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Física Universitaria Volumen 1

10.2 Rotación con aceleración angular constante

Física Universitaria Volumen 110.2 Rotación con aceleración angular constante
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Derivar las ecuaciones cinemáticas para el movimiento rotacional con aceleración angular constante.
  • Seleccionar de las ecuaciones cinemáticas para el movimiento rotacional con aceleración angular constante las ecuaciones apropiadas para resolver las incógnitas en el análisis de sistemas sometidos a rotación de eje fijo.
  • Utilizar las soluciones halladas con las ecuaciones cinemáticas para verificar el análisis gráfico de la rotación de eje fijo con aceleración angular constante.

En la sección anterior, hemos definido las variables rotacionales de desplazamiento angular, velocidad angular y aceleración angular. En esta sección, trabajamos con estas definiciones para derivar relaciones entre estas variables y utilizar estas relaciones para analizar el movimiento rotacional en un cuerpo rígido en torno a un eje fijo bajo una aceleración angular constante. Este análisis constituye la base de la cinemática rotacional. Si la aceleración angular es constante, las ecuaciones de la cinemática rotacional se simplifican, de forma similar a las ecuaciones de la cinemática lineal que se analizan en Movimiento a lo largo de una línea recta y Movimiento en dos y tres dimensiones. Podemos entonces utilizar este conjunto simplificado de ecuaciones para describir muchas aplicaciones en física e ingeniería, donde la aceleración angular del sistema es constante. La cinemática rotacional es también un prerrequisito para el estudio de la dinámica rotacional más adelante en este capítulo.

Cinemática del movimiento rotacional

Con nuestra intuición podemos empezar a ver cómo las cantidades rotacionales θ,θ, ω,ω, αα, y t están relacionadas entre sí. Por ejemplo, hemos visto en la sección anterior que, si un volante de inercia tiene una aceleración angular en la misma dirección que su vector de velocidad angular, su velocidad angular aumenta con el tiempo, al igual que desplazamiento angular. Por el contrario, si la aceleración angular es opuesta al vector de velocidad angular, su velocidad angular disminuye con el tiempo. Podemos describir estas situaciones físicas y muchas otras con un conjunto coherente de ecuaciones cinemáticas rotacionales bajo una aceleración angular constante. El método para investigar el movimiento rotacional de esta manera se llama cinemática del movimiento rotacional.

Para empezar, observamos que, si el sistema rota bajo una aceleración constante, entonces la velocidad angular media sigue una relación simple porque la velocidad angular aumenta linealmente con el tiempo. La velocidad angular media es justo la mitad de la suma de los valores inicial y final:

ω=ω0+ωf2.ω=ω0+ωf2.
10.9

A partir de la definición de la velocidad angular media, hallaremos una ecuación que relacione la posición angular, la velocidad angular media y el tiempo:

ω=ΔθΔt.ω=ΔθΔt.

Resolviendo para θθ, tenemos

θf=θ0+ωt,θf=θ0+ωt,
10.10

donde hemos supuesto que t0=0t0=0. Esta ecuación puede ser muy útil si conocemos la velocidad angular media del sistema. Entonces podríamos encontrar el desplazamiento angular en un tiempo determinado. A continuación, hallamos una ecuación que relaciona ωω, αα, y t. Para determinar esta ecuación, partimos de la definición de aceleración angular:

α=dωdt.α=dωdt.

Reorganizamos esto para obtener αdt=dωαdt=dω y luego integramos ambos lados de esta ecuación desde los valores iniciales hasta los finales, es decir, desde t0t0 a t y ω0aωfω0aωf. En el movimiento rotacional uniforme, la aceleración angular es constante, por lo que puede extraerse de la integral, para dar lugar a dos integrales definidas:

αt0tdt=ω0ωfdω.αt0tdt=ω0ωfdω.

Estableciendo t0=0t0=0, tenemos

αt=ωf-ω0.αt=ωf-ω0.

Reorganizamos esto para obtener

ωf=ω0+αt,ωf=ω0+αt,
10.11

donde ω0ω0 es la velocidad angular inicial. La Ecuación 10.11 es la contraparte rotacional de la ecuación cinemática lineal vf=v0+atvf=v0+at. Con la Ecuación 10.11, hallaremos la velocidad angular de un objeto en cualquier tiempo t dada la velocidad angular inicial y la aceleración angular.

