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Física Universitaria Volumen 1

15.1 Movimiento armónico simple

Física Universitaria Volumen 115.1 Movimiento armónico simple
  1. Prefacio
  2. Mecánica
    1. 1 Unidades y medidas
      1. Introducción
      2. 1.1 El alcance y la escala de la Física
      3. 1.2 Unidades y estándares
      4. 1.3 Conversión de unidades
      5. 1.4 Análisis dimensional
      6. 1.5 Estimaciones y cálculos de Fermi
      7. 1.6 Cifras significativas
      8. 1.7 Resolver problemas de física
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 2 Vectores
      1. Introducción
      2. 2.1 Escalares y vectores
      3. 2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector
      4. 2.3 Álgebra de vectores
      5. 2.4 Productos de los vectores
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 3 Movimiento rectilíneo
      1. Introducción
      2. 3.1 Posición, desplazamiento y velocidad media
      3. 3.2 Velocidad y rapidez instantáneas
      4. 3.3 Aceleración media e instantánea
      5. 3.4 Movimiento con aceleración constante
      6. 3.5 Caída libre
      7. 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    4. 4 Movimiento en dos y tres dimensiones
      1. Introducción
      2. 4.1 Vectores de desplazamiento y velocidad
      3. 4.2 Vector de aceleración
      4. 4.3 Movimiento de proyectil
      5. 4.4 Movimiento circular uniforme
      6. 4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    5. 5 Leyes del movimiento de Newton
      1. Introducción
      2. 5.1 Fuerzas
      3. 5.2 Primera ley de Newton
      4. 5.3 Segunda ley de Newton
      5. 5.4 Masa y peso
      6. 5.5 Tercera ley de Newton
      7. 5.6 Fuerzas comunes
      8. 5.7 Dibujar diagramas de cuerpo libre
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    6. 6 Aplicaciones de las leyes de Newton
      1. Introducción
      2. 6.1 Resolución de problemas con las leyes de Newton
      3. 6.2 Fricción
      4. 6.3 Fuerza centrípeta
      5. 6.4 Fuerza de arrastre y velocidad límite
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    7. 7 Trabajo y energía cinética
      1. Introducción
      2. 7.1 Trabajo
      3. 7.2 Energía cinética
      4. 7.3 Teorema de trabajo-energía
      5. 7.4 Potencia
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    8. 8 Energía potencial y conservación de la energía
      1. Introducción
      2. 8.1 Energía potencial de un sistema
      3. 8.2 Fuerzas conservativas y no conservativas
      4. 8.3 Conservación de la energía
      5. 8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad
      6. 8.5 Fuentes de energía
      7. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
    9. 9 Momento lineal y colisiones
      1. Introducción
      2. 9.1 Momento lineal
      3. 9.2 Impulso y colisiones
      4. 9.3 Conservación del momento lineal
      5. 9.4 Tipos de colisiones
      6. 9.5 Colisiones en varias dimensiones
      7. 9.6 Centro de masa
      8. 9.7 Propulsión de cohetes
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    10. 10 Rotación de un eje fijo
      1. Introducción
      2. 10.1 Variables rotacionales
      3. 10.2 Rotación con aceleración angular constante
      4. 10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales
      5. 10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional
      6. 10.5 Calcular momentos de inercia
      7. 10.6 Torque
      8. 10.7 Segunda ley de Newton para la rotación
      9. 10.8 Trabajo y potencia en el movimiento rotacional
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    11. 11 Momento angular
      1. Introducción
      2. 11.1 Movimiento rodadura
      3. 11.2 Momento angular
      4. 11.3 Conservación del momento angular
      5. 11.4 Precesión de un giroscopio
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    12. 12 Equilibrio estático y elasticidad
      1. Introducción
      2. 12.1 Condiciones para el equilibrio estático
      3. 12.2 Ejemplos de equilibrio estático
      4. 12.3 Estrés, tensión y módulo elástico
      5. 12.4 Elasticidad y plasticidad
      6. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    13. 13 Gravitación
      1. Introducción
      2. 13.1 Ley de la gravitación universal de Newton
      3. 13.2 Gravitación cerca de la superficie terrestre
      4. 13.3 Energía potencial gravitacional y energía total
      5. 13.4 Órbita satelital y energía
      6. 13.5 Leyes del movimiento planetario de Kepler
      7. 13.6 Fuerzas de marea
      8. 13.7 La teoría de la gravedad de Einstein
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    14. 14 Mecánica de fluidos
      1. Introducción
      2. 14.1 Fluidos, densidad y presión
      3. 14.2 Medir la presión
      4. 14.3 Principio de Pascal y la hidráulica
      5. 14.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad
      6. 14.5 Dinámicas de fluidos
      7. 14.6 Ecuación de Bernoulli
      8. 14.7 Viscosidad y turbulencia
      9. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  3. Ondas y acústica
    1. 15 Oscilaciones
      1. Introducción
      2. 15.1 Movimiento armónico simple
      3. 15.2 Energía en el movimiento armónico simple
      4. 15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular
      5. 15.4 Péndulos
      6. 15.5 Oscilaciones amortiguadas
      7. 15.6 Oscilaciones forzadas
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    2. 16 Ondas
      1. Introducción
      2. 16.1 Ondas en desplazamiento
      3. 16.2 Matemáticas de las ondas
      4. 16.3 Rapidez de onda en una cuerda estirada
      5. 16.4 La energía y la potencia de una onda
      6. 16.5 Interferencia de ondas
      7. 16.6 Ondas estacionarias y resonancia
      8. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
    3. 17 Sonido
      1. Introducción
      2. 17.1 Ondas sonoras
      3. 17.2 Velocidad del sonido
      4. 17.3 Intensidad del sonido
      5. 17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria
      6. 17.5 Fuentes de sonido musical
      7. 17.6 Batimientos
      8. 17.7 El Efecto Doppler
      9. 17.8 Ondas expansivas
      10. Revisión Del Capítulo
        1. Términos Clave
        2. Ecuaciones Clave
        3. Resumen
        4. Preguntas Conceptuales
        5. Problemas
        6. Problemas Adicionales
        7. Problemas De Desafío
  4. A Unidades
  5. B Factores de conversión
  6. C Constantes fundamentales
  7. D Datos astronómicos
  8. E Fórmulas matemáticas
  9. F Química
  10. G El alfabeto griego
  11. Clave de Respuestas
    1. Capítulo 1
    2. Capítulo 2
    3. Capítulo 3
    4. Capítulo 4
    5. Capítulo 5
    6. Capítulo 6
    7. Capítulo 7
    8. Capítulo 8
    9. Capítulo 9
    10. Capítulo 10
    11. Capítulo 11
    12. Capítulo 12
    13. Capítulo 13
    14. Capítulo 14
    15. Capítulo 15
    16. Capítulo 16
    17. Capítulo 17
  12. Índice

