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Física Universitaria Volumen 1

16.6 Ondas estacionarias y resonancia

Física Universitaria Volumen 116.6 Ondas estacionarias y resonancia
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Describir ondas estacionarias y explicar cómo se producen.
  • Describir los modos de una onda estacionaria en una cuerda.
  • Dar ejemplos de ondas estacionarias más allá de las ondas en una cuerda.

A lo largo de este capítulo hemos estado estudiando las ondas en desplazamiento u ondas que transportan energía de un lugar a otro. En determinadas condiciones, las ondas pueden rebotar de un lado a otro en una región determinada, y terminan convirtiéndose en fijas. Estas son llamadas ondas estacionarias.

Otro efecto relacionado se conoce como resonancia. En la sección Oscilaciones definimos la resonancia como un fenómeno en el que una fuerza impulsora de pequeña amplitud podía producir un movimiento de gran amplitud. Piense en un niño en un columpio, lo que se puede modelar como un péndulo físico. Los empujes de magnitudes relativamente pequeñas de un padre pueden producir balanceos de gran amplitud. A veces, esta resonancia es buena, por ejemplo, cuando se produce música con un instrumento de cuerda. En otras ocasiones, los efectos pueden ser devastadores, como el derrumbe de un edificio durante un terremoto. En el caso de las ondas estacionarias, las de amplitud relativamente grande se producen por la superposición de ondas componentes de menor amplitud.

Ondas estacionarias

A veces, parece que las ondas no se mueven, sino que simplemente vibran en el lugar. Puede observar ondas inmóviles en la superficie de un vaso de leche en un refrigerador, por ejemplo. Las vibraciones del motor del refrigerador crean ondas en la leche que oscilan hacia arriba y hacia abajo, pero no parecen moverse por la superficie. La Figura 16.25 muestra un experimento que puede probar en casa. Tome un bol de leche y póngalo sobre el marco de un ventilador cuadrado común. Las vibraciones del ventilador producirán ondas estacionarias circulares en la leche. Las ondas son visibles en la foto debido al reflejo de una lámpara. Estas ondas se forman por la superposición de dos o más ondas en desplazamiento, como se ilustra en la Figura 16.26 para dos ondas idénticas que se mueven en direcciones opuestas. Las ondas se mueven unas a través de otras con sus alteraciones añadiéndose a su paso. Si las dos ondas tienen la misma amplitud y la misma longitud de onda, entonces alternan entre la interferencia constructiva y la destructiva. La resultante tiene el aspecto de una onda detenida y, por tanto, se denomina onda estacionaria.

La fotografía muestra las ondas en la superficie de un bol de leche ubicado en el marco de un ventilador cuadrado.
Figura 16.25 Las ondas estacionarias se forman en la superficie de un bol de leche ubicado en el marco de un ventilador cuadrado. Las vibraciones del ventilador hacen oscilar la superficie de la leche. Las ondas son visibles debido a la reflexión de la luz de una lámpara (créditos: David Chelton).
La figura muestra 8 representaciones temporales de dos ondas sinusoidales idénticas y una onda resultante, tomadas a intervalos de 1 por 8 T. En t = 0T y t = medio T las dos ondas sinusoidales están en fase y la onda resultante tiene el doble de amplitud que las dos ondas individuales. En t = 1 por 4 T y t = 3 por 4 T, las dos ondas sinusoidales son de fase opuesta y no hay onda resultante.
Figura 16.26 Representaciones temporales de dos ondas sinusoidales. La onda roja se mueve en la dirección −xy la azul en la dirección +x. La onda resultante se muestra en negro. Considere la onda resultante en los puntos x = 0 m , 3 m , 6 m , 9 m , 12 m , 15 m x = 0 m , 3 m , 6 m , 9 m , 12 m , 15 m y observe que la onda resultante siempre es igual a cero en estos puntos, sea cual sea el tiempo. Estos puntos se conocen como puntos fijos (nodos). Entre cada dos nodos hay un antinodo, un lugar donde el medio oscila con una amplitud igual a la suma de las amplitudes de las ondas individuales.

