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Física Universitaria Volumen 1

15.2 Energía en el movimiento armónico simple

Física Universitaria Volumen 115.2 Energía en el movimiento armónico simple
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Describir la conservación de energía del sistema de una masa y un resorte.
  • Explicar los conceptos de puntos de equilibrio estables e inestables.

Para producir una deformación en un objeto, debemos realizar un trabajo. Es decir, tanto si se puntea una cuerda de guitarra como si se comprime el sistema de suspensión de un automóvil, hay que ejercer una fuerza a través de una distancia. Si el único resultado es la deformación, y ningún trabajo se convierte en energía térmica, sonora o cinética, entonces todo el trabajo se almacena inicialmente en el objeto deformado como alguna forma de energía potencial.

Considere el ejemplo de un bloque unido a un resorte en una mesa sin fricción, que oscila en SHM. La fuerza del resorte es una fuerza conservativa (que estudió en el capítulo sobre energía potencial y conservación de la energía), y podemos definir una energía potencial para ella. Esta energía potencial es la energía almacenada en el resorte cuando este se extiende o se comprime. En este caso, el bloque oscila en una dimensión con la fuerza del resorte actuando en paralelo al movimiento:

W=xixfFxdx=xixfkxdx=[12kx2]xixf=[12kxf212kxi2]=[UfUi]=ΔU.W=xixfFxdx=xixfkxdx=[12kx2]xixf=[12kxf212kxi2]=[UfUi]=ΔU.

Al considerar la energía almacenada en un resorte, la posición de equilibrio, marcada como xi=0,00m,xi=0,00m, es la posición en la que la energía almacenada en el resorte es igual a cero. Cuando el resorte se estira o se comprime una distancia x, la energía potencial almacenada en el resorte es

U=12kx2.U=12kx2.

La energía y el oscilador armónico simple

Para estudiar la energía de un oscilador armónico simple, debemos considerar todas las formas de energía. Considere el ejemplo de un bloque unido a un resorte, colocado sobre una superficie sin fricción, que oscila en SHM. La energía potencial almacenada en la deformación del resorte es

U=12kx2.U=12kx2.

En un oscilador armónico simple la energía oscila entre la energía cinética de la masa K=12mv2K=12mv2 y la energía potencial U=12kx2U=12kx2 almacenado en el resorte. En el SHM del sistema de masa y resorte no hay fuerzas disipativas, por lo que la energía total es la suma de la energía potencial y la energía cinética. En esta sección consideramos la conservación de la energía del sistema. Los conceptos examinados son válidos para todos los osciladores armónicos simples, incluidos aquellos en los que interviene la fuerza gravitacional.

Considere la Figura 15.11, que muestra un bloque oscilante unido a un resorte. En el caso del SHM no amortiguado, la energía oscila de un lado a otro entre la cinética y la potencial, pasando completamente de una forma de energía a la otra a medida que el sistema oscila. Así, para el sencillo ejemplo de un objeto sobre una superficie sin fricción unido a un resorte, el movimiento comienza con toda la energía almacenada en el resorte como energía potencial elástica. Cuando el objeto comienza a moverse, la energía potencial elástica se convierte en energía cinética, y pasa a ser totalmente cinética en la posición de equilibrio. A continuación, el resorte convierte la energía en energía potencial elástica al estirarse o comprimirse. La velocidad se convierte en cero cuando la energía cinética se convierte completamente, y este ciclo se repite. La comprensión de la conservación de la energía en estos ciclos proporcionará una visión adicional aquí y en aplicaciones posteriores de SHM, como circuitos alternos.

