13.7 La teoría de la gravedad de Einstein

Una revolución en perspectiva

En 1905, Albert Einstein publicó su teoría de la relatividad especial. Esta teoría se analiza con gran detalle en Relatividad, por lo que aquí solo diremos unas palabras. En esta teoría, ningún movimiento puede superar la velocidad de la luz: es el límite de velocidad del universo. Este simple hecho se ha verificado en innumerables experimentos. Sin embargo, tiene consecuencias increíbles: el espacio y el tiempo ya no son absolutos. Dos personas que se mueven una respecto a la otra no se ponen de acuerdo sobre la longitud de los objetos o el paso del tiempo. Casi toda la mecánica que aprendió en los capítulos anteriores, aunque es notablemente precisa incluso para velocidades de muchos miles de kilómetros por segundo, comienza a fallar cuando se acerca a la velocidad de la luz.

Este límite de velocidad del universo era también un desafío a la suposición inherente a la ley de la gravitación de Newton de que la gravedad es una fuerza de acción a distancia. Es decir, sin contacto físico, cualquier cambio en la posición de una masa se comunica instantáneamente a todas las demás. Esta suposición no proviene de ningún primer principio, ya que la teoría de Newton simplemente no aborda la cuestión (lo mismo se creía de las fuerzas electromagnéticas, también. Es justo decir que la mayoría de los científicos no se sentían completamente cómodos con el concepto de acción a distancia).

Un segundo supuesto aparece también en ley de la gravitación de Newton (Ecuación 13.1). Se supone que las masas son exactamente las mismas que las que se usan en la segunda ley de Newton, $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$. Hemos hecho esa suposición en muchas de nuestras derivaciones en este capítulo. Una vez más, no hay ningún principio subyacente que lo obligue, pero los resultados experimentales son coherentes con esta suposición. En la posterior teoría de la relatividad general de Einstein (1916), se abordaron ambos asuntos. Su teoría era una teoría de geometría espacio-tiempo y de cómo la masa (y la aceleración) distorsionan e interactúan con ese espacio-tiempo. No era una teoría de las fuerzas gravitacionales. Las matemáticas de la teoría general están fuera del alcance de este texto, pero podemos ver algunos principios subyacentes y sus consecuencias.

El principio de equivalencia

Einstein llegó a su teoría general en parte preguntándose por qué alguien que estaba en caída libre no sentía su peso. De hecho, es habitual hablar de los astronautas que orbitan la Tierra como si no tuvieran peso, a pesar de que la gravedad terrestre sigue siendo bastante fuerte allí. En la teoría general de Einstein no hay diferencia entre la caída libre e ingravidez. Esto se denomina principio de equivalencia. El corolario igualmente sorprendente de esto es que no hay diferencia entre un campo gravitacional uniforme y una aceleración uniforme en ausencia de gravedad. Centrémonos en esta última afirmación. Aunque un campo gravitacional perfectamente uniforme no es factible, podemos aproximarnos a él muy bien.

Dentro de un laboratorio de tamaño razonable en la Tierra, el campo gravitacional $\overrightarrow{g}$ es esencialmente uniforme. El corolario dice que cualquier experimento físico realizado allí tiene los mismos resultados que los realizados en un laboratorio acelerando a $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{g}$ en el espacio profundo, bien lejos de todas las demás masas. La Figura 13.28 ilustra el concepto.

Figura 13.28 Según el principio de equivalencia, los resultados de todos los experimentos realizados en un laboratorio en un campo gravitacional uniforme son idénticos a los resultados de los mismos experimentos realizados en un laboratorio con aceleración uniforme.

¿Cómo estas dos situaciones aparentemente tan diferentes pueden ser iguales? La respuesta es que la gravitación no es una fuerza entre dos objetos, sino que es el resultado de la respuesta de cada objeto al efecto que el otro tiene en el espacio-tiempo que lo rodea. Un campo gravitacional uniforme y una aceleración uniforme tienen exactamente el mismo efecto en el espacio-tiempo.

