16.2 Matemáticas de las ondas

Pulsos

Un pulso se puede describir como una onda que consiste en una única alteración que se desplaza por el medio con una amplitud constante. El pulso se mueve como un patrón que mantiene su forma mientras se propaga con una rapidez de onda constante. Dado que la rapidez de onda es constante, la distancia que recorre el pulso en un tiempo $\text{Δ}t$ es igual a $\text{Δ}x=v\text{Δ}t$ (Figura 16.8).

Figura 16.8 El pulso en el tiempo $t=0$ que se centra en $x=0$ con amplitud (A). El pulso se mueve como un patrón con una forma constante, con un valor máximo constante A. La velocidad es constante y el pulso se mueve a una distancia $\text{Δ}x=v\text{Δ}t$ en un tiempo $\text{Δ}t.$ La distancia recorrida se mide con cualquier punto conveniente del pulso. En esta figura se usa la cresta.

Modelado de una onda sinusoidal unidimensional mediante una función de onda

Considere una cuerda que se mantiene a una tensión constante $F_T$ donde un extremo está fijo y el extremo libre oscila entre $y=\text{+}A$ y $y=\text{–}A$ a través de un dispositivo mecánico a una frecuencia constante. La Figura 16.9 muestra representaciones de la onda a un intervalo de un octavo de periodo que comienza después de un periodo $\left(t=T\right).$

Figura 16.9 Representaciones de una onda transversal moviéndose a través de una cuerda bajo tensión, que comienza en el tiempo $t=T$ y se toma a intervalos de $\frac{1}{8}T.$ Los puntos de color se utilizan para resaltar puntos en la cuerda. Los puntos que están a una longitud de onda de distancia en la dirección x se resaltan con puntos del mismo color.

Observe que cada punto seleccionado en la cuerda (marcado con puntos de color) oscila hacia arriba y hacia abajo en movimiento armónico simple, entre $y=+A$ y $y=\text{–}A,$ con un periodo (T). La onda en la cuerda es sinusoidal y se traslada en la dirección x positiva a medida que avanza el tiempo.

En este punto, es útil que recuerde su estudio algebraico al indicar que si f(x) es alguna función, entonces $f\left(x–d\right)$ es la misma función trasladada en la dirección x positiva una distancia d. La función $f\left(x+d\right)$ es la misma función trasladada en la dirección x negativa una distancia d. Queremos definir una función de onda que dé la posición y de cada segmento de la cuerda para cada posición x a lo largo de la cuerda para cada tiempo t.

Al observar la primera representación en la Figura 16.9, la posición y de la cuerda entre $x=0$ y $x=\lambda$ se puede modelar como una función seno. Esta onda se propaga por la cuerda una longitud de onda en un periodo, como se ve en la última representación. Por lo tanto, la onda se mueve con una rapidez de onda constante de $v=\lambda \text{/}T.$

Recuerde que una función seno es una función del ángulo $\theta$, que oscila entre $\text{+}1$ y $\mathrm{-1}$, y se repite cada $2\pi$ radianes (Figura 16.10). Sin embargo, la posición y del medio, o la función de onda, oscila entre $\text{+}A$ y $\text{–}A$ y se repite cada longitud de onda $\lambda$.

Figura 16.10 Una función seno oscila entre $\text{+}1$ y $\mathrm{-1}$ cada $2\pi$ radianes.

Para construir nuestro modelo de la onda mediante una función periódica, consideremos la relación entre el ángulo y la posición,

Al usar $\theta =\frac{2\pi }{\lambda }x$ y multiplicar la función seno por la amplitud (A), ahora podemos modelar la posición y de la cuerda como una función de la posición x:

La onda en la cuerda se desplaza en la dirección x positiva con una velocidad constante v, y se mueve una distancia vt en un tiempo t. La función de onda puede definirse ahora mediante

A menudo, es conveniente reescribir esta función de onda de una forma más compacta. Al multiplicar mediante la relación $\frac{2\pi }{\lambda }$ conduce a la ecuación

El valor $\frac{2\pi }{\lambda }$ se define como el número de onda. El símbolo del número de onda es k y tiene unidades de metros inversos, ${\text{m}}^{\mathrm{-1}}:$

Recuerde que en la sección Oscilaciones vimos que la frecuencia angular se define como $\omega \equiv \frac{2\pi }{T}.$ El segundo término de la función de onda se convierte en

