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Física Universitaria Volumen 1

10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales

Física Universitaria Volumen 110.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Dada la ecuación cinemática lineal, escribir la ecuación cinemática rotacional correspondiente.
  • Calcular las distancias lineales, las velocidades y las aceleraciones de los puntos de un sistema en rotación dadas las velocidades y aceleraciones angulares.

En esta sección, relacionamos cada una de las variables rotacionales con las variables traslacionales definidas en Movimiento a lo largo de una línea recta y Movimiento en dos y tres dimensiones. Esto completará nuestra capacidad para describir las rotaciones de los cuerpos rígidos.

Variables angulares frente a variables lineales

En Variables rotacionales, introducimos las variables angulares. Si comparamos las definiciones rotacionales con las definiciones de las variables cinemáticas lineales de Movimiento a lo largo de una línea recta y Movimiento en dos y tres dimensiones, encontramos que hay un mapeo de las variables lineales a las rotacionales. La posición lineal, la velocidad y la aceleración tienen sus contrapartes rotacionales, como podemos ver cuando las escribimos una al lado de la otra:

Lineal Rotacional
Posición x θθ
Velocidad v=dxdtv=dxdt ω=dθdtω=dθdt
Aceleración a=dvdta=dvdt α=dωdtα=dωdt

Comparemos las variables lineales y rotacionales individualmente. La variable lineal de posición tiene unidades físicas de metros, mientras que la variable de posición angular tiene unidades adimensionales de radianes, como puede observarse en la definición de θ=srθ=sr, que es la relación de dos longitudes. La velocidad lineal tiene unidades de m/s, y su contraparte, la velocidad angular, tiene unidades de rad/s. En Variables rotacionales, vimos en el caso del movimiento circular que la rapidez lineal tangencial de una partícula a un radio r del eje de rotación está relacionada con la velocidad angular por la relación vt=rωvt=rω. Esto también podría aplicarse a los puntos de un cuerpo rígido que rota en torno a un eje fijo. En este caso, solo consideramos el movimiento circular. En el movimiento circular, tanto uniforme como no uniforme, existe una aceleración centrípeta (Movimiento en dos y tres dimensiones). El vector de aceleración centrípeta apunta hacia el interior de la partícula que ejecuta el movimiento circular hacia el eje de rotación. La derivación de la magnitud de la aceleración centrípeta se da en Movimiento en dos y tres dimensiones. A partir de esa derivación, la magnitud de la aceleración centrípeta resultó ser

ac=vt2r,ac=vt2r,
10.14

donde r es el radio del círculo.

Así, en el movimiento circular uniforme, cuando la velocidad angular es constante y la aceleración angular es cero, tenemos una aceleración lineal, es decir, una aceleración centrípeta, ya que la rapidez tangencial en la Ecuación 10.14 es una constante. Si existe un movimiento circular no uniforme, el sistema en rotación tiene una aceleración angular, y tenemos tanto una aceleración centrípeta lineal que está cambiando (porque vtvt está cambiando) así como una aceleración tangencial lineal. Estas relaciones se indican en la Figura 10.14, donde presentamos las aceleraciones centrípeta y tangencial para el movimiento circular uniforme y no uniforme.

La figura A ilustra el movimiento circular uniforme. La aceleración centrípeta ac tiene su vector hacia el interior del eje de rotación. No hay aceleración tangencial y v2 es equivalente a v1. La figura A ilustra el movimiento circular no uniforme. La aceleración centrípeta ac tiene su vector hacia el interior del eje de rotación. La aceleración tangencial at está presente y v2 es mayor que v1.
Figura 10.14 (a) Movimiento circular uniforme: la aceleración centrípeta a c a c tiene su vector hacia el interior del eje de rotación. No hay aceleración tangencial. (b) Movimiento circular no uniforme: la aceleración angular produce una aceleración centrípeta hacia el interior que va cambiando de magnitud, más una aceleración tangencial a t a t .