Una teoría geométrica de la gravedad

La geometría euclidiana supone un espacio “plano” en el que, entre los atributos más conocidos, una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, la suma de los ángulos de todos los triángulos debe ser 180 grados y las líneas paralelas nunca se cruzan. La geometría no euclidiana no se investigó seriamente hasta el siglo XIX, por lo que no es de extrañar que el espacio euclidiano se asuma inherentemente en todas las leyes de Newton.

La teoría general de la relatividad pone en tela de juicio esta suposición tan arraigada. Solo el espacio vacío es plano. La presencia de masa —o energía, ya que la relatividad no distingue entre ambas— distorsiona o curva el espacio y el tiempo, o espacio-tiempo, a su alrededor. El movimiento de cualquier otra masa es simplemente una respuesta a este espacio-tiempo curvado. La Figura 13.29 es una representación bidimensional de una masa más pequeña orbitando en respuesta al espacio distorsionado creado por la presencia de una masa más grande. En una imagen más precisa pero confusa, también veríamos el espacio distorsionado por la masa en órbita, y ambas masas estarían en movimiento en respuesta a la distorsión total del espacio. Tenga en cuenta que la figura es una representación para ayudar a visualizar el concepto. Son distorsiones en nuestro espacio y tiempo tridimensionales. No los vemos como lo haríamos con un hoyuelo en una pelota. Solo vemos la distorsión mediante cuidadosas mediciones del movimiento de los objetos y de la luz al desplazarse por el espacio.

Figura 13.29 Una masa más pequeña orbitando en el espacio-tiempo distorsionado de una masa más grande. De hecho, toda masa o energía distorsiona el espacio-tiempo.

Para campos gravitacionales débiles, los resultados de la relatividad general no difieren significativamente de la ley de la gravitación de Newton. Pero para campos gravitacionales intensos, los resultados divergen, y se ha demostrado que la relatividad general predice los resultados correctos. Incluso en el campo gravitacional relativamente débil de nuestro Sol, a la distancia de la órbita de Mercurio, podemos observar el efecto. Desde mediados del siglo XIX, se ha medido cuidadosamente la órbita elíptica de Mercurio. Sin embargo, aunque es elíptica, su movimiento se complica porque la posición del perihelio de la elipse avanza lentamente. La mayor parte del avance se debe a la atracción gravitacional de otros planetas, pero una pequeña parte de ese avance no podría explicarse por la ley de Newton. En un momento dado, incluso se buscó un planeta “compañero” que explicara la discrepancia. Pero la relatividad general predice correctamente las mediciones. Desde entonces muchas mediciones, como la deflexión de la luz de objetos lejanos por el Sol, han verificado que la relatividad general predice correctamente las observaciones.

Cerramos este debate con un comentario final. A menudo nos hemos referido a las distorsiones del espacio-tiempo o a las distorsiones tanto del espacio como del tiempo. Tanto en la relatividad especial como en la general, la dimensión del tiempo está en pie de igualdad con cada una de las dimensiones espaciales (difieren en su lugar en ambas teorías solo por un factor de escala que en el fondo no tiene importancia). Cerca de una masa muy grande, no solo se “estira” el espacio cercano, sino que el tiempo se dilata o se “ralentiza”. En la siguiente sección se analizan estos efectos con más detalle.

Agujeros negros

La teoría de la gravitación de Einstein se expresa en una ecuación tensorial de apariencia engañosa (los tensores son una generalización de los escalares y vectores), la cual expresa cómo una masa determina la curvatura del espacio-tiempo a su alrededor. Las soluciones a esa ecuación arrojan una de las predicciones más fascinantes: el agujero negro. La predicción es que si un objeto es lo suficientemente denso, colapsará sobre sí mismo y quedará rodeado por un horizonte de sucesos del que nada puede escapar. El nombre de “agujero negro”, acuñado por el astrónomo John Wheeler en 1969, hace referencia al hecho de que la luz no puede escapar de un objeto así. Karl Schwarzschild fue el primero en observar este fenómeno en 1916, pero en aquella época se consideraba sobre todo una curiosidad matemática.