Considere dos ondas idénticas que se mueven en direcciones opuestas. La primera onda tiene una función de onda de y1(x,t)=Asen(kxωt)y1(x,t)=Asen(kxωt) y la segunda onda tiene una función de onda y2(x,t)=Asen(kx+ωt)y2(x,t)=Asen(kx+ωt). Las ondas interfieren y forman una onda resultante

y(x,t)=y1(x,t)+y2(x,t),y(x,t)=Asen(kxωt)+Asen(kx+ωt).y(x,t)=y1(x,t)+y2(x,t),y(x,t)=Asen(kxωt)+Asen(kx+ωt).

Esto se puede simplificar mediante la identidad trigonométrica

sen(α±β)=senαcosβ±cosαsenβ,sen(α±β)=senαcosβ±cosαsenβ,

donde α=kxα=kx y β=ωtβ=ωt, dándonos

y(x,t)=A[sen(kx)cos(ωt)cos(kx)sen(ωt)+sen(kx)cos(ωt)+cos(kx)sen(ωt)],y(x,t)=A[sen(kx)cos(ωt)cos(kx)sen(ωt)+sen(kx)cos(ωt)+cos(kx)sen(ωt)],

que se simplifica a

y(x,t)=[2Asen(kx)]cos(ωt).y(x,t)=[2Asen(kx)]cos(ωt).
16.14

Observe que la onda resultante es una onda sinusoidal que es una función solo de posición, multiplicada por una función coseno que es una función solo de tiempo. Los gráficos de y(x,t) como una función de x para varios tiempos se muestran en la Figura 16.26. La onda roja se mueve en la dirección x negativa, la onda azul se mueve en la dirección x positiva y la onda negra es la suma de las dos ondas. A medida que las ondas rojas y azules se mueven entre sí, entran y salen de la interferencia constructiva y de la interferencia destructiva.

Inicialmente, en el tiempo t=0,t=0, las dos ondas están en fase, y el resultado es una onda que es el doble de la amplitud de las ondas individuales. Las ondas también están en fase en el tiempo t=T2.t=T2. De hecho, las ondas están en fase en cualquier múltiplo entero de la mitad de un periodo:

t=nT2donden=0,1,2,3....(en fase).t=nT2donden=0,1,2,3....(en fase).

En otras ocasiones, las dos ondas son 180°(πradianes)180°(πradianes) fuera de fase y la onda resultante es igual a cero. Esto ocurre en

t=14T,34T,54T,...,n4Tdonden=1,3,5....(fuera de fase).t=14T,34T,54T,...,n4Tdonden=1,3,5....(fuera de fase).

Observe que algunas posiciones x de la onda resultante son siempre cero sin importar la relación de fase. Estas posiciones se denominan nodos. ¿Dónde se encuentran los nodos? Considere la solución de la suma de las dos ondas

y(x,t)=[2Asen(kx)]cos(ωt).y(x,t)=[2Asen(kx)]cos(ωt).

Calcular las posiciones en las que la función seno es igual a cero proporciona las posiciones de los nodos.

sen(kx)=0kx=0,π,2π,3π,...2πλx=0,π,2π,3π,...x=0,λ2,λ,3λ2,...=nλ2n=0,1,2,3,....sen(kx)=0kx=0,π,2π,3π,...2πλx=0,π,2π,3π,...x=0,λ2,λ,3λ2,...=nλ2n=0,1,2,3,....

También hay posiciones en las que y oscila entre y=±Ay=±A. Estos son los antinodos. Podemos calcularlos considerando qué valores de x dan como resultado sen(kx)=±1sen(kx)=±1.

sen(kx)=±1kx=π2,3π2,5π2,...2πλx=π2,3π2,5π2,...x=λ4,3λ4,5λ4,...=nλ4n=1,3,5,....sen(kx)=±1kx=π2,3π2,5π2,...2πλx=π2,3π2,5π2,...x=λ4,3λ4,5λ4,...=nλ4n=1,3,5,....

