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Física Universitaria Volumen 1

3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración

Física Universitaria Volumen 13.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Derivar las ecuaciones cinemáticas para una aceleración constante mediante el cálculo integral.
  • Utilizar la formulación integral de las ecuaciones cinemáticas en el análisis del movimiento.
  • Hallar la forma funcional de la velocidad en función del tiempo dada la función de aceleración.
  • Hallar la forma funcional de la posición en función del tiempo dada la función de velocidad.

En esta sección se asume que usted tiene suficiente experiencia en cálculo para estar familiarizado con la integración. En Velocidad y rapidez instantáneas y Aceleración media e instantánea introducimos las funciones cinemáticas de velocidad y aceleración con el empleo de la derivada. Al tomar la derivada de la función de posición encontramos la función de velocidad; igualmente, al tomar la derivada de la función de velocidad encontramos la función de aceleración. Mediante el cálculo integral, podemos trabajar hacia atrás y calcular la función de velocidad a partir de la función de aceleración, y la función de posición a partir de la función de velocidad.

Ecuaciones cinemáticas del cálculo integral

Empecemos con una partícula con una aceleración a(t) que es una función conocida del tiempo. Dado que la derivada de tiempo de la función de velocidad es la aceleración,

ddtv(t)=a(t),ddtv(t)=a(t),

podemos tomar la integral indefinida de ambos lados, al encontrar

ddtv(t)dt=a(t)dt+C1,ddtv(t)dt=a(t)dt+C1,

donde C1 es una constante de integración. Dado que ddtv(t)dt=v(t)ddtv(t)dt=v(t), la velocidad viene dada por

v(t)=a(t)dt+C1.v(t)=a(t)dt+C1.
3.18

Del mismo modo, la derivada temporal de la función de posición es la función de velocidad,

ddtx(t)=v(t).ddtx(t)=v(t).

Por lo tanto, podemos utilizar las mismas manipulaciones matemáticas que acabamos de emplear y encontrar

x(t)=v(t)dt+C2,x(t)=v(t)dt+C2,
3.19

donde C2 es una segunda constante de integración.

Podemos derivar las ecuaciones cinemáticas para una aceleración constante mediante el empleo de estas integrales. Con a(t) = a una constante, y al hacer la integración en la Ecuación 3.18, encontramos

v(t)=adt+C1=at+C1.v(t)=adt+C1=at+C1.

Si la velocidad inicial es v(0) = v0, entonces

v0=0+C1.v0=0+C1.

Luego, C1 = v0 y

v(t)=v0+at,v(t)=v0+at,

que es la Ecuación 3.12. Al sustituir esta expresión en la Ecuación 3.19 obtenemos

x(t)=(v0+at)dt+C2.x(t)=(v0+at)dt+C2.

Haciendo la integración, encontramos

x(t)=v0t+12at2+C2.x(t)=v0t+12at2+C2.

Si x(0) = x0, tenemos

x0=0+0+C2;x0=0+0+C2;

por lo tanto, C2 = x0. Al sustituir de nuevo en la ecuación de x(t), tenemos finalmente

x(t)=x0+v0t+12at2,x(t)=x0+v0t+12at2,

que es la Ecuación 3.13.

Ejemplo 3.17

Movimiento de una lancha a motor

Una lancha a motor viaja a una velocidad constante de 5,0 m/s cuando comienza a desacelerar para llegar al muelle. Su aceleración es a(t)=14tm/s3a(t)=14tm/s3. (a) ¿Cuál es la función de velocidad de la lancha a motor? (b) ¿En qué momento la velocidad llega a cero? (c) ¿Cuál es la función de posición de la lancha a motor? (d) ¿Cuál es el desplazamiento de la lancha a motor desde que comienza a desacelerar hasta que la velocidad es cero? (e) Grafique las funciones de velocidad y posición.

Estrategia

(a) Para obtener la función de velocidad debemos integrar y utilizar las condiciones iniciales para encontrar la constante de integración. (b) Establecemos la función de velocidad igual a cero y resolvemos t. (c) De forma similar, debemos integrar para encontrar la función de posición y utilizar las condiciones iniciales para encontrar la constante de integración. (d) Como la posición inicial se toma como cero, solo tenemos que evaluar la función de posición en el momento en que la velocidad es cero.

Solución

Tomamos t = 0 como el tiempo en que la lancha comienza a desacelerar.
  1. A partir de la forma funcional de la aceleración podemos resolver la Ecuación 3.18 para obtener v(t):
    v(t)=a(t)dt+C1=14tdt+C1=18t2+C1.v(t)=a(t)dt+C1=14tdt+C1=18t2+C1.
    En t = 0 tenemos v(0) = 5,0 m/s = 0 + C1, por lo que C1 = 5,0 m/s o v(t)=5,0m/s18t2v(t)=5,0m/s18t2.
  2. v(t)=0=5,0m/s18t2 m/s3 t=6,3sv(t)=0=5,0m/s18t2 m/s3 t=6,3s
  3. Resolvemos la Ecuación 3.19:
    x(t)=v(t)dt+C2=(5,018t2)dt+C2= 5,0tm/s124t3m/s3+C2.x(t)=v(t)dt+C2=(5,018t2)dt+C2= 5,0tm/s124t3m/s3+C2.
    En t = 0, suponemos que x(0) = 0 = x0, dado que solo nos interesa el desplazamiento a partir del momento en que la lancha comienza a desacelerar. Tenemos
    x(0)=0=C2.x(0)=0=C2.
    Por lo tanto, la ecuación de la posición es
    x(t)=5,0t124t3.x(t)=5,0t124t3.
  4. Como la posición inicial se toma como cero, solo tenemos que evaluar la función de posición en el momento en que la velocidad es cero. Esto ocurre en t = 6,3 s. Por lo tanto, el desplazamiento es
    x(6,3)=5,0(6,3s)124(6,3s)3=21,1m.x(6,3)=5,0(6,3s)124(6,3s)3=21,1m.
El gráfico A traza la velocidad en metros por segundo en función del tiempo en segundos. La velocidad es de cinco metros por segundo al principio y disminuye hasta cero. El gráfico B traza la posición en metros en función del tiempo en segundos. La posición es cero al principio, aumenta hasta alcanzar el máximo entre seis y siete segundos, y luego comienza a disminuir.
Figura 3.30 (a) Velocidad de la lancha a motor en función del tiempo. La lancha reduce su velocidad a cero en 6,3 s. En tiempos superiores a este, la velocidad se vuelve negativa, es decir, la lancha invierte su dirección. (b) Posición de la lancha a motor en función del tiempo. En t = 6,3 s, la velocidad es cero y la lancha se ha detenido. En momentos superiores a este, la velocidad se vuelve negativa, es decir, si la lancha sigue moviéndose con la misma aceleración, invierte la dirección y se dirige de vuelta al lugar de origen.

Importancia

La función de aceleración es lineal en el tiempo, por lo que la integración implica polinomios simples. En la Figura 3.30, vemos que si extendemos la solución más allá del punto en que la velocidad es cero, la velocidad se vuelve negativa y la lancha invierte su dirección. Esto nos dice que las soluciones pueden darnos información fuera de nuestro interés inmediato y que debemos tener cuidado al interpretarlas.

Compruebe Lo Aprendido 3.8

Una partícula parte del reposo y tiene una función de aceleración a(t)=(5(101s)t)ms2a(t)=(5(101s)t)ms2. (a) ¿Cuál es la función de velocidad? (b) ¿Cuál es la función de posición? (c) ¿Cuándo es cero la velocidad?

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