Sorprendentemente, la idea de un cuerpo masivo del que la luz no puede escapar se remonta a finales del siglo XVIII. Independientemente, John Michell y Pierre-Simon Laplace usaron la ley de la gravitación de Newton para demostrar que la luz que abandona la superficie de una estrella con suficiente masa no puede escapar. Su trabajo se basó en el hecho de que la velocidad de la luz había sido medida por Ole Rømer en 1676. Observó discrepancias en los datos sobre el periodo orbital de la luna Io en torno a Júpiter. Rømer se dio cuenta de que la diferencia surgía de las posiciones relativas de la Tierra y Júpiter en diferentes momentos y que podía encontrar la velocidad de la luz a partir de esa diferencia. Tanto Michell como Laplace se dieron cuenta de que, dado que la luz tenía una velocidad finita, podía haber una estrella lo suficientemente masiva como para que la velocidad de escape de su superficie pudiera superar esa velocidad. Por lo tanto, la luz siempre volvería a la estrella. Curiosamente, los observadores que se encuentran lo suficientemente lejos de las estrellas más grandes no podrían verlas, pero sí podrían ver una estrella más pequeña desde la misma distancia.

Recordemos que en Energía potencial gravitacional y energía total, encontramos que la velocidad de escape, dada por la Ecuación 13.6, es independiente de la masa del objeto que escapa. Aunque la naturaleza de la luz no se comprendía del todo en aquella época, la masa de la luz, si es que la tenía, no era relevante. Por lo tanto, la Ecuación 13.6 debería ser válida para la luz. Al sustituir c, la velocidad de la luz, por la velocidad de escape, tenemos

Por lo tanto, solo necesitamos valores para R y M tales que la velocidad de escape supere a c, y entonces la luz no podrá escapar. Michell planteó que si una estrella tuviera la densidad de nuestro Sol y un radio que se extendiera más allá de la órbita de Marte, la luz no podría escapar de su superficie. También conjeturó que todavía podríamos detectar una estrella así por el efecto gravitacional que tendría sobre los objetos que la rodean. Se trata de una conclusión perspicaz, ya que es precisamente así como deducimos la existencia de tales objetos en la actualidad. Aunque todavía no hemos visitado un agujero negro, y puede que nunca lo hagamos, la evidencia circunstancial de que existen es tan convincente que pocos astrónomos dudan de su existencia.

Antes de examinar parte de esa evidencia, volvamos a centrar nuestra atención en la solución de Schwarzschild a la ecuación tensorial de la relatividad general. En esa solución surge un radio crítico, ahora llamado radio de Schwarzschild $(R_{\text{S}})$. Para cualquier masa M, si esa masa se comprimiera hasta el punto de que su radio fuera menor que el radio de Schwarzschild, entonces colapsaría hasta convertirse en una singularidad, y cualquier cosa que pasara dentro de ese radio no podría escapar. Una vez dentro $R_{\text{S}}$, la flecha del tiempo lleva todas las cosas a la singularidad (en un sentido matemático amplio, una singularidad es cuando el valor de una función llega al infinito. En este caso, se trata de un punto en el espacio de volumen cero con una masa finita. Por lo tanto, la densidad de masa y la energía gravitacional se vuelven infinitas). El radio de Schwarzschild viene dado por

Si mira nuestra ecuación de la velocidad de escape con $v_{\text{esc}}^{}=c$, observará que da precisamente este resultado. Pero eso no es más que un accidente fortuito causado por varias suposiciones incorrectas. Una de estas suposiciones es el uso de la expresión clásica incorrecta para la energía cinética de la luz. ¿Qué densidad debe tener un objeto para convertirse en un agujero negro?