Lo que resulta es una onda estacionaria como la que se muestra en la Figura 16.27, que muestra representaciones de la onda resultante de dos ondas idénticas que se mueven en direcciones opuestas. La onda resultante parece ser una onda sinusoidal con nodos en múltiplos enteros de media longitud de onda. Los antinodos oscilan entre y=±2Ay=±2A debido al término del coseno, cos(ωt)cos(ωt), que oscila entre ±1±1.

La onda resultante parece estar quieta, sin movimiento aparente en la dirección x, aunque está compuesta por una función de onda que se mueve en positivo, mientras que la segunda onda se mueve en la dirección x negativa. La Figura 16.27 muestra varias representaciones de la onda resultante. Los nodos están marcados con puntos rojos mientras que los antinodos están marcados con puntos azules.

La figura muestra dos ondas sinusoidales con amplitudes cambiantes que son exactamente opuestas en fase. Los nodos marcados con puntos rojos están a lo largo del eje x en x = 0 m, 3 m, 6 m, 9 m y así sucesivamente. Los antinodos marcados con puntos azules están en los picos y las depresiones de cada onda. Están en x = 1,5 m, 4,5 m, 7,5 m y así sucesivamente.
Figura 16.27 Cuando dos ondas idénticas se mueven en direcciones opuestas, la onda resultante es una onda estacionaria. Los nodos aparecen en múltiplos enteros de las medias longitudes de onda. Los antinodos aparecen en los múltiplos impares de los cuartos de longitud de onda, donde oscilan entre y = ± A . y = ± A . Los nodos están marcados con puntos rojos y los antinodos con puntos azules.

Un ejemplo común de ondas estacionarias son las ondas producidas por los instrumentos musicales de cuerda. Cuando se puntea la cuerda, los pulsos se desplazan a lo largo de esta en direcciones opuestas. Los extremos de las cuerdas están fijados en su lugar, por lo que aparecen nodos en los extremos de las cuerdas; las condiciones de frontera del sistema, que regulan las frecuencias de resonancia en las cuerdas. La resonancia producida en un instrumento de cuerda se puede modelar en un laboratorio de física con el aparato que se muestra en la Figura 16.28.

A la izquierda de la figura se muestra un vibrador de cuerda. Una cuerda está atada a su derecha. Esta va sobre una polea y baja por el lado de la mesa. Una masa colgante m está suspendida de ella. La polea no tiene fricción. La distancia entre la polea y el vibrador de cuerda es L. Se identifica como mu igual a delta m por delta x igual a constante.
Figura 16.28 Un montaje de laboratorio para crear ondas estacionarias en una cuerda. La cuerda tiene un nodo en cada extremo y una densidad lineal constante. La longitud entre las condiciones de frontera fija es L. La masa colgante proporciona la tensión en la cuerda, y la rapidez de onda en la cuerda es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión dividida entre la densidad lineal de masa.

El montaje de laboratorio muestra una cuerda atada a un vibrador de cuerda, que hace oscilar la cuerda con una frecuencia ajustable f. El otro extremo de la cuerda pasa por una polea sin fricción y se ata a una masa colgante. La magnitud de la tensión en la cuerda es igual al peso de la masa colgante. La cuerda tiene una densidad lineal constante (masa por longitud) μμ y la velocidad a la que una onda se desplaza por la cuerda es igual a v=FTμ=mgμ,v=FTμ=mgμ, Ecuación 16.7. Las condiciones de frontera simétricas (un nodo en cada extremo) dictan las posibles frecuencias que pueden estimular las ondas estacionarias. Partiendo de una frecuencia cero y aumentando lentamente la frecuencia, el primer modo n=1n=1 aparece como se muestra en la Figura 16.29. El primer modo, también llamado modo fundamental o primer armónico, muestra que se ha formado la mitad de una longitud de onda, por lo que la longitud de onda es igual al doble de la longitud entre los nodos λ1=2Lλ1=2L. La frecuencia fundamental, o primera frecuencia armónica, que impulsa este modo es

