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Física Universitaria Volumen 1

3.4 Movimiento con aceleración constante

Física Universitaria Volumen 13.4 Movimiento con aceleración constante
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Identificar qué ecuaciones de movimiento se van a utilizar para resolver las incógnitas.
  • Utilizar las ecuaciones de movimiento apropiadas para resolver un problema de persecución de dos cuerpos.

Puede suponer que, cuanto mayor sea la aceleración de, por ejemplo, un auto que se aleja de una señal de pare, mayor será el desplazamiento del auto en un tiempo determinado. Sin embargo, no hemos desarrollado ninguna ecuación específica que relacione la aceleración y el desplazamiento. En esta sección, veremos algunas ecuaciones convenientes para las relaciones cinemáticas, empezando por las definiciones de desplazamiento, velocidad y aceleración. En primer lugar, investigamos un único objeto en movimiento, denominado movimiento de un solo cuerpo. Luego, investigamos el movimiento de dos objetos, denominado problemas de persecución de dos cuerpos.

Notación

En primer lugar, hagamos algunas simplificaciones en la notación. Tomar el tiempo inicial como cero, como si el tiempo se midiera con un cronómetro, es una gran simplificación. Como el tiempo transcurrido es Δt=tft0Δt=tft0, al tomar t0=0t0=0 significa queΔt=tfΔt=tf, el tiempo final del cronómetro. Cuando el tiempo inicial se toma como cero, utilizamos el subíndice 0 para denotar los valores iniciales de posición y velocidad. Es decir, x0x0 es la posición inicial y v0v0 es la velocidad inicial. No ponemos subíndices en los valores finales. O sea, t es el tiempo final, x es la posición final y v es la velocidad final. Esto da una expresión más simple para el tiempo transcurrido, Δt=tΔt=t. También simplifica la expresión para el desplazamiento x, que ahora es Δx=xx0Δx=xx0. Además, simplifica la expresión para el cambio en la velocidad, que ahora es Δv=vv0Δv=vv0. En resumen, utilizando la notación simplificada, con el tiempo inicial tomado como cero,

Δt=tΔx=xx0Δv=vv0,Δt=tΔx=xx0Δv=vv0,

donde el subíndice 0 denota un valor inicial y la ausencia de subíndice denota un valor final en cualquier movimiento que se considere.

Ahora hacemos la importante suposición de que la aceleración es constante. Esta suposición nos permite evitar el uso del cálculo para encontrar la aceleración instantánea. Como la aceleración es constante, las aceleraciones media e instantánea son iguales, es decir,

a=a=constante.a=a=constante.

Por lo tanto, podemos utilizar el símbolo a para la aceleración en todos los tiempos. Suponer que la aceleración es constante no limita seriamente las situaciones que podemos estudiar ni degrada la exactitud de nuestro tratamiento. Por un lado, la aceleración es constante en un gran número de situaciones. Además, en muchas otras situaciones podemos describir el movimiento con exactitud suponiendo una aceleración constante igual a la aceleración media de ese movimiento. Por último, para los movimientos en los que la aceleración cambia drásticamente, como un auto que acelera hasta alcanzar la velocidad máxima y luego frena hasta detenerse, el movimiento puede considerarse en partes separadas, cada una de las cuales tiene su propia aceleración constante.

Desplazamiento y posición a partir de la velocidad

Para obtener nuestras dos primeras ecuaciones, empezamos con la definición de velocidad media:

v=ΔxΔt.v=ΔxΔt.

Sustituir la notación simplificada por ΔxΔx y ΔtΔt produce

v=xx0t.v=xx0t.

Al resolver la x obtenemos

x=x0+vt,x=x0+vt,
3.10

donde la velocidad media es

v=v0+v2.v=v0+v2.
3.11

La ecuación v=v0+v2v=v0+v2 refleja el hecho de que, cuando la aceleración es constante, vv es solo el simple promedio de las velocidades inicial y final. La Figura 3.18 ilustra este concepto gráficamente. En la parte (a) de la figura, la aceleración es constante y la velocidad aumenta a una tasa constante. La velocidad media durante el intervalo de 1 hora entre 40 km/h y 80 km/h es de 60 km/h:

v=v0+v2=40km/h+80km/h2=60km/h.v=v0+v2=40km/h+80km/h2=60km/h.

