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Física Universitaria Volumen 1

10.1 Variables rotacionales

Física Universitaria Volumen 110.1 Variables rotacionales
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Describir el significado físico de las variables rotacionales aplicadas a la rotación de eje fijo.
  • Explicar cómo se relaciona la velocidad angular con la rapidez tangencial.
  • Calcular la velocidad angular instantánea, dada la función de posición angular.
  • Hallar la velocidad angular y la aceleración angular en un sistema en rotación.
  • Calcular la aceleración angular media cuando la velocidad angular cambia.
  • Calcular la aceleración angular instantánea, dada la función de velocidad angular.

Hasta ahora en este texto, hemos estudiado principalmente el movimiento de traslación, incluso las variables que lo describen: desplazamiento, velocidad y aceleración. Ahora ampliamos nuestra descripción del movimiento a la rotación, específicamente, el movimiento de rotación alrededor de un eje fijo. Veremos que el movimiento de rotación se describe mediante un conjunto de variables relacionadas, parecidas a las que utilizamos en el movimiento de traslación.

Velocidad angular

El movimiento circular uniforme (ya comentado en Movimiento en dos y tres dimensiones) es un movimiento en círculo a rapidez constante. Aunque este es el caso más simple de movimiento rotacional, es muy útil para muchas situaciones, y lo utilizamos aquí para introducir las variables rotacionales.

En la Figura 10.2, mostramos una partícula que se mueve en círculo. El sistema de coordenadas es fijo y sirve como marco de referencia para definir la posición de la partícula. Su vector de posición desde el origen del círculo hasta la partícula barre el ángulo θθ, que aumenta en sentido contrario de las agujas del reloj a medida que la partícula se desplaza por su trayectoria circular. El ángulo θθ se denomina la posición angular de la partícula. A medida que la partícula se mueve en su trayectoria circular, también traza un arco de longitud s.

La figura es el gráfico de una partícula que se mueve en sentido contrario a las agujas del reloj. El vector r desde el origen del sistema de coordenadas hasta el punto s del paso de una partícula forma un ángulo theta con el eje de la X.
Figura 10.2 Una partícula sigue una trayectoria circular. Al moverse en sentido contrario a las agujas del reloj, barre un ángulo positivo θ θ con respecto al eje de la x y traza un arco de longitud s.

El ángulo se relaciona con el radio del círculo y la longitud del arco mediante

θ=sr.θ=sr.
10.1

El ángulo θθ, la posición angular de la partícula a lo largo de su trayectoria, tiene unidades de radianes (rad). Hay 2π2π radianes en 360°.360°. Observe que la medida del radián es un cociente de medidas de longitud, y por tanto es una cantidad adimensional. A medida que la partícula se mueve a lo largo de su trayectoria circular, su posición angular cambia y sufre desplazamientos angulares Δθ.Δθ.

Podemos asignar vectores a las cantidades en la Ecuación 10.1. El ángulo θθ es un vector fuera de la página en la Figura 10.2. El vector de posición angular rr y la longitud del arco ss ambos se encuentran en el plano de la página. Estos tres vectores están relacionados entre sí por

s=θ×r..s=θ×r..
10.2

Es decir, la longitud del arco es el producto cruz del vector de ángulo y el vector de posición, como se muestra en la Figura 10.3.

La figura es un sistema de coordenadas XYZ que muestra tres vectores. El vector theta apunta en la dirección de la Z positiva. El vector s está en el plano XY. El vector r se dirige desde el origen del sistema de coordenadas hasta el comienzo del vector s.
Figura 10.3 El vector de ángulo apunta a lo largo del eje de la z y el vector de posición y el vector de longitud de arco se encuentran en el plano xy. Vemos que s = θ × r s = θ × r . Los tres vectores son perpendiculares entre sí.

