6.2 Fricción

Fricción estática y cinética

La definición básica de fricción es relativamente sencilla de enunciar.

Hay varias formas de fricción. Una de las características más sencillas de la fricción por deslizamiento es que es paralela a las superficies de contacto entre los sistemas y siempre está en una dirección que se opone al movimiento o intento de movimiento de los sistemas entre sí. Si dos sistemas están en contacto y se mueven uno respecto al otro, la fricción entre ellos se denomina fricción cinética. Por ejemplo, la fricción frena el deslizamiento de un disco de hockey sobre el hielo. Cuando los objetos están inmóviles, la fricción estática puede actuar entre ellos; la fricción estática suele ser mayor que la fricción cinética entre dos objetos.

Imagine, por ejemplo, que intenta deslizar una caja pesada por un piso de hormigón: podría empujar muy fuerte la caja y no moverla en absoluto. Esto significa que la fricción estática responde a lo que usted hace: aumenta para ser igual y en la dirección opuesta a su empujón. Si finalmente empuja lo suficientemente fuerte, la caja parece deslizarse de repente y comienza a moverse. Ahora la fricción estática da paso a la fricción cinética. Una vez en movimiento, es más fácil mantenerla en movimiento que lo que fue ponerla en marcha, lo que indica que la fuerza de fricción cinética es menor que la fuerza de fricción estática. Si se añade masa a la caja, por ejemplo, si coloca una caja encima, hay que empujar aún más fuerte para ponerla en marcha y también para mantenerla en movimiento. Además, si aceitara el hormigón le resultaría más fácil poner la caja en marcha y mantenerla en marcha (como es lógico).

La Figura 6.10 es una burda representación pictórica de cómo se produce la fricción en la interfaz entre dos objetos. La inspección de cerca de estas superficies muestra que son ásperas. Por lo tanto, cuando empuja para que un objeto se mueva (en este caso, una caja), debe alzar el objeto hasta que pueda saltar con solo las puntas de la superficie golpeando, romper las puntas, o ambas cosas. La fricción puede resistir una fuerza considerable, sin movimiento aparente. Cuanto más fuerte se empujen las superficies entre sí (por ejemplo, si se coloca otra caja sobre la caja), más fuerza se necesitará para moverlas. Una parte de la fricción se debe a las fuerzas adhesivas entre las moléculas de la superficie de los dos objetos, lo que explica la dependencia de la fricción de la naturaleza de las sustancias. Por ejemplo, los zapatos con suela de goma resbalan menos que los que tienen suela de cuero. La adhesión varía con las sustancias en contacto y es un aspecto complicado de la física de las superficies. Una vez que el objeto está en movimiento, hay menos puntos de contacto (menos moléculas adheridas), por lo que se requiere menos fuerza para mantenerlo en movimiento. A poca rapidez, pero distinta a cero, la fricción es casi independiente de la velocidad.

Figura 6.10 Las fuerzas de fricción, como $\overrightarrow{f},$ siempre se oponen al movimiento o al intento de movimiento entre objetos en contacto. La fricción se produce en parte por la aspereza de las superficies en contacto, como se ve en la vista ampliada. Para que el objeto se mueva, debe elevarse hasta donde los picos de la superficie superior puedan saltar a lo largo de la superficie inferior. Por lo tanto, se requiere una fuerza solo para poner el objeto en movimiento. Algunos de los picos se quebrarán, lo que exigirá también una fuerza para mantener el movimiento. En realidad, gran parte de la fricción se debe a las fuerzas de atracción entre las moléculas que componen los dos objetos, de modo que incluso las superficies perfectamente lisas no están exentas de fricción. (De hecho, superficies perfectamente lisas y limpias de materiales similares se adherirían para formar una unión denominada "soldadura en frío").

La magnitud de la fuerza de fricción tiene dos formas: una para situaciones estáticas (fricción estática) y otra para situaciones de movimiento (fricción cinética). Lo que sigue es apenas un modelo empírico aproximado (determinado experimentalmente). Estas ecuaciones para la fricción estática y cinética no son ecuaciones vectoriales.