La función de onda para una onda armónica simple en una cuerda se reduce a

donde A es la amplitud, $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ es el número de onda, $\omega =\frac{2\pi }{T}$ es la frecuencia angular, el signo menos es para las ondas que se mueven en la dirección x positiva y el signo más es para las ondas que se mueven en la dirección x negativa. La velocidad de la onda es igual a

Piense en nuestra discusión sobre una masa en un resorte, cuando la posición de la masa se modeló como $x\left(t\right)=A\text{cos}\left(\omega t+\varphi \right).$ El ángulo $\varphi$ es un deslizamiento de fase, añadido para tener en cuenta que la masa puede tener condiciones iniciales distintas de $x=\text{+}A$ y $v=0.$ Por motivos similares, la fase inicial se añade a la función de onda. La función de onda que modela una onda sinusoidal y permite un deslizamiento de fase inicial $\varphi ,$ es

El valor

se conoce como la fase de la onda, donde $\varphi$ es la fase inicial de la función de onda. Si el término temporal $\omega t$ es negativo o positivo depende de la dirección de la onda. En primer lugar, considere el signo menos para una onda con una fase inicial igual a cero $\left(\varphi =0\right).$ La fase de la onda sería $\left(kx–\omega t\right).$ Considere la posibilidad de seguir un punto de una onda, como una cresta. Se producirá una cresta cuando $\text{sen}\left(kx–\omega t\right)=\mathrm{1,00}$, es decir, cuando $kx–\omega t=n\pi +\frac{\pi }{2},$ para cualquier valor integral de n. Por ejemplo, una cresta particular se produce en $kx–\omega t=\frac{\pi }{2}.$ A medida que la onda se mueve, el tiempo aumenta y x también debe aumentar para mantener la fase igual a $\frac{\pi }{2}.$ Por lo tanto, el signo menos es para una onda que se mueve en la dirección x positiva. Al usar el signo más, $kx+\omega t=\frac{\pi }{2}.$ Al aumentar el tiempo, x debe disminuir para mantener la fase igual a $\frac{\pi }{2}.$ El signo más se utiliza para ondas que se mueven en la dirección x negativa. En resumen, $y\left(x,t\right)=A\text{sen}\left(kx–\omega t+\varphi \right)$ modela una onda que se mueve en la dirección x positiva y $y\left(x,t\right)=A\text{sen}\left(kx+\omega t+\varphi \right)$ modela una onda que se mueve en la dirección x negativa.

La Ecuación 16.4 se conoce como función de onda armónica simple. Una función de onda es cualquier función tal que $f\left(x,t\right)=f\left(x–vt\right).$ Más adelante en este capítulo veremos que es una solución a la ecuación lineal de onda. Tenga en cuenta que $y\left(x,t\right)=A\text{cos}\left(kx+\omega t+\varphi \text{′}\right)$ funciona igualmente bien porque corresponde a un deslizamiento de fase diferente $\varphi \text{′}=\varphi –\frac{\pi }{2}.$

Ejemplo 16.3

Características de una onda que se desplaza en una cuerda

Una onda transversal en una cuerda estirada se modela con la función de onda

$$y\left(x,t\right)=A\text{sen}\left(kx–wt\right)=\mathrm{0,2}\text{m}\text{sen}\left(\mathrm{6,28}{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x–\mathrm{1,57}{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right).$$

Calcule la amplitud, la longitud de onda, el periodo y la velocidad de la onda.

Estrategia

Todas estas características de la onda se pueden calcular a partir de las constantes incluidas en la ecuación o de combinaciones simples de estas constantes.

Solución

1. La amplitud, el número de onda y la frecuencia angular se pueden leer directamente a partir de la ecuación de onda:
   $$y\left(x,t\right)=A\text{sen}\left(kx–wt\right)=\mathrm{0,2}\text{m}\text{sen}\left(\mathrm{6,28}{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x–\mathrm{1,57}{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right).$$
   $$(A=\mathrm{0,2}\text{m;}k=\mathrm{6,28}{\text{m}}^{\mathrm{-1}};\omega =\mathrm{1,57}{\text{s}}^{\mathrm{-1}})$$
2. El número de onda se puede usar para calcular la longitud de onda:
   $$\begin{array}{}\\ k=\frac{2\pi }{\lambda }.\hfill \\ \lambda =\frac{2\pi }{k}=\frac{2\pi }{\mathrm{6,28}{\text{m}}^{\mathrm{-1}}}=\mathrm{1,0}\text{m}.\hfill \end{array}$$
3. El periodo de la onda se puede calcular mediante la frecuencia angular:
   $$\begin{array}{}\\ \\ \omega =\frac{2\pi }{T}.\hfill \\ T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{\mathrm{1,57}{\text{s}}^{\mathrm{-1}}}=4\text{s}.\hfill \end{array}$$
4. La velocidad de la onda se puede calcular mediante el número de onda y la frecuencia angular. La dirección de la onda se puede determinar considerando el signo de $kx\mp \omega t$: Un signo negativo sugiere que la onda se mueve en la dirección x positiva:
   $$\left|v\right|=\frac{\omega }{k}=\frac{\mathrm{1,57}{\text{s}}^{\mathrm{-1}}}{\mathrm{6,28}{\text{m}}^{\mathrm{-1}}}=\mathrm{0,25}\text{m/s}.$$