La magnitud de la velocidad angular, denotada por ωω, es la tasa de cambio en el tiempo del ángulo θθ mientras la partícula se desplaza en su trayectoria circular. La velocidad angular instantánea se define como el límite en el que Δt0Δt0 en la velocidad angular media ω=ΔθΔtω=ΔθΔt:

ω=limΔt0ΔθΔt=dθdt,ω=limΔt0ΔθΔt=dθdt,
10.3

donde θθ es el ángulo de rotación (Figura 10.2). Las unidades de la velocidad angular son radianes por segundo (rad/s). La velocidad angular también recibe el nombre de tasa de rotación en radianes por segundo. En muchas situaciones, se nos da la tasa de rotación en revoluciones/s o ciclos/s. Para hallar la velocidad angular, debemos multiplicar las revoluciones/s por 2π2π, dado que hay 2π2π radianes en una revolución completa. Dado que la dirección de un ángulo positivo en un círculo es contraria a las agujas del reloj, tomamos las rotaciones en sentido contrario a las agujas del reloj como positivas y las rotaciones en el sentido de las agujas del reloj como negativas.

Vemos cómo la velocidad angular está relacionada con la rapidez tangencial de la partícula al diferenciar la Ecuación 10.1 con respecto al tiempo. Reescribimos la Ecuación 10.1 como

s=rθ.s=rθ.

Al tomar la derivada con respecto al tiempo y observar que el radio r es una constante, tenemos

dsdt=ddt(rθ)=θdrdt+rdθdt=rdθdtdsdt=ddt(rθ)=θdrdt+rdθdt=rdθdt

donde θdrdt=0θdrdt=0. Aquí dsdtdsdt es solo la rapidez tangencial vtvt de la partícula en la Figura 10.2. Así, al utilizar la Ecuación 10.3, llegamos a

vt=rω.vt=rω.
10.4

Es decir, la rapidez tangencial de la partícula es su velocidad angular por el radio del círculo. En la Ecuación 10.4, vemos que la rapidez tangencial de la partícula aumenta con su distancia al eje de rotación para una velocidad angular constante. Este efecto se muestra en la Figura 10.4. Dos partículas se colocan a diferentes radios en un disco en rotación a una velocidad angular constante. Al rotar el disco, la rapidez tangencial aumenta linealmente con el radio desde el eje de rotación. En la Figura 10.4, vemos que v1=r1ω1v1=r1ω1 y v2=r2ω2v2=r2ω2. Sin embargo, el disco tiene una velocidad angular constante, por lo que ω1=ω2ω1=ω2. Esto implica que v1r1=v2r2v1r1=v2r2 o v2=(r2r1)v1v2=(r2r1)v1. Así, dado que r2>r1r2>r1, v2>v1v2>v1.

La figura muestra dos partículas en un disco en rotación. La partícula 1 se encuentra a la distancia r1 del eje de rotación y se mueve con rapidez v1. La partícula 2 se encuentra a la distancia r2 del eje de rotación y se mueve con rapidez v2.
Figura 10.4 Dos partículas en un disco en rotación tienen distinta rapidez tangencial, dependiendo de su distancia al eje de rotación.

Hasta ahora, hemos hablado de la magnitud de la velocidad angular ω=dθ/dt,ω=dθ/dt, que es una cantidad escalar: el cambio de posición angular con respecto al tiempo. El vector ωω es el vector asociado a la velocidad angular y apunta a lo largo del eje de rotación. Esto es útil porque, cuando un cuerpo rígido está en rotación, queremos saber tanto el eje de rotación como la dirección en la que el cuerpo está en rotación alrededor del eje, en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario. La velocidad angular ωω nos brinda esta información. La velocidad angular ωω tiene una dirección determinada por la llamada regla de la mano derecha. La regla de la mano derecha es tal que si los dedos de su mano derecha se enrollan en sentido contrario al de las agujas del reloj desde el eje de la x (la dirección en la que θθ aumenta) hacia el eje de la y, su pulgar apunta en la dirección del eje de la z positiva (Figura 10.5). La velocidad angular ωω que apunta a lo largo del eje de la z positiva corresponde, por tanto, a una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras que la velocidad angular ωω que apunta al eje de la z negativa corresponde a una rotación en el sentido de las agujas del reloj.