Objetivos De Aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Definir los términos periodo y frecuencia.
  • Enumerar las características del movimiento armónico simple.
  • Explicar el concepto de deslizamiento de fase.
  • Escribir las ecuaciones de movimiento para el sistema de una masa y un resorte que experimenta un movimiento armónico simple.
  • Describir el movimiento de una masa que oscila sobre un resorte vertical.

Al pulsar una cuerda de guitarra, el sonido resultante tiene un tono constante y dura mucho tiempo (Figura 15.2). La cuerda vibra alrededor de una posición de equilibrio, y una oscilación se completa cuando la cuerda parte de la posición inicial, se desplaza a una de las posiciones extremas, luego a la otra posición extrema y vuelve a su posición inicial. Definimos movimiento periódico como cualquier movimiento que se repite a intervalos de tiempo regulares, como el exhibido por la cuerda de la guitarra o por un niño que se balancea en un columpio. En esta sección, estudiamos las características básicas de las oscilaciones y su descripción matemática.

Fotografía de alguien tocando una guitarra.
Figura 15.2 Cuando se puntea una cuerda de guitarra, esta oscila hacia arriba y hacia abajo en un movimiento periódico. La cuerda que vibra hace oscilar las moléculas de aire circundantes, lo que produce ondas sonoras (créditos: Yutaka Tsutano).

Periodo y frecuencia en oscilaciones

En ausencia de fricción, el tiempo para completar una oscilación permanece constante y se denomina periodo (T). Sus unidades suelen ser segundos, pero pueden ser cualquier unidad de tiempo conveniente. La palabra “periodo” se refiere al tiempo de algún acontecimiento, ya sea repetitivo o no, pero en este capítulo nos ocuparemos principalmente del movimiento periódico, que es por definición repetitivo.

Un concepto estrechamente relacionado con el de periodo es el de frecuencia de un evento. Lafrecuencia (f) se define como el número de eventos por unidad de tiempo. Para el movimiento periódico, la frecuencia es el número de oscilaciones por unidad de tiempo. La relación entre frecuencia y periodo es

f=1T.f=1T.
15.1

La unidad del SI para la frecuencia es el hercio (Hz) y se define como un ciclo por segundo:

1Hz=1cicloso1Hz=1s=1s−1.1Hz=1cicloso1Hz=1s=1s−1.

Un ciclo es una oscilación completa.