Importancia

Todas las características de la onda están contenidas en la función de onda. Observe que la rapidez de onda es la velocidad de la onda en la dirección paralela al movimiento de la onda. Trazado de la altura del medio y versus la posición x para dos tiempos $t=\mathrm{0,00}\text{s}$ y $t=\mathrm{0,80}\text{s}$ puede proporcionar una visualización gráfica de la onda (Figura 16.11).

Figura 16.11 Gráfico de la altura de la onda y como función de posición x para representaciones de la onda en dos tiempos. La línea punteada representa la onda en el tiempo $t=\mathrm{0,00}\text{s}$ y la línea continua representa la onda en $t=\mathrm{0,80}\text{s}.$ Como la velocidad de la onda es constante, la distancia que recorre la onda es la velocidad de la onda por el intervalo de tiempo. Los puntos negros indican los puntos utilizados para medir el desplazamiento de la onda. El medio se mueve hacia arriba y hacia abajo, mientras que la onda se mueve hacia la derecha.

Hay una segunda velocidad en el movimiento. En este ejemplo, la onda es transversal, se mueve horizontalmente mientras el medio oscila hacia arriba y hacia abajo perpendicularmente a la dirección del movimiento. El gráfico en la Figura 16.12 muestra el movimiento del medio en el punto $x=\mathrm{0,60}\text{m}$ como una función de tiempo. Observe que el medio de la onda oscila hacia arriba y hacia abajo entre $y=+\mathrm{0,20}\text{m}$ y $y=\mathrm{-0,20}\text{m}$ cada periodo de 4,0 segundos.

Figura 16.12 Un gráfico de la altura de la onda y como una función de tiempo t para la posición $x=\mathrm{0,6}\text{m}.$ El medio oscila entre $y=+\mathrm{0,20}\text{m}$ y $y=\mathrm{-0,20}\text{m}$ cada periodo. El periodo representado escoge dos puntos convenientes en las oscilaciones para medir el periodo. El periodo se puede medir entre dos puntos adyacentes cualesquiera con la misma amplitud y la misma velocidad, $(\partial y\text{/}\partial t).$ La velocidad se puede calcular al mirar la pendiente tangente al punto en un trazado y versus t. Observe que, a veces, $t=\mathrm{3,00}s$ y $t=\mathrm{7,00}s,$ las alturas y las velocidades son las mismas y el periodo de la oscilación es de 4,00 s.

Velocidad y aceleración del medio

Como se ve en el Ejemplo 16.4, la rapidez de onda es constante y representa la velocidad de la onda al propagarse por el medio, no la velocidad de las partículas que lo componen. Las partículas del medio oscilan en torno a una posición de equilibrio a medida que la onda se propaga por el medio. En el caso de la onda transversal que se propaga en la dirección x, las partículas oscilan hacia arriba y hacia abajo en la dirección y, perpendicular al movimiento de la onda. La velocidad de las partículas del medio no es constante, lo que significa que hay una aceleración. La velocidad del medio, la cual es perpendicular a la velocidad de la onda en una onda transversal, se puede calcular mediante la derivada parcial de la ecuación de posición con respecto al tiempo. La derivada parcial se calcula con la derivada de la función, y se tratan todas las variables como constantes, excepto la variable en cuestión. En el caso de la derivada parcial con respecto al tiempo t, la posición x se trata como una constante. Aunque esto puede sonar extraño si no lo ha visto antes, el objetivo de este ejercicio es calcular la velocidad transversal en un punto, así que en este sentido la posición x no está cambiando. Tenemos

La magnitud de la velocidad máxima del medio es $\left|v_{y_{\text{máx.}}}\right|=A\omega$. Esto puede parecer familiar por lo visto en la sección Oscilaciones y el ejemplo de una masa sobre un resorte.