f1=vλ1=v2L,f1=vλ1=v2L,

donde la velocidad de la onda es v=FTμ,.v=FTμ,. AL mantener la tensión constante y aumentar la frecuencia se obtiene el segundo armónico o el n=2n=2. Este modo es una longitud de onda completa λ2=Lλ2=L y la frecuencia es el doble de la frecuencia fundamental:

f2=vλ2=vL=2f1.f2=vλ2=vL=2f1.
Se muestran cuatro figuras de una cuerda de longitud L. Cada una tiene dos ondas. La primera tiene 1 nodo. Está identificada como medio lambda 1 = L, lambda 1 = 2 por 1 veces L. La segunda figura tiene 2 nodos. Está identificada como lambda 2 = L, lambda 2 = 2 por 2 veces L. La tercera figura tiene tres nodos. Se identifica 3 por 2 veces lambda 3 = L, lambda 3 = 2 por 3 veces L. La cuarta figura tiene 4 nodos. Está identificada como 4 por 2 veces lambda 4 = L, lambda 4 = 2 por 4 veces L. Hay una fórmula derivada en la parte inferior, lambda n igual a 2 por n veces L para n = 1, 2, 3 y así sucesivamente.
Figura 16.29 Ondas estacionarias creadas en una cuerda de longitud L. Se produce un nodo en cada extremo de la cuerda. Los nodos son condiciones de frontera que limitan las posibles frecuencias que estimulan las ondas estacionarias (note que las amplitudes de las oscilaciones se han mantenido constantes para su visualización. Los patrones de ondas estacionarias posibles en la cuerda se conocen como modos normales. Si se realiza este experimento en el laboratorio, la amplitud disminuirá al aumentar la frecuencia).

Los dos siguientes modos, o el tercer y cuarto armónicos, tienen longitudes de onda de λ3=23Lλ3=23L y λ4=24L,λ4=24L, impulsado por frecuencias de f3=3v2L=3f1f3=3v2L=3f1 y f4=4v2L=4f1.f4=4v2L=4f1. Todas las frecuencias por encima de la frecuencia f1f1 se conocen como los sobretonos. Las ecuaciones para la longitud de onda y la frecuencia se pueden resumir como

λn=2nLn=1,2,3,4,5...λn=2nLn=1,2,3,4,5...
16.15
fn=nv2L=nf1n=1,2,3,4,5...fn=nv2L=nf1n=1,2,3,4,5...
16.16

Los patrones de ondas estacionarias que son posibles para una cuerda, los cuatro primeros de los cuales se muestran en la Figura 16.29, se conocen como los modos normales, con frecuencias conocidas como las frecuencias normales. En resumen, la primera frecuencia que produce un modo normal se llama frecuencia fundamental (o primer armónico). Todas las frecuencias por encima de la frecuencia fundamental son sobretonos. La segunda frecuencia del n=2n=2 modo normal de la cuerda es el primer sobretono (o segundo armónico). La frecuencia del n=3n=3 modo normal es el segundo sobretono (o tercer armónico) y así sucesivamente.

Las soluciones mostradas en la Ecuación 16.15 y la Ecuación 16.16 son para una cuerda con la condición de contorno de un nodo en cada extremo. Cuando la condición de contorno en ambos lados es la misma, se dice que el sistema tiene condiciones de frontera simétricas. La Ecuación 16.15 y la Ecuación 16.16 sirven para cualquier condición de contorno simétrica, es decir, nodos en ambos extremos o antinodos en ambos extremos.