El símbolo $\le$ significa menor o igual que, lo que implica que la fricción estática puede tener un valor máximo de ${\mu }_{\text{s}}N.$ La fricción estática es una fuerza de respuesta que aumenta para ser igual y opuesta a cualquier fuerza que se ejerza, hasta su límite máximo. Una vez que la fuerza aplicada supera

$f_{\text{s}}\text{(máx),}$ el objeto se mueve. Por lo tanto,

Un sistema en el que $f_{\text{k}}={\mu }_{\text{k}}N$ se describe como un sistema en el que la fricción se comporta de forma sencilla. La transición de la fricción estática a la cinética se ilustra en la Figura 6.11.

Figura 6.11 (a) La fuerza de fricción $\overrightarrow{f}$ entre el bloque y la superficie áspera se opone a la dirección de la fuerza aplicada $\overrightarrow{F}.$ La magnitud de la fricción estática equilibra la de la fuerza aplicada. Esto se muestra en la parte izquierda del gráfico en (c). (b) En algún momento, la magnitud de la fuerza aplicada es mayor que la fuerza de fricción cinética, y el bloque se mueve hacia la derecha. Esto se muestra en la parte derecha del gráfico. (c) El gráfico de la fuerza de fricción frente a la fuerza aplicada; observe que $f_{\text{s}}(\text{máx})>f_{\text{k}}.$ Esto significa que ${\mu }_{\text{s}}>{\mu }_{\text{k}}.$

Como puede ver en la Tabla 6.1, los coeficientes de fricción cinética son menores que sus homólogos estáticos. Los valores aproximados de $\mu$ se indican a solo uno o dos dígitos para señalar la descripción aproximada de la fricción dada por las dos ecuaciones anteriores.

La Ecuación 6.1 y la Ecuación 6.2 incluyen la dependencia de la fricción con los materiales y la fuerza normal. La dirección de la fricción es siempre opuesta a la del movimiento, paralela a la superficie entre los objetos y perpendicular a la fuerza normal. Por ejemplo, si la caja que se intenta empujar (con una fuerza paralela al suelo) tiene una masa de 100 kg, entonces la fuerza normal es igual a su peso,

perpendicular al suelo. Si el coeficiente de fricción estática es de 0,45, tendría que ejercer una fuerza paralela al suelo superior a

para mover la caja. Una vez que hay movimiento, la fricción es menor y el coeficiente de fricción cinética puede ser 0,30, por lo que una fuerza de solo

lo mantiene en movimiento a una rapidez constante. Si el suelo está lubricado, ambos coeficientes son considerablemente menores de lo que serían sin lubricación. El coeficiente de fricción es una cantidad sin unidad con una magnitud generalmente entre 0 y 1,0. El valor real depende de las dos superficies que están en contacto.

Muchas personas han experimentado lo resbaladizo que resulta caminar sobre el hielo. Sin embargo, muchas partes del cuerpo, especialmente las articulaciones, tienen coeficientes de fricción mucho menores, a menudo tres o cuatro veces menos que el hielo. Una articulación está formada por los extremos de dos huesos, que están unidos por tejidos gruesos. La articulación de la rodilla está formada por el hueso de la parte inferior de la pierna (la tibia) y el hueso del muslo (el fémur). La cadera es una articulación de rótula (en el extremo del fémur) y cavidad (parte de la pelvis). Los extremos de los huesos de la articulación están cubiertos por cartílago, que proporciona una superficie lisa, casi cristalina. Las articulaciones también producen un líquido (líquido sinovial) que reduce la fricción y el desgaste. Una articulación dañada o artrítica puede reemplazarse con una articulación artificial (Figura 6.12). Estas prótesis pueden ser de metal (acero inoxidable o titanio) o de plástico (polietileno), también con coeficientes de fricción muy pequeños.

Figura 6.12 El reemplazo de rodilla artificial es un procedimiento que se realiza desde hace más de 20 años. Estas radiografías postoperatorias muestran el reemplazo de la articulación de la rodilla derecha (créditos: modificación del trabajo de Mike Baird).