La figura es el gráfico del sistema de coordenadas XYZ con la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj en el plano XY. La velocidad angular apunta a la dirección de la Z positiva.
Figura 10.5 Para la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj en el sistema indicado de coordenadas, la velocidad angular apunta en la dirección de la z positiva por la regla de la mano derecha.

De forma similar a la Ecuación 10.2, se puede establecer una relación de producto cruz con el vector de la velocidad tangencial, como se indica en la Ecuación 10.4. Por lo tanto, tenemos

v=ω×r.v=ω×r.
10.5

Es decir, la velocidad tangencial es el producto cruz de la velocidad angular y el vector de posición, como se muestra en la Figura 10.6. De la parte (a) de esta figura, vemos que, con la velocidad angular en la dirección de la z positiva, la rotación en el plano xy es en sentido contrario a las agujas del reloj. En la parte (b), la velocidad angular está en la dirección de la z negativa, lo que da una rotación en el sentido de las agujas del reloj en el plano xy.

La figura A es un sistema de coordenadas XYZ que muestra tres vectores. El vector omega apunta en la dirección de la Z positiva. El vector v está en el plano XY. El vector r se dirige desde el origen del sistema de coordenadas hasta el comienzo del vector v. La figura B es un sistema de coordenadas XYZ que muestra tres vectores. El vector omega apunta en la dirección de la Z negativa. El vector v está en el plano XY. El vector r se dirige desde el origen del sistema de coordenadas hasta el comienzo del vector v.
Figura 10.6 Los vectores mostrados son la velocidad angular, la posición y la velocidad tangencial. (a) La velocidad angular apunta en la dirección de la z positiva, lo que produce una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj en el plano xy. (b) La velocidad angular apunta en la dirección de la z negativa, lo que genera una rotación en el sentido de las agujas del reloj.

Ejemplo 10.1

Rotación de un volante de inercia

Un volante de inercia rota de forma que barre un ángulo a la tasa de θ=ωt=(45,0rad/s)tθ=ωt=(45,0rad/s)t radianes. El volante rota en sentido contrario a las agujas del reloj, visto en el plano de la página. (a) ¿Cuál es la velocidad angular del volante de inercia? (b) ¿En qué sentido es la velocidad angular? (c) ¿Cuántos radianes rota el volante de inercia en 30 s? (d) ¿Cuál es la rapidez tangencial de un punto del volante de inercia a 10 cm del eje de rotación?

Estrategia

La forma funcional de la posición angular del volante de inercia se da en el problema como θ(t)=ωtθ(t)=ωt, por lo que, al tomar la derivada con respecto al tiempo, hallaremos la velocidad angular. Utilizamos la regla de la mano derecha para calcular la velocidad angular. Para hallar el desplazamiento angular del volante de inercia durante 30 s, buscamos el desplazamiento angular ΔθΔθ, donde el cambio de posición angular está entre 0 y 30 s. Para hallar la rapidez tangencial de un punto a una distancia del eje de rotación, multiplicamos su distancia por la velocidad angular del volante de inercia.

Solución

  1. ω=dθdt=45rad/sω=dθdt=45rad/s. Vemos que la velocidad angular es una constante.
  2. Por la regla de la mano derecha, doblamos los dedos en el sentido de la rotación, que es en sentido contrario a las agujas del reloj en el plano de la página, y el pulgar apunta en la dirección de la velocidad angular, que está fuera de la página.
  3. Δθ=θ(30s)-θ(0s)=45,0(30,0s)-45,0(0s)=1350,0radΔθ=θ(30s)-θ(0s)=45,0(30,0s)-45,0(0s)=1350,0rad.
  4. vt=rω=(0,1m)(45,0rad/s)=4,5m/svt=rω=(0,1m)(45,0rad/s)=4,5m/s.

