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Física Universitaria Volumen 1

17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria

Física Universitaria Volumen 117.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Explicar el mecanismo de auriculares que reducen el sonido.
  • Describir la resonancia en un tubo cerrado en un extremo y abierto por el otro.
  • Describir la resonancia en un tubo abierto en ambos extremos.

La interferencia es el sello distintivo de las ondas, todas las cuales presentan una interferencia constructiva y una destructiva exactamente análogas a la que se observa en las ondas acuáticas. De hecho, una forma de demostrar que algo “es una onda” es observar efectos de interferencia. Como el sonido es una onda, es de esperar que presente interferencias.

Interferencia de las ondas sonoras

En la sección Ondas hablamos de la interferencia de funciones de onda que solo difieren en un deslizamiento de fase. Hallamos que la función de onda resultante de la superposición de y1(x,t)=Asen(kxωt+ϕ)y1(x,t)=Asen(kxωt+ϕ) y y2(x,t)=Asen(kxωt)y2(x,t)=Asen(kxωt) es

y(x,t)=[2Acos(ϕ2)]sen(kxωt+ϕ2).y(x,t)=[2Acos(ϕ2)]sen(kxωt+ϕ2).

Una forma de que dos ondas idénticas que inicialmente están en fase se desfasen entre sí es que las ondas recorran distancias diferentes; es decir, que tengan longitudes del trayecto diferentes. Las ondas sonoras constituyen un excelente ejemplo de deslizamiento de fase debido a una diferencia de trayectoria. Como hemos comentado, las ondas sonoras se pueden modelar básicamente como ondas longitudinales, en las que las moléculas del medio oscilan alrededor de una posición de equilibrio, o como ondas de presión.

Cuando las ondas salen de los altavoces, lo hacen en forma de ondas esféricas (Figura 17.16). Las ondas interfieren; la inferencia constructiva se produce por la combinación de dos crestas o dos depresiones, como se muestra. La interferencia destructiva se produce por la combinación de una depresión y una cresta.

Dibujo de dos altavoces que actúan como fuentes de ondas sonoras de la misma frecuencia. Se muestran los puntos de alta intensidad del sonido que se generan de la superposición de dos crestas (compresión) o dos depresiones (rarefacción). Además, se indican puntos de interferencia constructiva.
Figura 17.16 Cuando las ondas sonoras son producidas por un altavoz, se desplazan a la velocidad del sonido y se mueven hacia fuera como ondas esféricas. En este caso, dos altavoces producen el mismo tono constante (frecuencia). El resultado son puntos de alta intensidad de sonido (resaltados), que resultan de la superposición de dos crestas (compresión) o dos depresiones (rarefacción). La interferencia destructiva se genera por la superposición de una cresta y una depresión. Los puntos donde hay interferencia constructiva en la figura se producen porque las dos ondas están en fase en esos puntos. Los puntos de interferencia destructiva (Figura 17.17) son el resultado de que las dos ondas estén desfasadas.
La imagen superior es un dibujo de dos altavoces accionados por un único generador de señales. Las ondas sonoras producidas por los altavoces están en fase y son de una sola frecuencia. La interferencia constructiva está marcada por los puntos rojos y azules, la interferencia destructiva está marcada por puntos negros. La figura A corresponde a la situación en la que la diferencia de longitudes del trayecto es de una longitud de onda, lo que genera una interferencia constructiva total y una amplitud resultante igual al doble de la amplitud original.
Figura 17.17 Dos altavoces accionados por un solo generador de señales. Las ondas sonoras producidas por los altavoces están en fase y son de una sola frecuencia. Las ondas sonoras interfieren entre sí. Cuando dos crestas o dos depresiones coinciden se produce una interferencia constructiva, marcada con los puntos rojos y azules. Cuando una depresión y una cresta coinciden se produce una interferencia destructiva, marcada con puntos negros. La diferencia de fase se debe a las longitudes del trayecto recorridas por cada una de las ondas. Dos ondas idénticas recorren dos longitudes del trayecto diferentes hasta un punto P. (a) La diferencia en las longitudes del trayecto es de una longitud de onda, lo que genera una interferencia constructiva total y una amplitud resultante igual al doble de la amplitud original. (b) La diferencia en las longitudes del trayecto es menor que una longitud de onda, pero mayor que media longitud de onda, lo que ocasiona una amplitud mayor que cero y menor que el doble de la amplitud original. (c) La diferencia en las longitudes del trayecto es de media longitud de onda, lo que genera una interferencia destructiva total y una amplitud resultante de cero.

