10.2 Rotación con aceleración angular constante

Cinemática del movimiento rotacional

Con nuestra intuición podemos empezar a ver cómo las cantidades rotacionales $\theta ,$ $\omega ,$ $\alpha$, y t están relacionadas entre sí. Por ejemplo, hemos visto en la sección anterior que, si un volante de inercia tiene una aceleración angular en la misma dirección que su vector de velocidad angular, su velocidad angular aumenta con el tiempo, al igual que desplazamiento angular. Por el contrario, si la aceleración angular es opuesta al vector de velocidad angular, su velocidad angular disminuye con el tiempo. Podemos describir estas situaciones físicas y muchas otras con un conjunto coherente de ecuaciones cinemáticas rotacionales bajo una aceleración angular constante. El método para investigar el movimiento rotacional de esta manera se llama cinemática del movimiento rotacional.

Para empezar, observamos que, si el sistema rota bajo una aceleración constante, entonces la velocidad angular media sigue una relación simple porque la velocidad angular aumenta linealmente con el tiempo. La velocidad angular media es justo la mitad de la suma de los valores inicial y final:

A partir de la definición de la velocidad angular media, hallaremos una ecuación que relacione la posición angular, la velocidad angular media y el tiempo:

Resolviendo para $\theta$, tenemos

donde hemos supuesto que $t_0=0$. Esta ecuación puede ser muy útil si conocemos la velocidad angular media del sistema. Entonces podríamos encontrar el desplazamiento angular en un tiempo determinado. A continuación, hallamos una ecuación que relaciona $\omega$, $\alpha$, y t. Para determinar esta ecuación, partimos de la definición de aceleración angular:

Reorganizamos esto para obtener $\alpha dt=d\omega$ y luego integramos ambos lados de esta ecuación desde los valores iniciales hasta los finales, es decir, desde $t_0$ a t y ${\omega }_0\text{a}{\omega }_{\text{f}}$. En el movimiento rotacional uniforme, la aceleración angular es constante, por lo que puede extraerse de la integral, para dar lugar a dos integrales definidas:

Estableciendo $t_0=0$, tenemos

Reorganizamos esto para obtener

donde ${\omega }_0$ es la velocidad angular inicial. La Ecuación 10.11 es la contraparte rotacional de la ecuación cinemática lineal $v_{\text{f}}=v_0+at$. Con la Ecuación 10.11, hallaremos la velocidad angular de un objeto en cualquier tiempo t dada la velocidad angular inicial y la aceleración angular.

Hagamos ahora un tratamiento similar a partir de la ecuación $\omega =\frac{d\theta }{dt}$. La reordenamos para obtener $\omega dt=d\theta$ e integramos de nuevo ambos lados de los valores iniciales a los finales; se observa que la aceleración angular es constante y no depende del tiempo. Sin embargo, esta vez, la velocidad angular no es constante (en general), por lo que sustituimos en lo que derivamos anteriormente:

donde hemos supuesto que $t_0=0$. Ahora reordenamos para obtener

La Ecuación 10.12 es la contraparte rotacional de la ecuación de la cinemática lineal que se encuentra en Movimiento a lo largo de una línea recta para la posición como función del tiempo. Esta ecuación nos da la posición angular de un cuerpo rígido en rotación en cualquier tiempo t dadas las condiciones iniciales (posición angular inicial y velocidad angular inicial) y la aceleración angular.

Hallaremos una ecuación que sea independiente del tiempo al resolver para t en la Ecuación 10.11 y sustituir en la Ecuación 10.12. La Ecuación 10.12 se convierte en

o

La Ecuación 10.10 a la Ecuación 10.13 describen la rotación en el eje fijo para una aceleración constante y se resumen en la Tabla 10.1.

Aplicar las ecuaciones del movimiento rotacional

Ahora aplicaremos las relaciones cinemáticas clave para el movimiento rotacional a algunos ejemplos sencillos para tener una idea de cómo se pueden aplicar las ecuaciones a situaciones cotidianas.

Ejemplo 10.4

Calcular la aceleración de un carrete de pesca

Un pescador de alta mar engancha un gran pez que se aleja nadando del barco, tirando del sedal de su carrete de pesca. Todo el sistema está inicialmente en reposo, y el sedal se desenrolla del carrete en un radio de 4,50 cm desde su eje de rotación. El carrete recibe una aceleración angular de $110{\text{rad/s}}^2$ durante 2,00 s (Figura 10.11).

(a) ¿Cuál es la velocidad angular final del carrete después de 2 s?

(b) ¿Cuántas revoluciones da el carrete?

Figura 10.11 El sedal que sale de un carrete en rotación se mueve linealmente.

Estrategia

Identifique los aspectos conocidos y compárelos con las ecuaciones cinemáticas para la aceleración constante. Busque la ecuación adecuada que pueda resolverse para la incógnita; utilice los aspectos conocidos en la descripción del problema.