El movimiento y la energía de una masa unida a un resorte horizontal, de constante de resorte k, en varios puntos de su movimiento. En la figura (a) la masa se desplaza a una posición x = A a la derecha de x = 0 y se libera del reposo (v = 0). El resorte está estirado. La fuerza sobre la masa es hacia la izquierda. El diagrama está identificado con la mitad de k A al cuadrado. (b) La masa está en x = 0 y se mueve en la dirección x negativa con velocidad – v sub máx. El resorte está relajado. La fuerza sobre la masa es cero. En el diagrama se ha identificado la mitad de la cantidad m sub máx. al cuadrado. (c) La masa se encuentra a menos A, a la izquierda de x = 0 y está en reposo (v = 0). El resorte está comprimido. La fuerza F está a la derecha. En el diagrama se identifica la mitad de la cantidad k menos A al cuadrado. (d) La masa está en x = 0 y se mueve en la dirección x positiva con velocidad más v sub máx. El resorte está relajado. La fuerza sobre la masa es cero. En el diagrama se identifica la mitad de m v sub máx. al cuadrado. (e) la masa está de nuevo en x = A a la derecha de x = 0. El diagrama está identificado con una mitad k A al cuadrado.
Figura 15.11 La transformación de la energía en SHM para un objeto unido a un resorte sobre una superficie sin fricción. (a) Cuando la masa está en la posición x = + A x = + A , toda la energía se almacena como energía potencial en el resorte U = 1 2 k A 2 U = 1 2 k A 2 . La energía cinética es igual a cero porque la velocidad de la masa es cero. (b) A medida que la masa se mueve hacia x = A x = A , la masa cruza la posición x = 0 x = 0 . En este punto, el resorte no está ni extendido ni comprimido, por lo que la energía potencial almacenada en el resorte es cero. En x = 0 x = 0 , la energía total es toda la energía cinética donde K = 1 2 m ( v máx. ) 2 K = 1 2 m ( v máx. ) 2 . (c) La masa continúa moviéndose hasta alcanzar x = A x = A donde la masa se detiene y comienza a moverse hacia x = + A x = + A . En la posición x = A x = A , la energía total se almacena como energía potencial en el U = 1 2 k ( A ) 2 U = 1 2 k ( A ) 2 comprimido y la energía cinética es cero. (d) Al pasar la masa por la posición x = 0 x = 0 , la energía cinética es K = 1 2 m v máx. 2 K = 1 2 m v máx. 2 y la energía potencial almacenada en el resorte es cero. (e) La masa vuelve a la posición x = + A x = + A , donde K = 0 K = 0 y U = 1 2 k A 2 U = 1 2 k A 2 .

Considere la Figura 15.11, que muestra la energía en puntos específicos del movimiento periódico. Mientras se mantiene constante, la energía oscila entre la energía cinética del bloque y la energía potencial almacenada en el resorte:

ETotal=U+K=12kx2+12mv2.ETotal=U+K=12kx2+12mv2.

El movimiento del bloque sobre un resorte en SHM está definido por la posición x(t)=Acos(ωt+ϕ)x(t)=Acos(ωt+ϕ) con una velocidad de v(t)=Aωsen(ωt+ϕ)v(t)=Aωsen(ωt+ϕ). Mediante estas ecuaciones, la identidad trigonométrica cos2θ+sen2θ=1cos2θ+sen2θ=1 y ω=kmω=km, podemos calcular la energía total del sistema:

ETotal=12kA2cos2(ωt+ϕ)+12mA2ω2sen2(ωt+ϕ)=12kA2cos2(ωt+ϕ)+12mA2(km)sen2(ωt+ϕ)=12kA2cos2(ωt+ϕ)+12kA2sen2(ωt+ϕ)=12kA2(cos2(ωt+ϕ)+sen2(ωt+ϕ))=12kA2.ETotal=12kA2cos2(ωt+ϕ)+12mA2ω2sen2(ωt+ϕ)=12kA2cos2(ωt+ϕ)+12mA2(km)sen2(ωt+ϕ)=12kA2cos2(ωt+ϕ)+12kA2sen2(ωt+ϕ)=12kA2(cos2(ωt+ϕ)+sen2(ωt+ϕ))=12kA2.

La energía total del sistema de un bloque y un resorte es igual a la suma de la energía potencial almacenada en el resorte más la energía cinética del bloque y es proporcional al cuadrado de la amplitud ETotal=(1/2)kA2.ETotal=(1/2)kA2. La energía total del sistema es constante.

Un examen más detallado de la energía del sistema muestra que la energía cinética oscila como una función seno-cuadrada, mientras que la energía potencial oscila como una función coseno-cuadrada. Sin embargo, la energía total del sistema es constante y es proporcional a la amplitud al cuadrado. La Figura 15.12 muestra un trazado de las energías potencial, cinética y total del sistema de bloques y resortes como una función de tiempo. También se representan la posición y la velocidad como una función de tiempo. Antes del tiempo t=0,0s,t=0,0s, el bloque está unido al resorte y colocado en la posición de equilibrio. El trabajo se realiza sobre el bloque aplicando una fuerza externa, halándolo hasta una posición de x=+Ax=+A. El sistema tiene ahora energía potencial almacenada en el resorte. En el tiempo t=0,00s,t=0,00s, la posición del bloque es igual a la amplitud, la energía potencial almacenada en el resorte es igual a U=12kA2U=12kA2 y la fuerza sobre el bloque es máxima y apunta en la dirección x negativa (FS=kA)(FS=kA). La velocidad y la energía cinética del bloque son cero en el tiempo t=0,00s.t=0,00s. En el tiempo t=0,00s,t=0,00s, el bloque se libera del reposo.