El horizonte de sucesos

El radio de Schwarzschild también se denomina horizonte de sucesos de un agujero negro. Hemos observado que tanto el espacio como el tiempo se estiran cerca de objetos masivos, como los agujeros negros. La Figura 13.30 ilustra ese efecto sobre el espacio. La distorsión causada por nuestro Sol es en realidad bastante pequeña, y el diagrama está exagerado para más claridad. Consideremos la estrella de neutrones, descrita en el Ejemplo 13.15. Aunque la distorsión del espacio-tiempo en la superficie de una estrella de neutrones es muy alta, el radio sigue siendo mayor que su radio de Schwarzschild. Hay objetos que podrían seguir escapando de su superficie.

Sin embargo, si una estrella de neutrones gana masa adicional, acabaría colapsando, encogiéndose más allá del radio de Schwarzschild. Una vez que eso ocurra, toda la masa sería empujada, inevitablemente, a una singularidad. En el diagrama, el espacio se estira hasta el infinito. El tiempo también se estira hasta el infinito. A medida que los objetos caen hacia el horizonte de sucesos, los vemos acercarse cada vez más lentamente, pero sin llegar nunca al horizonte de sucesos. Como observadores externos, nunca vemos objetos que atraviesen el horizonte de sucesos: efectivamente el tiempo se detiene.

Interactivo

Visite este sitio para ver un ejemplo animado de estas distorsiones espaciales.

Figura 13.30 La distorsión del espacio se hace más notable alrededor de masas cada vez más grandes. Una vez que la densidad de masa alcanza un nivel crítico se forma un agujero negro, y el tejido del espacio-tiempo se desgarra. La curvatura del espacio es mayor en la superficie de cada uno de los tres primeros objetos mostrados y es finita. La curvatura disminuye entonces (no se muestra) hasta llegar a cero a medida que se desplaza hacia el centro del objeto. Pero el agujero negro es diferente. La curvatura se vuelve infinita: La superficie ha colapsado hasta una singularidad, y el cono se extiende hasta el infinito (Nota: Estos diagramas no están a ninguna escala) (créditos: modificación de trabajo de la NASA).

La evidencia de los agujeros negros

No fue hasta la década de los años 60 del siglo XX, cuando se descubrió la primera estrella de neutrones, y se renovó el interés por la existencia de los agujeros negros. La evidencia para agujeros negros se basa en varios tipos de observaciones, como análisis de la radiación de binarias de rayos X, lentes gravitacionales de la luz de las galaxias lejanas y el movimiento de objetos visibles alrededor de compañeros invisibles. Nos centraremos en estas observaciones posteriores en relación con lo que hemos aprendido en este capítulo. Aunque la luz no puede escapar de un agujero negro para que la veamos, sí podemos ver el efecto gravitacional del agujero negro sobre masas circundantes.

La evidencia más cercana de un agujero negro, y quizás más dramática, está en el centro de nuestra galaxia Vía Láctea. El Grupo del Centro Galáctico de la Universidad de California en Los Ángeles (UCLA), con el uso de datos obtenidos por los telescopios W. M. Keck, ha determinado las órbitas de varias estrellas cercanas al centro de nuestra galaxia. Algunos de esos datos se muestran en la Figura 13.31. Se destacan las órbitas de dos estrellas. A partir de las mediciones de los periodos y tamaños de sus órbitas, se estima que orbitan alrededor de una masa de 4 millones de masas solares aproximadamente. Nótese que la masa debe residir en la región creada por la intersección de las elipses de las estrellas. La región en la que debe residir esa masa encajaría dentro de la órbita de Mercurio y, sin embargo, no se ve nada allí en el espectro visible.