En la parte (b), la aceleración no es constante. Durante el intervalo de 1 hora, la velocidad está más cerca de 80 km/h que de 40 km/h. Por lo tanto, la velocidad media es mayor que en la parte (a).

El gráfico A muestra la velocidad en kilómetros por hora en función del tiempo en horas. La velocidad aumenta linealmente desde 40 kilómetros por hora a 1 hora, punto vo, hasta 80 kilómetros por hora a 2 horas, punto v. El gráfico B muestra la velocidad en kilómetros por hora trazada en función del tiempo en horas. La velocidad aumenta de 40 kilómetros por hora a 1 hora, punto vo, a 80 kilómetros por hora a 2 horas, punto v. El aumento no es lineal, primero la velocidad aumenta muy rápido y luego se ralentiza.
Figura 3.18 (a) Gráfico de velocidad en función del tiempo con aceleración constante que muestra las velocidades inicial y final v 0 y v v 0 y v . La velocidad media es 1 2 ( v 0 + v ) = 60 km / h 1 2 ( v 0 + v ) = 60 km / h . (b) Gráfico de velocidad en función del tiempo con una aceleración que cambia con el tiempo. La velocidad media no viene dada por 1 2 ( v 0 + v ) 1 2 ( v 0 + v ) , pero es superior a 60 km/h.

Resolución de la velocidad final a partir de la aceleración y el tiempo

Podemos derivar otra ecuación útil al manipular la definición de aceleración:

a=ΔvΔt.a=ΔvΔt.

Sustituir la notación simplificada por ΔvΔv y ΔtΔt nos da

a=vv0t(constantea).a=vv0t(constantea).

Si se resuelve v, se obtiene

v=v0+at(constantea).v=v0+at(constantea).
3.12

Ejemplo 3.7

Calcular la velocidad final

Un avión aterriza a una velocidad inicial de 70,0 m/s y luego desacelera a 1,50 m/s2 durante 40,0 s. ¿Cuál es su velocidad final?

Estrategia

En primer lugar, identificamos los valores conocidos: v0=70m/s,a=−1,50m/s2,t=40sv0=70m/s,a=−1,50m/s2,t=40s.

En segundo lugar, identificamos la incógnita; en este caso, es la velocidad final vfvf.

Por último, determinamos qué ecuación utilizar. Para ello, averiguamos qué ecuación cinemática nos da la incógnita en función de los valores conocidos. Calculamos la velocidad final mediante el empleo de la Ecuación 3.12, v=v0+atv=v0+at.

Solución

Sustituya los valores conocidos y resuelva:
v=v0+at=70,0m/s+(−1,50m/s2)(40,0 s)=10,0 m/s.v=v0+at=70,0m/s+(−1,50m/s2)(40,0 s)=10,0 m/s.

La Figura 3.19 es un esquema que muestra los vectores de aceleración y velocidad.

La figura muestra el avión en dos tiempos diferentes. En t igual a cero segundos tiene una velocidad de 70 metros por segundo y una aceleración de -1,5 metros por segundo al cuadrado. En t igual a 40 segundos tiene una velocidad de 10 metros por segundo y una aceleración de -1,5 metros por segundo al cuadrado.
Figura 3.19 El avión aterriza con una velocidad inicial de 70,0 m/s y reduce su velocidad hasta una velocidad final de 10,0 m/s antes de dirigirse a la terminal. Observe que la aceleración es negativa porque su dirección es opuesta a la velocidad, que es positiva.

Importancia

La velocidad final es mucho menor que la inicial, como se desea al frenar, pero sigue siendo positiva (ver la figura). Con los motores a reacción, el empuje inverso puede mantenerse el tiempo suficiente para detener el avión y empezar a moverlo hacia atrás, lo que se indica con una velocidad final negativa, pero no es el caso aquí.