Gráficos de la energía, la posición y la velocidad como funciones de tiempo para una masa sobre un resorte. A la izquierda está el gráfico de la energía en julios (J) versus el tiempo en segundos. El rango del eje vertical es de cero a la mitad de k A al cuadrado. El rango del eje horizontal es de cero a T. Se muestran tres curvas. La energía total E subtotal se muestra como una línea verde. La energía total es una constante con un valor de la mitad de k A al cuadrado. La energía cinética K es igual a la mitad de m v al cuadrado y se muestra como una curva roja. K comienza con energía cero en t = 0 y se eleva a un valor máximo de la mitad de k A al cuadrado en el tiempo 1/4 T, luego disminuye a cero en 1/2 T, se eleva a la mitad de k A al cuadrado en 3/4 T y es cero de nuevo en T. La energía potencial U igual a la mitad de k x al cuadrado se muestra como una curva azul. U comienza con una energía máxima de la mitad de k A al cuadrado en t = 0, disminuye a cero en 1/4 T, sube a la mitad de k A al cuadrado en 1/2 T, es cero de nuevo en 3/4 T y está en el máximo de la mitad de k A al cuadrado de nuevo en t = T. A la derecha hay un gráfico de posición versus tiempo sobre un gráfico de velocidad versus tiempo. El gráfico de posición tiene x en metros, que van de –A a +A, versus el tiempo en segundos. La posición está en +A y disminuye en t = 0, alcanza un mínimo de –A, luego sube a +A. El gráfico de velocidad tiene v en m/s, que va de menos v sub máx. a más v sub máx., versus tiempo en segundos. La velocidad es cero y decreciente en t = 0, y alcanza un mínimo de menos v sub máx. al mismo tiempo que el gráfico de posición es cero. La velocidad vuelve a ser cero cuando la posición está en x = –A, sube a más v sub máx. cuando la posición es cero y v = 0 al final del gráfico, donde la posición vuelve a ser máxima.
Figura 15.12 Gráfico de las energías cinética, potencial y total de un bloque que oscila sobre un resorte en SHM. También se muestran los gráficos de posición versus tiempo y de velocidad versus tiempo. La energía total permanece constante, pero la energía oscila entre la energía cinética y la potencial. Cuando la energía cinética es máxima, la energía potencial es cero. Esto ocurre cuando la velocidad es máxima y la masa está en la posición de equilibrio. La energía potencial es máxima cuando la velocidad es cero. La energía total es la suma de la energía cinética más la energía potencial y es constante.

Oscilaciones en torno a una posición de equilibrio

Acabamos de considerar la energía del SHM como una función de tiempo. Otra visión interesante del oscilador armónico simple es considerar la energía como una función de posición. La Figura 15.13 muestra un gráfico de la energía versus posición de un sistema que experimenta SHM.

Gráfico de la energía E en julios en el eje vertical versus posición x en metros en el eje horizontal. El eje horizontal tenía x = 0 identificado como la posición de equilibrio con F = 0. Las posiciones x = –A y x = +A se identifican como puntos de inflexión. Una parábola cóncava hacia abajo en rojo, identificada como K, tiene su valor máximo de E = E total en x = 0 y es cero en x = –A y x = +A. Una línea verde horizontal en un valor constante de E total identificada como E total. Una parábola cóncava hacia arriba en azul, identificada como U, interseca la línea verde con un valor de E = E total en x = –A y x = +A y es cero en x = 0. La región del gráfico a la izquierda de x = 0 está identificada con una flecha roja que señala a la derecha y la ecuación F es igual a menos la derivada de U con respecto a x. La región del gráfico a la derecha de x = 0 está identificada con una flecha roja que señala a la izquierda y la ecuación F es igual a menos la derivada de U con respecto a x.
Figura 15.13 Gráfico de la energía cinética (rojo), la energía potencial (azul) y la energía total (verde) de un oscilador armónico simple. La fuerza es igual a F = d U d x F = d U d x . La posición de equilibrio se muestra como un punto negro y es el punto donde la fuerza es igual a cero. La fuerza es positiva cuando x < 0 x < 0 , negativa cuando x > 0 x > 0 e igual a cero cuando x = 0 x = 0 .

