puntos del mismo color.

Observe que cada punto seleccionado en la cuerda (marcado con puntos de color) oscila hacia arriba y hacia abajo en movimiento armónico simple, entre y=+Ay=+A y y=A,y=A, con un periodo (T). La onda en la cuerda es sinusoidal y se traslada en la dirección x positiva a medida que avanza el tiempo.

En este punto, es útil que recuerde su estudio algebraico al indicar que si f(x) es alguna función, entonces f(xd)f(xd) es la misma función trasladada en la dirección x positiva una distancia d. La función f(x+d)f(x+d) es la misma función trasladada en la dirección x negativa una distancia d. Queremos definir una función de onda que dé la posición y de cada segmento de la cuerda para cada posición x a lo largo de la cuerda para cada tiempo t.

Al observar la primera representación en la Figura 16.9, la posición y de la cuerda entre x=0x=0 y x=λx=λ se puede modelar como una función seno. Esta onda se propaga por la cuerda una longitud de onda en un periodo, como se ve en la última representación. Por lo tanto, la onda se mueve con una rapidez de onda constante de v=λ/T.v=λ/T.

Recuerde que una función seno es una función del ángulo θθ, que oscila entre +1+1 y −1−1, y se repite cada 2π2π radianes (Figura 16.10). Sin embargo, la posición y del medio, o la función de onda, oscila entre +A+A y AA y se repite cada longitud de onda λλ.

La figura muestra un gráfico con seno theta en el eje y, y theta en el eje x. Aparece como una onda transversal cuyo valor y varía de –1 a +1. La onda tiene crestas en valores theta iguales a pi por 2, 5 pi por 2 y así sucesivamente. Cruza el eje x en 0, pi, 2 pi y así sucesivamente.
Figura 16.10 Una función seno oscila entre + 1 + 1 y −1 −1 cada 2 π 2 π radianes.

Para construir nuestro modelo de la onda mediante una función periódica, consideremos la relación entre el ángulo y la posición,

θx=2πλ,θ=2πλx.θx=2πλ,θ=2πλx.

Al usar θ=2πλxθ=2πλx y multiplicar la función seno por la amplitud (A), ahora podemos modelar la posición y de la cuerda como una función de la posición x:

y(x)=Asen(2πλx).y(x)=Asen(2πλx).

La onda en la cuerda se desplaza en la dirección x positiva con una velocidad constante v, y se mueve una distancia vt en un tiempo t. La función de onda puede definirse ahora mediante

y(x,t)=Asen(2πλ(xvt)).y(x,t)=Asen(2πλ(xvt)).

A menudo, es conveniente reescribir esta función de onda de una forma más compacta. Al multiplicar mediante la relación 2πλ2πλ conduce a la ecuación

y(x,t)=Asen(2πλx2πλvt).y(x,t)=Asen(2πλx2πλvt).

El valor 2πλ2πλ se define como el número de onda. El símbolo del número de onda es k y tiene unidades de metros inversos, m−1:m−1:

k2πλk2πλ
16.2

Recuerde que en la sección Oscilaciones vimos que la frecuencia angular se define como ω2πT.ω2πT. El segundo término de la función de onda se convierte en

2πλvt=2πλ(λT)t=2πTt=ωt.2πλvt=2πλ(λT)t=2πTt=ωt.

La función de onda para una onda armónica simple en una cuerda se reduce a

y(x,t)=Asen(kxωt),y(x,t)=Asen(kxωt),

donde A es la amplitud, k=2πλk=2πλ es el número de onda, ω=2πTω=2πT es la frecuencia angular, el signo menos es para las ondas que se mueven en la dirección x positiva y el signo más es para las ondas que se mueven en la dirección x negativa. La velocidad de la onda es igual a

v=λT=λT(2π2π)=ωk.v=λT=λT(2π2π)=ωk.
16.3

Piense en nuestra discusión sobre una masa en un resorte, cuando la posición de la masa se modeló como x(t)=Acos(ωt+ϕ).x(t)=Acos(ωt+ϕ). El ángulo ϕϕ es un deslizamiento de fase, añadido para tener en cuenta que la masa puede tener condiciones iniciales distintas de x=+Ax=+A y v=0.v=0. Por motivos similares, la fase inicial se añade a la función de onda. La función de onda que modela una onda sinusoidal y permite un deslizamiento de fase inicial ϕ,ϕ, es