Ejemplo 15.1

Determinar la frecuencia de ultrasonidos médicos

Los profesionales de la medicina usan ecógrafos para obtener imágenes que permitan examinar órganos internos del cuerpo. Un ecógrafo emite ondas sonoras de alta frecuencia, que se reflejan en los órganos, y una computadora las recibe y las usa para crear una imagen. Podemos usar las fórmulas presentadas en este módulo para determinar la frecuencia, basándonos en lo que sabemos sobre las oscilaciones. Consideremos un dispositivo de imagen médica que produce ultrasonidos oscilando con un periodo de 0,400μs0,400μs. ¿Cuál es la frecuencia de esta oscilación?

Estrategia

Se da el periodo(T) y se pide encontrar la frecuencia (f).

Solución

Sustituir 0,400μs0,400μs para T en f=1Tf=1T:
f=1T=10,400×10−6s.f=1T=10,400×10−6s.

Resolver para encontrar

f=2,50×106Hz.f=2,50×106Hz.

Importancia

Esta frecuencia de sonido es mucho más alta que la frecuencia más alta que puede oír el ser humano (el rango de audición humana es de 20 Hz a 20.000 Hz); por eso se llama ultrasonido. Las oscilaciones adecuadas a esta frecuencia generan ultrasonidos que se usan para diagnósticos médicos no invasivos, como la observación de un feto en el útero.

Características de movimiento armónico simple

Un tipo muy común de movimiento periódico es el llamado movimiento armónico simple (Simple Harmonic Motion, SHM). Un sistema que oscila con SHM se llama oscilador armónico simple.

Movimiento armónico simple

En el movimiento armónico simple, la aceleración del sistema, y por tanto la fuerza neta, es proporcional al desplazamiento y actúa en sentido contrario a este.

Un buen ejemplo de SHM es un objeto con masa m unido a un resorte sobre una superficie sin fricción, como se muestra en la Figura 15.3. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio, y la fuerza neta sobre el objeto es igual a la fuerza proporcionada por el resorte. Esta fuerza obedece a la ley de Hooke Fs=kx,Fs=kx, como se ha comentado en un capítulo anterior.

Si la fuerza neta se puede describir mediante la ley de Hooke y no hay amortiguación (ralentización debido a fricción o a otras fuerzas no conservativas), entonces un oscilador armónico simple oscila con igual desplazamiento a ambos lados de la posición de equilibrio, como se muestra para un objeto sobre un resorte en la Figura 15.3. El desplazamiento máximo desde el equilibrio se llama amplitud (A). Las unidades de amplitud y desplazamiento son las mismas, pero están sujetas al tipo de oscilación. Para el objeto sobre el resorte, las unidades de amplitud y desplazamiento son metros.

El movimiento y los diagramas de cuerpo libre de una masa unida a un resorte horizontal, constante k de resorte, en varios puntos de su movimiento. En la figura (a) la masa se desplaza a una posición x = A a la derecha de x = 0 y se libera del reposo (v = 0). El resorte está estirado. La fuerza sobre la masa es hacia la izquierda. El diagrama de cuerpo libre tiene el peso w hacia abajo, la fuerza normal N hacia arriba e igual al peso y la fuerza F hacia la izquierda. (b) La masa está en x = 0 y se mueve en la dirección x negativa con velocidad – v sub máx. El resorte está relajado. La fuerza sobre la masa es cero. El diagrama de cuerpo libre tiene el peso w hacia abajo, la fuerza normal N hacia arriba e igual al peso. (c) La masa está a menos A, a la izquierda de x = 0 y está en reposo (v = 0). El resorte está comprimido. La fuerza F está a la derecha. El diagrama de cuerpo libre tiene el peso w hacia abajo, la fuerza normal N hacia arriba e igual al peso y la fuerza F hacia la derecha. (d) La masa está en x = 0 y se mueve en la dirección x positiva con velocidad más v sub máx. El resorte está relajado. La fuerza sobre la masa es cero. El diagrama de cuerpo libre tiene el peso w hacia abajo, la fuerza normal N hacia arriba e igual al peso. (e) la masa está de nuevo en x = A a la derecha de x = 0 y en reposo (v = 0). El resorte está estirado. La fuerza sobre la masa es hacia la izquierda. El diagrama de cuerpo libre tiene el peso w hacia abajo, la fuerza normal N hacia arriba e igual al peso, y la fuerza F hacia la izquierda.
Figura 15.3 Un objeto unido a un resorte que se desliza sobre una superficie sin fricción es un oscilador armónico simple sin complicaciones. En las figuras anteriores, una masa está unida a un resorte y colocada sobre una mesa sin fricción. El otro extremo del resorte se fija a la pared. La posición de la masa, cuando el resorte no está ni estirado ni comprimido, se marca como x = 0 x = 0 y es la posición de equilibrio. (a) La masa se desplaza a una posición x = A x = A y se libera del reposo. (b) La masa se acelera mientras se mueve en la dirección x negativa, y alcanza una velocidad negativa máxima en x = 0 x = 0 . (c) La masa continúa moviéndose en la dirección xnegativa, y frena hasta detenerse en x = A x = A . (d) La masa comienza ahora a acelerar en la dirección x positiva, y alcanza una velocidad máxima positiva en x = 0 x = 0 . (e) La masa continúa entonces moviéndose en la dirección positiva hasta que se detiene en x = A x = A . La masa continúa en SHM que tiene una amplitud A y un periodo T. La velocidad máxima del objeto se produce al pasar por el equilibrio. Cuanto más rígido sea el resorte, menor será el periodo T. Cuanto mayor sea la masa del objeto, mayor será el periodo T.