La curva de energía potencial en la Figura 15.13 se asemeja a un bol. Cuando se coloca una canica en un bol, se asienta en la posición de equilibrio en el punto más bajo del bol (x=0)(x=0). Esto ocurre porque una fuerza restauradora se dirige hacia el punto de equilibrio. Este punto de equilibrio se denomina, a veces, punto fijo. Cuando la canica se altera hacia una posición diferente (x=+A)(x=+A), la canica oscila alrededor de la posición de equilibrio. Volviendo al gráfico de la energía potencial, la fuerza se puede calcular mirando la pendiente del gráfico de la energía potencial (F=dUdx)(F=dUdx). Dado que la fuerza a ambos lados del punto fijo señala hacia el punto de equilibrio, este se denomina punto de equilibrio estable. Los puntos x=Ax=A y x=Ax=A se llaman los puntos de inflexión (ver Energía potencial y conservación de la energía).

La estabilidad es un concepto importante. Si un punto de equilibrio es estable, una ligera alteración de un objeto que se encuentra inicialmente en el punto de equilibrio estable hará que el objeto oscile alrededor de ese punto. El punto de equilibrio estable se produce porque la fuerza de cada lado se dirige hacia él. En el caso de un punto de equilibrio inestable si el objeto se altera ligeramente, no vuelve al punto de equilibrio.

Considere el ejemplo de la canica en el bol. Si el bol está boca arriba, la canica oscilará alrededor del punto de equilibrio estable si la alteración es ligera. Si el bol se pone boca abajo, la canica se puede equilibrar en la parte superior, en el punto de equilibrio donde la fuerza neta es cero. Sin embargo, si la alteración de la canica es ligera, no volverá al punto de equilibrio, sino que rodará fuera del bol. La razón es que la fuerza a ambos lados del punto de equilibrio se aleja de ese punto. Este punto es un punto de equilibrio inestable.

La Figura 15.14 muestra tres condiciones. El primero es un punto de equilibrio estable (a); el segundo es un punto de equilibrio inestable (b); y el último es también un punto de equilibrio inestable (c), ya que la fuerza en un solo lado señala hacia el punto de equilibrio.

Tres ilustraciones de una pelota sobre una superficie. En la figura a, punto de equilibrio estable, la pelota está dentro de una superficie cóncava hacia arriba, en la parte inferior. Un círculo relleno debajo de la superficie, por debajo de la pelota, tiene dos flechas horizontales identificadas como F que señalan hacia ella desde cualquier lado. Las flechas grises tangentes a la superficie se muestran dentro de la superficie, y señalan hacia abajo de la pendiente, hacia la posición de la pelota. En la figura b, punto de equilibrio inestable, la pelota está encima de una superficie cóncava hacia abajo, en la parte superior. Un círculo vacío debajo de la superficie, por debajo de la pelota, tiene dos flechas horizontales identificadas como F que señalan hacia afuera desde cualquier lado. Las flechas grises tangentes a la superficie se muestran dentro de la superficie, y señalan hacia abajo de la pendiente, lejos de la posición de la pelota. En la figura c, punto de equilibrio inestable, la pelota está en el punto de inflexión de una superficie. Un círculo medio lleno debajo de la superficie, por debajo de la pelota, tiene dos flechas horizontales identificadas como F, una a cada lado del círculo, ambas señalando a la izquierda. Las flechas grises tangentes a la superficie se muestran dentro de la superficie, y señalan hacia la pendiente, una hacia la pelota y la otra alejándose de ella.
Figura 15.14 Ejemplos de puntos de equilibrio: (a) punto de equilibrio estable; (b) punto de equilibrio inestable; (c) punto de equilibrio inestable (a veces denominado punto de equilibrio medio estable).

El proceso para determinar si un punto de equilibrio es estable o inestable se puede formalizar. Considere las curvas de energía potencial mostradas en la Figura 15.15. La fuerza se puede calcular al analizar la pendiente del gráfico. La fuerza es F=dUdx.F=dUdx. En (a), el punto fijo está en x=0,00m.x=0,00m. Cuando x<0,00m,x<0,00m, la fuerza es positiva. Cuando x>0,00m,x>0,00m, la fuerza es negativa. Este es un punto estable. En (b), el punto fijo está en x=0,00m.x=0,00m. Cuando x<0,00m,x<0,00m, la fuerza es negativa. Cuando x>0,00m,x>0,00m, la fuerza también es negativa. Este es un punto inestable.