y(x,t)=Asen(kxωt+ϕ)y(x,t)=Asen(kxωt+ϕ)
16.4

El valor

(kxωt+ϕ)(kxωt+ϕ)
16.5

se conoce como la fase de la onda, donde ϕϕ es la fase inicial de la función de onda. Si el término temporal ωtωt es negativo o positivo depende de la dirección de la onda. En primer lugar, considere el signo menos para una onda con una fase inicial igual a cero (ϕ=0).(ϕ=0). La fase de la onda sería (kxωt).(kxωt). Considere la posibilidad de seguir un punto de una onda, como una cresta. Se producirá una cresta cuando sen(kxωt)=1,00sen(kxωt)=1,00, es decir, cuando kxωt=nπ+π2,kxωt=nπ+π2, para cualquier valor integral de n. Por ejemplo, una cresta particular se produce en kxωt=π2.kxωt=π2. A medida que la onda se mueve, el tiempo aumenta y x también debe aumentar para mantener la fase igual a π2.π2. Por lo tanto, el signo menos es para una onda que se mueve en la dirección x positiva. Al usar el signo más, kx+ωt=π2.kx+ωt=π2. Al aumentar el tiempo, x debe disminuir para mantener la fase igual a π2.π2. El signo más se utiliza para ondas que se mueven en la dirección x negativa. En resumen, y(x,t)=Asen(kxωt+ϕ)y(x,t)=Asen(kxωt+ϕ) modela una onda que se mueve en la dirección x positiva y y(x,t)=Asen(kx+ωt+ϕ)y(x,t)=Asen(kx+ωt+ϕ) modela una onda que se mueve en la dirección x negativa.

La Ecuación 16.4 se conoce como función de onda armónica simple. Una función de onda es cualquier función tal que f(x,t)=f(xvt).f(x,t)=f(xvt). Más adelante en este capítulo veremos que es una solución a la ecuación lineal de onda. Tenga en cuenta que y(x,t)=Acos(kx+ωt+ϕ)y(x,t)=Acos(kx+ωt+ϕ) funciona igualmente bien porque corresponde a un deslizamiento de fase diferente ϕ=ϕπ2.ϕ=ϕπ2.

Estrategia de Resolución De Problemas

calcular las características de una onda sinusoidal

  1. Para calcular la amplitud, la longitud de onda, el periodo y la frecuencia de una onda sinusoidal, escriba la función de onda en la forma y(x,t)=Asen(kxωt+ϕ).y(x,t)=Asen(kxωt+ϕ).
  2. La amplitud se puede leer directamente en la ecuación y es igual a A.
  3. El periodo de la onda se puede derivar de la frecuencia angular (T=2πω).(T=2πω).
  4. La frecuencia se puede calcular mediante f=1T.f=1T.
  5. La longitud de onda se puede calcular mediante el número de onda (λ=2πk).(λ=2πk).

Ejemplo 16.3

Características de una onda que se desplaza en una cuerda

Una onda transversal en una cuerda estirada se modela con la función de onda
y(x,t)=Asen(kxwt)=0,2msen(6,28m−1x1,57s−1t).y(x,t)=Asen(kxwt)=0,2msen(6,28m−1x1,57s−1t).

Calcule la amplitud, la longitud de onda, el periodo y la velocidad de la onda.

Estrategia

Todas estas características de la onda se pueden calcular a partir de las constantes incluidas en la ecuación o de combinaciones simples de estas constantes.