¿Qué tiene de significativo el SHM? Por un lado, el periodo T y la frecuencia f de un oscilador armónico simple son independientes de la amplitud. La cuerda de una guitarra, por ejemplo, oscila con la misma frecuencia tanto si se puntea con suavidad como con fuerza.

Hay dos factores importantes que afectan el periodo de un oscilador armónico simple. El periodo está relacionado con la rigidez del sistema. Un objeto muy rígido tiene una constante de fuerza (k) grande, lo que hace que el sistema tenga un periodo menor. Por ejemplo, se puede ajustar la rigidez de un trampolín: cuanto más rígido sea, más rápido vibrará y más corto será su periodo. El periodo también está sujeto a la masa del sistema oscilante. Cuanto más masivo sea el sistema, más largo será el periodo. Por ejemplo, una persona pesada en un trampolín rebota hacia arriba y hacia abajo más lentamente que una persona liviana. De hecho, la masa m y la constante de fuerza k son los únicos factores que afectan el periodo y la frecuencia del SHM. Para obtener una ecuación para el periodo y la frecuencia, primero debemos definir y analizar las ecuaciones de movimiento. Obsérvese que la constante de fuerza se denomina, a veces, constante de resorte.

Ecuaciones de SHM

Consideremos un bloque unido a un resorte en una mesa sin fricción (Figura 15.4). La posición de equilibrio (la posición en la que el resorte no está ni estirado ni comprimido) se marca como x=0x=0. En la posición de equilibrio la fuerza neta es cero.

Un bloque está unido a un resorte horizontal y se coloca en una mesa sin fricción. La posición de equilibrio, en la que el resorte no está ni extendido ni comprimido, se marca como x = 0. Una posición a la izquierda del bloque se marca como x = –A y una posición a la misma distancia a la derecha del bloque se marca como x = +A.
Figura 15.4 Un bloque está unido a un resorte y se coloca en una mesa sin fricción. La posición de equilibrio, en la que el resorte no está ni extendido ni comprimido, se marca como x = 0 . x = 0 .

Se trabaja en el bloque para sacarlo a una posición de x=+A,x=+A, y así se libera del reposo. La posición x máxima (A) se llama amplitud del movimiento. El bloque comienza a oscilar en SHM entre x=+Ax=+A y x=A,x=A, donde A es la amplitud del movimiento y T es el periodo de la oscilación. El periodo es el tiempo de una oscilación. La Figura 15.5 muestra el movimiento del bloque cuando completa una oscilación y media después de soltarlo. La Figura 15.6 muestra un gráfico de la posición del bloque versus tiempo. Cuando se representa posición versus tiempo, es evidente que los datos pueden ser modelados por una función coseno con una amplitud A y un periodo T. La función coseno cosθcosθ se repite cada múltiplo de 2π,2π, mientras que el movimiento del bloque se repite cada periodo T. Sin embargo, la función cos(2πTt)cos(2πTt) se repite cada múltiplo entero del periodo. El máximo de la función coseno es uno, por lo que es necesario multiplicar la función coseno por la amplitud A.

x(t)=Acos(2πTt)=Acos(ωt).x(t)=Acos(2πTt)=Acos(ωt).
15.2

Recordemos del capítulo sobre la rotación que la frecuencia angular es igual a ω=dθdtω=dθdt. En este caso, el periodo es constante, por lo que la frecuencia angular se define como 2π2π dividido entre el periodo, ω=2πTω=2πT.