Dos gráficos de U en julios en el eje vertical como una función de x en metros en el eje horizontal. En la figura a, U de x es una parábola de apertura ascendente cuyo vértice está marcado con un punto negro y está en x = 0, U = 0. La región del gráfico a la izquierda de x = 0 está identificada con una flecha roja que señala a la derecha y la ecuación F es igual a menos la derivada de U con respecto a x es mayor que cero. La región del gráfico a la derecha de x = 0 está identificada con una flecha roja que señala a la izquierda y la ecuación F es igual a menos la derivada de U con respecto a x es menor que cero. Debajo del gráfico hay una copia del punto entre las copias de las flechas rojas y las relaciones de fuerza, F es igual a menos la derivada de U con respecto a x es mayor que cero a la izquierda y F es igual a menos la derivada de U con respecto a x es menor que cero a la derecha. En la figura b, U de x es una función creciente con un punto de inflexión que está marcado con un medio círculo relleno en x = 0, U = 0. La región del gráfico a la izquierda de x = 0 está identificada con una flecha roja que señala a la izquierda y la ecuación F es igual a menos la derivada de U con respecto a x es menor que cero. La región del gráfico a la derecha de x = 0 también está identificada con una flecha roja que señala a la izquierda y la ecuación F es igual a menos la derivada de U con respecto a x es menor que cero. Debajo del gráfico hay una copia del círculo entre las copias de las flechas rojas, ambas señalan a la izquierda, y las relaciones de fuerza, F es igual a menos la derivada de U con respecto a x es menor que cero a la izquierda y F es igual a menos la derivada de U con respecto a x es menor que cero a la derecha.
Figura 15.15 Dos ejemplos de función de energía potencial. La fuerza en una posición es igual al negativo de la pendiente del gráfico en esa posición. (a) Una función de energía potencial con un punto de equilibrio estable. (b) Una función de energía potencial con un punto de equilibrio inestable. Este punto se llama a veces medio estable porque la fuerza de un lado señala hacia el punto fijo.

Una aplicación práctica del concepto de puntos de equilibrio estables es la fuerza entre dos átomos neutros de una molécula. Si dos moléculas están muy cerca, separadas por unos pocos diámetros atómicos, pueden experimentar una fuerza de atracción. Si las moléculas se acercan lo suficiente como para que las capas electrónicas de los otros electrones se superpongan, la fuerza entre las moléculas se vuelve repulsiva. La fuerza de atracción entre los dos átomos puede hacer que estos formen una molécula. La fuerza entre las dos moléculas no es una fuerza lineal y no se puede modelar simplemente como dos masas separadas por un resorte, sino que los átomos de la molécula pueden oscilar alrededor de un punto de equilibrio cuando se desplazan una pequeña cantidad de la posición de equilibrio. Los átomos oscilan debido a la fuerza de atracción y a la fuerza de repulsión entre los dos átomos.

Considere un ejemplo de la interacción entre dos átomos conocida como la interacción de van Der Waals. Está fuera del alcance de este capítulo discutir en profundidad las interacciones de los dos átomos, pero las oscilaciones de los átomos pueden ser examinadas considerando un ejemplo de un modelo de la energía potencial del sistema. Una sugerencia para modelar la energía potencial de esta molécula es con el potencial de Lennard-Jones 6-12:

U(x)=4ε[(σx)12(σx)6].U(x)=4ε[(σx)12(σx)6].

Un gráfico de esta función se muestra en la Figura 15.16. Los dos parámetros εε y σσ se hallan experimentalmente.

Un gráfico anotado de E en julios en el eje vertical como una función de x en metros en el eje horizontal. El potencial de Lennard-Jones, U, se muestra como una curva azul que es grande y positiva en x pequeño. Disminuye rápidamente, se vuelve negativo y continúa disminuyendo hasta alcanzar un valor mínimo en una posición marcada como posición de equilibrio, F = 0, luego aumenta gradualmente y se aproxima asintóticamente a E = 0, pero sigue siendo negativo. Una línea verde horizontal de valor constante y negativo identificada como E total. Las curvas E total y U verdes y azules se cruzan en dos puntos. El valor x del cruce a la izquierda de la posición de equilibrio está identificado como punto de inflexión, menos A, y el cruce a la derecha de la posición de equilibrio está identificado como punto de inflexión, más A. La región del gráfico a la izquierda de la posición de equilibrio está identificada con una flecha roja que señala a la derecha y la ecuación F es igual a menos la derivada de U con respecto a. La región del gráfico a la derecha de la posición de equilibrio está identificada con una flecha roja que señala a la izquierda y la ecuación F es igual a menos la derivada de U con respecto a x.
Figura 15.16 La función de energía potencial de Lennard-Jones para un sistema de dos átomos neutros. Si la energía está por debajo de cierta energía máxima, el sistema oscila cerca de la posición de equilibrio entre los dos puntos de inflexión.