Hagamos ahora un tratamiento similar a partir de la ecuación ω=dθdtω=dθdt. La reordenamos para obtener ωdt=dθωdt=dθ e integramos de nuevo ambos lados de los valores iniciales a los finales; se observa que la aceleración angular es constante y no depende del tiempo. Sin embargo, esta vez, la velocidad angular no es constante (en general), por lo que sustituimos en lo que derivamos anteriormente:

t0tf(ω0+αt)dt=θ0θfdθ;t0tω0dt+t0tαtdt=θ0θfdθ=[ω0t+α((t)22)]t0t=ω0t+α(t22)=θf-θ0,t0tf(ω0+αt)dt=θ0θfdθ;t0tω0dt+t0tαtdt=θ0θfdθ=[ω0t+α((t)22)]t0t=ω0t+α(t22)=θf-θ0,

donde hemos supuesto que t0=0t0=0. Ahora reordenamos para obtener

θf=θ0+ω0t+12αt2.θf=θ0+ω0t+12αt2.
10.12

La Ecuación 10.12 es la contraparte rotacional de la ecuación de la cinemática lineal que se encuentra en Movimiento a lo largo de una línea recta para la posición como función del tiempo. Esta ecuación nos da la posición angular de un cuerpo rígido en rotación en cualquier tiempo t dadas las condiciones iniciales (posición angular inicial y velocidad angular inicial) y la aceleración angular.

Hallaremos una ecuación que sea independiente del tiempo al resolver para t en la Ecuación 10.11 y sustituir en la Ecuación 10.12. La Ecuación 10.12 se convierte en

θf=θ0+ω0(ωf-ω0α)+12α(ωf-ω0α)2=θ0+ω0ωfα-ω02α+12ωf2α-ω0ωfα+12ω02α=θ0+12ωf2α-12ω02α, θf-θ0=ωf2-ω022αθf=θ0+ω0(ωf-ω0α)+12α(ωf-ω0α)2=θ0+ω0ωfα-ω02α+12ωf2α-ω0ωfα+12ω02α=θ0+12ωf2α-12ω02α, θf-θ0=ωf2-ω022α

o

ωf2=ω02+2α(Δθ).ωf2=ω02+2α(Δθ).
10.13

La Ecuación 10.10 a la Ecuación 10.13 describen la rotación en el eje fijo para una aceleración constante y se resumen en la Tabla 10.1.

Desplazamiento angular a partir de la velocidad angular media θf=θ0+ωtθf=θ0+ωt
Velocidad angular a partir de la aceleración angular ωf=ω0+αtωf=ω0+αt
Desplazamiento angular a partir de la velocidad angular y la aceleración angular θf=θ0+ω0t+12αt2θf=θ0+ω0t+12αt2
Velocidad angular a partir del desplazamiento angular y la aceleración angular ωf2=ω02+2α(Δθ)ωf2=ω02+2α(Δθ)
Tabla 10.1 Ecuaciones cinemáticas

Aplicar las ecuaciones del movimiento rotacional

Ahora aplicaremos las relaciones cinemáticas clave para el movimiento rotacional a algunos ejemplos sencillos para tener una idea de cómo se pueden aplicar las ecuaciones a situaciones cotidianas.

Ejemplo 10.4

Calcular la aceleración de un carrete de pesca

Un pescador de alta mar engancha un gran pez que se aleja nadando del barco, tirando del sedal de su carrete de pesca. Todo el sistema está inicialmente en reposo, y el sedal se desenrolla del carrete en un radio de 4,50 cm desde su eje de rotación. El carrete recibe una aceleración angular de 110rad/s2110rad/s2 durante 2,00 s (Figura 10.11).

(a) ¿Cuál es la velocidad angular final del carrete después de 2 s?

(b) ¿Cuántas revoluciones da el carrete?

La figura es el dibujo de un sedal que sale de un carrete en rotación. El radio de rotación es de 4,5 cm; la rotación se produce en el sentido contrario de las agujas del reloj.
Figura 10.11 El sedal que sale de un carrete en rotación se mueve linealmente.