Solución

  1. La amplitud, el número de onda y la frecuencia angular se pueden leer directamente a partir de la ecuación de onda:
    y(x,t)=Asen(kxwt)=0,2msen(6,28m−1x1,57s−1t).y(x,t)=Asen(kxwt)=0,2msen(6,28m−1x1,57s−1t).
    (A=0,2m;k=6,28m−1;ω=1,57s−1)(A=0,2m;k=6,28m−1;ω=1,57s−1)
  2. El número de onda se puede usar para calcular la longitud de onda:
    k=2πλ.λ=2πk=2π6,28m−1=1,0m.k=2πλ.λ=2πk=2π6,28m−1=1,0m.
  3. El periodo de la onda se puede calcular mediante la frecuencia angular:
    ω=2πT.T=2πω=2π1,57s−1=4s.ω=2πT.T=2πω=2π1,57s−1=4s.
  4. La velocidad de la onda se puede calcular mediante el número de onda y la frecuencia angular. La dirección de la onda se puede determinar considerando el signo de kxωtkxωt: Un signo negativo sugiere que la onda se mueve en la dirección x positiva:
    |v|=ωk=1,57s−16,28m−1=0,25m/s.|v|=ωk=1,57s−16,28m−1=0,25m/s.

Importancia

Todas las características de la onda están contenidas en la función de onda. Observe que la rapidez de onda es la velocidad de la onda en la dirección paralela al movimiento de la onda. Trazado de la altura del medio y versus la posición x para dos tiempos t=0,00st=0,00s y t=0,80st=0,80s puede proporcionar una visualización gráfica de la onda (Figura 16.11).
La figura muestra dos ondas transversales cuyos valores y varían de –0,2 m a 0,2 m. Una onda, marcada con t = 0 segundos, se muestra como una línea punteada. Tiene crestas en x iguales a 0,25 m y 1,25 m. La otra onda, marcada como t = 0,8 segundos se muestra como una línea sólida. Tiene crestas en x iguales a 0,45 m y 1,45 m.
Figura 16.11 Gráfico de la altura de la onda y como función de posición x para representaciones de la onda en dos tiempos. La línea punteada representa la onda en el tiempo t = 0,00 s t = 0,00 s y la línea continua representa la onda en t = 0,80 s . t = 0,80 s . Como la velocidad de la onda es constante, la distancia que recorre la onda es la velocidad de la onda por el intervalo de tiempo. Los puntos negros indican los puntos utilizados para medir el desplazamiento de la onda. El medio se mueve hacia arriba y hacia abajo, mientras que la onda se mueve hacia la derecha.

Hay una segunda velocidad en el movimiento. En este ejemplo, la onda es transversal, se mueve horizontalmente mientras el medio oscila hacia arriba y hacia abajo perpendicularmente a la dirección del movimiento. El gráfico en la Figura 16.12 muestra el movimiento del medio en el punto x=0,60mx=0,60m como una función de tiempo. Observe que el medio de la onda oscila hacia arriba y hacia abajo entre y=+0,20my=+0,20m y y=−0,20my=−0,20m cada periodo de 4,0 segundos.

La figura muestra una onda transversal en un gráfico. Su valor y varía de –0,2 m a 0,2 m. El eje x muestra el tiempo en segundos. La distancia horizontal entre dos partes idénticas de la onda se identifica como T = 4 segundos.
Figura 16.12 Un gráfico de la altura de la onda y como una función de tiempo t para la posición x = 0,6 m . x = 0,6 m . El medio oscila entre y = + 0,20 m y = + 0,20 m y y = −0,20 m y = −0,20 m cada periodo. El periodo representado escoge dos puntos convenientes en las oscilaciones para medir el periodo. El periodo se puede medir entre dos puntos adyacentes cualesquiera con la misma amplitud y la misma velocidad, ( y / t ) . ( y / t ) . La velocidad se puede calcular al mirar la pendiente tangente al punto en un trazado y versus t. Observe que, a veces, t = 3,00 s t = 3,00 s y t = 7,00 s , t = 7,00 s , las alturas y las velocidades son las mismas y el periodo de la oscilación es de 4,00 s.

Compruebe Lo Aprendido 16.3

La función de onda anterior se deriva mediante una función seno. ¿Se puede usar una función coseno en su lugar?

