16.4 La energía y la potencia de una onda

La energía en las ondas

La cantidad de energía de una onda está relacionada con su amplitud y su frecuencia. Los terremotos de gran amplitud producen grandes desplazamientos del suelo. Los sonidos fuertes tienen amplitudes de alta presión y provienen de vibraciones de fuentes de mayor amplitud que los sonidos suaves. Las olas grandes del mar revientan en la orilla más que las pequeñas. Considere el ejemplo de la gaviota y la onda acuática que vimos anteriormente en este capítulo (Figura 16.3). La onda hace un trabajo sobre la gaviota a medida que esta se desplaza hacia arriba, lo que cambia su energía potencial. Cuanto mayor sea la amplitud, mayor será la elevación de la gaviota por la onda y mayor será el cambio de energía potencial.

La energía de la onda depende tanto de la amplitud como de la frecuencia. Si se considera que la energía de cada longitud de onda es un paquete discreto de energía, una onda de alta frecuencia emitirá más de estos paquetes por unidad de tiempo que una onda de baja frecuencia. Veremos que la tasa media de transferencia de energía en ondas mecánicas es proporcional tanto al cuadrado de la amplitud como al cuadrado de la frecuencia. Si dos ondas mecánicas tienen amplitudes iguales, pero una de ellas tiene una frecuencia que es el doble de la frecuencia de la otra, la onda de mayor frecuencia tendrá una tasa de transferencia de energía cuatro veces mayor que la tasa de transferencia de energía de la onda de menor frecuencia. Hay que tener en cuenta que, si bien en las ondas mecánicas la tasa de transporte de energía es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia, en las ondas electromagnéticas la tasa de transferencia de energía es proporcional al cuadrado de la amplitud, pero independiente de la frecuencia.

Potencia de las ondas

Considere una onda sinusoidal en una cuerda que se produce por un vibrador de cuerda, como se muestra en la Figura 16.16. El vibrador de cuerda es un dispositivo que hace vibrar una varilla hacia arriba y hacia abajo. Una cuerda de densidad lineal de masa uniforme está atada a la varilla, y esta hace oscilar la cuerda y produce una onda sinusoidal. La varilla hace un trabajo sobre la cuerda que produce energía que se propaga a lo largo de ella. Considere un elemento de masa de la cuerda con una masa $\text{Δ}m$, como se ve en la Figura 16.16. A medida que la energía se propaga a lo largo de la cuerda, cada elemento de masa de la cuerda es impulsado hacia arriba y hacia abajo a la misma frecuencia que la onda. Cada elemento de masa de la cuerda se puede modelar como un oscilador armónico simple. Como la cuerda tiene una densidad lineal constante $\mu =\frac{\text{Δ}m}{\text{Δ}x},$ cada elemento de masa de la cuerda tiene la masa $\text{Δ}m=\mu \text{Δ}x.$

Figura 16.16 Un vibrador de cuerda es un dispositivo que hace vibrar una varilla. Una cuerda está atada a la varilla, y la varilla hace el trabajo en la cuerda, lo que impulsa la cuerda hacia arriba y hacia abajo. Esto produce una onda sinusoidal en la cuerda, que se mueve con una velocidad de la onda v. La rapidez de onda depende de la tensión en la cuerda y de la densidad lineal de masa de la cuerda. Una sección de la cuerda con masa $\text{Δ}m$ oscila a la misma frecuencia que la onda.

La energía mecánica total de la onda es la suma de su energía cinética y su energía potencial. La energía cinética $K=\frac{1}{2}m{v}^2$ de cada elemento de masa de la cuerda de longitud $\text{Δ}x$ es $\text{Δ}K=\frac{1}{2}\left(\text{Δ}m\right)v_y^2,$ ya que el elemento de masa oscila perpendicularmente a la dirección del movimiento de la onda. Al usar la densidad lineal de masa constante, la energía cinética de cada elemento de masa de la cuerda con longitud $\text{Δ}x$ es

Se puede formar una ecuación diferencial al dejar que la longitud del elemento de masa de la cuerda se acerque a cero,

Dado que la onda es una onda sinusoidal con una frecuencia angular $\omega ,$ la posición de cada elemento de masa se puede modelar como $y\left(x,t\right)=A\text{sen}\left(kx–\omega t\right).$ Cada elemento de masa de la cuerda oscila con una velocidad $v_y=\frac{\partial y\left(x,t\right)}{\partial t}=\text{–}A\omega \text{cos}\left(kx–\omega t\right).$ La energía cinética de cada elemento de masa de la cuerda se convierte en

La onda puede ser muy larga y estar compuesta por muchas longitudes de onda. Para normalizar la energía, considere la energía cinética asociada a una longitud de onda de la onda. Esta energía cinética se puede integrar sobre la longitud de onda para calcular la energía asociada a cada longitud de onda de la onda:

También hay energía potencial asociada a la onda. Al igual que la masa que oscila sobre un resorte, existe una fuerza restauradora conservadora que, cuando el elemento de masa se desplaza de la posición de equilibrio, lo devuelve a la posición de equilibrio. La energía potencial del elemento de masa se puede calcular considerando la fuerza restauradora lineal de la cuerda. En la sección Oscilaciones vimos que la energía potencial almacenada en un resorte con una fuerza lineal de restauración es igual a $U=\frac{1}{2}{k}_s{x}^2,$ donde la posición de equilibrio se define como $x=\mathrm{0,00}\text{m}.$ Cuando una masa unida al resorte oscila en movimiento armónico simple, la frecuencia angular es igual a $\omega =\sqrt{\frac{k_s}{m}}.$ Como cada elemento de masa oscila en movimiento armónico simple, la constante del resorte es igual a $k_s=\text{Δ}m{\omega }^2.$ La energía potencial del elemento de masa es igual a

Tenga en cuenta que $k_s$ es la constante del resorte y no el número de onda $k=\frac{2\pi }{\lambda }.$ Esta ecuación se puede usar para calcular la energía en una longitud de onda. Al integrar sobre la longitud de onda podemos calcular la energía potencial sobre una longitud de onda:

La energía potencial asociada a una longitud de onda de la onda es igual a la energía cinética asociada a una longitud de onda.

La energía total asociada a una longitud de onda es la suma de la energía potencial y la energía cinética:

La potencia promediada en el tiempo de una onda mecánica sinusoidal, que es la tasa media de transferencia de energía asociada a una onda cuando pasa por un punto, se puede hallar al tomar la energía total asociada a la onda dividida entre el tiempo que tarda en transferirse la energía. Si la velocidad de la onda sinusoidal es constante, el tiempo de paso de una longitud de onda por un punto es igual al periodo de la onda, el cual también es constante. Para una onda mecánica sinusoidal, la potencia promediada en el tiempo es, por tanto, la energía asociada a una longitud de onda dividida entre el periodo de la onda. La longitud de onda de la onda dividida entre el periodo es igual a la velocidad de la onda,

Note que esta ecuación para la potencia promediada en el tiempo de una onda mecánica sinusoidal muestra que la potencia es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda y al cuadrado de su frecuencia angular. Recuerde que la frecuencia angular es igual a $\omega =2\pi f$, por lo que la potencia de una onda mecánica es igual al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia de la onda.

Las ecuaciones para la energía de la onda y la potencia promediada en el tiempo se derivaron para una onda sinusoidal en una cuerda. En general, la energía de una onda mecánica y la potencia son proporcionales a la amplitud al cuadrado y a la frecuencia angular al cuadrado (y por tanto a la frecuencia al cuadrado).

Otra característica importante de las ondas es su intensidad. Las ondas también se pueden concentrar o propagar. Las ondas de un terremoto, por ejemplo, se propagan por un área mayor a medida que se alejan de la fuente, por lo que causan menos daño cuanto más se alejan de ella. La modificación del área que cubren las ondas tiene efectos importantes. Todos estos factores pertinentes se incluyen en la definición de intensidad (I) como potencia por unidad de área:

donde P es la potencia transportada por la onda a través del área A. La definición de intensidad es válida para cualquier energía en tránsito, incluida la transportada por las ondas. La unidad del SI para la intensidad es el vatio por metro cuadrado (W/m²). Muchas ondas son ondas esféricas que se desplazan desde una fuente como una esfera. Por ejemplo, un altavoz montado en un poste sobre el suelo puede producir ondas sonoras que se alejan de la fuente como una onda esférica. Las ondas sonoras se analizan con más detalle en el siguiente capítulo pero, en general, cuanto más lejos esté del altavoz menos intenso será el sonido que escuche. A medida que una onda esférica se desplaza desde una fuente, la superficie de la onda aumenta a medida que aumenta el radio $\left(A=4\pi r^2\right).$ La intensidad para una onda esférica es, por tanto,

Si no hay fuerzas de disipación, la energía permanecerá constante a medida que la onda esférica se aleja de la fuente, pero la intensidad disminuirá a medida que aumente la superficie.

En el caso de la onda circular bidimensional, la onda se desplaza hacia afuera, y aumenta la circunferencia de la onda a medida que aumenta el radio del círculo. Si usted lanza un guijarro en un estanque, la ondulación de la superficie se desplaza como una onda circular. A medida que la ondulación se aleja de la fuente, la amplitud disminuye. La energía de la onda se propaga por una circunferencia mayor y la amplitud disminuye proporcionalmente a $\frac{1}{r},$ que también es el mismo en el caso de una onda esférica, ya que la intensidad es proporcional a la amplitud al cuadrado.