Estrategia

Identifique los aspectos conocidos y compárelos con las ecuaciones cinemáticas para la aceleración constante. Busque la ecuación adecuada que pueda resolverse para la incógnita; utilice los aspectos conocidos en la descripción del problema.

Solución

  1. Se nos da αα y t y queremos determinar ωω. La ecuación más sencilla de utilizar es ωf=ω0+αtωf=ω0+αt, dado que se conocen todos los términos, además de la variable desconocida que buscamos. Se nos da que ω0=0ω0=0 (parte del reposo), por lo que
    ωf=0+(110rad/s2)(2,00s)=220rad/s.ωf=0+(110rad/s2)(2,00s)=220rad/s.
  2. Se nos pide que calculemos el número de revoluciones. Dado que 1rev=2πrad1rev=2πrad, hallaremos el número de revoluciones al calcular θθ en radianes. Se nos da αα y t, y sabemos que ω0ω0 es cero, por lo que podemos obtener θθ utilizando
    θf=θi+ωit+12αt2=0+0+(0,500)(110rad/s2)(2,00s)2=220rad.θf=θi+ωit+12αt2=0+0+(0,500)(110rad/s2)(2,00s)2=220rad.
    Al convertir los radianes en revoluciones obtenemos
    Número de rev=(220rad)1rev2πrad=35,0rev.Número de rev=(220rad)1rev2πrad=35,0rev.

Importancia

Este ejemplo ilustra que las relaciones entre las magnitudes rotacionales son muy análogas a las de las magnitudes lineales. Las respuestas a las preguntas son realistas. Tras desenrollarlo durante dos segundos, se comprueba que el carrete gira a 220 rad/s, es decir, a 2.100 rpm. (No es de extrañar que los carretes a veces emitan sonidos agudos).

En el ejemplo anterior, hemos considerado un carrete de pesca con una aceleración angular positiva. Consideremos ahora lo que ocurre con una aceleración angular negativa.

Ejemplo 10.5

Calcular la duración cuando el carrete de pesca desacelera y se detiene

Ahora el pescador aplica un freno al carrete en rotación, hasta lograr una aceleración angular de −300rad/s2−300rad/s2. ¿Cuánto tiempo tarda el carrete en detenerse?

Estrategia

Se nos pide que calculemos el tiempo t que tarda en detenerse el carrete. Las condiciones iniciales y finales son diferentes a las del problema anterior, que implicaba el mismo carrete de pesca. Ahora vemos que la velocidad angular inicial es ω0=220rad/sω0=220rad/s y la velocidad angular final ωω es cero. La aceleración angular viene dada por α=−300rad/s2.α=−300rad/s2. Al examinar las ecuaciones disponibles, vemos que todas las cantidades menos t son conocidas en ωf=ω0+αtωf=ω0+αt, lo que facilita el empleo de esta ecuación.

Solución

La ecuación establece
ωf=ω0+αt.ωf=ω0+αt.

Resolvemos la ecuación algebraicamente para t y luego sustituimos los valores conocidos como es habitual, para producir

t=ωf-ω0α=0-220,0rad/s-300,0rad/s2=0,733s.t=ωf-ω0α=0-220,0rad/s-300,0rad/s2=0,733s.

Importancia

Hay que tener cuidado con los signos que indican las direcciones de las distintas cantidades. También observe que el tiempo para detener el carrete es muy breve porque la aceleración es bastante grande. Las líneas de pesca a veces se rompen debido a las aceleraciones que se producen, y los pescadores suelen dejar que el pez nade durante un tiempo antes de aplicar los frenos en el carrete. Un pez cansado es más lento y requiere una menor aceleración.

Compruebe Lo Aprendido 10.2

Una centrifugadora utilizada en la extracción de ADN gira a una velocidad máxima de 7.000 rpm, para generar una "fuerza g" sobre la muestra que es 6.000 veces la fuerza de la gravedad. Si la centrifugadora tarda 10 segundos en llegar al reposo desde la máxima tasa de giro: (a) ¿Cuál es la aceleración angular de la centrifugadora? (b) ¿Cuál es el desplazamiento angular de la centrifugadora durante este tiempo?