Solución

1. Se nos da $\alpha$ y t y queremos determinar $\omega$. La ecuación más sencilla de utilizar es ${\omega }_{\text{f}}={\omega }_0+\alpha t$, dado que se conocen todos los términos, además de la variable desconocida que buscamos. Se nos da que ${\omega }_0=0$ (parte del reposo), por lo que
   $${\omega }_{\text{f}}=0+(110{\text{rad/s}}^2)(\mathrm{2,00}\text{s})=220\text{rad/s}.$$
2. Se nos pide que calculemos el número de revoluciones. Dado que $1\text{rev}=2\pi \text{rad}$, hallaremos el número de revoluciones al calcular $\theta$ en radianes. Se nos da $\alpha$ y t, y sabemos que ${\omega }_0$ es cero, por lo que podemos obtener $\theta$ utilizando
   $$\begin{array}{cc}\hfill {\theta }_{\text{f}}& ={\theta }_{\text{i}}+{\omega }_{\text{i}}t+\frac{1}{2}\alpha t^2\hfill \\ & =0+0+\left(\mathrm{0,500}\right)\left(110{\text{rad/s}}^2\right){\left(\mathrm{2,00}\text{s}\right)}^2=220\text{rad}\text{.}\hfill \end{array}$$
   Al convertir los radianes en revoluciones obtenemos
   $$\text{Número de rev}=(220\text{rad})\frac{1\text{rev}}{2\pi \text{rad}}=\mathrm{35,0}\text{rev}\text{.}$$

Importancia

Este ejemplo ilustra que las relaciones entre las magnitudes rotacionales son muy análogas a las de las magnitudes lineales. Las respuestas a las preguntas son realistas. Tras desenrollarlo durante dos segundos, se comprueba que el carrete gira a 220 rad/s, es decir, a 2.100 rpm. (No es de extrañar que los carretes a veces emitan sonidos agudos).

En el ejemplo anterior, hemos considerado un carrete de pesca con una aceleración angular positiva. Consideremos ahora lo que ocurre con una aceleración angular negativa.

Ejemplo 10.6

Aceleración angular de una hélice

La Figura 10.12 muestra un gráfico de la velocidad angular de una hélice de un avión como función del tiempo. Su velocidad angular comienza en 30 rad/s y desciende linealmente hasta 0 rad/s en el transcurso de 5 segundos. (a) Calcule la aceleración angular del objeto y verifique el resultado utilizando las ecuaciones cinemáticas. (b) Calcule el ángulo por el que la hélice está en rotación durante esos 5 segundos y verifique su resultado por medio de las ecuaciones cinemáticas.

Figura 10.12 Gráfico de la velocidad angular de una hélice en función del tiempo.

Estrategia

1. Dado que la velocidad angular varía linealmente con el tiempo, sabemos que la aceleración angular es constante y no depende de la variable tiempo. La aceleración angular es la pendiente del gráfico de la velocidad angular en función del tiempo, $\alpha =\frac{d\omega }{dt}$. Para calcular la pendiente, leemos directamente de la Figura 10.12, y vemos que ${\omega }_0=30\text{rad/s}$ en $t=0\text{s}$ y ${\omega }_{\text{f}}=0\text{rad/s}$ en $t=5\text{s}$. A continuación, podemos verificar el resultado utilizando $\omega ={\omega }_0+\alpha t$.
2. Utilizamos la ecuación $\omega =\frac{d\theta }{dt};$ ya que la derivada tiempo del ángulo es la velocidad angular, hallaremos el desplazamiento angular al integrar la velocidad angular, lo que a partir de la figura significa tomar el área bajo el gráfico de la velocidad angular. En otras palabras:
   $${\displaystyle \underset{{\theta }_0}{\overset{{\theta }_{\text{f}}}{\int }}d\theta ={\theta }_{\text{f}}-{\theta }_0=}{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t_{\text{f}}}{\int }}\omega (t)dt}.$$
   A continuación, utilizamos las ecuaciones cinemáticas en la aceleración constante para verificar el resultado.

Solución

1. Al calcular la pendiente, obtenemos
   $$\alpha =\frac{\omega -{\omega }_0}{t-t_0}=\frac{(0-\mathrm{30,0})\text{rad/s}}{(\mathrm{5,0}-0)\text{s}}=\mathrm{-6,0}{\text{rad/s}}^2.$$
   Vemos que esto es exactamente la Ecuación 10.11 con un pequeño reordenamiento de los términos.
2. Hallaremos el área bajo la curva al calcular el área del triángulo rectángulo, como se muestra en la Figura 10.13.
   

   Figura 10.13 El área bajo la curva es el área del triángulo rectángulo.
   $$\begin{array}{ccc}\hfill \text{Δ}\theta & =\hfill & \text{área}\left(\text{triángulo}\right);\hfill \\ \hfill \text{Δ}\theta & =\hfill & \frac{1}{2}(30\text{rad/s})(5\text{s})=75\text{rad}\text{.}\hfill \end{array}$$
   Verificamos la solución mediante la Ecuación 10.12:
   $${\theta }_{\text{f}}={\theta }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2.$$
   Estableciendo ${\theta }_0=0$, tenemos
   $${\theta }_0=(\mathrm{30,0}\text{rad}\text{/}\text{s})(\mathrm{5,0}\text{s})+\frac{1}{2}{(\mathrm{-6,0}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2)(\mathrm{5,0}\text{rad}\text{/}\text{s})}^2=\mathrm{150,0}-\mathrm{75,0}=\mathrm{75,0}\text{rad}.$$
   Esto verifica la solución derivada de calcular el área bajo la curva.

Importancia

Vemos en la parte (b) que hay enfoques alternativos para analizar la rotación del eje fijo con aceleración constante. Comenzamos con un enfoque gráfico y verificamos la solución por medio de las ecuaciones cinemáticas rotacionales. Dado que $\alpha =\frac{d\omega }{dt}$, podríamos realizar el mismo análisis gráfico sobre una curva de aceleración angular en función del tiempo. El área bajo la curva $\alpha \text{en función del}t$ nos da el cambio de velocidad angular. Ya que la aceleración angular es constante en esta sección, se trata de un ejercicio sencillo.