Ejemplo 16.7

Ondas estacionarias en una cuerda

Considere una cuerda de L=2,00m.L=2,00m. atada a un vibrador de cuerda de frecuencia ajustable como se muestra en la Figura 16.30. Las ondas producidas por el vibrador se desplazan por la cuerda y son reflejadas por la condición de frontera fija en la polea. La cuerda, que tiene una densidad lineal de masa de μ=0,006kg/mμ=0,006kg/m se hace pasar por una polea sin fricción de masa insignificante, y la tensión la proporciona una masa colgante de 2,00 kg. (a) ¿Cuál es la velocidad de las ondas en la cuerda? (b) Dibuje un esquema de los tres primeros modos normales de las ondas estacionarias que se pueden producir en la cuerda e identifique cada uno con la longitud de onda. (c) Enumere las frecuencias a las que debe estar sintonizado el vibrador de la cuerda para producir los tres primeros modos normales de las ondas estacionarias.
A la izquierda de la figura se muestra un vibrador de cuerda. Una cuerda está atada a su derecha. Esto pasa por encima de una polea y baja por el lado de la mesa. De él se cuelga una masa colgante m = 2 kg. La polea no tiene fricción. La distancia entre la polea y el vibrador de cuerda es L = 2 m. Se identifica mu igual a delta m por delta x igual a 0,006 kg por m.
Figura 16.30 Una cuerda atada a un vibrador de cuerda de frecuencia ajustable.

Estrategia

  1. La velocidad de la onda se puede calcular mediante v=FTμ.v=FTμ. La tensión es proporcionada por el peso de la masa colgante.
  2. Las ondas estacionarias dependerán de las condiciones de frontera. Debe haber un nodo en cada extremo. El primer modo será la mitad de una onda. La segunda se puede calcular añadiendo una media longitud de onda. Es la longitud más corta que ocasionará a un nodo en las fronteras. Por ejemplo, si se añade un cuarto de longitud de onda, se obtendrá un antinodo en la frontera y no es un modo que satisfaga las condiciones de frontera. Esto se muestra en la Figura 16.31.
  3. Como la rapidez de onda es la longitud de onda por la frecuencia, la frecuencia es la velocidad de la onda dividida entre la longitud de onda
    La figura a muestra una cuerda atada en ambos extremos. Dos ondas en la cuerda forman un nodo en cada extremo y otro en el centro. Este es el modo identificado como posible. La figura b muestra una cuerda atada en ambos extremos. Dos ondas en la cuerda forman un nodo en un extremo de la cuerda y un antinodo en el otro. Esto está identificado como modo imposible.
    Figura 16.31 (a) La figura representa el segundo modo de la cuerda que satisface las condiciones de frontera de un nodo en cada extremo de la cuerda. (b) Esta figura no podría ser un modo normal en la cuerda porque no satisface las condiciones de frontera. Hay un nodo en un extremo, pero un antinodo en el otro.

Solución

  1. Comienza con la velocidad de una onda en una cuerda. La tensión es igual al peso de la masa colgante. La densidad lineal de masa y la masa de la masa colgante están dadas:
    v=FTμ=mgμ=2kg(9,8ms)0,006kgm=57,15m/s.v=FTμ=mgμ=2kg(9,8ms)0,006kgm=57,15m/s.
  2. El primer modo normal que tiene un nodo en cada extremo es una media longitud de onda. Los dos siguientes modos se encuentran añadiendo la mitad de una longitud de onda.
    Se muestran tres figuras de una cuerda de longitud L = 2 m. Cada una tiene dos ondas. La primera tiene 1 nodo. Se identifica la mitad de lambda 1 = L, lambda 1 = 2 por 1 veces 2 m = 4 m. La segunda figura tiene 2 nodos. Se identifica lambda 2 = L, lambda 2 = 2 por 2 veces 2 m = 2 m. La tercera figura tiene tres nodos. Se identifica 3 por 2 veces lambda 3 = L, lambda 3 = 2 por 3 veces 2 m = 1,33 m.
  3. Las frecuencias de los tres primeros modos se calculan mediante f=vwλ.f=vwλ.
    f1=vwλ1=57,15m/s4,00m=14,29Hzf2=vwλ2=57,15m/s2,00m=28,58Hzf3=vwλ3=57,15m/s1,333m=42,87Hzf1=vwλ1=57,15m/s4,00m=14,29Hzf2=vwλ2=57,15m/s2,00m=28,58Hzf3=vwλ3=57,15m/s1,333m=42,87Hz