Además de ser útil en la resolución de problemas, la ecuación v=v0+atv=v0+at nos permite conocer las relaciones entre la velocidad, la aceleración y el tiempo. Podemos ver, por ejemplo, que

  • la velocidad final depende de la magnitud de la aceleración y de su duración;
  • si la aceleración es cero, entonces la velocidad final es igual a la velocidad inicial (v = v0), como era de esperar (en otras palabras, la velocidad es constante);
  • si a es negativa, la velocidad final es menor que la inicial.

Todas estas observaciones se ajustan a nuestra intuición. Hay que tener en cuenta que siempre es útil examinar las ecuaciones básicas a tenor de nuestra intuición y experiencia para comprobar que efectivamente describen la naturaleza con exactitud.

Resolución de la posición final a partir de la aceleración constante

Podemos combinar las ecuaciones anteriores para encontrar una tercera ecuación que nos permita calcular la posición final de un objeto que experimenta una aceleración constante. Comenzamos con

v=v0+at.v=v0+at.

Sumando v0v0 a cada lado de esta ecuación y dividiendo entre 2 se obtiene

v0+v2=v0+12at.v0+v2=v0+12at.

Dado que v0+v2=vv0+v2=v para una aceleración constante, tenemos

v=v0+12at.v=v0+12at.

Ahora sustituimos esta expresión por vv en la ecuación del desplazamiento, x=x0+vtx=x0+vt, que produce

x=x0+v0t+12at2(constantea).x=x0+v0t+12at2(constantea).
3.13

Ejemplo 3.8

Calcular el desplazamiento de un objeto en aceleración

Los dragsters pueden alcanzar una aceleración media de 26,0 m/s2. Supongamos que un dragster acelera desde el reposo a esta tasa durante 5,56 s como en la Figura 3.20. ¿Qué distancia recorre en este tiempo?
La imagen muestra un auto de carreras de cuyos neumáticos traseros sale humo.
Figura 3.20 El piloto de Top Fuel del ejército estadounidense, Tony "The Sarge" (el sargento) Schumacher, comienza la carrera con el calentamiento de neumáticos controlado (créditos: teniente coronel William Thurmond. Foto cortesía del Ejército de los EE. UU.).

Estrategia

En primer lugar, dibujemos un esquema como la Figura 3.21. Se nos pide que encontremos el desplazamiento, que es x si tomamos x0x0 como cero. (Piense en x0x0 como la línea de salida de una carrera. Puede estar en cualquier lugar, pero lo llamamos cero y medimos todas las demás posiciones en relación con él). Podemos utilizar la ecuación x=x0+v0t+12at2x=x0+v0t+12at2 cuando identificamos v0v0, aa, y t del enunciado del problema.
La figura muestra un auto de carreras con una aceleración de 26 metros por segundo al cuadrado.
Figura 3.21 Esquema de un dragster en aceleración.

Solución

En primer lugar, tenemos que identificar los valores conocidos. Partir del reposo significa que v0=0v0=0, a se da como 26,0 m/s2 y t se da como 5,56 s.

En segundo lugar, sustituimos los valores conocidos en la ecuación para resolver la incógnita:

x=x0+v0t+12at2.x=x0+v0t+12at2.

Dado que la posición y la velocidad iniciales son ambas cero, esta ecuación se simplifica a

x=12at2.x=12at2.

Al sustituir los valores identificados de a y t obtenemos

x=12(26,0m/s2)(5,56s)2=402m.x=12(26,0m/s2)(5,56s)2=402m.

Importancia

Si convertimos 402 m a millas, encontramos que la distancia recorrida es muy cercana a un cuarto de milla, la distancia estándar para las carreras de aceleración. Por lo tanto, nuestra respuesta es razonable. Este es un desplazamiento impresionante para cubrir en solo 5,56 s, pero los dragsters de primera categoría pueden hacer un cuarto de milla incluso en menos tiempo. Si al dragster se le diera una velocidad inicial, esto añadiría otro término a la ecuación de la distancia. Si se utiliza la misma aceleración y tiempo en la ecuación, la distancia recorrida sería mucho mayor.