La diferencia de fase en cada punto se debe a las diferentes longitudes del trayecto recorridas por cada onda. Cuando la diferencia de longitudes del trayecto es un múltiplo entero de una longitud de onda,

Δr=|r2r1|=nλ,donden=0,1,2,3,…,Δr=|r2r1|=nλ,donden=0,1,2,3,…,

las ondas están en fase y hay interferencia constructiva. Cuando la diferencia de longitudes del trayecto es un múltiplo impar de media longitud de onda,

Δr=|r2r1|=nλ2,donden=1,3,5,…,Δr=|r2r1|=nλ2,donden=1,3,5,…,

las ondas están 180°(πrad)180°(πrad) fuera de fase y el resultado es una interferencia destructiva. Estos puntos se pueden localizar con un medidor de intensidad del sonido.

Ejemplo 17.5

Interferencia de las ondas sonoras

Dos altavoces tienen una separación de 5,00 m y son accionados por un generador de señales a una frecuencia desconocida. Un estudiante con un medidor de sonido recorre 6,00 m y baja 2,00 m y halla la primera intensidad mínima, como se muestra a continuación. ¿Cuál es la frecuencia suministrada por el generador de señales? Suponga que la rapidez de onda del sonido es v=343,00m/s.v=343,00m/s. La imagen es un dibujo de dos altavoces colocados a 5 metros de distancia que son accionados por un solo generador de señal. Las ondas sonoras producidas por los altavoces se juntan en el punto que está a 6 metros del altavoz superior y a 2 metros por debajo de él. La distancia del altavoz superior al punto es r1; la distancia del altavoz inferior al punto es r2.

Estrategia

La velocidad de la onda es igual a v=λT=λf.v=λT=λf. La frecuencia es entonces f=vλ.f=vλ. Una intensidad mínima indica una interferencia destructiva, y el primer punto de este tipo se produce cuando hay una diferencia de trayectoria de Δr=λ/2,Δr=λ/2, lo cual se puede calcular a partir de la geometría.

Solución

  1. Calcule la longitud del trayecto hasta el punto mínimo desde cada altavoz
    La imagen muestra un triángulo con dos lados de r1 y 2. La altura de un triángulo es de 6 metros. La altura de la base del triángulo divide la base en dos partes de 2 y 3 metros de longitud.
    r1=(6,00m)2+(2,00m)2=6,32m,r2=(6,00m)2+(3,00m)2=6,71mr1=(6,00m)2+(2,00m)2=6,32m,r2=(6,00m)2+(3,00m)2=6,71m
  2. Use la diferencia en la longitud del trayecto para calcular la longitud de onda.
    Δr=|r2r1|=|6,71m6,32m|=0,39mΔr=|r2r1|=|6,71m6,32m|=0,39m
    λ=2Δr=2(0,39m)=0,78mλ=2Δr=2(0,39m)=0,78m
  3. Calcule la frecuencia.
    f=vλ=343,00m/s0,78m=439,74Hzf=vλ=343,00m/s0,78m=439,74Hz

Importancia

Si el punto P fuera un punto de máxima intensidad, entonces la longitud del trayecto sería un múltiplo entero de la longitud de onda.

Compruebe Lo Aprendido 17.4

Si camina alrededor de dos altavoces que reproducen música, ¿cómo no se percata de los lugares donde la música está muy alta o muy baja, es decir, donde hay interferencias constructivas y destructivas?

El concepto de deslizamiento de fase debido a una diferencia en la longitud del trayecto es muy importante. Este concepto lo volverá a usar en las secciones Interferencia y Fotones y ondas de materia, en las cuales se analiza cómo Thomas Young puso en práctica este método en su famoso experimento de la doble rendija para demostrar que la luz tiene propiedades ondulatorias.

Reducción de ruido mediante interferencia destructiva

La Figura 17.18 muestra un uso inteligente de la interferencia de sonido para anular el ruido. Se han propuesto aplicaciones a mayor escala de reducción de ruido activa por interferencia destructiva para compartimentos enteros de pasajeros en aviones comerciales. Para obtener interferencia destructiva, se hace un análisis electrónico rápido y se introduce un segundo sonido 180°180° fuera de fase con el sonido original, con sus máximos y mínimos exactamente invertidos con respecto al ruido entrante. Las ondas sonoras en los fluidos son ondas de presión y son coherentes con el principio de Pascal; es decir, las presiones de dos fuentes diferentes se suman y restan como números simples. Por lo tanto, las presiones manométricas positivas y negativas se suman a una presión mucho menor, lo que produce un sonido de menor intensidad. Aunque la interferencia destructiva por completo solo es posible en las condiciones más sencillas, es posible reducir los niveles de ruido en 30 dB o más a través de esta técnica.