Importancia

Los tres modos estables de este ejemplo se produjeron al mantener la tensión en la cuerda y ajustar la frecuencia de impulso. Si se mantiene constante la tensión de la cuerda, se obtiene una velocidad constante. Los mismos modos se podrían haber producido al mantener la frecuencia constante y ajustar la velocidad de la onda en la cuerda (al cambiar la masa colgante).

Interactivo

Visite esta simulación para jugar con un sistema 1D o 2D de osciladores masa-resorte acoplados. Varíe el número de masas, establezca las condiciones iniciales y observe cómo evoluciona el sistema. Vea el espectro de los modos normales para el movimiento arbitrario. Vea modos longitudinales o transversales en el sistema 1D.

Compruebe Lo Aprendido 16.7

Las ecuaciones de las longitudes de onda y las frecuencias de los modos de una onda producida en una cuerda:

λn=2nLn=1,2,3,4,5...yfn=nv2L=nf1n=1,2,3,4,5...λn=2nLn=1,2,3,4,5...yfn=nv2L=nf1n=1,2,3,4,5...

se derivaron al considerar una onda en una cuerda en la que había condiciones de frontera simétricas de un nodo en cada extremo. Estos modos son el resultado de dos ondas sinusoidales con características idénticas, excepto que se mueven en direcciones opuestas, confinadas en una región L con nodos necesarios en ambos extremos. ¿Funcionarán las mismas ecuaciones si hubiera condiciones de frontera simétricas con antinodos en cada extremo? ¿Qué aspecto tendrían los modos normales de un medio que fuera libre de oscilar en cada extremo? Pierda cuidado si por ahora no puede imaginar un medio así, solo considere dos funciones de onda sinusoidales en una región de longitud L, con antinodos en cada extremo.

Las condiciones de frontera libre mostradas en el último Compruebe lo aprendido pueden parecer difíciles de visualizar. ¿Cómo puede haber un sistema que sea libre de oscilar en cada extremo? En la Figura 16.32 se muestran dos posibles configuraciones de una varilla metálica (en rojo) unida a dos soportes (en azul). En la parte (a), la varilla está apoyada en los extremos, y hay condiciones de frontera fija en ambos extremos. Dada la frecuencia adecuada, la varilla puede entrar en resonancia con una longitud de onda igual a la longitud de la varilla, con nodos en cada extremo. En la parte (b), la varilla está apoyada en posiciones a un cuarto de la longitud de cada extremo de la varilla, y hay condiciones de frontera libre en ambos extremos. Dada la frecuencia adecuada, esta varilla también puede entrar en resonancia con una longitud de onda igual a la longitud de la varilla, pero hay antinodos en cada extremo. Si tiene problemas para visualizar la longitud de onda en esta figura, recuerde que la longitud de onda se puede medir entre dos puntos idénticos cualesquiera y considere la Figura 16.33.

opuestos en fase, formando nodos en los puntos donde los postes soportan la varilla y antinodos en ambos extremos de la varilla.
Figura 16.32 (a) Una varilla metálica de longitud L (rojo) apoyada en dos soportes (azul) en cada extremo. Cuando se impulsa a la frecuencia adecuada, la varilla puede resonar con una longitud de onda igual a la longitud de la varilla con un nodo en cada extremo. (b) La misma varilla metálica de longitud L (rojo) apoyada en dos soportes (azul) en una posición a un cuarto de la longitud de la varilla desde cada extremo. Cuando se impulsa a la frecuencia adecuada, la varilla puede resonar con una longitud de onda igual a la longitud de la varilla con un antinodo en cada extremo.
La figura muestra una onda sinusoidal. Dos recuadros identificados como a y b marcan cada uno una longitud de onda de la onda. El recuadro a mide la longitud de onda entre los dos puntos más cercanos del eje x en los que la onda empieza a adquirir un valor positivo. El recuadro b mide la longitud de onda entre dos crestas contiguas de la onda.
Figura 16.33 La longitud de onda se puede medir entre los dos puntos de repetición más cercanos. En la onda sobre una cuerda, esto significa la misma altura y pendiente. (a) La longitud de onda se mide entre los dos puntos más cercanos donde la altura es cero y la pendiente es máxima y positiva. (b) La longitud de onda se mide entre dos puntos idénticos donde la altura es máxima y la pendiente es cero.