¿Qué más podemos aprender examinando la ecuación x=x0+v0t+12at2?x=x0+v0t+12at2? Podemos ver las siguientes relaciones:

  • El desplazamiento depende del cuadrado del tiempo transcurrido cuando la aceleración no es cero. En el Ejemplo 3.8, el dragster cubre solo una cuarta parte de la distancia total en la primera mitad del tiempo transcurrido.
  • Si la aceleración es cero, la velocidad inicial es igual a la velocidad media (v0=v)(v0=v) y x=x0+v0t+12at2se convierte enx=x0+v0t.x=x0+v0t+12at2se convierte enx=x0+v0t.

Resolución de la velocidad final a partir de la distancia y la aceleración

Se puede obtener una cuarta ecuación útil a partir de otra manipulación algebraica de las ecuaciones anteriores. Si resolvemos v=v0+atv=v0+at para t, obtenemos

t=vv0a.t=vv0a.

Al sustituir esto y v=v0+v2v=v0+v2 en x=x0+vtx=x0+vt, obtenemos

v2=v02+2a(xx0)(constantea).v2=v02+2a(xx0)(constantea).
3.14

Ejemplo 3.9

Calcular la velocidad final

Calcule la velocidad final del dragster en el Ejemplo 3.8 sin utilizar información sobre el tiempo.

Estrategia

La ecuación v2=v02+2a(xx0)v2=v02+2a(xx0) es ideal para esta tarea porque relaciona las velocidades, la aceleración y el desplazamiento, y no requiere información sobre el tiempo.

Solución

En primer lugar, identificamos los valores conocidos. Sabemos que v0 = 0, ya que el dragster parte del reposo. También sabemos que x - x0 = 402 m (esta era la respuesta en el Ejemplo 3.8). La aceleración media viene dada por a = 26,0 m/s2.

En segundo lugar, sustituimos los valores conocidos en la ecuación v2=v02+2a(xx0)v2=v02+2a(xx0) y resolvemos v:

v2=0+2(26,0m/s2)(402m).v2=0+2(26,0m/s2)(402m).

Por lo tanto,

v2=2,09×104m2/s2v=2,09×104m2/s2=145m/s.v2=2,09×104m2/s2v=2,09×104m2/s2=145m/s.

Importancia

Una velocidad de 145 m/s equivale a unos 522 km/h, o a unas 324 mi/h, pero incluso esta rapidez vertiginosa se queda corta para el récord del cuarto de milla. Además, tenga en cuenta que una raíz cuadrada tiene dos valores; tomamos el valor positivo para indicar una velocidad en la misma dirección que la aceleración.

El examen de la ecuación v2=v02+2a(xx0)v2=v02+2a(xx0) aportaría más información sobre las relaciones generales entre las cantidades físicas:

  • La velocidad final depende de cuán grande es la aceleración y la distancia sobre la que actúa.
  • Para una aceleración fija, un auto que va el doble de rápido no se detiene simplemente en el doble de distancia. La distancia para detenerse es mayor. (Por eso tenemos zonas de velocidad reducida cerca de los colegios).

Cómo juntar las ecuaciones

En los siguientes ejemplos, seguimos explorando el movimiento unidimensional, pero en situaciones que requieren una manipulación ligeramente más algebraica. Los ejemplos también permiten conocer las técnicas de resolución de problemas. La nota que sigue se proporciona para facilitar la referencia a las ecuaciones necesarias. Tenga en cuenta que estas ecuaciones no son independientes. En muchas situaciones tenemos dos incógnitas y necesitamos dos ecuaciones del conjunto para resolver las incógnitas. Necesitamos tantas ecuaciones como incógnitas para resolver una situación determinada.

Resumen de las ecuaciones cinemáticas (constante a)

x=x0+vtx=x0+vt
v=v0+v2v=v0+v2
v=v0+atv=v0+at
x=x0+v0t+12at2x=x0+v0t+12at2
v2=v02+2a(xx0)v2=v02+2a(xx0)

Antes de mencionar los ejemplos, analicemos las ecuaciones con más atención para ver el comportamiento de la aceleración en valores extremos. Al reordenar la Ecuación 3.12, tenemos

a=vv0t.a=vv0t.

De ello se deduce que, para un tiempo finito, si la diferencia entre las velocidades inicial y final es pequeña, la aceleración es pequeña, y se aproxima a cero en el límite en que las velocidades inicial y final son iguales. Por el contrario, en el límite t0t0 para una diferencia finita entre las velocidades inicial y final, la aceleración se vuelve infinita.