La imagen superior es un dibujo del auricular que consiste en un altavoz rodeado por el circuito de cancelación de ruido y un micrófono al lado. La imagen inferior muestra una onda sinusoidal del ruido entrante que se superpone destructivamente con la segunda onda sonora, lo que provoca el silencio.
Figura 17.18 Los auriculares diseñados para anular el ruido con interferencia destructiva crean una onda sonora exactamente opuesta al sonido entrante. Estos auriculares pueden ser más eficaces que la simple atenuación pasiva utilizada en la mayoría de las protecciones auditivas. Tales auriculares se usaron en el vuelo sin escalas alrededor del mundo de la aeronave Voyager, que batió el récord mundial en 1986, para proteger los oídos de los pilotos del ruido del motor.

Compruebe Lo Aprendido 17.5

Describa en qué se diferencian los auriculares con cancelación de ruido de los estándar que se usan para bloquear sonidos exteriores.

¿Dónde más podemos observar interferencias de sonido? Todas las resonancias de sonido, como las de los instrumentos musicales, se deben a interferencias constructivas y destructivas. Solo las frecuencias de resonancia interfieren constructivamente para formar ondas estacionarias, mientras que otras interfieren destructivamente y están ausentes.

Resonancia en un tubo cerrado en un extremo

Como ya comentamos en la sección Ondas, las ondas estacionarias están formadas por dos ondas que se mueven en direcciones opuestas. Cuando dos ondas sinusoidales idénticas se mueven en direcciones opuestas, las ondas se pueden modelar como

y1(x,t)=Asen(kxωt)yy2(x,t)=Asen(kx+ωt).y1(x,t)=Asen(kxωt)yy2(x,t)=Asen(kx+ωt).

Cuando estas dos ondas interfieren, la onda resultante es una onda estacionaria:

yR(x,t)=[2Asen(kx)]cos(ωt).yR(x,t)=[2Asen(kx)]cos(ωt).

La resonancia se puede producir debido a las condiciones de frontera impuestas a una onda. En la sección Ondas, demostramos que la resonancia se podía producir en una cuerda en tensión que tenía condiciones de frontera simétricas, concretamente, un nodo en cada extremo. Definimos un nodo como un punto fijo en el que la cuerda no se ha movido. Descubrimos que las condiciones de frontera simétricas hacían que algunas frecuencias resonaran y produjeran ondas estacionarias, mientras que otras frecuencias interferían destructivamente. Las ondas sonoras pueden resonar en un tubo hueco, y las frecuencias de las ondas sonoras que resuenan dependen de las condiciones de frontera.

Suponga que tenemos un tubo cerrado en un extremo y abierto en el otro. Si sostenemos un diapasón vibrante cerca del extremo abierto del tubo, una onda sonora incidente se desplaza a través del tubo y se refleja en el extremo cerrado. El sonido reflejado tiene la misma frecuencia y la misma longitud de onda que la onda sonora incidente, pero se desplaza en dirección opuesta. En el extremo cerrado del tubo, las moléculas de aire tienen muy poca libertad para oscilar y se produce un nodo. En el extremo abierto, las moléculas son libres de moverse y, a la frecuencia adecuada, se produce un antinodo. A diferencia de las condiciones de frontera simétricas para las ondas estacionarias en la cuerda, las condiciones de frontera para un tubo abierto en un extremo y cerrado en el otro son antisimétricas: un nodo en el extremo cerrado y un antinodo en el extremo abierto.

Si el diapasón tiene la frecuencia adecuada, la columna de aire del tubo resuena con fuerza, pero en la mayoría de las frecuencias vibra muy poco. Esta observación solo significa que la columna de aire tiene ciertas frecuencias naturales únicamente. Considere la frecuencia más baja que hará que el tubo resuene y produzca un sonido fuerte. Habrá un nodo en el extremo cerrado y un antinodo en el extremo abierto, como se muestra en la Figura 17.19.