Entre los lubricantes naturales se encuentran la saliva que facilita la deglución, y el moco viscoso que se encuentra entre los órganos del cuerpo y los protege y lubrica durante los latidos del corazón, durante la respiración y cuando la persona se mueve. Los hospitales y las clínicas médicas utilizan lubricantes artificiales, como gel, para reducir la fricción.

Las ecuaciones dadas para la fricción estática y cinética son leyes empíricas que describen el comportamiento de las fuerzas de fricción. Aunque estas fórmulas son muy útiles a efectos prácticos, no tienen la categoría de enunciados matemáticos que representan los principios generales (por ejemplo, la segunda ley de Newton). De hecho, hay casos para los que estas ecuaciones ni siquiera son buenas aproximaciones. Por ejemplo, ninguna de las dos fórmulas es precisa para superficies lubricadas o para dos superficies que se deslizan una sobre otra a gran rapidez. A menos que se especifique, no nos ocuparemos de estas excepciones.

Ejemplo 6.10

Fricción estática y cinética

Una caja de 20,0 kg está en reposo sobre el piso, como se muestra en la Figura 6.13. El coeficiente de fricción estática entre la caja y el piso es de 0,700 y el coeficiente de fricción cinética es de 0,600. Una fuerza horizontal $\overrightarrow{P}$ se aplica a la caja. Halle la fuerza de fricción si (a) $\overrightarrow{P}=\mathrm{20,0}\text{N,}$ (b) $\overrightarrow{P}=\mathrm{30,0}\text{N,}$ (c) $\overrightarrow{P}=\mathrm{120,0}\text{N,}$ y (d) $\overrightarrow{P}=\mathrm{180,0}\text{N}\text{.}$

Figura 6.13 (a) Una caja situada en una superficie horizontal se empuja con una fuerza $\overrightarrow{P}.$ (b) Las fuerzas sobre la caja. Aquí, $\overrightarrow{f}$ puede representar la fuerza de fricción estática o cinética.

Estrategia

El diagrama de cuerpo libre de la caja se muestra en la Figura 6.13(b). Aplicamos la segunda ley de Newton en las direcciones horizontal y vertical, incluso la fuerza de fricción en oposición a la dirección del movimiento de la caja.

Solución

La segunda ley de Newton DA

$$\begin{array}{cccc}{\displaystyle \sum F_x=m{a}_x}\hfill & & & {\displaystyle \sum F_y=m{a}_y}\hfill \\ P-f=m{a}_x\hfill & & & N-w=0.\hfill \end{array}$$

Aquí utilizamos el símbolo f para representar la fuerza de fricción, ya que aún no hemos determinado si la caja está sometida a fricción estática o fricción cinética. Lo hacemos siempre que no estemos seguros del tipo de fricción que está actuando. Ahora el peso de la caja es

$$w=(\mathrm{20,0}\text{kg})(\mathrm{9,80}{\text{m/s}}^2)=196\text{N,}$$

que también es igual a N. Por tanto, la fuerza máxima de fricción estática es $\left(\mathrm{0,700}\right)\left(196\text{N}\right)=137\text{N}\text{.}$ Siempre que $\overrightarrow{P}$ sea inferior a 137 N, la fuerza de fricción estática mantendrá la caja inmóvil y $f_{\text{s}}=\overrightarrow{P}.$ Por lo tanto, (a) $f_s=\mathrm{20,0}\text{N,}$ (b) $f_s=\mathrm{30,0}\text{N,}$ y (c) $f_s=\mathrm{120,0}\text{N}\text{.}$