Podemos calcular la aceleración del medio al tomar la derivada parcial de la ecuación de la velocidad con respecto al tiempo,

La magnitud de la aceleración máxima es $\left|a_{y_{\text{máx.}}}\right|=A{\omega }^2.$ Las partículas del medio, o los elementos de masa, oscilan en movimiento armónico simple para una onda mecánica.

Ecuación lineal de onda

Acabamos de determinar la velocidad del medio en una posición x tomando la derivada parcial, con respecto al tiempo, de la posición y. Para una onda transversal, esta velocidad es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Calculamos la aceleración tomando la derivada parcial, con respecto al tiempo, de la velocidad, la cual es la segunda derivada temporal de la posición:

Considere ahora las derivadas parciales con respecto a la otra variable, la posición x, y mantenga el tiempo constante. La primera derivada es la pendiente de la onda en un punto x en un tiempo t,

La segunda derivada parcial expresa cómo cambia la pendiente de la onda con respecto a la posición, es decir, la curvatura de la onda, donde

La relación entre la aceleración y la curvatura conduce a una relación muy importante en física conocida como ecuación lineal de onda. Al tomar el cociente y mediante la ecuación $v=\omega \text{/}k$ se obtiene la ecuación lineal de onda (también conocida, simplemente, como ecuación de onda o ecuación de una cuerda vibrante),

La Ecuación 16.6 es la ecuación lineal de onda, que es una de las ecuaciones más importantes de la física y la ingeniería. Lo derivamos aquí para una onda transversal, pero es igualmente importante cuando se investigan ondas longitudinales. Esta relación también se derivó mediante una onda sinusoidal, pero describe con éxito cualquier onda o pulso que tenga la forma $y\left(x,t\right)=f\left(x\mp vt\right).$ Estas ondas resultan debido a una fuerza restauradora lineal del medio, de ahí el nombre de ecuación lineal de onda. Cualquier función de onda que satisfaga esta ecuación es una función de onda lineal.

Un aspecto interesante de la ecuación lineal de onda es que si dos funciones de onda son soluciones individuales de la ecuación lineal de onda, entonces la suma de las dos funciones de onda lineal es también una solución de la ecuación de onda. Considere dos ondas transversales que se propagan a lo largo del eje x, y ocupan el mismo medio. Suponga que las ondas individuales se pueden modelar con las funciones de onda $y_1\left(x,t\right)=f\left(x\mp vt\right)$ y $y_2\left(x,t\right)=g\left(x\mp vt\right),$ que son soluciones a las ecuaciones lineales de onda y, por tanto, son funciones de onda lineales. La suma de las funciones de onda es la función de onda

Considere la ecuación lineal de onda:

Esto ha demostrado que si se suman algebraicamente dos funciones de onda lineales, la función de onda resultante también es lineal. Esta función de onda modela el desplazamiento del medio de la onda resultante en cada posición a lo largo del eje x. Si dos ondas lineales ocupan el mismo medio, se dice que interfieren. Si estas ondas se pueden modelar con una función de onda lineal, estas funciones de onda se suman para formar la ecuación de onda de la onda resultante de la interferencia de las ondas individuales. El desplazamiento del medio en cada punto de la onda resultante es la suma algebraica de los desplazamientos debido a las ondas individuales.

Al llevar este análisis un paso más allá si las funciones de onda $y_1\left(x,t\right)=f\left(x\mp vt\right)$ y $y_2\left(x,t\right)=g\left(x\mp vt\right)$ son soluciones de la ecuación lineal de onda, entonces $A{y}_1\left(x,t\right)+B{y}_2\left(x,t\right),$ donde A y B son constantes, es también una solución a la ecuación lineal de onda. Esta propiedad se conoce como el principio de superposición. La interferencia y la superposición se tratan con más detalle en la sección Interferencia de ondas.

Cualquier alteración que cumpla con la ecuación de onda se puede propagar como una onda que se mueve a lo largo del eje x con una rapidez de onda v. Funciona igualmente bien para ondas en una cuerda, ondas sonoras y ondas electromagnéticas. Esta ecuación es extremadamente útil. Por ejemplo, se puede usar para demostrar que las ondas electromagnéticas se mueven a la velocidad de la luz.