Se muestra una serie de ilustraciones de una masa, unida a un resorte horizontal y que se desliza sobre una superficie horizontal. La posición de la masa, el resorte y la fuerza sobre la masa se ilustran cada octavo periodo desde t = 0 hasta t = un periodo y medio. Las ilustraciones se alinean verticalmente y las posiciones de la masa se conectan de un gráfico al siguiente mediante una línea azul, lo que crea un gráfico de la dependencia de la posición (horizontal) sobre el tiempo (vertical). La posición x = 0 está en el centro de la superficie horizontal. En el gráfico superior, la masa está en x = +A, la fuerza neta está a la izquierda y es igual a – k A. El resorte está estirado al máximo. El tiempo es t = 0. En el segundo gráfico, la masa está entre x = +A/2 y x = A, la fuerza neta está a la izquierda y es menor que en el gráfico anterior. El resorte se estira menos que en t = 0. En el tercer gráfico, la masa está en x = 0, no hay fuerza neta. El resorte está relajado. El tiempo es t = un cuarto de T. En el cuarto gráfico, la masa está entre x = –A/2 y x = –A, la fuerza neta está a la derecha. La magnitud de la fuerza es la misma que la del segundo gráfico. El resorte está algo comprimido. En el quinto gráfico, la masa está en x = –A, la fuerza neta está a la derecha y es igual a + k A. El resorte está comprimido al máximo. El tiempo es t = 1/2 T. En el sexto gráfico, la masa está entre x = –A/2 y x = –A, la fuerza neta está a la derecha. La magnitud de la fuerza es la misma que la del segundo gráfico. El resorte está algo comprimido. Este gráfico es idéntico al cuarto gráfico. En el séptimo gráfico, la masa está en x = 0, no hay fuerza neta. El resorte está relajado. El tiempo es t = 3/4 T. Este gráfico es idéntico al tercer gráfico. En el octavo gráfico, la masa está entre x = +A/2 y x = A, la fuerza neta está a la izquierda. Este gráfico es idéntico al segundo gráfico. En el noveno gráfico, la masa está en x = +A, la fuerza neta está a la izquierda y es igual a –k A. El resorte está estirado al máximo. El tiempo es t = 0. Este gráfico es idéntico al primer gráfico (superior). Los cuatro gráficos restantes repiten los gráficos segundo, tercero, cuarto y quinto, con el tiempo del undécimo gráfico en t = 1 y 1/4 T y el decimotercero en t = 1 y 1/2 T. La curva que une las posiciones de la masa forma una curva sinusoidal vertical.
Figura 15.5 Se fija un bloque a un extremo de un resorte y se coloca sobre una mesa sin fricción. El otro extremo del resorte se ancla a la pared. La posición de equilibrio, donde la fuerza neta es igual a cero, se marca como x = 0 m . x = 0 m . Se trabaja en el bloque, sacándolo para x = + A x = + A , y el bloque se libera del reposo. El bloque oscila entre x = + A x = + A y x = A x = A . La fuerza también se muestra como un vector.
Un gráfico de la posición en el eje vertical como una función de tiempo en el eje horizontal. La escala vertical va de –A a +A y la horizontal de 0 a 3/2 T. La curva es una función coseno, con un valor de +A en el tiempo cero y otro en el tiempo T.
Figura 15.6 Un gráfico de la posición del bloque mostrado en la Figura 15.5 como una función de tiempo. La posición se puede modelar como una función periódica, como una función coseno o seno.

La ecuación de la posición como una función de tiempo x(t)=Acos(ωt)x(t)=Acos(ωt) es bueno para modelar datos, donde la posición del bloque en el momento inicial t=0,00st=0,00s está en la amplitud A y la velocidad inicial es cero. A menudo, cuando se toman datos experimentales, la posición de la masa en el momento inicial t=0,00st=0,00s no es igual a la amplitud y la velocidad inicial no es cero. Considere 10 segundos de datos recogidos por un estudiante en el laboratorio, que se muestran en la Figura 15.7.

Datos de posición versus tiempo para una masa sobre un resorte. El eje horizontal es el tiempo t en segundos, que va de 0 a 10 segundos. El eje vertical es la posición x en centímetros, que va de –3 centímetros a 4 centímetros. Los datos se muestran en forma de puntos y parece que se toman a intervalos regulares a unos 10 puntos por segundo. Los datos oscilan de forma sinusoidal, con algo más de cuatro ciclos completos durante los 10 segundos de datos mostrados. La posición en t = 0 es x = –0,8 centímetros. La posición está en un máximo de x = 3 centímetros en torno a t = 0,6 s, 3,1 s, 5,5 s y 7,9 s. La posición está en el mínimo de x = –3 centímetros en torno a t = 1,9 s, 4,3 s, 6,7 s y 9,0 s.
Figura 15.7 Los datos recogidos por un estudiante en el laboratorio indican la posición de un bloque unido a un resorte, medida con un telémetro sónico. Los datos se recogen a partir del momento t = 0,00 s, t = 0,00 s, pero la posición inicial está cerca de la posición x 0,80 cm 3,00 cm x 0,80 cm 3,00 cm , por lo que la posición inicial no es igual a la amplitud x 0 = + A x 0 = + A . La velocidad es la derivada temporal de la posición, que es la pendiente en un punto del gráfico de posición versus tiempo. La velocidad no es v = 0,00 m/s v = 0,00 m/s en el momento t = 0,00 s t = 0,00 s , como se desprende de la pendiente del gráfico de posición versus tiempo, que no es cero en el momento inicial.