La aceleración centrípeta se debe al cambio en la dirección de la velocidad tangencial, mientras que la aceleración tangencial se debe a cualquier cambio en la magnitud de la velocidad tangencial. Los vectores de aceleración tangencial y centrípeta atat y acac son siempre perpendiculares entre sí, como se aprecia en la Figura 10.14. Para completar esta descripción, podemos asignar un vector de aceleración lineal total a un punto de un cuerpo rígido en rotación o a una partícula que ejecuta un movimiento circular a un radio r desde un eje fijo. El vector de aceleración lineal total aa es la suma vectorial de las aceleraciones centrípeta y tangencial,

a=ac+at.a=ac+at.
10.15

El vector de aceleración lineal total en el caso del movimiento circular no uniforme apunta a un ángulo entre los vectores de aceleración centrípeta y tangencial, como se muestra en la Figura 10.15. Dado que acatacat, la magnitud de la aceleración lineal total es

|a|=ac2+at2.|a|=ac2+at2.

Observe que, si la aceleración angular es cero, la aceleración lineal total es igual a la aceleración centrípeta.

La figura muestra una partícula que ejecuta un movimiento circular. El vector ac forma un ángulo entre los vectores a y at.
Figura 10.15 Una partícula ejecuta un movimiento circular y tiene una aceleración angular. La aceleración lineal total de la partícula es la suma vectorial de los vectores de aceleración centrípeta y de aceleración tangencial. El vector de aceleración lineal total forma un ángulo entre la aceleración centrípeta y la tangencial.

Relaciones entre el movimiento rotacional y traslacional

Podemos observar dos relaciones entre el movimiento rotacional y el traslacional.

  1. En general, las ecuaciones cinemáticas lineales tienen sus contrapartes rotacionales. La Tabla 10.2 enumera las cuatro ecuaciones cinemáticas lineales y su contraparte rotacional. Los dos conjuntos de ecuaciones se parecen entre sí, pero describen dos situaciones físicas diferentes, es decir, la rotación y la traslación.
    Rotacional Traslacional
    θf=θ0+ωtθf=θ0+ωt x=x0+vtx=x0+vt
    ωf=ω0+αtωf=ω0+αt vf=v0+atvf=v0+at
    θf=θ0+ω0t+12αt2θf=θ0+ω0t+12αt2 xf=x0+v0t+12at2xf=x0+v0t+12at2
    ωf2=ω02+2α(Δθ)ωf2=ω02+2α(Δθ) vf2=v02+2a(Δx)vf2=v02+2a(Δx)
    Tabla 10.2 Ecuaciones cinemáticas rotacionales y traslacionales
  2. La segunda correspondencia tiene que ver con la relación de las variables lineales y rotacionales en el caso especial del movimiento circular. Esto se muestra en la Tabla 10.3, donde en la tercera columna, hemos enumerado la ecuación de conexión que relaciona la variable lineal con la variable rotacional. Las variables rotacionales de velocidad angular y aceleración tienen subíndices que indican su definición en el movimiento circular.
    Rotacional Traslacional Relación (r=radior=radio)
    θθ s θ=srθ=sr
    ωω vtvt ω=vtrω=vtr
    αα atat α=atrα=atr
      acac ac=vt2rac=vt2r
    Tabla 10.3 Cantidades rotacionales y traslacionales: movimiento circular

Ejemplo 10.7

Aceleración lineal de una centrífuga

Una centrífuga tiene un radio de 20 cm y acelera desde una tasa de rotación máxima de 10.000 rpm hasta el reposo en 30 segundos bajo una aceleración angular constante. Rota en el sentido contrario de las agujas del reloj. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración total de un punto en la punta de la centrífuga en t=29,0s?t=29,0s? ¿Cuál es la dirección del vector de aceleración total?