Del mismo modo, al reordenar la Ecuación 3.14, podemos expresar la aceleración en términos de velocidad y desplazamiento:

a=v2v022(xx0).a=v2v022(xx0).

Por lo tanto, para una diferencia finita entre las velocidades inicial y final la aceleración se hace infinita en el límite en que el desplazamiento se aproxima a cero. La aceleración se aproxima a cero en el límite en que la diferencia entre la velocidad inicial y final se aproxima a cero para un desplazamiento finito.

Ejemplo 3.10

¿Hasta dónde llega un auto?

En el hormigón seco, un auto puede desacelerar a una tasa de 7,00 m/s2, mientras que en el hormigón húmedo solo puede desacelerar a 5,00 m/s2. Calcule las distancias necesarias para detener un auto que se desplaza a 30,0 m/s (unos 110 km/h) sobre (a) hormigón seco y (b) hormigón húmedo. (c) Repita ambos cálculos y halle el desplazamiento desde el punto en que el conductor ve que un semáforo se pone en rojo, teniendo en cuenta su tiempo de reacción de 0,500 s para poner el pie en el freno.

Estrategia

En primer lugar, tenemos que dibujar un esquema como en la Figura 3.22. Para determinar cuáles ecuaciones son las mejores para utilizar, tenemos que enumerar todos los valores conocidos e identificar exactamente lo que tenemos que resolver.
La figura muestra un vehículo motorizado que se desplaza a una rapidez de 30 metros por segundo. Un semáforo se encuentra a la distancia desconocida delta x del vehículo motorizado. La rapidez del vehículo motorizado es de cero metros por segundo cuando llega al semáforo.
Figura 3.22 Esquema de ejemplo para visualizar la desaceleración y la distancia de frenado de un auto.

Solución

  1. En primer lugar, tenemos que identificar los valores conocidos y lo que queremos resolver. Sabemos que v0 = 30,0 m/s, v = 0, y a = -7,00 m/s2 (a es negativa porque está en dirección opuesta a la velocidad). Tomamos x0 como cero. Buscamos desplazamientos ΔxΔx, o x - x0.
    En segundo lugar, identificamos la ecuación que nos permitirá resolver el problema. La mejor ecuación a utilizar es
    v2=v02+2a(xx0).v2=v02+2a(xx0).
    Esta ecuación es la mejor porque incluye solo una incógnita, x. Conocemos los valores de todas las demás variables de esta ecuación. (Otras ecuaciones nos permitirían resolver x, pero requieren que conozcamos el tiempo de parada, t, que no conocemos. Podríamos utilizarlas, pero implicaría cálculos adicionales).
    En tercer lugar, reordenamos la ecuación para resolver x:
    xx0=v2v022axx0=v2v022a
    y sustituir los valores conocidos:
    x0=02(30,0m/s)22(-7,00m/s2).x0=02(30,0m/s)22(-7,00m/s2).
    Por lo tanto,
    x=64,3m en hormigón seco.x=64,3m en hormigón seco.
  2. Esta parte puede resolverse exactamente de la misma manera que (a). La única diferencia es que la aceleración es de -5,00 m/s2. El resultado es
    xhúmedo=90,0m en el hormigón húmedo.xhúmedo=90,0m en el hormigón húmedo.
  3. Cuando el conductor reacciona, la distancia de parada es la misma que en (a) y (b) para el hormigón seco y húmedo. Por lo tanto, para responder a esta pregunta, tenemos que calcular la distancia que recorre el auto durante el tiempo de reacción, y luego sumarlo al tiempo de parada. Es razonable suponer que la velocidad se mantiene constante durante el tiempo de reacción del conductor.
    Para ello, una vez más, identificamos los valores conocidos y lo que queremos resolver. Sabemos que v=30,0m/sv=30,0m/s, treacción=0,500streacción=0,500s y areacción=0areacción=0. Tomamos x0-reacciónx0-reacción como cero. Buscamos xreacciónxreacción.
    En segundo lugar, como antes, identificamos la mejor ecuación a utilizar. En este caso, x=x0+vtx=x0+vt funciona bien porque la única incógnita es x, que es lo que queremos resolver.
    En tercer lugar, sustituimos los valores conocidos para resolver la ecuación:
    x=0+(30,0m/s)(0,500s)=15,0m.x=0+(30,0m/s)(0,500s)=15,0m.
    Esto significa que el auto se desplaza 15,0 m mientras el conductor reacciona, lo que hace que los desplazamientos totales en los dos casos de hormigón seco y húmedo sean 15,0 m mayores que si reacciona instantáneamente.
    Por último, sumamos el desplazamiento durante el tiempo de reacción al desplazamiento en el momento del frenado (Figura 3.23),
    xfrenado+xreacción=xtotal,xfrenado+xreacción=xtotal,
    y encontramos que (a) es de 64,3 m + 15,0 m = 79,3 m en seco y (b) es de 90,0 m + 15,0 m = 105 m en húmedo.
La figura superior muestra los autos situados a 64,3 metros y 90 metros del punto de partida para condiciones secas y húmedas, respectivamente. La figura inferior muestra los autos situados a 79,3 metros y 105 metros del punto de partida para condiciones secas y húmedas, respectivamente.
Figura 3.23 La distancia necesaria para detener un auto varía mucho, dependiendo de las condiciones de la carretera y del tiempo de reacción del conductor. Aquí se muestran las distancias de frenado para el pavimento seco y húmedo, tal y como se ha calculado en este ejemplo, para un auto que viaja inicialmente a 30,0 m/s. También se muestran las distancias totales recorridas desde el punto en que el conductor ve por primera vez el semáforo en rojo, suponiendo un tiempo de reacción de 0,500 s.

