Capítulo 13

La fuerza de la gravedad sobre cada objeto aumenta con el cuadrado de la distancia inversa a medida que caen juntos, y por lo tanto también lo hace la aceleración. Por ejemplo, si la distancia se reduce a la mitad, la fuerza y la aceleración se cuadruplican. Nuestro promedio es exacto únicamente para una aceleración que aumenta linealmente, mientras que la aceleración aumenta realmente a un ritmo mayor. Así que nuestra velocidad calculada es demasiado pequeña. Según la tercera ley de Newton (fuerzas de acción-reacción), la fuerza de gravedad entre dos objetos cualesquiera debe ser la misma. No obstante, las aceleraciones no lo serán si tienen masas diferentes.

Los edificios más altos del mundo tienen todos menos de 1 km. Dado que g es proporcional a la distancia al cuadrado desde el centro de la Tierra, una simple relación muestra que el cambio de g a 1 km por encima de la superficie de la Tierra es inferior al 0,0001%. No sería necesario tenerlo en cuenta en el diseño estructural.

El valor de g desciende aproximadamente un 10 % en este cambio de altura. Así que $\text{Δ}U=mg(y_2-y_1)$ dará un valor demasiado grande. Si utilizamos $g=\mathrm{9,80}\text{m/s}$, entonces obtenemos

$\text{Δ}U=mg(y_2-y_1)=\mathrm{3,53}\times {10}^{10}\text{J}$

que es aproximadamente un 6 % mayor que el hallado con el método correcto.

La sonda debe superar tanto la atracción gravitatoria de la Tierra como la del Sol. En el segundo cálculo de nuestro ejemplo, hallamos la rapidez necesaria para escapar del Sol desde una distancia de la órbita de la Tierra, no desde la Tierra misma. La forma correcta de hallar este valor es comenzar con la ecuación de energía, Ecuación 13.5, en la que se incluiría un término de energía potencial tanto para la Tierra como para el Sol.

Cambia la dirección de su velocidad con una fuerza que es perpendicular a la velocidad en todos los puntos. En efecto, deberá ajustar constantemente los propulsores para crear una fuerza centrípeta hasta que su momento cambie de tangencial a radial. Un simple diagrama de vectores de momento indica que el cambio neto en el momento es $\sqrt{2}$ veces la magnitud del momento en sí. Esto resulta ser una forma muy ineficiente de llegar a Marte. Se habla de la forma más eficaz en las Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.

En la Ecuación 13.7, el radio aparece en el denominador dentro de la raíz cuadrada. Así que el radio deberá aumentar en un factor de 4, para disminuir la velocidad orbital en un factor de 2. La circunferencia de la órbita también ha aumentado por este factor de 4, por lo que con la mitad de la velocidad orbital, el periodo deberá ser 8 veces más largo. Eso también se puede ver directamente en la Ecuación 13.8.

Se supone que el objeto que orbita es mucho menos masivo que el cuerpo que orbita. Esto no está realmente justificado en el caso de la Luna y la Tierra. Tanto la Tierra como la Luna orbitan alrededor de su centro de masa común. Abordamos este asunto en el siguiente ejemplo.

Las estrellas del "interior" de cada galaxia estarán más cerca de la otra galaxia; de allí que sentirán una mayor fuerza gravitatoria que las del exterior. En consecuencia, tendrán una mayor aceleración. Incluso sin esta diferencia de fuerzas, las estrellas interiores estarían orbitando a un radio menor; de allí que se produciría una elongación o estiramiento de cada galaxia. La diferencia de fuerza solo aumenta este efecto.

El semieje mayor de la órbita altamente elíptica del cometa Halley es de 17,8 UA y es la media del perihelio y del afelio. Se encuentra entre los radios orbitales de 9,5 UA y 19 UA de Saturno y Urano, respectivamente. El radio de una órbita circular es el mismo que el semieje mayor, y dado que el periodo aumenta con el incremento del semieje mayor, es esperable que el periodo de Halley esté entre los periodos de Saturno y Urano.

Considere la última ecuación anterior. Los valores de $r_1$ y $r_2$ se mantienen casi iguales, pero el diámetro de la Luna, $(r_2^{}-r_1^{})$, es una cuarta parte de la de la Tierra. Por lo tanto, las fuerzas de marea en la Luna son aproximadamente una cuarta parte de las de la Tierra.

Dada la increíble densidad necesaria para forzar que un cuerpo del tamaño de la Tierra se convierta en un agujero negro, no esperamos ver agujeros negros tan pequeños. Incluso un cuerpo con la masa de nuestro Sol tendría que estar comprimido por un factor de más de 80 que el de una estrella de neutrones. Se cree que las estrellas de este tamaño no pueden convertirse en agujeros negros. Sin embargo, en el caso de las estrellas con unas pocas masas solares, se cree que el colapso gravitacional al final de la vida de una estrella podría formar un agujero negro. Como veremos más adelante, ahora se cree que los agujeros negros son comunes en el centro de las galaxias. Estos agujeros negros galácticos suelen contener la masa de muchos millones de estrellas.