(d) Si $\overrightarrow{P}=\mathrm{180,0}\text{N,}$ la fuerza aplicada es mayor que la fuerza máxima de fricción estática (137 N), por lo que la caja ya no puede permanecer en reposo. Una vez que la caja esté en movimiento, actúa la fricción cinética. Entonces

$$f_{\text{k}}={\mu }_{\text{k}}N=(\mathrm{0,600})(196\text{N})=118\text{N,}$$

y la aceleración es

$$a_x=\frac{\overrightarrow{P}-f_{\text{k}}}{m}=\frac{\mathrm{180,0}\text{N}-118\text{N}}{\mathrm{20,0}\text{kg}}=\mathrm{3,10}{\text{m/s}}^2\text{.}$$

Importancia

Este ejemplo ilustra cómo consideramos la fricción en un problema de dinámica. Observe que la fricción estática tiene un valor que coincide con la fuerza aplicada, hasta que alcanzamos el valor máximo de fricción estática. Además, no puede producirse ningún movimiento hasta que la fuerza aplicada sea igual a la fuerza de fricción estática, pero la fuerza de fricción cinética será entonces menor.

Fricción y el plano inclinado

Una situación en la que la fricción desempeña un papel evidente es la de un objeto en una pendiente. Puede tratarse de una caja que se empuja por una rampa hasta un muelle de carga o de un patinador que desciende por una montaña, pero la física básica es la misma. Solemos generalizar la superficie con pendiente y llamarla plano inclinado, pero luego fingimos que la superficie es plana. Veamos un ejemplo de análisis del movimiento en un plano inclinado con fricción.

Ejemplo 6.11

Esquiador cuesta abajo

Un esquiador con una masa de 62 kg se desliza por una pendiente nevada con aceleración constante. Halle el coeficiente de fricción cinética del esquiador si se sabe que la fricción es de 45,0 N.

Estrategia

La magnitud de la fricción cinética es de 45,0 N. La fricción cinética está relacionada con la fuerza normal $N$ por $f_{\text{k}}={\mu }_{\text{k}}N$; por lo tanto, podemos encontrar el coeficiente de fricción cinética si encontramos la fuerza normal sobre el esquiador. La fuerza normal es siempre perpendicular a la superficie, y como no hay movimiento perpendicular a la superficie, la fuerza normal debe ser igual al componente del peso del esquiador perpendicular a la pendiente. (Vea la Figura 6.14, que repite una figura del capítulo sobre las leyes del movimiento de Newton).

Figura 6.14 El movimiento del esquiador y la fricción son paralelos a la pendiente, por lo que lo más conveniente es proyectar todas las fuerzas en un sistema de coordenadas en el que un eje es paralelo a la pendiente y el otro es perpendicular (los ejes se muestran a la izquierda del esquiador). La fuerza normal $\overrightarrow{N}$ es perpendicular a la pendiente, y la fricción $\overrightarrow{f}$ es paralela a la pendiente, pero el peso del esquiador $\overrightarrow{w}$ tiene componentes a lo largo de ambos ejes, es decir ${\overrightarrow{w}}_y$ y ${\overrightarrow{w}}_x.$ La fuerza normal $\overrightarrow{N}$ es igual en magnitud a ${\overrightarrow{w}}_y,$ por lo que no hay movimiento perpendicular a la pendiente. Sin embargo, $\overrightarrow{f}$ es igual a ${\overrightarrow{w}}_x$ en magnitud, por lo que hay una velocidad constante hacia abajo en la pendiente (a lo largo del eje de la x).

Tenemos

$$N=w_y=w\text{cos}25\text{°}=mg\text{cos}25\text{°}.$$

Al sustituir esto en nuestra expresión de la fricción cinética, obtenemos

$$f_{\text{k}}={\mu }_{\text{k}}mg\text{cos}25\text{°},$$

que ahora se puede resolver para el coeficiente de fricción cinética ${\mu }_{\text{k}}.$

Solución

Al resolver ${\mu }_{\text{k}}$ da

$${\mu }_{\text{k}}=\frac{f_{\text{k}}}{N}=\frac{f_{\text{k}}}{w\text{cos}25\text{°}}=\frac{f_{\text{k}}}{mg\text{cos}25\text{°}}.$$

