6.3 Fuerza centrípeta

Curvas con peralte

Consideremos ahora las curvas con peralte, en las que la pendiente de la carretera permite maniobrar en la curva (Figura 6.22). Cuanto mayor sea el ángulo $\theta$, más rápido se puede tomar la curva. Los circuitos de carreras, tanto de motos como de autos, por ejemplo, suelen tener curvas con peralte muy pronunciados. En una "curva con peralte ideal", el ángulo $\theta$ es tal que puede maniobrar en la curva a cierta rapidez sin la ayuda de la fricción entre los neumáticos y la carretera. Derivamos una expresión $\theta$ para una curva con peralte ideal y consideramos un ejemplo relacionado con ella.

Figura 6.22 El auto en esta curva con peralte se aleja y gira a la izquierda.

Para el peralte ideal, la fuerza externa neta es igual a la fuerza centrípeta horizontal en ausencia de fricción. Las componentes de la fuerza normal N en las direcciones horizontal y vertical deberán ser iguales a la fuerza centrípeta y al peso del auto, respectivamente. En los casos en que las fuerzas no son paralelas, lo más conveniente es considerar los componentes a lo largo de los ejes perpendiculares, en este caso, las direcciones vertical y horizontal.

La Figura 6.22 muestra un diagrama de cuerpo libre para un auto en una curva con peralte sin fricción. Si el ángulo $\theta$ es ideal para la rapidez y el radio, entonces la fuerza externa neta es igual a la fuerza centrípeta necesaria. Las dos únicas fuerzas externas que actúan sobre el auto son su peso $\overrightarrow{w}$ y la fuerza normal de la carretera $\overrightarrow{N}.$ (Una superficie sin fricción puede ejercer solamente una fuerza perpendicular a la superficie, es decir, una fuerza normal). Estas dos fuerzas deberán sumarse para dar una fuerza externa neta que es horizontal hacia el centro de la curvatura y tiene magnitud $m{v}^2\text{/}r.$ Como esta es la fuerza crucial y es horizontal, utilizamos un sistema de coordenadas con ejes verticales y horizontales. Solo la fuerza normal tiene un componente horizontal, por lo que este deberá ser igual a la fuerza centrípeta, es decir,

Dado que el auto no abandona la superficie de la carretera, la fuerza vertical neta deberá ser cero, lo que significa que los componentes verticales de las dos fuerzas externas deberán ser iguales en magnitud y opuestas en dirección. En la Figura 6.22, vemos que el componente vertical de la fuerza normal es $N\text{cos}\theta ,$ y la única otra fuerza vertical es el peso del auto. Estas deberán ser iguales en magnitud; por lo tanto,

Ahora podemos combinar estas dos ecuaciones para eliminar N y obtener una expresión para $\theta$, según se desee. Al resolver la segunda ecuación para $N=mg\text{/}\left(cos\theta \right)$ y sustituir esto en la primera obtiene

Al tomar la tangente inversa se obtiene

Esta expresión puede entenderse al considerar cómo $\theta$ depende de v y r. Un gran $\theta$ se obtiene para una v grande y un r pequeño. Es decir, las carreteras deben tener un peralte pronunciado para la rapidez elevada y las curvas cerradas. La fricción permite tomar la curva a mayor o menor rapidez que si la curva no tuviera fricción. Observe que $\theta$ no depende de la masa del vehículo.

Los aviones también hacen virajes por ladeo. La fuerza de sustentación, debida a la fuerza del aire sobre el ala, actúa en ángulo recto con el ala. Cuando el avión se ladea, el piloto obtiene mayor sustentación de la necesaria para el vuelo nivelado. El componente vertical de la sustentación equilibra el peso del avión, y el componente horizontal acelera el avión. El ángulo de ladeo que se muestra en la Figura 6.23 viene dado por $\theta$. Analizamos las fuerzas de la misma manera que tratamos el caso del auto que toma una curva con peralte.

Figura 6.23 En un giro inclinado, el componente horizontal de la sustentación se desequilibra y acelera el avión. El componente normal de la sustentación equilibra el peso del avión. El ángulo de ladeo viene dado por $\theta$. Compare el diagrama vectorial con el que se muestra en la Figura 6.22.

Fuerzas inerciales y marcos no inerciales (acelerados): la fuerza de Coriolis

¿Qué tienen en común el despegue de un avión de reacción, el giro de una esquina en un auto, el paseo en un carrusel y el movimiento circular de un ciclón tropical? Cada uno de ellos presenta fuerzas inerciales, es decir, fuerzas que simplemente parecen surgir del movimiento, porque el marco de referencia del observador acelera o rota. Al despegar en un jet, la mayoría de la gente estará de acuerdo en que se siente como si le empujaran hacia atrás en el asiento mientras el avión acelera por la pista. Sin embargo, un físico diría que usted tiende a permanecer inmóvil mientras el asiento le empuja hacia delante. Una experiencia aún más común ocurre cuando se toma una curva cerrada con el auto, por ejemplo, hacia la derecha (Figura 6.24). Tiene la sensación de ser lanzado (es decir, forzado) hacia la izquierda en relación con el auto. De nuevo, un físico diría que usted va en línea recta (recuerde la primera ley de Newton), pero que el auto se desplaza hacia la derecha, no que usted esté experimentando una fuerza desde la izquierda.