La verdad en última instancia es la verificación experimental. La teoría de campos se desarrolló para explicar cómo se ejerce la fuerza sin que los objetos estén en contacto, tanto para la gravedad como para las fuerzas electromagnéticas que actúan a la velocidad de la luz. Solo a partir del siglo XX hemos podido medir que la fuerza no se transmite inmediatamente.

La aceleración centrípeta no se dirige a lo largo de la fuerza gravitatoria y, por tanto, la línea correcta del edificio (es decir, la línea de la plomada) no se dirige hacia el centro de la Tierra. No obstante, los ingenieros utilizan una plomada o un tránsito, que responden tanto a la dirección de la gravedad como a la aceleración. No es necesario hacer ninguna consideración especial por su ubicación en la Tierra.

A medida que pasamos a órbitas más grandes, el cambio de energía potencial aumenta, mientras que la velocidad orbital disminuye. De allí que la relación sea más alta cerca de la superficie de la Tierra (técnicamente infinita si orbitamos en la superficie de la Tierra sin cambio de elevación), y se mueve a cero a medida que nos alejamos infinitamente.

El periodo de la órbita deberá ser de 24 horas. Además, el satélite deberá situarse en una órbita ecuatorial y orbitar en el mismo sentido que la rotación de la Tierra. Los tres criterios deberán cumplirse para que el satélite permanezca en una posición respecto a la superficie de la Tierra. Se necesitan al menos tres satélites, ya que dos situados en lados opuestos de la Tierra no pueden comunicarse entre sí. (Esto no es técnicamente cierto, ya que se puede elegir una longitud de onda que proporcione suficiente difracción. Sin embargo, esto sería totalmente impráctico).

La velocidad es mayor cuando el satélite está más cerca de la gran masa y menor cuando está más lejos, en la periapsis y la apoapsis, respectivamente. Es la conservación del momento angular la que rige esta relación. Pero también se puede deducir de la conservación de la energía que la energía cinética debe ser mayor donde la energía potencial gravitacional es menor (más negativa). La fuerza, y por tanto la aceleración, se dirige siempre hacia M en el diagrama, y la velocidad es siempre tangente a la trayectoria en todos los puntos. El vector de aceleración tiene un componente tangencial a lo largo de la dirección de la velocidad en el lugar superior del eje y; por lo tanto, el satélite está acelerando. Todo lo contrario ocurre en la posición inferior.

El rayo láser llegará a la pared más lejana a una altura inferior a la que salió, ya que el suelo está acelerando hacia arriba. En relación con el laboratorio, el rayo láser “cae”. Por lo tanto, es de esperar que esto ocurra en un campo gravitacional. La masa de la luz, o incluso de un objeto con masa, no es relevante.

$\mathrm{7,4}\times {10}^{\mathrm{-8}}\text{N}$

a. $\mathrm{7,01}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{N}$; b. La masa de Júpiter es
$\begin{array}{}\\ \\ m_{\text{J}}=\mathrm{1,90}\times {10}^{27}\text{kg}\hfill \\ F_{\text{J}}=\mathrm{1,35}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{N}\hfill \\ \frac{F_{\text{f}}}{F_{\text{J}}}=\mathrm{0,521}\hfill \end{array}$

a. $\mathrm{9,25}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{N}$; b. No mucho, ya que la ISS ni siquiera es simétrica, y mucho menos esféricamente simétrica.

a. $\mathrm{1,41}\times {10}^{\mathrm{-15}}{\text{m/s}}^2$; b. $\mathrm{1,69}\times {10}^{\mathrm{-4}}{\text{m/s}}^2$

a. $\mathrm{1,62}{\text{m/s}}^2$; b. $\mathrm{3,75}{\text{m/s}}^2$

a. 147 N; b. 25,5 N; c. 15 kg; d. 0; e. 15 kg

$12{\text{m/s}}^2$

$(3\text{/}2)R_{\text{E}}$

5000 m/s

1440 m/s

11 km/s

a. $\mathrm{5,85}\times {10}^{10}\text{J}$; b. $\mathrm{-5,85}\times {10}^{10}\text{J}$; No. Se supone que la energía cinética es recuperable. Esto ni siquiera sería razonable aunque tuviéramos un ascensor entre la Tierra y la Luna.

a. 0,25; b. 0,125

a. $\mathrm{5,08}\times {10}^3\text{km}$; b. Esto es menos que el radio de la Tierra.

$\mathrm{1,89}\times {10}^{27}\text{kg}$

a. $\mathrm{4,01}\times {10}^{13}\text{kg}$; b. El satélite deberá estar fuera del radio del asteroide, por lo que no puede ser mayor que este. Si fuera de este tamaño, entonces su densidad sería de aproximadamente $1.200{\text{kg/m}}^3$. Esta cifra está justo por encima de la del agua, por lo que parece bastante razonable.

a. $\mathrm{1,66}\times {10}^{\mathrm{-10}}{\text{m/s}}^2$; Sí, la aceleración centrípeta es tan pequeña que apoya la afirmación de que un marco de referencia casi inercial puede situarse en el Sol. b $\mathrm{2,17}\times {10}^5\text{m}\text{/}\text{s}$

$\mathrm{1,98}\times {10}^{30}\text{kg}$; los valores coinciden con un margen del 0,05 %.