Importancia

En 30 s, el volante de inercia ha rotado un buen número de revoluciones, unas 215 si dividimos el desplazamiento angular entre 2π2π. Un volante de inercia enorme puede servir para almacenar energía de este modo, si las pérdidas por fricción son mínimas. En investigaciones recientes se ha considerado la posibilidad de utilizar rodamientos superconductores sobre los que se apoya el volante de inercia, con una pérdida de energía cero debido a la fricción.

Aceleración angular

Acabamos de hablar de la velocidad angular en relación con un movimiento circular uniforme. Sin embargo, no todos los movimientos son uniformes. Imagínese a un patinador sobre hielo girando con los brazos extendidos: cuando mete los brazos, su velocidad angular aumenta. Alternativamente, piense que el disco duro de una computadora desacelera hasta el punto de detenerse a medida que disminuye la velocidad angular. Exploraremos estas situaciones más adelante, aunque ya percibimos la necesidad de definir una aceleración angular para describir situaciones en las que ωω cambia. Cuanto más rápido sea el cambio en ωω, mayor será la aceleración angular. Definimos la aceleración angular instantánea αα como la derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo:

α=limΔt0ΔωΔt=dωdt=d2θdt2,α=limΔt0ΔωΔt=dωdt=d2θdt2,
10.6

donde hemos tomado el límite de la aceleración angular media, α=ΔωΔtα=ΔωΔt como Δt0Δt0.

Las unidades de la aceleración angular son (rad/s)/s, o rad/s2rad/s2.

De la misma manera que definimos el vector asociado a la velocidad angular ωω, podemos definir αα, el vector asociado a la aceleración angular (Figura 10.7). Si la velocidad angular es a lo largo del eje de la z positiva, como en la Figura 10.5, y dωdtdωdt es positiva, entonces la aceleración angular αα es positiva y apunta a lo largo del eje de la +z-+z-. Del mismo modo, si la velocidad angular ωω está a lo largo del eje de la z positiva y dωdtdωdt es negativa, entonces la aceleración angular es negativa y apunta a lo largo del eje de la +z-+z-.

La figura A muestra la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj. La aceleración angular está en la misma dirección que la velocidad angular. El texto bajo la figura señala: "tasa de rotación en sentido contrario a las agujas del reloj y en aumento". La figura B muestra la rotación en el sentido de las agujas del reloj. La aceleración angular es en la dirección opuesta a la velocidad angular. El texto debajo de la figura señala: "tasa de rotación en el sentido de las agujas del reloj y decreciente".
Figura 10.7 La rotación es en sentido contrario a las agujas del reloj tanto en (a) como en (b) con la velocidad angular en la misma dirección. (a) La aceleración angular está en la misma dirección que la velocidad angular, lo que aumenta la tasa de rotación. (b) La aceleración angular está en la dirección opuesta a la velocidad angular, lo que disminuye la tasa de rotación.

Podemos expresar el vector de aceleración tangencial como un producto cruz de la aceleración angular y el vector de posición. Esta expresión se halla al tomar la derivada de tiempo de v=ω×rv=ω×r y se deja como ejercicio:

a=α×r.a=α×r.
10.7

La relación vectorial para la aceleración angular y la aceleración tangencial se muestra en la Figura 10.8.

La figura A es un sistema de coordenadas XYZ que muestra tres vectores. El vector alfa apunta en la dirección de la Z positiva. El vector a está en el plano XY. El vector r se dirige desde el origen del sistema de coordenadas hasta el comienzo del vector a. La figura B es un sistema de coordenadas XYZ que muestra tres vectores. El vector alfa apunta en la dirección de la Z negativa. El vector a está en el plano XY. El vector r se dirige desde el origen del sistema de coordenadas hasta el comienzo del vector a.
Figura 10.8 (a) La aceleración angular es en la dirección de la z positiva y produce una aceleración tangencial en sentido contrario a las agujas del reloj. (b) La aceleración angular es en la dirección de la z negativa y produce una aceleración tangencial en el sentido de las agujas del reloj.