Figura 6.24 (a) La conductora del auto se siente forzada hacia la izquierda con respecto al auto cuando hace un giro a la derecha. Se trata de una fuerza de inercia derivada del uso del auto como marco de referencia. (b) En el marco de referencia de la Tierra, la conductora se mueve en línea recta, obedeciendo la primera ley de Newton, y el auto se mueve hacia la derecha. No hay ninguna fuerza hacia la izquierda sobre la conductora en relación con la Tierra. En cambio, hay una fuerza hacia la derecha sobre el auto para hacerlo girar.

Podemos conciliar estos puntos de vista examinando los marcos de referencia utilizados. Concentrémonos en las personas en un auto. Los pasajeros utilizan instintivamente el auto como marco de referencia, mientras que un físico podría utilizar la Tierra. El físico podría hacer esta elección porque la Tierra es casi un marco de referencia inercial, en el que todas las fuerzas tienen un origen físico identificable. En este marco de referencia, las leyes del movimiento de Newton adoptan la forma dada en Leyes de movimiento de Newton. El auto es un marco de referencia no inercial porque está acelerado hacia un lado. La fuerza hacia la izquierda que perciben los pasajeros de un auto es una fuerza inercial que no tiene origen físico (se debe puramente a la inercia del pasajero, no a ninguna causa física como la tensión, la fricción o la gravitación). El auto, al igual que el conductor, acelera hacia la derecha. Se dice que esta fuerza inercial es una fuerza inercial porque no tiene ningún origen físico, como la gravedad.

Un físico elige el marco de referencia que sea más conveniente para la situación analizada. El físico no tiene ningún problema en incluir las fuerzas inerciales y la segunda ley de Newton, como es habitual, si eso es más conveniente, por ejemplo, en un carrusel o en un planeta en rotación. Los marcos de referencia no inerciales (acelerados) se utilizan cuando es útil hacerlo. Hay que tener en cuenta diferentes marcos de referencia al hablar del movimiento de un astronauta en una nave espacial que viaja a velocidades cercanas a la velocidad de la luz, como apreciará en el estudio de la teoría especial de la relatividad.

Ahora, demos un paseo mental en un carrusel, concretamente en un carrusel de parque infantil que rota rápidamente (Figura 6.25). Usted toma el carrusel como marco de referencia porque ambos rotan juntos. Al rotar en ese marco de referencia no inercial, se siente una fuerza inercial que tiende a despedirlo hacia afuera; esto se denomina fuerza centrífuga (no confundirla con la fuerza centrípeta). La fuerza centrífuga es un término que se utiliza comúnmente, pero en realidad no existe. Debe agarrarse con fuerza para contrarrestar su inercia (que la gente denomina fuerza centrífuga). En el marco de referencia de la Tierra, no hay ninguna fuerza que intente despedirlo hacia afuera; subrayamos que la fuerza centrífuga es una ficción. Tiene que agarrarse para ir en círculo, porque, de lo contrario, iría en línea recta, justo fuera del carrusel, de acuerdo con la primera ley de Newton. Sin embargo, la fuerza que se ejerce actúa hacia el centro del círculo.

Figura 6.25 (a) Una persona que se monta en un carrusel tiene la sensación de salir despedido hacia afuera. Esta fuerza inercial a veces se denomina erróneamente fuerza centrífuga en un intento por explicar el movimiento de la persona montada en el marco de referencia rotativo. (b) En un marco de referencia inercial y según las leyes de Newton, es su inercia la que lo arrastra (la persona sin sombrear tiene $F_{\text{neta}}=0$ y se dirige en línea recta). Una fuerza, $F_{\text{centrípeta}}$, es necesaria para provocar una trayectoria circular.

Este efecto inercial, que lo aleja del centro de rotación si no hay una fuerza centrípeta que provoque un movimiento circular, se aprovecha en las centrífugas (Figura 6.26). Una centrífuga hace girar una muestra muy rápidamente, como se ha mencionado anteriormente en este capítulo. Visto desde el marco de referencia rotativo, la fuerza inercial lanza las partículas hacia el exterior, lo que acelera su sedimentación. Cuanto mayor sea la velocidad angular, mayor será la fuerza centrífuga. Sin embargo, lo que realmente ocurre es que la inercia de las partículas las lleva a lo largo de una línea tangente al círculo, mientras que el tubo de ensayo es forzado en una trayectoria circular por una fuerza centrípeta.

Figura 6.26 Las centrífugas utilizan la inercia para realizar su tarea. Las partículas del sedimento fluido se depositan porque su inercia las aleja del centro de rotación. La gran velocidad angular de la centrífuga acelera la sedimentación. Al final, las partículas entran en contacto con las paredes del tubo de ensayo, que aportan la fuerza centrípeta necesaria para que se muevan en un círculo de radio constante.