Importancia

Los desplazamientos encontrados en este ejemplo parecen razonables para detener un auto que se mueve rápidamente. Debería tardar más detener un auto en pavimento húmedo que en seco. Es interesante que el tiempo de reacción aumente significativamente los desplazamientos, pero lo más importante es el enfoque general de la resolución de problemas. Identificamos los valores conocidos y las cantidades a determinar, y luego encontramos una ecuación adecuada. Si hay más de una incógnita, necesitamos tantas ecuaciones independientes como incógnitas a resolver. A menudo hay más de una forma de resolver un problema. Las distintas partes de este ejemplo pueden, de hecho, resolverse por otros métodos, pero las soluciones presentadas aquí son las más breves.

Ejemplo 3.11

Calcular el tiempo

Supongamos que un auto se incorpora al tráfico de la autopista en una rampa de 200 m de longitud. Si su velocidad inicial es de 10,0 m/s y acelera a 2,00 m/s2, ¿cuánto tiempo tarda el auto en recorrer los 200 m de la rampa? (Esta información podría ser útil para un ingeniero de tráfico).

Estrategia

En primer lugar, trazamos un esquema como en la Figura 3.24. Se nos pide que resolvamos el tiempo t. Como antes, identificamos las cantidades conocidas para elegir una relación física conveniente (es decir, una ecuación con una incógnita, t).
La figura muestra un auto que acelera desde la rapidez de 10 metros por segundo a una tasa de 2 metros por segundo al cuadrado. La distancia de aceleración es de 200 metros.
Figura 3.24 Esquema de un auto que acelera en una rampa de autopista.

Solución

Una vez más, identificamos los valores conocidos y lo que queremos resolver. Sabemos que x0=0,x0=0,
v0=10m/s,a=2,00m/s2v0=10m/s,a=2,00m/s2, y x = 200 m.

Tenemos que resolver t. La ecuación x=x0+v0t+12at2x=x0+v0t+12at2 funciona mejor porque la única incógnita en la ecuación es la variable t, para la que necesitamos resolver. A partir de esta idea, vemos que, cuando introducimos los valores conocidos en la ecuación, obtenemos una ecuación cuadrática.

Tenemos que reordenar la ecuación para resolver la variable t, y luego sustituir los valores conocidos en la ecuación:

200m=0m+(10,0m/s)t+12(2,00m/s2)t2.200m=0m+(10,0m/s)t+12(2,00m/s2)t2.