Al sustituir los valores conocidos en el lado derecho de la ecuación,

$${\mu }_{\text{k}}=\frac{\mathrm{45,0}\text{N}}{(62\text{kg})(\mathrm{9,80}{\text{m/s}}^2)(\mathrm{0,906})}=\mathrm{0,082}.$$

Importancia

Este resultado es un poco menor que el coeficiente indicado en la Tabla 6.1 para la madera encerada sobre la nieve, pero sigue siendo razonable, ya que los valores de los coeficientes de fricción pueden variar mucho. En situaciones como esta, en la que un objeto de masa m se desliza por una pendiente que forma un ángulo $\theta$ con la horizontal, la fricción está dada por $f_{\text{k}}={\mu }_{\text{k}}mg\text{cos}\theta .$ Todos los objetos se deslizan hacia abajo por una pendiente con aceleración constante en estas circunstancias.

Hemos hablado de que, cuando un objeto se apoya en una superficie horizontal, la fuerza normal que lo sostiene es igual en magnitud a su peso. Además, la fricción simple es siempre proporcional a la fuerza normal. Cuando un objeto no está sobre una superficie horizontal, como en el caso del plano inclinado, debemos encontrar la fuerza que actúa sobre el objeto y que está dirigida perpendicularmente a la superficie; es un componente del peso.

Ahora derivamos una relación útil para calcular el coeficiente de fricción en un plano inclinado. Observe que el resultado se aplica solo para situaciones en las que el objeto se desliza con rapidez constante por la rampa.

Un objeto se desliza por un plano inclinado a velocidad constante si la fuerza neta sobre el objeto es cero. Podemos utilizar este hecho para medir el coeficiente de fricción cinética entre dos objetos. Como se muestra en el Ejemplo 6.11, la fricción cinética en una pendiente es $f_k={\mu }_{k}mg\text{cos}\theta$. El componente del peso hacia abajo de la pendiente es igual a $mg\text{sen}\theta$ (observe el diagrama de cuerpo libre en la Figura 6.14). Estas fuerzas actúan en direcciones opuestas, por lo que, cuando tienen igual magnitud, la aceleración es cero. Escribiendo esto,

Al resolver ${\mu }_{\text{k}},$ encontramos que

Coloque una moneda sobre un libro e inclínelo hasta que la moneda se deslice a una velocidad constante por el libro. Es posible que tenga que golpear ligeramente el libro para que la moneda se mueva. Mida el ángulo de inclinación con respecto a la horizontal y calcule ${\mu }_{\text{k}}.$ Observe que la moneda no empieza a deslizarse en absoluto hasta que un ángulo superior a $\theta$ se obtiene, ya que el coeficiente de fricción estática es mayor que el coeficiente de fricción cinética. Piense en cómo esto puede afectar el valor para ${\mu }_{\text{k}}$ y su incertidumbre.

Explicaciones a escala atómica de la fricción

Los aspectos más sencillos de la fricción tratados hasta ahora son sus características macroscópicas (a gran escala). En las últimas décadas se han producido grandes avances en la explicación de la fricción a escala atómica. Los investigadores están descubriendo que la naturaleza atómica de la fricción parece tener varias características fundamentales. Estas características no solo explican algunos de los aspectos más sencillos de la fricción, sino que también encierran el potencial para el desarrollo de entornos casi sin fricción. Esto podría ahorrar cientos de miles de millones de dólares en energía que actualmente se convierte (innecesariamente) en calor.

La Figura 6.15 ilustra una característica macroscópica de la fricción que se explica mediante la investigación microscópica (a pequeña escala). Hemos observado que la fricción es proporcional a la fuerza normal, pero no a la cantidad del área en contacto, una noción algo contraintuitiva. Cuando dos superficies ásperas están en contacto, el área de contacto real es una fracción minúscula del área total porque solo se tocan los puntos altos. Cuando se ejerce una fuerza normal mayor, el área de contacto real aumenta, y encontramos que la fricción es proporcional a esta área.

Figura 6.15 Dos superficies ásperas en contacto tienen un área de contacto real mucho menor que su área total. Cuando la fuerza normal es mayor como resultado de una mayor fuerza aplicada, el área de contacto real aumenta, al igual que la fricción.