Compare la Ecuación 13.8 y la Ecuación 13.11 para ver que solo se diferencian en que el radio circular, r, se sustituye por el semieje mayor, a. Por lo tanto, el radio medio es la mitad de la suma del afelio y del perihelio, lo mismo que el semieje mayor.

El semieje mayor, 3,78 UA, se obtiene a partir de la ecuación del periodo. Es la mitad de la suma del afelio y del perihelio, lo que da una distancia del afelio de 4,95 UA.

1,75 años

19.800 N; es evidente que no se puede sobrevivir

$\mathrm{1,19}\times {10}^7\text{km}$

a. $\mathrm{1,85}\times {10}^{14}\text{N}$; b. ¡No lo haga!

$\mathrm{1,49}\times {10}^8\text{km}$

El valor de g para este planeta es de 3,8 m/s², que es una cuarta parte del de la Tierra aproximadamente. Así que son débiles saltadores de altura.

En el polo norte, 983 N; en el ecuador, 980 N.

a. La velocidad de escape sigue siendo de 43,6 km/s. Al hacer un lanzamiento desde la Tierra en dirección a la velocidad tangencial de la Tierra, se necesita $\mathrm{43,4}-\mathrm{29,8}=\mathrm{13,8}\text{km/s}$ respecto a la Tierra. b. La energía total es cero y la trayectoria es una parábola.

61,5 km/s

a. $\mathrm{1,3}\times {10}^7\text{m}$; b. $\mathrm{1,56}\times {10}^{10}\text{J}$; $\text{−}\mathrm{3,12}\times {10}^{10}\text{J}$; $\mathrm{-1,56}\times {10}^{10}\text{J}$

a. $\mathrm{6,24}\times {10}^3\text{s}$ o 1,8 horas aproximadamente. Para ello se usó el diámetro medio de 520 km. b. Está claro que Vesta no es muy esférica, por lo que tendría que estar por encima de la dimensión más grande, casi 580 km. Y lo que es más importante, la naturaleza no esférica perturbaría la órbita muy rápidamente, por lo que este cálculo no sería muy preciso ni siquiera para una órbita.

a. 323 km/s; b. No, solo se necesita la diferencia entre la rapidez orbital del sistema solar y la velocidad de escape, por lo que alrededor de $323-228=95\text{km/s}$.

Configurando $e=1$, tenemos $\frac{\alpha }{r}=1+\text{cos}\theta \to \alpha =r+r\text{cos}\theta =r+x$; por lo tanto, $r^2=x^2+y^2={(\alpha -x)}^2$. Ampliar y recoger para mostrar $x=\frac{1}{\mathrm{-2}\alpha }{y}^2+\frac{\alpha }{2}$.

Sustituya directamente en la ecuación de la energía usando $p{v}_p=q{v}_q$ de la conservación del momento angular, y resuelva para $v_p$.

$g=\frac{4}{3}G\rho \pi r\to F=mg=\left[\frac{4}{3}Gm\rho \pi \right]r$, y de $F=m\frac{d^{2}r}{d{t}^2}$, obtenemos $\frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\left[\frac{4}{3}G\rho \pi \right]r$ donde el primer término es ${\omega }^2$. Entonces $T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{3}{4G\rho \pi }}$ y si sustituimos $\rho =\frac{M}{4\text{/}3\pi R^3}$, obtenemos la misma expresión que para el periodo de la órbita R.

Usando la masa del Sol y el radio orbital de la Tierra, la ecuación da $\mathrm{2,24}\times {10}^{15}{\text{m}}^2\text{/s}$. El valor de $\pi R_{\text{ES}}^2\text{/}(1\text{año})$ da el mismo valor.

$\text{Δ}U=U_f-U_i=-\frac{G{M}_{\text{E}}m}{r_f}+\frac{G{M}_{\text{E}}m}{r_i}=G{M}_{\text{E}}m\left(\frac{r_f-r_i}{r_f{r}_i}\right)$ donde $h=r_f-r_i$. Si $h\text{<}\text{<}{\text{R}}_{\text{E}}$, entonces $r_f{r}_i\approx R_{\text{E}}^2$, y al sustituirlo, tenemos

$\text{Δ}U=G{M}_{\text{E}}m\left(\frac{h}{R_{\text{E}}^2}\right)=m\left(\frac{G{M}_{\text{E}}}{R_{\text{E}}^2}\right)h$ donde reconocemos la expresión con el paréntesis como la definición de g.

a. Encuentre la diferencia de fuerza,
$F_{\text{marea}}==\frac{2GMm}{R^3}\text{Δ}r$;
b. Para el caso dado, usando el radio de Schwarzschild de un problema anterior, tenemos una fuerza de marea de $\mathrm{9,5}\times {10}^{\mathrm{-3}}\text{N}$. ¡Esto ni siquiera se notará!