Tenga en cuenta que el estudio de las ondas estacionarias puede llegar a ser bastante complejo. En la Figura 16.32(a), el modo n=2n=2 de la onda estacionaria se muestra y resulta en una longitud de onda igual a L. En esta configuración, el modo n=1n=1 también habría sido posible con una onda estacionaria igual a 2L. ¿Es posible obtener el modo n=1n=1 para la configuración mostrada en la parte (b)? La respuesta es no. En esta configuración hay condiciones adicionales establecidas más allá de las condiciones de frontera. Dado que la varilla está montada en un punto a un cuarto de la longitud de cada lado, debe existir allí un nodo, y esto limita los posibles modos de ondas estacionarias que se pueden crear. Dejamos como ejercicio para el lector considerar si son posibles otros modos de ondas estacionarias. Hay que tener en cuenta que cuando un sistema se impulsa a una frecuencia que no hace que el sistema resuene, pueden seguir produciéndose vibraciones, pero la amplitud de las vibraciones será mucho menor que la amplitud en la resonancia.

Un campo de la ingeniería mecánica utiliza el sonido producido por las piezas que vibran en sistemas mecánicos complejos para solucionar problemas de los sistemas. Suponga que una pieza de un automóvil resuena a la frecuencia del motor del automóvil y provoca vibraciones no deseadas. Esto puede hacer que el motor falle prematuramente. Los ingenieros utilizan micrófonos para grabar el sonido producido por el motor, luego utilizan una técnica llamada análisis de Fourier para hallar las frecuencias de sonido producidas con grandes amplitudes y luego buscan en la lista de piezas del automóvil para hallar una pieza que resuene a esa frecuencia. La solución puede ser tan sencilla como cambiar la composición del material utilizado o modificar la longitud de la pieza en cuestión.

Existen otros numerosos ejemplos de resonancia en ondas estacionarias en el mundo físico. El aire en un tubo, como el que se encuentra en un instrumento musical como la flauta, puede ser forzado a entrar en resonancia y producir un sonido agradable, como comentamos en la sección Sonido.

En otras ocasiones, la resonancia puede causar graves problemas. Un examen más detallado de los terremotos proporciona pruebas de las condiciones adecuadas para resonancia, ondas estacionarias e interferencias constructiva y destructiva. Un edificio puede vibrar durante varios segundos con una frecuencia de impulso que coincida con la frecuencia natural de vibración del edificio, lo que produce una resonancia que hace que un edificio se derrumbe mientras los edificios vecinos no lo hacen. A menudo, los edificios de cierta altura son devastados mientras que otros más altos permanecen intactos. La altura del edificio coincide con la condición para establecer una onda estacionaria para esa altura concreta. También es importante la extensión del techo. A menudo, se observa que gimnasios, supermercados e iglesias sufren daños mientras las viviendas individuales sufren muchos menos daños. Los techos con grandes superficies apoyadas solo en los bordes resuenan a las frecuencias de los terremotos, lo que provoca su colapso. Cuando las ondas sísmicas recorren la superficie de la Tierra y se reflejan en las rocas más densas, se produce interferencia constructiva en determinados puntos. A menudo, las áreas más cercanas al epicentro no sufren daños, mientras que las más alejadas sí.

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