La imagen muestra la resonancia del aire en un tubo cerrado en un extremo. Hay un desplazamiento máximo en el extremo cerrado y ningún desplazamiento en el extremo abierto. La resonancia la provoca un diapasón colocado junto al tubo.
Figura 17.19 Resonancia de aire en un tubo cerrado en un extremo causada por un diapasón que vibra a la frecuencia más baja que puede producir resonancia (la frecuencia fundamental). Existe un nodo en el extremo cerrado y un antinodo en el extremo abierto.

La onda estacionaria formada en el tubo tiene un antinodo en el extremo abierto y un nodo en el extremo cerrado. La distancia de un nodo a un antinodo es un cuarto de la longitud de onda, y esta es igual a la longitud del tubo; por lo tanto, λ1=4L.λ1=4L. Esta misma resonancia la puede producir una vibración introducida en o cerca del extremo cerrado del tubo (Figura 17.20). Lo mejor es considerar que se trata de una vibración natural de la columna de aire, independientemente de cómo se introduzca.

La imagen es un diagrama de la onda estacionaria que se crea en el tubo por una vibración introducida cerca de su extremo cerrado. La onda estacionaria tiene tres cuartas partes de su longitud de onda en el tubo.
Figura 17.20 La misma onda estacionaria se crea en el tubo mediante una vibración introducida cerca de su extremo cerrado.

Dado que los desplazamientos máximos de aire son posibles en el extremo abierto y ninguno en el cerrado, pueden resonar en el tubo otras longitudes de onda más cortas, como la que se muestra en la Figura 17.21. Aquí la onda estacionaria tiene tres cuartas partes de su longitud de onda en el tubo, o 34λ3=L,34λ3=L, por lo que λ3=43L.λ3=43L. Continuando con este proceso, se obtiene toda una serie de sonidos de menor longitud de onda y mayor frecuencia que resuenan en el tubo. Utilizamos términos específicos para las resonancias de cualquier sistema. La frecuencia de resonancia más baja se llama fundamental, mientras que todas las frecuencias de resonancia más altas se llaman sobretonos. Las frecuencias de resonancia que son múltiplos integrales de la fundamental se denominan colectivamente armónicos. La fundamental es el primer armónico, el segundo armónico es el doble de la frecuencia del primer armónico y así sucesivamente. Es posible que algunos de estos armónicos no existan para un escenario determinado. La Figura 17.22 muestra la fundamental y los tres primeros sobretonos (o los armónicos primero, tercero, quinto y séptimo) en un tubo cerrado en un extremo.

La imagen es un diagrama de la resonancia para un tubo cerrado en un extremo. La onda estacionaria tiene el máximo desplazamiento de aire en el extremo abierto y ninguno en el extremo cerrado. La onda estacionaria tiene tres cuartas partes de su longitud de onda en el tubo.
Figura 17.21 Otra resonancia para un tubo cerrado en un extremo. Esta onda estacionaria tiene el máximo desplazamiento de aire en el extremo abierto y ninguno en el extremo cerrado. La longitud de onda es más corta, con tres cuartos λ λ igualando la longitud del tubo, por lo que λ = 4 L / 3 λ = 4 L / 3 . Esta vibración de mayor frecuencia es el primer sobretono.
La imagen es un diagrama de la fundamental y de tres sobretonos más bajos para un tubo cerrado en un extremo. La fundamental tiene una cuarta parte de su longitud de onda en un tubo. El primer sobretono tiene tres cuartos de su longitud de onda en un tubo, el segundo, tiene cinco cuartos y el tercero tiene siete cuartos. Todos tienen desplazamientos máximos de aire en el extremo abierto y ninguno en el extremo cerrado.
Figura 17.22 La fundamental y los tres sobretonos más bajos de un tubo cerrado en un extremo. Todos tienen desplazamientos máximos de aire en el extremo abierto y ninguno en el extremo cerrado.

La relación para las longitudes de onda resonantes de un tubo cerrado en un extremo es

λn=4nLn=1,3,5,...λn=4nLn=1,3,5,...
17.13

Ahora, busquemos un patrón en las frecuencias de resonancia para un tubo simple que está cerrado en un extremo. La fundamental tiene λ=4L,λ=4L, y la frecuencia se relaciona con la longitud de onda y la velocidad del sonido según

v=fλ.v=fλ.