Velocidad y aceleración del medio

Como se ve en el Ejemplo 16.4, la rapidez de onda es constante y representa la velocidad de la onda al propagarse por el medio, no la velocidad de las partículas que lo componen. Las partículas del medio oscilan en torno a una posición de equilibrio a medida que la onda se propaga por el medio. En el caso de la onda transversal que se propaga en la dirección x, las partículas oscilan hacia arriba y hacia abajo en la dirección y, perpendicular al movimiento de la onda. La velocidad de las partículas del medio no es constante, lo que significa que hay una aceleración. La velocidad del medio, la cual es perpendicular a la velocidad de la onda en una onda transversal, se puede calcular mediante la derivada parcial de la ecuación de posición con respecto al tiempo. La derivada parcial se calcula con la derivada de la función, y se tratan todas las variables como constantes, excepto la variable en cuestión. En el caso de la derivada parcial con respecto al tiempo t, la posición x se trata como una constante. Aunque esto puede sonar extraño si no lo ha visto antes, el objetivo de este ejercicio es calcular la velocidad transversal en un punto, así que en este sentido la posición x no está cambiando. Tenemos

y(x,t)=Asen(kxωt+ϕ)vy(x,t)=y(x,t)t=t(Asen(kxωt+ϕ))=Aωcos(kxωt+ϕ)=vymáx.cos(kxωt+ϕ).y(x,t)=Asen(kxωt+ϕ)vy(x,t)=y(x,t)t=t(Asen(kxωt+ϕ))=Aωcos(kxωt+ϕ)=vymáx.cos(kxωt+ϕ).

La magnitud de la velocidad máxima del medio es |vymáx.|=Aω|vymáx.|=Aω. Esto puede parecer familiar por lo visto en la sección Oscilaciones y el ejemplo de una masa sobre un resorte.

Podemos calcular la aceleración del medio al tomar la derivada parcial de la ecuación de la velocidad con respecto al tiempo,

ay(x,t)=vyt=t(Aωcos(kxωt+ϕ))=Aω2sen(kxωt+ϕ)=aymáx.sen(kxωt+ϕ).ay(x,t)=vyt=t(Aωcos(kxωt+ϕ))=Aω2sen(kxωt+ϕ)=aymáx.sen(kxωt+ϕ).

La magnitud de la aceleración máxima es |aymáx.|=Aω2.|aymáx.|=Aω2. Las partículas del medio, o los elementos de masa, oscilan en movimiento armónico simple para una onda mecánica.

Ecuación lineal de onda

Acabamos de determinar la velocidad del medio en una posición x tomando la derivada parcial, con respecto al tiempo, de la posición y. Para una onda transversal, esta velocidad es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Calculamos la aceleración tomando la derivada parcial, con respecto al tiempo, de la velocidad, la cual es la segunda derivada temporal de la posición:

ay(x,t)=2y(x,t)t2=2t2(Asen(kxωt+ϕ))=Aω2sen(kxωt+ϕ).ay(x,t)=2y(x,t)t2=2t2(Asen(kxωt+ϕ))=Aω2sen(kxωt+ϕ).

Considere ahora las derivadas parciales con respecto a la otra variable, la posición x, y mantenga el tiempo constante. La primera derivada es la pendiente de la onda en un punto x en un tiempo t,

pendiente=y(x,t)x=x(Asen(kxωt+ϕ))=Akcos(kxωt+ϕ).pendiente=y(x,t)x=x(Asen(kxωt+ϕ))=Akcos(kxωt+ϕ).

La segunda derivada parcial expresa cómo cambia la pendiente de la onda con respecto a la posición, es decir, la curvatura de la onda, donde

curvatura=2y(x,t)x2=2x2(Asen(kxωt+ϕ))=Ak2sen(kxωt+ϕ).curvatura=2y(x,t)x2=2x2(Asen(kxωt+ϕ))=Ak2sen(kxωt+ϕ).