A partir del gráfico, podrá ver que hay un pozo de energía potencial, que tiene algunas similitudes con el pozo de energía potencial de la función de energía potencial del oscilador armónico simple analizado en la Figura 15.13. El potencial de Lennard-Jones tiene un punto de equilibrio estable donde la energía potencial es mínima y la fuerza a ambos lados del punto de equilibrio señala hacia el punto de equilibrio. Note que, a diferencia del oscilador armónico simple, el pozo de potencial del potencial de Lennard-Jones no es simétrico. Esto se debe a que la fuerza entre los átomos no es una fuerza de la ley de Hooke y no es lineal. Los átomos pueden seguir oscilando alrededor de la posición de equilibrio xminxmin porque cuando x<xminx<xmin, la fuerza es positiva; cuando x>xminx>xmin, la fuerza es negativa. Note que a medida que x se acerca a cero, la pendiente es bastante pronunciada y negativa, lo que significa que la fuerza es grande y positiva. Esto sugiere que se necesita una gran fuerza para intentar acercar los átomos. A medida que x se hace más grande, la pendiente se hace menos pronunciada y la fuerza es más pequeña y negativa. Esto sugiere que si se da una energía lo suficientemente grande, los átomos pueden separarse.

Si le interesa esta interacción, calcule la fuerza entre las moléculas tomando la derivada de la función de energía potencial. Verá inmediatamente que la fuerza no se asemeja a una fuerza de la ley de Hooke (F=kx)(F=kx), pero si está familiarizado con el teorema del binomio:

(1+x)n=1+nx+n(n1)2!x2+n(n1)(n2)3!x3+,(1+x)n=1+nx+n(n1)2!x2+n(n1)(n2)3!x3+,

la fuerza puede ser aproximada por una fuerza de la ley de Hooke.

Velocidad y conservación de energía

Volviendo al sistema de un bloque y un resorte en la Figura 15.11, una vez que el bloque se libera del reposo, comienza a moverse en la dirección negativa hacia la posición de equilibrio. La energía potencial disminuye y la magnitud de la velocidad y la energía cinética aumentan. En el tiempo t=T/4t=T/4, el bloque alcanza la posición de equilibrio x=0,00m,x=0,00m, donde la fuerza sobre el bloque y la energía potencial son cero. En la posición de equilibrio, el bloque alcanza una velocidad negativa con una magnitud igual a la velocidad máxima v=Aωv=Aω. La energía cinética es máxima e igual a K=12mv2=12mA2ω2=12kA2.K=12mv2=12mA2ω2=12kA2. En este punto, la fuerza sobre el bloque es cero, pero el momento arrastra al bloque y este continúa en dirección negativa hacia x=Ax=A. A medida que el bloque continúa moviéndose, la fuerza sobre él actúa en la dirección positiva y la magnitud de la velocidad y la energía cinética disminuyen. La energía potencial aumenta a medida que el resorte se comprime. En el tiempo t=T/2t=T/2, el bloque alcanza x=Ax=A. Aquí la velocidad y la energía cinética son iguales a cero. La fuerza sobre el bloque es F=+kAF=+kA y la energía potencial almacenada en el resorte es U=12kA2U=12kA2. Durante las oscilaciones, la energía total es constante e igual a la suma de la energía potencial y la energía cinética del sistema,

ETotal=12kx2+12mv2=12kA2.ETotal=12kx2+12mv2=12kA2.
15.12

La ecuación de la energía asociada al SHM puede resolverse para calcular la magnitud de la velocidad en cualquier posición:

|v|=km(A2x2).|v|=km(A2x2).
15.13

La energía en un oscilador armónico simple es proporcional al cuadrado de la amplitud. Cuando se consideran muchas formas de oscilación, verá que la energía es proporcional a la amplitud al cuadrado.

Compruebe Lo Aprendido 15.1

¿Por qué le dolería más si se rompiera la mano con una regla que con un resorte flojo, aunque el desplazamiento de cada sistema sea igual?

Compruebe Lo Aprendido 15.2

Identifique una forma en la que podría disminuir la velocidad máxima de un oscilador armónico simple.

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