Ahora, simplificamos la ecuación. Las unidades de metros se cancelan porque están en cada término. Podemos conseguir que las unidades de los segundos se cancelen tomando t = t s, donde t es la magnitud del tiempo y s es la unidad. Al hacerlo, nos deja

200=10t+t2.200=10t+t2.

Luego, utilizamos la fórmula cuadrática para resolver t,

t2+10t200=0t=b±b24ac2a,t2+10t200=0t=b±b24ac2a,

que arroja dos soluciones: t = 10,0 y t = -20,0. Un valor negativo para el tiempo es poco razonable, ya que significaría que el evento ocurrió 20 s antes de que comenzara el movimiento. Podemos descartar esa solución. Por lo tanto,

t=10,0s.t=10,0s.

Importancia

Siempre que una ecuación contiene una incógnita al cuadrado, hay dos soluciones. En algunos problemas, ambas soluciones tienen sentido; en otros, solo una solución es razonable. La respuesta de 10,0 s parece razonable para una rampa de acceso a una autopista típica.

Compruebe Lo Aprendido 3.5

Un cohete acelera a una tasa de 20 m/s2 durante el lanzamiento. ¿Cuánto tarda el cohete en alcanzar una velocidad de 400 m/s?

Ejemplo 3.12

Aceleración de una nave espacial

Una nave espacial ha dejado la órbita de la Tierra y se dirige a la Luna. Acelera a 20 m/s2 durante 2 min y recorre una distancia de 1.000 km. ¿Cuál es la velocidad inicial y final de la nave espacial?

Estrategia

Se nos pide que encontremos la velocidad inicial y final de la nave espacial. Observando las ecuaciones cinemáticas, vemos que una ecuación no dará la respuesta. Debemos utilizar una ecuación cinemática para resolver una de las velocidades y sustituirla en otra ecuación cinemática para obtener la segunda velocidad. Así, resolvemos simultáneamente dos de las ecuaciones cinemáticas.

Solución

Primero resolvemos v0v0 utilizando x=x0+v0t+12at2:x=x0+v0t+12at2:
xx0=v0t+12at2xx0=v0t+12at2
1,0×106m=v0(120,0s)+12(20,0m/s2)(120,0s)21,0×106m=v0(120,0s)+12(20,0m/s2)(120,0s)2
v0=7133,3m/s.v0=7133,3m/s.

Luego sustituimos v0v0 en v=v0+atv=v0+at para resolver la velocidad final:

v=v0+at=7133,3m/s+(20,0m/s2)(120,0s)=9533,3m/s.v=v0+at=7133,3m/s+(20,0m/s2)(120,0s)=9533,3m/s.

Importancia

Hay seis variables de desplazamiento, tiempo, velocidad y aceleración, que describen el movimiento en una dimensión. Las condiciones iniciales de un problema determinado pueden ser muchas combinaciones de estas variables. Debido a esta diversidad, las soluciones pueden no ser tan fáciles como simples sustituciones en una de las ecuaciones. Este ejemplo ilustra que las soluciones a la cinemática requerirían la resolución de dos ecuaciones cinemáticas simultáneas.

Una vez establecidos los fundamentos de la cinemática, podemos pasar a muchos otros ejemplos y aplicaciones interesantes. En el proceso de desarrollo de la cinemática, también hemos vislumbrado un enfoque general para la resolución de problemas que produce tanto respuestas correctas como conocimientos sobre las relaciones físicas. El siguiente nivel de complejidad en nuestros problemas de cinemática implica el movimiento de dos cuerpos interrelacionados, denominados problemas de persecución de dos cuerpos.

Problemas de persecución de dos cuerpos

Hasta ahora hemos visto ejemplos de movimiento en los que interviene un solo cuerpo. Incluso para el problema con dos autos y las distancias de parada en carreteras húmedas y secas, dividimos este problema en dos problemas separados para encontrar las respuestas. En un problema de persecución de dos cuerpos, los movimientos de los objetos están acoplados, es decir, la incógnita que buscamos depende del movimiento de ambos objetos. Para resolver estos problemas escribimos las ecuaciones de movimiento de cada objeto y las resolvemos simultáneamente para encontrar la incógnita. Esto se ilustra en la Figura 3.25.