Ejemplo 10.6

Aceleración angular de una hélice

La Figura 10.12 muestra un gráfico de la velocidad angular de una hélice de un avión como función del tiempo. Su velocidad angular comienza en 30 rad/s y desciende linealmente hasta 0 rad/s en el transcurso de 5 segundos. (a) Calcule la aceleración angular del objeto y verifique el resultado utilizando las ecuaciones cinemáticas. (b) Calcule el ángulo por el que la hélice está en rotación durante esos 5 segundos y verifique su resultado por medio de las ecuaciones cinemáticas.
La figura es el gráfico de la velocidad angular en radianes por segundo, trazada en función del tiempo en segundos. La velocidad angular disminuye linealmente con el tiempo, desde 30 rads por segundo a cero segundos, hasta cero a 5 segundos.
Figura 10.12 Gráfico de la velocidad angular de una hélice en función del tiempo.

Estrategia

  1. Dado que la velocidad angular varía linealmente con el tiempo, sabemos que la aceleración angular es constante y no depende de la variable tiempo. La aceleración angular es la pendiente del gráfico de la velocidad angular en función del tiempo, α=dωdtα=dωdt. Para calcular la pendiente, leemos directamente de la Figura 10.12, y vemos que ω0=30rad/sω0=30rad/s en t=0st=0s y ωf=0rad/sωf=0rad/s en t=5st=5s. A continuación, podemos verificar el resultado utilizando ω=ω0+αtω=ω0+αt.
  2. Utilizamos la ecuación ω=dθdt;ω=dθdt; ya que la derivada tiempo del ángulo es la velocidad angular, hallaremos el desplazamiento angular al integrar la velocidad angular, lo que a partir de la figura significa tomar el área bajo el gráfico de la velocidad angular. En otras palabras:
    θ0θfdθ=θf-θ0=t0tfω(t)dt.θ0θfdθ=θf-θ0=t0tfω(t)dt.
    A continuación, utilizamos las ecuaciones cinemáticas en la aceleración constante para verificar el resultado.

Solución

  1. Al calcular la pendiente, obtenemos
    α=ω-ω0t-t0=(0-30,0)rad/s(5,0-0)s=−6,0rad/s2.α=ω-ω0t-t0=(0-30,0)rad/s(5,0-0)s=−6,0rad/s2.
    Vemos que esto es exactamente la Ecuación 10.11 con un pequeño reordenamiento de los términos.
  2. Hallaremos el área bajo la curva al calcular el área del triángulo rectángulo, como se muestra en la Figura 10.13.
    La figura es el gráfico de la velocidad angular en radianes por segundo, trazada en función del tiempo en segundos. La velocidad angular disminuye linealmente con el tiempo, desde 30 rads por segundo a cero segundos, hasta cero a 5 segundos. El área bajo la curva se rellena.
    Figura 10.13 El área bajo la curva es el área del triángulo rectángulo.
    Δθ=área(triángulo);Δθ=12(30rad/s)(5s)=75rad.Δθ=área(triángulo);Δθ=12(30rad/s)(5s)=75rad.
    Verificamos la solución mediante la Ecuación 10.12:
    θf=θ0+ω0t+12αt2.θf=θ0+ω0t+12αt2.
    Estableciendo θ0=0θ0=0, tenemos
    θ0=(30,0rad/s)(5,0s)+12(−6,0rad/s2)(5,0rad/s)2=150,0-75,0=75,0rad.θ0=(30,0rad/s)(5,0s)+12(−6,0rad/s2)(5,0rad/s)2=150,0-75,0=75,0rad.
    Esto verifica la solución derivada de calcular el área bajo la curva.

Importancia

Vemos en la parte (b) que hay enfoques alternativos para analizar la rotación del eje fijo con aceleración constante. Comenzamos con un enfoque gráfico y verificamos la solución por medio de las ecuaciones cinemáticas rotacionales. Dado que α=dωdtα=dωdt, podríamos realizar el mismo análisis gráfico sobre una curva de aceleración angular en función del tiempo. El área bajo la curva α en función del tα en función del t nos da el cambio de velocidad angular. Ya que la aceleración angular es constante en esta sección, se trata de un ejercicio sencillo.
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