Podemos relacionar la aceleración tangencial de un punto de un cuerpo en rotación a una distancia del eje de rotación de la misma manera que relacionamos la rapidez tangencial con la velocidad angular. Si diferenciamos la Ecuación 10.4 con respecto al tiempo, observando que el radio r es constante, obtenemos

at=rα.at=rα.
10.8

Así, la aceleración tangencial atat es el radio por la aceleración angular. La Ecuación 10.4 y la Ecuación 10.8 son importantes para el análisis del movimiento rodadura (vea Momento angular).

Apliquemos estas ideas al análisis de algunos escenarios sencillos de rotación de eje fijo. Antes de hacerlo, presentamos una estrategia de resolución de problemas que puede aplicarse a la cinemática rotacional: la descripción del movimiento rotacional.

Estrategia de Resolución De Problemas

Cinemática rotacional

  1. Examine la situación para determinar que se trata de cinemática rotacional (movimiento rotacional).
  2. Identifique exactamente lo que hay que determinar en el problema (identifique las incógnitas). Un esquema de la situación es útil.
  3. Haga una lista completa de lo que se da o puede deducirse del problema tal y como está planteado (identifique los aspectos conocidos).
  4. Resuelva la ecuación o ecuaciones apropiadas para la cantidad a determinar (la incógnita). Puede ser útil pensar en términos de un análogo traslacional, porque a estas alturas ya está familiarizado con las ecuaciones del movimiento traslacional.
  5. Sustituya los valores conocidos junto con sus unidades en la ecuación correspondiente y obtenga soluciones numéricas completas con unidades. Utilice unidades de radianes para los ángulos.
  6. Compruebe si su respuesta es razonable: ¿Tiene sentido su respuesta?

Apliquemos ahora esta estrategia de resolución de problemas a algunos ejemplos concretos.

Ejemplo 10.2

Una rueda de bicicleta que gira

Una mecánica de bicicletas monta una bicicleta en el soporte de reparación y hace girar la rueda trasera desde el reposo hasta una velocidad angular final de 250 rpm en 5,00 s. (a) Calcule la aceleración angular media en rad/s2rad/s2. (b) Si ahora pisa el freno, lo que provoca una aceleración angular de -87,3 rad/s2rad/s2, ¿cuánto tiempo tarda la rueda en detenerse?

Estrategia

La aceleración angular media puede hallarse directamente a partir de su definición α=ΔωΔtα=ΔωΔt porque la velocidad angular final y el tiempo están dados. Vemos que Δω=ωfinal-ωinicial=250rev/minΔω=ωfinal-ωinicial=250rev/min y ΔtΔt es 5,00 s. Para la parte (b), conocemos la aceleración angular y la velocidad angular inicial. Podemos hallar el tiempo de parada al utilizar la definición de aceleración angular media y resolver para ΔtΔt, lo que arroja
Δt=Δωα.Δt=Δωα.

Solución

  1. Al introducir la información conocida en la definición de aceleración angular, obtenemos
    α=ΔωΔt=250rpm5,00s.α=ΔωΔt=250rpm5,00s.
    Dado que ΔωΔω está en revoluciones por minuto (rpm) y queremos las unidades estándar de rad/s2rad/s2 para la aceleración angular, necesitamos convertir de rpm a rad/s:
    Δω=250revmin·2πradrev·1min60s=26,2rads.Δω=250revmin·2πradrev·1min60s=26,2rads.
    Al introducir esta cantidad en la expresión para αα, obtenemos
    α=ΔωΔt=26,2rad/s5,00s=5,24rad/s2.α=ΔωΔt=26,2rad/s5,00s=5,24rad/s2.
  2. Aquí la velocidad angular disminuye de 26,2 rad/s (250 rpm) a cero, por lo que ΔωΔω es -26,2 rad/s, y αα es de -87,3 rad/s2rad/s2. Así,
    Δt=-26,2rad/s-87,3rad/s2=0,300s.Δt=-26,2rad/s-87,3rad/s2=0,300s.

Importancia

Observe que la aceleración angular a medida que la mecánica hace girar la rueda es pequeña y positiva; se necesitan 5 s para producir una velocidad angular apreciable. Cuando pisa el freno, la aceleración angular es grande y negativa. La velocidad angular pasa rápidamente a cero.