Los datos de la Figura 15.7 pueden seguir siendo modelados con una función periódica, como una función coseno, pero la función está desplazada hacia la derecha. Este deslizamiento se conoce como deslizamiento de fase y suele representarse con la letra griega pi (ϕ)(ϕ). La ecuación de la posición como una función de tiempo para un bloque sobre un resorte es

x(t)=Acos(ωt+ϕ).x(t)=Acos(ωt+ϕ).

Esta es la ecuación generalizada para el SHM donde t es el tiempo medido en segundos, ωω es la frecuencia angular con unidades de segundos inversos, A es la amplitud medida en metros o centímetros y ϕϕ es el deslizamiento de fase medido en radianes (Figura 15.8). Cabe señalar que, dado que las funciones seno y coseno solo se diferencian por un deslizamiento de fase, este movimiento podría modelarse usando la función coseno o la función seno.

Dos gráficos de una función oscilante de ángulo. En la figura a, vemos la función coseno de theta como una función de theta, desde menos pi hasta dos pi. La función oscila entre –1 y +1, y se encuentra en el máximo de +1 cuando theta es igual a cero. En la figura b, vemos la función coseno de la cantidad theta más pi como una función de theta, desde menos pi hasta dos pi. La función oscila entre –1 y +1, y es máxima en theta igual a pi. La curva es la curva del coseno, desplazada a la derecha por una cantidad pi.
Figura 15.8 (a) Una función coseno. (b) Una función coseno desplazada hacia la izquierda por un ángulo ϕ ϕ . El ángulo ϕ ϕ se conoce como el deslizamiento de fase de la función.

La velocidad de la masa sobre un resorte, que oscila en SHM, se puede encontrar tomando la derivada de la ecuación de posición:

v(t)=dxdt=ddt(Acos(ωt+ϕ))=Aωsen(ωt+ω)=vmáx.sen(ωt+ϕ).v(t)=dxdt=ddt(Acos(ωt+ϕ))=Aωsen(ωt+ω)=vmáx.sen(ωt+ϕ).

Dado que la función sinusoidal oscila entre –1 y +1, la velocidad máxima es la amplitud por la frecuencia angular, vmáx.=Aωvmáx.=Aω. La velocidad máxima se produce en la posición de equilibrio (x=0)(x=0) cuando la masa se mueve hacia x=+Ax=+A. La velocidad máxima en sentido negativo se alcanza en la posición de equilibrio (x=0)(x=0) cuando la masa se mueve hacia x=Ax=A y es igual a vmáx.vmáx..

La aceleración de la masa sobre el resorte se puede encontrar tomando la derivada temporal de la velocidad:

a(t)=dvdt=ddt(Aωsen(ωt+ϕ))=Aω2cos(ωt+φ)=amáx.cos(ωt+ϕ).a(t)=dvdt=ddt(Aωsen(ωt+ϕ))=Aω2cos(ωt+φ)=amáx.cos(ωt+ϕ).

La aceleración máxima es amáx.=Aω2amáx.=Aω2. La aceleración máxima se produce en la posición (x=A)(x=A), y la aceleración en la posición (x=A)(x=A) y es igual a amáx.amáx..

Resumen de ecuaciones de movimiento para SHM

En resumen, el movimiento oscilatorio de un bloque sobre un resorte puede modelarse con las siguientes ecuaciones de movimiento:

x(t)=Acos(ωt+ϕ)x(t)=Acos(ωt+ϕ)
15.3
v(t)=vmáx.sen(ωt+ϕ)v(t)=vmáx.sen(ωt+ϕ)
15.4
a(t)=amáx.cos(ωt+ϕ)a(t)=amáx.cos(ωt+ϕ)
15.5
xmáx.=Axmáx.=A
15.6
vmáx.=Aωvmáx.=Aω
15.7
amáx.=Aω2.amáx.=Aω2.
15.8

Aquí, A es la amplitud del movimiento, T es el periodo, ϕϕ es el deslizamiento de fase y ω=2πT=2πfω=2πT=2πf es la frecuencia angular del movimiento del bloque.

Ejemplo 15.2

Determinación de las ecuaciones de movimiento de un bloque y un resorte

Se coloca un bloque de 2,00 kg en una superficie sin fricción. Un resorte con una constante de fuerza de k=32,00N/mk=32,00N/m se fija al bloque y el extremo opuesto del resorte se fija a la pared. El resorte se puede comprimir o extender. La posición de equilibrio está marcada como x=0,00m.x=0,00m.