Consideremos ahora lo que ocurre si algo se mueve en un marco de referencia rotativo. Por ejemplo, ¿qué ocurre si desliza una pelota directamente desde el centro del carrusel, como se muestra en la Figura 6.27? La pelota sigue una trayectoria recta con respecto a la Tierra (suponiendo una fricción despreciable) y una trayectoria curvada hacia la derecha en la superficie del carrusel. Una persona situada junto al carrusel ve que la pelota se mueve en línea recta y que el carrusel rota debajo de ella. En el marco de referencia del carrusel, explicamos la aparente curva hacia la derecha mediante una fuerza de inercia, llamada fuerza de Coriolis, que hace que la pelota se curve hacia la derecha. Cualquiera puede utilizar la fuerza de Coriolis en ese marco de referencia para explicar por qué los objetos siguen trayectorias curvas y nos permite aplicar las leyes de Newton en marcos de referencia no inerciales.

Figura 6.27 Observando la rotación en sentido contrario de las agujas del reloj de un carrusel, vemos que una pelota que se desliza directamente hacia el borde sigue una trayectoria curvada hacia la derecha. La persona desliza la pelota hacia el punto B, partiendo del punto A. Ambos puntos rotan hasta las posiciones sombreadas (A' y B') que se muestran en el tiempo que la pelota sigue la trayectoria curva en el marco rotativo y una trayectoria recta en el marco de la Tierra.

Hasta ahora, hemos considerado que la Tierra es un marco de referencia inercial, sin preocuparse por los efectos debidos a su rotación. Sin embargo, estos efectos existen, por ejemplo, en la rotación de los sistemas meteorológicos. La mayoría de las consecuencias de la rotación de la Tierra pueden entenderse cualitativamente por analogía con el carrusel. Vista desde el Polo Norte, la Tierra rota en sentido contrario de las agujas del reloj, al igual que el carrusel en la Figura 6.27. Como en el carrusel, cualquier movimiento en el hemisferio norte de la Tierra experimenta una fuerza de Coriolis hacia la derecha. Lo contrario ocurre en el hemisferio sur; allí, la fuerza es hacia la izquierda. Dado que la velocidad angular de la Tierra es pequeña, la fuerza de Coriolis suele ser despreciable, pero para los movimientos a gran escala, como los patrones de viento, tiene efectos sustanciales.

La fuerza de Coriolis hace que los huracanes del hemisferio norte roten en el sentido contrario a las agujas del reloj, mientras que los ciclones tropicales del hemisferio sur rotan en el sentido de las agujas del reloj. (Los términos huracán, tifón y tormenta tropical son nombres regionales específicos para los ciclones, que son sistemas de tormentas caracterizados por centros de baja presión, fuertes vientos y lluvias intensas). La Figura 6.28 ayuda a mostrar cómo se producen estas rotaciones. El aire fluye hacia cualquier región de baja presión, y los ciclones tropicales contienen presiones particularmente bajas. Así, los vientos fluyen hacia el centro de un ciclón tropical o de un sistema meteorológico de baja presión en la superficie. En el hemisferio norte, estos vientos de entrada se desvían hacia la derecha, como se muestra en la figura, lo que produce una circulación en sentido contrario a las agujas del reloj en la superficie para las zonas de baja presión de cualquier tipo. Las bajas presiones en la superficie se asocian al ascenso del aire, que también produce el enfriamiento y la formación de nubes, lo que hace que los patrones de bajas presiones sean bastante visibles desde el espacio. Por el contrario, la circulación del viento en torno a las zonas de alta presión se produce en el sentido de las agujas del reloj en el hemisferio sur, pero es menos visible porque las altas presiones se asocian al hundimiento del aire y producen cielos despejados.

Figura 6.28 (a) La rotación en sentido contrario de las agujas del reloj de este huracán del hemisferio norte es una de las principales consecuencias de la fuerza de Coriolis. (b) Sin la fuerza de Coriolis, el aire fluiría directamente hacia una zona de baja presión, como la que se encuentra en los ciclones tropicales. (c) La fuerza de Coriolis desvía los vientos hacia la derecha y produce una rotación en sentido contrario de las agujas del reloj. (d) El viento que se aleja de una zona de alta presión también se desvía hacia la derecha y produce una rotación en sentido de las agujas del reloj. (e) La fuerza de Coriolis produce el sentido de rotación contrario en el hemisferio sur, lo que da lugar a los ciclones tropicales (créditos: a y créditos e. modificaciones del trabajo de la NASA).

La rotación de los ciclones tropicales y la trayectoria de una pelota en un carrusel se explican igualmente por la inercia y la rotación del sistema que hay debajo. Cuando se utilizan marcos no inerciales, hay que inventar fuerzas inerciales, como la fuerza de Coriolis, para explicar la trayectoria curva. No existe ninguna fuente física identificable para estas fuerzas de inercia. En un marco inercial, la inercia explica la trayectoria, y no se encuentra ninguna fuerza sin una fuente identificable. Cualquiera de los dos puntos de vista nos permite describir la naturaleza, pero un punto de vista en un marco inercial es el más simple, en el sentido de que todas las fuerzas tienen orígenes y explicaciones.