Sin embargo, la visión a escala atómica promete explicar mucho más que las características más simples de la fricción. Ahora se está determinando el mecanismo de cómo se genera el calor. En otras palabras, ¿por qué se calientan las superficies al frotarlas? Esencialmente, los átomos están unidos entre sí para formar entramados. Cuando las superficies se frotan, los átomos de la superficie se adhieren y hacen vibrar los entramados atómicos, para crear esencialmente ondas sonoras que penetran en el material. Las ondas sonoras disminuyen con la distancia y su energía se convierte en calor. Las reacciones químicas relacionadas con el desgaste por fricción también pueden producirse entre los átomos y las moléculas de las superficies. La Figura 6.16 muestra cómo la punta de una sonda que atraviesa otro material se deforma por la fricción a escala atómica. La fuerza necesaria para arrastrar la punta puede medirse y se encuentra relacionada con la tensión de corte, que se aborda en Equilibrio estático y elasticidad. La variación de la tensión de corte es notable (más de un factor de ${10}^{12}$) y difícil de predecir teóricamente, pero la tensión de corte permite comprender fundamentalmente un fenómeno a gran escala que se conoce desde la antigüedad: la fricción.

Figura 6.16 La punta de una sonda se deforma lateralmente por la fuerza de fricción al ser arrastrada por una superficie. Las mediciones de cómo varía la fuerza en diferentes materiales aportan conocimientos fundamentales sobre la naturaleza atómica de la fricción.

Ejemplo 6.12

Bloques deslizantes

Los dos bloques de la Figura 6.17 están unidos entre sí por una cuerda sin masa que se enrolla alrededor de una polea sin fricción. Cuando el bloque inferior de 4,00 kg es halado hacia la izquierda por la fuerza constante $\overrightarrow{P},$ el bloque superior de 2,00 kg se desliza por este hacia la derecha. Halle la magnitud de la fuerza necesaria para mover los bloques con rapidez constante. Supongamos que el coeficiente de fricción cinética entre todas las superficies es de 0,400.

Figura 6.17 (a) Cada bloque se mueve a velocidad constante. (b) Diagramas de cuerpo libre para los bloques.

Estrategia

Analizamos los movimientos de los dos bloques por separado. El bloque superior está sometido a una fuerza de contacto ejercida por el bloque inferior. Los componentes de esta fuerza son la fuerza normal $N_1$ y la fuerza de fricción $\mathrm{-0,400}{N}_1.$ Otras fuerzas sobre el bloque superior son la tensión $T\text{i}$ en la cuerda y el peso del propio bloque superior, 19,6 N. El bloque inferior está sometido a fuerzas de contacto debidas al bloque superior y al suelo. La primera fuerza de contacto tiene componentes $\text{-}{N}_1$ y $\mathrm{0,400}{N}_1,$ que son simplemente fuerzas de reacción a las fuerzas de contacto que el bloque inferior ejerce sobre el bloque superior. Los componentes de la fuerza de contacto del suelo son $N_2$ y $\mathrm{0,400}{N}_2.$ Otras fuerzas sobre este bloque son $\text{-}P,$ la tensión $T\text{i},$ y el peso -39,2 N.

Solución

Como el bloque superior se mueve horizontalmente hacia la derecha a velocidad constante, su aceleración es cero tanto en la dirección horizontal como en la vertical. De la segunda ley de Newton,

$$\begin{array}{cccccccc}\hfill {\displaystyle \sum F_x}& =\hfill & m_1{a}_x\hfill & & & \hfill {\displaystyle \sum F_y}& =\hfill & m_1{a}_y\hfill \\ \hfill T-\mathrm{0,400}{N}_1& =\hfill & 0\hfill & & & \hfill N_1-\mathrm{19,6}\text{N}& =\hfill & 0.\hfill \end{array}$$