Figura 13.31 Trayectorias de las estrellas que orbitan alrededor de una masa en el centro de nuestra galaxia Vía Láctea. A partir de su movimiento, se estima que en el centro reside un agujero negro de unos 4 millones de masas solares (créditos: modificación de trabajo del Grupo del Centro Galáctico de la UCLA, equipo láser del Observatorio W. M. Keck).

La física de la creación y evolución estelar está bien establecida. La última fuente de energía que hace brillar las estrellas es la energía autogravitacional que desencadena la fusión. El comportamiento general es que cuanto más masiva es una estrella, más brilla y más corta es su vida. La inferencia lógica es que una masa que es 4 millones de veces la masa de nuestro Sol, confinada en una región muy pequeña y que no se puede ver, no tiene otra interpretación viable que la de un agujero negro. Las observaciones extragalácticas sugieren fuertemente que los agujeros negros son comunes en el centro de las galaxias.

Interactivo

Visite la página principal del Grupo del Centro Galáctico de la UCLA para obtener información sobre binarias de rayos X y lentes gravitacionales. Visite esta página para observar una visualización tridimensional de las estrellas que orbitan cerca del centro de nuestra galaxia, donde la animación se encuentra cerca de la parte inferior de la página.

Materia oscura

Las estrellas que orbitan cerca del mismo corazón de nuestra galaxia proporcionan una fuerte evidencia de la existencia de un agujero negro allí, pero las órbitas de las estrellas alejadas del centro sugieren otro fenómeno intrigante que también se observa indirectamente. Recordemos que en Gravitación cerca de la superficie terrestre podemos considerar que la masa de objetos esféricos se encuentra en un punto del centro para calcular sus efectos gravitacionales sobre otras masas. Del mismo modo, podemos tratar la masa total que se encuentra dentro de la órbita de cualquier estrella de nuestra galaxia como si estuviera situada en el centro del disco de la Vía Láctea. Podemos estimar esa masa a partir del recuento de las estrellas visibles e incluir en nuestra estimación la masa del agujero negro del centro también.

Pero cuando lo hacemos, descubrimos que la rapidez orbital de las estrellas es demasiado rápida para ser causada por esa cantidad de materia. La Figura 13.32 muestra las velocidades orbitales de las estrellas en función de su distancia al centro de la Vía Láctea. La línea azul representa las velocidades que esperaríamos a partir de nuestras estimaciones de la masa, mientras que la curva verde es la que obtenemos de mediciones directas. Al parecer, hay una gran cantidad de materia que no vemos, que se calcula que es unas cinco veces mayor que la que vemos, por lo que se le ha denominado materia oscura. Además, el perfil de velocidad no sigue lo que esperamos de la distribución observada de estrellas visibles. No solo la estimación de la masa total es incongruente con los datos, sino que la distribución esperada también lo es. Y este fenómeno no se limita a nuestra galaxia, sino que parece ser una característica de todas las galaxias. De hecho, el problema se observó por primera vez en la década de los años 30 del siglo XX, cuando se midió que galaxias dentro de cúmulos orbitaban alrededor del centro de masa de esos cúmulos más rápido de lo que deberían según las estimaciones de masa visibles.

Figura 13.32 La curva azul muestra la velocidad orbital esperada de las estrellas de la Vía Láctea en función de las estrellas visibles que podemos ver. La curva verde muestra que las velocidades reales son más altas, lo que sugiere que hay materia adicional que no se ve (créditos: modificación de trabajo de Matthew Newby).

Hay dos ideas predominantes sobre lo que podría ser esta materia: WIMP y MACHO. WIMP significa partículas masivas de interacción débil (interacting massive particles, WIMP). Estas partículas (los neutrinos son un ejemplo) interactúan muy débilmente con la materia ordinaria y, por tanto, son muy difíciles de detectar directamente. MACHO significa objetos compactos masivos del halo (massive compact halo objects, MACHO), los cuales se componen de materia bariónica ordinaria, como neutrones y protones. Ambas ideas tienen aspectos no resueltos, y se necesitará mucha más investigación para resolver el misterio.