La relación entre la aceleración y la curvatura conduce a una relación muy importante en física conocida como ecuación lineal de onda. Al tomar el cociente y mediante la ecuación v=ω/kv=ω/k se obtiene la ecuación lineal de onda (también conocida, simplemente, como ecuación de onda o ecuación de una cuerda vibrante),

2y(x,t)t22y(x,t)x2=Aω2sen(kxωt+ϕ)Ak2sen(kxωt+ϕ)=ω2k2=v2,2y(x,t)t22y(x,t)x2=Aω2sen(kxωt+ϕ)Ak2sen(kxωt+ϕ)=ω2k2=v2,
2y(x,t)x2=1v22y(x,t)t2.2y(x,t)x2=1v22y(x,t)t2.
16.6

La Ecuación 16.6 es la ecuación lineal de onda, que es una de las ecuaciones más importantes de la física y la ingeniería. Lo derivamos aquí para una onda transversal, pero es igualmente importante cuando se investigan ondas longitudinales. Esta relación también se derivó mediante una onda sinusoidal, pero describe con éxito cualquier onda o pulso que tenga la forma y(x,t)=f(xvt).y(x,t)=f(xvt). Estas ondas resultan debido a una fuerza restauradora lineal del medio, de ahí el nombre de ecuación lineal de onda. Cualquier función de onda que satisfaga esta ecuación es una función de onda lineal.

Un aspecto interesante de la ecuación lineal de onda es que si dos funciones de onda son soluciones individuales de la ecuación lineal de onda, entonces la suma de las dos funciones de onda lineal es también una solución de la ecuación de onda. Considere dos ondas transversales que se propagan a lo largo del eje x, y ocupan el mismo medio. Suponga que las ondas individuales se pueden modelar con las funciones de onda y1(x,t)=f(xvt)y1(x,t)=f(xvt) y y2(x,t)=g(xvt),y2(x,t)=g(xvt), que son soluciones a las ecuaciones lineales de onda y, por tanto, son funciones de onda lineales. La suma de las funciones de onda es la función de onda

y1(x,t)+y2(x,t)=f(xvt)+g(xvt).y1(x,t)+y2(x,t)=f(xvt)+g(xvt).

Considere la ecuación lineal de onda:

2(f+g)x2=1v22(f+g)t22fx2+2gx2=1v2[2ft2+2gt2].2(f+g)x2=1v22(f+g)t22fx2+2gx2=1v2[2ft2+2gt2].

Esto ha demostrado que si se suman algebraicamente dos funciones de onda lineales, la función de onda resultante también es lineal. Esta función de onda modela el desplazamiento del medio de la onda resultante en cada posición a lo largo del eje x. Si dos ondas lineales ocupan el mismo medio, se dice que interfieren. Si estas ondas se pueden modelar con una función de onda lineal, estas funciones de onda se suman para formar la ecuación de onda de la onda resultante de la interferencia de las ondas individuales. El desplazamiento del medio en cada punto de la onda resultante es la suma algebraica de los desplazamientos debido a las ondas individuales.

Al llevar este análisis un paso más allá si las funciones de onda y1(x,t)=f(xvt)y1(x,t)=f(xvt) y y2(x,t)=g(xvt)y2(x,t)=g(xvt) son soluciones de la ecuación lineal de onda, entonces Ay1(x,t)+By2(x,t),Ay1(x,t)+By2(x,t), donde A y B son constantes, es también una solución a la ecuación lineal de onda. Esta propiedad se conoce como el principio de superposición. La interferencia y la superposición se tratan con más detalle en la sección Interferencia de ondas.

Ejemplo 16.4

Interferencia de ondas en una cuerda

Considere que hay dos estudiantes que sostienen una cuerda muy larga estirada; cada uno sostiene un extremo. El estudiante A hace oscilar el extremo de la cuerda y se produce una onda modelada con la función de onda y1(x,t)=Asen(kxωt)y1(x,t)=Asen(kxωt) y el estudiante B hace oscilar la cuerda y se produce el doble de la frecuencia, lo que hace que se mueva en dirección opuesta. Ambas ondas se mueven a la misma velocidad v=ωk.v=ωk. Las dos ondas interfieren para formar una onda resultante cuya función de onda es yR(x,t)=y1(x,t)+y2(x,t).yR(x,t)=y1(x,t)+y2(x,t). Calcule la velocidad de la onda resultante mediante la ecuación lineal de onda 2y(x,t)x2=1v22y(x,t)t2.2y(x,t)x2=1v22y(x,t)t2.