Estrategia

Con la información dada, podemos calcular la aceleración angular, lo que nos permitirá calcular la aceleración tangencial. Hallaremos la aceleración centrípeta en t=0t=0 al calcular la rapidez tangencial en este momento. Con las magnitudes de las aceleraciones, podemos calcular la aceleración lineal total. A partir de la descripción de la rotación en el problema, podemos hacer un esquema de la dirección del vector de aceleración total.

Solución

La aceleración angular es
α=ω-ω0t=0-(1,0×104)2π/60,0s(rad/s)30,0s=−34,9rad/s2.α=ω-ω0t=0-(1,0×104)2π/60,0s(rad/s)30,0s=−34,9rad/s2.

Por lo tanto, la aceleración tangencial es

at=rα=0,2m(−34,9rad/s2)=−7,0m/s2.at=rα=0,2m(−34,9rad/s2)=−7,0m/s2.

La velocidad angular en t=29,0st=29,0s es

ω=ω0+αt=1,0×104(2π60,0s)+(−34,9rad/s2)(29,0s)=1047,2rad/s-1012,71=35,1rad/s.ω=ω0+αt=1,0×104(2π60,0s)+(−34,9rad/s2)(29,0s)=1047,2rad/s-1012,71=35,1rad/s.

Así, la rapidez tangencial en t=29,0st=29,0s es

vt=rω=0,2m(35,1rad/s)=7,0m/s.vt=rω=0,2m(35,1rad/s)=7,0m/s.

Ahora podemos calcular la aceleración centrípeta en t=29,0st=29,0s:

ac=v2r=(7,0m/s)20,2m=245,0m/s2.ac=v2r=(7,0m/s)20,2m=245,0m/s2.

Ya que los dos vectores de aceleración son perpendiculares entre sí, la magnitud de la aceleración lineal total es

|a|=ac2+at2=(245,0)2+(−7,0)2=245,1m/s2.|a|=ac2+at2=(245,0)2+(−7,0)2=245,1m/s2.

Dado que la centrífuga tiene una aceleración angular negativa, desacelera. El vector de aceleración total es el que se muestra en la Figura 10.16. El ángulo con respecto al vector de aceleración centrípeta es

θ=tan−1−7,0245,0=−1,6°.θ=tan−1−7,0245,0=−1,6°.

El signo negativo significa que el vector de aceleración total está inclinado en el sentido de las agujas del reloj.

La figura muestra una partícula que ejecuta un movimiento circular en el sentido contrario de las agujas del reloj. El vector a t apunta en el sentido de las agujas del reloj. Los vectores a y a c apuntan hacia el centro del círculo, y la marcación "dirección del movimiento" apunta en la dirección opuesta al vector a t.
Figura 10.16 Los vectores de aceleración centrípeta, tangencial y total. La centrífuga desacelera, por lo que la aceleración tangencial es en el sentido de las agujas del reloj, opuesto al sentido de la rotación (en el sentido contrario de las agujas del reloj).

Importancia

En la Figura 10.16, vemos que el vector de aceleración tangencial es opuesto a la dirección de rotación. La magnitud de la aceleración tangencial es mucho menor que la aceleración centrípeta, por lo que el vector de aceleración lineal total formará un ángulo muy pequeño con respecto al vector de aceleración centrípeta.

Compruebe Lo Aprendido 10.3

Un niño salta en un carrusel de 5 m de radio que está en reposo. Comienza a acelerar a una tasa constante hasta alcanzar una velocidad angular de 5 rad/s en 20 segundos. ¿Cuál es la distancia recorrida por el niño?

Interactivo

Dé un vistazo a esta simulación de PhET para cambiar los parámetros de un disco en rotación (el ángulo inicial, la velocidad angular y la aceleración angular), y colocar insectos a diferentes distancias radiales del eje. Luego, la simulación le permite explorar la relación entre el movimiento circular y la posición xy, la velocidad y la aceleración de los insectos mediante vectores o gráficos.

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