Se trabaja en el bloque, sacándolo para x=+0,02m.x=+0,02m. El bloque se libera del reposo y oscila entre x=+0,02mx=+0,02m y x=-0,02m.x=-0,02m. El periodo del movimiento es de 1,57 s. Determine las ecuaciones de movimiento.

Estrategia

Primero encontramos la frecuencia angular. El deslizamiento de fase es cero, ϕ=0,00rad,ϕ=0,00rad, porque el bloque se libera del reposo en x=A=+0,02m.x=A=+0,02m. Una vez hallada la frecuencia angular, podemos determinar la velocidad y la aceleración máximas.

Solución

La frecuencia angular se puede encontrar y usar para encontrar la velocidad y la aceleración máximas:
ω=2π1,57s=4,00s−1;vmáx.=Aω=0,02m(4,00s−1)=0,08m/s; amáx.=Aω2=0,02m(4,00s−1)2=0,32m/s2.ω=2π1,57s=4,00s−1;vmáx.=Aω=0,02m(4,00s−1)=0,08m/s; amáx.=Aω2=0,02m(4,00s−1)2=0,32m/s2.

Solo queda rellenar las ecuaciones de movimiento:

x(t)=Acos(ωt+ϕ)=(0,02m)cos(4,00s−1t); v(t)=vmáx.sen(ωt+ϕ)=(-0,08m/s)sen(4,00s−1t); a(t)=amáx.cos(ωt+ϕ)=(-0,32m/s2)cos(4,00s−1t).x(t)=Acos(ωt+ϕ)=(0,02m)cos(4,00s−1t); v(t)=vmáx.sen(ωt+ϕ)=(-0,08m/s)sen(4,00s−1t); a(t)=amáx.cos(ωt+ϕ)=(-0,32m/s2)cos(4,00s−1t).

Importancia

La posición, la velocidad y la aceleración se pueden encontrar para cualquier tiempo. Es importante recordar que al usar estas ecuaciones, su calculadora debe estar en modo radianes.

El periodo y la frecuencia de una masa en un resorte

Una característica interesante del SHM de un objeto unido a un resorte es que la frecuencia angular, y por tanto el periodo y la frecuencia del movimiento, dependen únicamente de la masa y la constante de fuerza, y no de otros factores como la amplitud del movimiento. Podemos usar las ecuaciones de movimiento y la segunda ley de Newton (Fneta=ma)(Fneta=ma) para encontrar ecuaciones para la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo.

Considere el bloque sobre un resorte en una superficie sin fricción. Hay tres fuerzas sobre la masa: el peso, la fuerza normal y la fuerza debido al resorte. Las únicas dos fuerzas que actúan perpendicularmente a la superficie son el peso y la fuerza normal, que tienen magnitudes iguales y direcciones opuestas, y por tanto suman cero. La única fuerza que actúa paralela a la superficie es la fuerza debido al resorte, por lo que la fuerza neta debe ser igual a la fuerza del resorte:

Fx=kx; ma=kx; md2xdt2=kx; d2xdt2=kmx.Fx=kx; ma=kx; md2xdt2=kx; d2xdt2=kmx.

Al sustituir las ecuaciones de movimiento para x y a nos da

Aω2cos(ωt+ϕ)=kmAcos(ωt+ϕ).Aω2cos(ωt+ϕ)=kmAcos(ωt+ϕ).

Al anular los términos similares y resolver la frecuencia angular se obtiene

ω=km.ω=km.
15.9

La frecuencia angular solo depende de la constante de fuerza y de la masa, y no de la amplitud. La frecuencia angular se define como ω=2π/T,ω=2π/T, que da una ecuación para el periodo del movimiento:

T=2πmk.T=2πmk.
15.10

El periodo también depende solo de la masa y de la constante de fuerza. Cuanto mayor sea la masa, mayor será el periodo. Cuanto más rígido sea el resorte, más corto será el periodo. La frecuencia es

f=1T=12πkm.f=1T=12πkm.
15.11

Movimiento vertical y resorte horizontal

Cuando se cuelga un resorte en vertical y se coloca un bloque y se pone en movimiento, el bloque oscila en SHM. En este caso, no hay fuerza normal, y el efecto neto de la fuerza de gravedad es cambiar la posición de equilibrio. Considere la Figura 15.9. Sobre el bloque actúan dos fuerzas: el peso y la fuerza del resorte. El peso es constante y la fuerza del resorte cambia al variar su longitud.