La figura de la izquierda muestra el auto rojo que acelera hacia el auto azul. La figura de la derecha muestra el auto rojo que alcanzó al auto azul.
Figura 3.25 Un escenario de persecución de dos cuerpos donde el auto 2 tiene una velocidad constante y el auto 1 está detrás con una aceleración constante. El auto 1 alcanza al auto 2 en un momento posterior.

El tiempo y la distancia necesarios para que el auto 1 alcance al auto 2 dependen de la distancia inicial a la que se encuentra el auto 1 con respecto al auto 2, así como de las velocidades de ambos autos y de la aceleración del auto 1. Para encontrar estas incógnitas hay que resolver las ecuaciones cinemáticas que describen el movimiento de ambos autos.

Considere el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.13

Un guepardo atrapa a una gacela

Un guepardo espera escondido detrás de un arbusto. El guepardo ve pasar a una gacela a 10 m/s. En el momento en que la gacela pasa por delante del guepardo, este acelera desde el reposo a 4 m/s2 para atrapar a la gacela. (a) ¿Cuánto tarda el guepardo en atrapar a la gacela? (b) ¿Cuál es el desplazamiento de la gacela y del guepardo?

Estrategia

Para resolver este problema utilizamos el conjunto de ecuaciones de la aceleración constante. Como hay dos objetos en movimiento, tenemos ecuaciones de movimiento separadas que describen cada animal. Sin embargo, lo que une las ecuaciones es un parámetro común que tiene el mismo valor para cada animal. Si analizamos el problema en detalle, está claro que el parámetro común a cada animal es su posición x en un tiempo posterior t. Dado que ambos comienzan en x0=0x0=0, sus desplazamientos son los mismos en un tiempo posterior t, cuando el guepardo alcanza a la gacela. Si elegimos la ecuación de movimiento que resuelve el desplazamiento para cada animal, podemos entonces establecer las ecuaciones iguales entre sí y resolver la incógnita, que es el tiempo.

Solución

  1. Ecuación para la gacela: la gacela tiene una velocidad constante, que es su velocidad media, ya que no está acelerando. Por lo tanto, utilizamos la Ecuación 3.10 con x0=0x0=0:
    x=x0+vt=vt.x=x0+vt=vt.
    Ecuación para el guepardo: el guepardo acelera desde el reposo, así que usamos la Ecuación 3.13 con x0=0x0=0 y v0=0v0=0:
    x=x0+v0t+12at2=12at2.x=x0+v0t+12at2=12at2.
    Ahora tenemos una ecuación de movimiento para cada animal con un parámetro común, que puede eliminarse para encontrar la solución. En este caso, resolvemos t:
    x=vt=12at2t=2va.x=vt=12at2t=2va.
    La gacela tiene una velocidad constante de 10 m/s, que es su velocidad media. La aceleración del guepardo es de 4 m/s2. Al evaluar t, el tiempo que tarda el guepardo en alcanzar a la gacela, tenemos
    t=2va=2(10)4=5s.t=2va=2(10)4=5s.
  2. Para obtener el desplazamiento, utilizamos la ecuación de movimiento del guepardo o de la gacela, ya que ambas deberían dar la misma respuesta.
    Desplazamiento del guepardo:
    x=12at2=12(4)(5)2=50m.x=12at2=12(4)(5)2=50m.
    Desplazamiento de la gacela:
    x=vt=10(5)=50m.x=vt=10(5)=50m.
    Vemos que ambos desplazamientos son iguales, como se esperaba.

Importancia

Es importante analizar el movimiento de cada objeto y utilizar las ecuaciones cinemáticas apropiadas para describir el movimiento individual. También es importante tener una buena perspectiva visual del problema de persecución de dos cuerpos para ver el parámetro común que une el movimiento de ambos objetos.

Compruebe Lo Aprendido 3.6

Una bicicleta tiene una velocidad constante de 10 m/s. Una persona parte del reposo y comienza a correr para alcanzar a la bicicleta en 30 s cuando esta se encuentra en la misma posición que la persona. ¿Cuál es la aceleración de la persona?

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