Compruebe Lo Aprendido 10.1

Las aspas del ventilador de un motor de reacción turbofán (mostradas a continuación) aceleran desde el reposo hasta una tasa de rotación de 40,0 rev/s en 20 s. El aumento de la velocidad angular del ventilador es constante en el tiempo. (El motor turbofán GE90-110B1 montado en un Boeing 777, como se muestra, es actualmente el mayor motor turbofán del mundo, capaz de alcanzar un empuje de 330 a 510 kN).

(a) ¿Cuál es la aceleración angular media?

(b) ¿Cuál es la aceleración angular instantánea en cualquier momento durante los primeros 20 s?

La imagen es la foto de una turbina de aire bajo el ala de un avión
Figura 10.9 (créditos: "Bubinator"/ Wikimedia Commons).

Ejemplo 10.3

Aerogenerador

Un aerogenerador (Figura 10.10) en un parque eólico se apaga para su mantenimiento. Tarda 30 s en pasar de su velocidad angular de funcionamiento a una parada completa, en la que la función de velocidad angular es ω(t)=[(ts−1−30,0)2/100,0]rad/sω(t)=[(ts−1−30,0)2/100,0]rad/s. Si el aerogenerador rota en sentido contrario a las agujas del reloj, de cara a la página, (a) ¿cuáles son las direcciones de los vectores de velocidad y aceleración angular? (b) ¿Cuál es la aceleración angular media? (c) ¿Cuál es la aceleración angular instantánea en t=0,0,15,0,30,0s?t=0,0,15,0,30,0s?
La figura es el dibujo de un aerogenerador que rota en sentido contrario a las agujas del reloj, visto de frente.
Figura 10.10 Aerogenerador que rota en sentido contrario a las agujas del reloj, visto de frente.

Estrategia

  1. Se nos da el sentido rotacional del aerogenerador, que está en sentido contrario a las agujas del reloj en el plano de la página. Utilizando la regla de la mano derecha (Figura 10.5), podemos establecer las direcciones de los vectores de velocidad y aceleración angular.
  2. Calculamos las velocidades angulares inicial y final para obtener la aceleración angular media. Establecemos el signo de la aceleración angular a partir de los resultados de (a).
  3. Tenemos la forma funcional de la velocidad angular, así que podemos hallar la forma funcional de la función de aceleración angular al tomar su derivada con respecto al tiempo.

Solución

  1. Dado que el aerogenerador rota en sentido contrario a las agujas del reloj, la velocidad angular ωω apunta hacia afuera de la página. Sin embargo, dado que la velocidad angular disminuye, la aceleración angular αα apunta hacia la página, en el sentido contrario a la velocidad angular.
  2. La velocidad angular inicial de la turbina, suponiendo que t=0,esω=9,0rad/st=0,esω=9,0rad/s. La velocidad angular final es cero, por lo que la aceleración angular media es
    α=ΔωΔt=ω-ω0t-t0=0-9,0rad/s30,0-0s=−0,3rad/s2.α=ΔωΔt=ω-ω0t-t0=0-9,0rad/s30,0-0s=−0,3rad/s2.
  3. Al tomar la derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo se obtiene α=dωdt=(t-30,0)/50,0rad/s2α=dωdt=(t-30,0)/50,0rad/s2
    α(0,0s)=-0,6rad/s2,α(15,0s)=−0,3rad/s2,yα(30,0s)=0rad/s.α(0,0s)=-0,6rad/s2,α(15,0s)=−0,3rad/s2,yα(30,0s)=0rad/s.

Importancia

A partir de los cálculos de (a) y (b) comprobamos que la aceleración angular αα y la aceleración angular media αα son negativas. El aerogenerador tiene una aceleración angular en sentido contrario a su velocidad angular.

Ahora tenemos un vocabulario básico para hablar sobre la cinemática rotacional de eje fijo y las relaciones entre las variables rotacionales. En la siguiente sección se analizan más definiciones y conexiones.

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