Si se resuelve f en esta ecuación se obtiene

f=vλ=v4L,f=vλ=v4L,

donde v es la velocidad del sonido en el aire. Del mismo modo, el primer sobretono tiene λ=4L/3λ=4L/3 (vea la Figura 17.22), por lo que

f3=3v4L=3f1.f3=3v4L=3f1.

Porque f3=3f1,f3=3f1, llamamos al primer sobretono el tercer armónico. Siguiendo este proceso, vemos un patrón que puede generalizarse en una expresión única. Las frecuencias de resonancia de un tubo cerrado en un extremo son

fn=nv4L,n=1,3,5,...,fn=nv4L,n=1,3,5,...,
17.14

donde f1f1 es la fundamental, f3f3 es el primer sobretono y así sucesivamente. Es interesante que las frecuencias de resonancia dependan de la velocidad del sonido y, por tanto, de la temperatura. Esta relación supone un problema notable para los órganos de las antiguas catedrales sin calefacción, y es también lo que justifica que los músicos suelen poner sus instrumentos de viento a temperatura ambiente antes de tocarlos.

Resonancia en un tubo abierto en ambos extremos

Otra fuente de ondas estacionarias es un tubo abierto en ambos extremos. En este caso, las condiciones de frontera son simétricas: un antinodo en cada extremo. Las resonancias de los tubos abiertos en ambos extremos se pueden analizar de forma muy similar a las de los tubos cerrados en un extremo. Las columnas de aire en tubos abiertos en ambos extremos tienen desplazamientos máximos de aire en ambos extremos (Figura 17.23). Las ondas estacionarias se forman como se muestra.

La imagen es un diagrama de la fundamental y de tres sobretonos más bajos para un tubo cerrado en un extremo. La fundamental tiene la mitad de su longitud de onda en un tubo. El primer sobretono tiene una de su longitud de onda en un tubo, el segundo sobretono tiene una y media de su longitud de onda en un tubo, el tercer sobretono tiene dos de su longitudes de onda en un tubo. Todos tienen desplazamientos de aire máximos en ambos extremos de un tubo.
Figura 17.23 Las frecuencias de resonancia de un tubo abierto en ambos extremos, incluso la fundamental y los tres primeros sobretonos. En todos los casos, los desplazamientos máximos de aire se producen en ambos extremos del tubo, lo que le confiere frecuencias naturales diferentes a las de un tubo cerrado en un extremo.

La relación para las longitudes de onda resonantes de un tubo abierto en ambos extremos es

λn=2nL,n=1,2,3,....λn=2nL,n=1,2,3,....
17.15

Basándonos en el hecho de que un tubo abierto en ambos extremos tiene desplazamientos máximos de aire en ambos extremos, y al usar la Figura 17.23 como guía podemos ver que las frecuencias de resonancia de un tubo abierto en ambos extremos son

fn=nv2L,n=1,2,3...,fn=nv2L,n=1,2,3...,
17.16

donde f1f1 es la fundamental, f2f2 es el primer sobretono, f3f3 es el segundo sobretono y así sucesivamente. Observe que un tubo abierto en ambos extremos tiene una frecuencia fundamental doble de la que tendría si estuviera cerrado en un extremo. También tiene un espectro de sobretonos diferente al de un tubo cerrado en un extremo.

Observe que un tubo abierto en ambos extremos tiene condiciones de frontera simétricas, similares a las de la cuerda fijada en ambos extremos de la que hablamos en la sección Ondas. Las relaciones para las longitudes de onda y las frecuencias de un instrumento de cuerda son las mismas que se dan en la Ecuación 17.15 y la Ecuación 17.16. La velocidad de la onda en la cuerda (de la sección Ondas) es v=FTμ.v=FTμ. El aire que rodea la cuerda vibra a la misma frecuencia que esta, lo que produce un sonido de la misma frecuencia. La onda sonora se mueve a la velocidad del sonido y la longitud de onda se puede calcular mediante v=λf.v=λf.

Compruebe Lo Aprendido 17.6

¿Cómo es posible utilizar el nodo y el antinodo de una onda estacionaria para determinar la longitud de un tubo cerrado en un extremo?

Interactivo

En este video podrá visualizar ondas sonoras.

Compruebe Lo Aprendido 17.7

Observe dos instrumentos musicales que no puede identificar. Uno reproduce sonidos agudos y el otro sonidos graves. ¿Cómo podría determinar cuál es cuál sin escuchar el sonido que emiten?

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