Estrategia

Primero, escriba la función de onda para la onda creada por el segundo estudiante. Observe que la frecuencia angular de la segunda onda es el doble de la frecuencia de la primera onda (2ω)(2ω), y como la velocidad de las dos ondas es la misma, el número de onda de la segunda onda es el doble que el de la primera (2k).(2k). A continuación, escriba la ecuación de onda para la función de onda resultante, que es la suma de las dos funciones de onda individuales. A continuación, calcule la segunda derivada parcial con respecto a la posición y la segunda derivada parcial con respecto al tiempo. Use la ecuación lineal de onda para calcular la velocidad de la onda resultante.

Solución

  1. Escriba la función de onda de la segunda onda: y2(x,t)=Asen(2kx+2ωt).y2(x,t)=Asen(2kx+2ωt).
  2. Escriba la función de onda resultante:
    yR(x,t)=y1(x,t)+y(x,t)=Asen(kxωt)+Asen(2kx+2ωt).yR(x,t)=y1(x,t)+y(x,t)=Asen(kxωt)+Asen(2kx+2ωt).
  3. Calcule las derivadas parciales:
    yR(x,t)x=Akcos(kxωt)+2Akcos(2kx+2ωt),2yR(x,t)x2=Ak2sen(kxωt)4Ak2sen(2kx+2ωt),yR(x,t)t=Aωcos(kxωt)+2Aωcos(2kx+2ωt),2yR(x,t)t2=Aω2sen(kxωt)4Aω2sen(2kx+2ωt).yR(x,t)x=Akcos(kxωt)+2Akcos(2kx+2ωt),2yR(x,t)x2=Ak2sen(kxωt)4Ak2sen(2kx+2ωt),yR(x,t)t=Aωcos(kxωt)+2Aωcos(2kx+2ωt),2yR(x,t)t2=Aω2sen(kxωt)4Aω2sen(2kx+2ωt).
  4. Use la ecuación de onda para calcular la velocidad de la onda resultante:

    2y(x,t)x2=1v22y(x,t)t2,Ak2sen(kxωt)4Ak2sen(2kx+2ωt)=1v2(Aω2sen(kxωt)4Aω2sen(2kx+2ωt)),k2(Asen(kxωt)4Asen(2kx+2ωt))=ω2v2(Asen(kxωt)4Asen(2kx+2ωt)),k2=ω2v2,|v|=ωk.2y(x,t)x2=1v22y(x,t)t2,Ak2sen(kxωt)4Ak2sen(2kx+2ωt)=1v2(Aω2sen(kxωt)4Aω2sen(2kx+2ωt)),k2(Asen(kxωt)4Asen(2kx+2ωt))=ω2v2(Asen(kxωt)4Asen(2kx+2ωt)),k2=ω2v2,|v|=ωk.

Importancia

La velocidad de la onda resultante es igual a la velocidad de las ondas originales (v=ωk).(v=ωk). En la siguiente sección mostraremos que la velocidad de una onda armónica simple en una cuerda depende de la tensión en la cuerda y de la masa por longitud de la cuerda. Por ello, no es de extrañar que tanto las ondas componentes como la resultante se desplacen a la misma velocidad.

Compruebe Lo Aprendido 16.4

La ecuación de onda 2y(x,t)x2=1v22y(x,t)t22y(x,t)x2=1v22y(x,t)t2 funciona para cualquier onda de la forma y(x,t)=f(xvt).y(x,t)=f(xvt). En la sección anterior afirmamos que una función coseno también se podría usar para modelar una onda mecánica armónica simple. Compruebe si la onda

y(x,t)=0,50mcos(0,20πm−1x4,00πs−1t+π10)y(x,t)=0,50mcos(0,20πm−1x4,00πs−1t+π10)

es una solución de la ecuación de onda.

Cualquier alteración que cumpla con la ecuación de onda se puede propagar como una onda que se mueve a lo largo del eje x con una rapidez de onda v. Funciona igualmente bien para ondas en una cuerda, ondas sonoras y ondas electromagnéticas. Esta ecuación es extremadamente útil. Por ejemplo, se puede usar para demostrar que las ondas electromagnéticas se mueven a la velocidad de la luz.

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