Al resolver las dos incógnitas, obtenemos $N_1=\mathrm{19,6}\text{N}$ y $T=\mathrm{0,40}{N}_1=\mathrm{7,84}\text{N}\text{.}$ El bloque inferior tampoco acelera, por lo que la aplicación de la segunda ley de Newton a este bloque da

$$\begin{array}{cccc}{\displaystyle \sum F_x=m_2{a}_x}\hfill & & & {\displaystyle \sum F_y=m_2{a}_y}\hfill \\ T-P+\mathrm{0,400}{N}_1+\mathrm{0,400}{N}_2=0\hfill & & & N_2-\mathrm{39,2}\text{N}-N_1=0.\hfill \end{array}$$

Los valores de $N_1$ y T se encontraron con el primer conjunto de ecuaciones. Cuando estos valores se sustituyen en el segundo conjunto de ecuaciones, podemos determinar $N_2$ y P. Son

$$N_2=\mathrm{58,8}\text{N}\text{y}P=\mathrm{39,2}\text{N}\text{.}$$

Importancia

Entender en qué dirección hay que dibujar la fuerza de fricción suele ser problemático. Observe que cada fuerza de fricción marcada en la Figura 6.17 actúa en la dirección opuesta al movimiento de su bloque correspondiente.

Ejemplo 6.13

Una caja en un camión que acelera

Una caja de 50,0 kg descansa en la plataforma de un camión como se muestra en la Figura 6.18. Los coeficientes de fricción entre las superficies son ${\mu }_{\text{k}}=\mathrm{0,300}$ y ${\mu }_{\text{s}}=\mathrm{0,400}.$ Halle la fuerza de fricción sobre la caja cuando el camión se acelera hacia adelante con respecto al suelo a (a) 2,00 m/s², y (b) 5,00 m/s².

Figura 6.18 (a) Una caja descansa sobre la plataforma del camión que acelera hacia adelante. (b) El diagrama de cuerpo libre de la caja.

Estrategia

Las fuerzas sobre la caja son su peso y las fuerzas normales y de fricción debidas al contacto con la plataforma del camión. Comenzamos asumiendo que la caja no se desliza. En este caso, la fuerza de fricción estática $f_{\text{s}}$ actúa sobre la caja. Además, la aceleración de la caja y del camión es igual.

Solución

1. La aplicación de la segunda ley de Newton a la caja, con el marco de referencia fijado al suelo, produce
   
   $$\begin{array}{cccccccc}\hfill {\displaystyle \sum F_x}& =\hfill & m{a}_x\hfill & & & \hfill {\displaystyle \sum F_y}& =\hfill & m{a}_y\hfill \\ \hfill f_{\text{s}}& =\hfill & (\mathrm{50,0}\text{kg})(\mathrm{2,00}{\text{m/s}}^2)\hfill & & & \hfill N-\mathrm{4,90}\times {10}^2\text{N}& =\hfill & (\mathrm{50,0}\text{kg})(0)\hfill \\ & =\hfill & \mathrm{1,00}\times {10}^2\text{N}\hfill & & & \hfill N& =\hfill & \mathrm{4,90}\times {10}^2\text{N}\text{.}\hfill \end{array}$$
   Ahora podemos comprobar la validez de nuestra suposición de no deslizamiento. El valor máximo de la fuerza de fricción estática es
   
   $${\mu }_{\text{s}}N=(\mathrm{0,400})(\mathrm{4,90}\times {10}^2\text{N})=196\text{N,}$$
   mientras que la fuerza real de fricción estática que actúa cuando el camión acelera hacia delante a $\mathrm{2,00}{\text{m/s}}^2$ es solo $\mathrm{1,00}\times {10}^2\text{N}\text{.}$ Por lo tanto, la suposición de que no hay deslizamiento es válida.
2. Si la caja se mueve con el camión cuando este acelera a $\mathrm{5,0}{\text{m/s}}^2,$ la fuerza de fricción estática deberá ser
   
   $$f_{\text{s}}=m{a}_x=(\mathrm{50,0}\text{kg})(\mathrm{5,00}{\text{m/s}}^2)=250\text{N}\text{.}$$
   Como esto excede el máximo de 196 N, la caja deberá deslizarse. La fuerza de fricción es por tanto cinética y es
   
   $$f_k={\mu }_{k}N=(\mathrm{0,300})(\mathrm{4,90}\times {10}^2\text{N})=147\text{N}\text{.}$$
   La aceleración horizontal de la caja con respecto al suelo se encuentra ahora a partir de
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \sum F_x}& =\hfill & m{a}_x\hfill \\ \hfill 147\text{N}& =\hfill & (\mathrm{50,0}\text{kg})a_x,\hfill \\ \hfill \text{así que}{a}_x& =\hfill & \mathrm{2,94}{\text{m/s}}^2.\hfill \end{array}$$

Importancia

En relación con el suelo, el camión acelera hacia delante a $\mathrm{5,0}{\text{m/s}}^2$ y la caja acelera hacia delante a $\mathrm{2,94}{\text{m/s}}^2$. Por lo tanto, la caja se desliza hacia atrás con respecto a la plataforma del camión con una aceleración de $\mathrm{2,94}{\text{m/s}}^2-\mathrm{5,00}{\text{m/s}}^2=\mathrm{-2,06}{\text{m/s}}^2\text{.}$

Ejemplo 6.14

Surfear sobre nieve

Anteriormente, analizamos la situación de un esquiador cuesta abajo que se desplaza a velocidad constante para determinar el coeficiente de fricción cinética. Ahora, hagamos un análisis similar para determinar la aceleración. La surfista sobre nieve de la Figura 6.19 se desliza por una pendiente inclinada a $\theta ={13}^0$ con la horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre la tabla y la nieve es ${\mu }_{\text{k}}=\mathrm{0,20}.$ ¿Cuál es la aceleración de la surfista sobre nieve?

Figura 6.19 (a) Una surfista sobre nieve se desliza por una pendiente inclinada a 13° con respecto a la horizontal. (b) El diagrama de cuerpo libre de la surfista sobre nieve.

Estrategia

Las fuerzas que actúan sobre la surfista sobre nieve son su peso y la fuerza de contacto de la pendiente, que tiene un componente normal a la inclinación y un componente a lo largo de la misma (fuerza de fricción cinética). Como se desplaza a lo largo de la pendiente, el marco de referencia más conveniente para analizar su movimiento es uno con el eje de la x a lo largo y el eje de la y perpendicular a la pendiente. En este marco, tanto las fuerzas normales como las de fricción se sitúan a lo largo de los ejes de coordenadas, los componentes del peso son $mg\text{sen}\theta \text{a lo largo de la pendiente y}mg\text{cos}\theta \text{en ángulo recto en la pendiente}$, y la única aceleración es a lo largo del eje de la x $\left(a_y=0\right).$

Solución

Ahora podemos aplicar la segunda ley de Newton a la surfista sobre nieve:

$$\begin{array}{cccccc}\hfill {\displaystyle \sum F_x}& =\hfill & m{a}_x\hfill & & & {\displaystyle \sum F_y=m{a}_y}\hfill \\ \hfill mg\text{sen}\theta -{\mu }_{k}N& =\hfill & m{a}_x\hfill & & & \hfill N-mg\text{cos}\theta =m(0)\text{.}\end{array}$$

De la segunda ecuación, $N=mg\text{cos}\theta .$ Al sustituir esto en la primera ecuación, encontramos

$$\begin{array}{cc}\hfill a_x& =g(\text{sen}\theta -{\mu }_{\text{k}}\text{cos}\theta )\hfill \\ & =g(\text{sen}13\text{°}-\mathrm{0,20}\text{cos}13\text{°})=\mathrm{0,29}{\text{m/s}}^2\text{.}\hfill \end{array}$$

Importancia

Observe en esta ecuación que, si $\theta$ es lo suficientemente pequeño o ${\mu }_{\text{k}}$ es lo suficientemente grande, $a_x$ será negativo, es decir, la surfista sobre nieve desacelera.