Ilustración de un resorte vertical fijado al techo. La dirección positiva y es hacia arriba. En la figura de la izquierda, la figura a, el resorte no tiene masa unida a él. La parte inferior del resorte está a una distancia y sub cero del suelo. En la figura del medio, la figura b, el resorte tiene una masa m unida a él. La parte superior del resorte está al mismo nivel que en la figura a, pero el resorte se ha estirado hacia abajo una distancia delta y, de modo que la parte inferior del resorte está ahora a una distancia y sub 1 igual a y sub cero menos delta y del suelo. A la derecha, figura c, se muestra un diagrama de cuerpo libre de la masa con una fuerza hacia abajo m g y una fuerza hacia arriba F sub s que es igual a k delta y que también es igual a k veces la cantidad y sub cero menos y sub 1.
Figura 15.9 Un resorte está colgado del techo. Cuando se fija un bloque, este se encuentra en la posición de equilibrio en la que el peso del bloque es igual a la fuerza del resorte. (a) El resorte se cuelga del techo y la posición de equilibrio se marca como y o y o . (b) Se fija una masa al resorte y se alcanza una nueva posición de equilibrio ( y 1 = y o Δ y y 1 = y o Δ y ) cuando la fuerza proporcionada por el resorte es igual al peso de la masa. (c) El diagrama de cuerpo-libre de la masa muestra las dos fuerzas que actúan sobre la masa: el peso y la fuerza del resorte.

Cuando el bloque alcanza la posición de equilibrio, como se ve en la Figura 15.9, la fuerza del resorte es igual al peso del bloque, Fneta=Fsmg=0Fneta=Fsmg=0, donde

k(Δy)=mg.k(Δy)=mg.

Según la figura, el cambio de posición es Δy=y0y1Δy=y0y1 y dado que k(Δy)=mgk(Δy)=mg, tenemos

k(y0y1)mg=0.k(y0y1)mg=0.

Si el bloque se desplaza y se suelta, oscilará alrededor de la nueva posición de equilibrio. Como se muestra en la Figura 15.10, si la posición del bloque se registra como una función de tiempo, el registro es una función periódica.

Si el bloque se desplaza a una posición y, la fuerza neta se convierte en Fneta=k(yy0)mg=0Fneta=k(yy0)mg=0. Pero encontramos que en la posición de equilibrio, mg=kΔy=ky0ky1mg=kΔy=ky0ky1. Al sustituir el peso en la ecuación se obtiene

Fneta=kyky0(ky0ky1)=k(yy1).Fneta=kyky0(ky0ky1)=k(yy1).

Recordemos que y1y1 es solo la posición de equilibrio y cualquier posición puede ser el punto y=0,00m.y=0,00m. Así que vamos a establecer y1y1 hasta y=0,00m.y=0,00m. La fuerza neta se convierte entonces en

Fneta=ky; md2ydt2=ky.Fneta=ky; md2ydt2=ky.

Esto es justo lo que encontramos anteriormente para una masa que se desliza horizontalmente sobre un resorte. La fuerza de gravedad constante solo sirvió para desplazar el lugar de equilibrio de la masa. Por lo tanto, la solución debe tener la misma forma que para un bloque sobre un resorte horizontal, y(t)=Acos(ωt+ϕ).y(t)=Acos(ωt+ϕ). Las ecuaciones para la velocidad y la aceleración también tienen la misma forma que para el caso horizontal. Obsérvese que la inclusión del deslizamiento de fase significa que el movimiento se puede modelar usando una función coseno o seno, ya que estas dos funciones solo se diferencian por un desplazamiento de fase.

Se muestra una serie de 10 ilustraciones de una bola unida a un resorte vertical. Las ilustraciones se muestran una al lado de la otra, con la parte superior de los resortes alineados. Las posiciones verticales y = +A, y = 0 y y = –A están etiquetadas a la derecha. Trabajando de izquierda a derecha: en el dibujo de la izquierda, el resorte está comprimido, por lo que la bola está en y = +A y en reposo. En el segundo dibujo, la bola está en y = 0 y se mueve hacia abajo. En el tercer dibujo, el resorte se estira para que la bola esté en y = –A y en reposo. En el cuarto dibujo, la bola está en y = 0 y se mueve hacia arriba. En el quinto dibujo, el resorte se comprime para que la bola esté en y = +A y en reposo. En el sexto dibujo, la bola está en y = 0 y se mueve hacia abajo. En el séptimo dibujo, el resorte se estira para que la bola esté en y = –A y en reposo. En el octavo dibujo, la bola está en y = 0 y se mueve hacia arriba. En el noveno dibujo, el resorte se comprime para que la bola esté en y = +A y en reposo. En el décimo dibujo, la bola está en y = 0 y se mueve hacia abajo. Debajo de estas ilustraciones hay una serie de gráficos alineados verticalmente. El gráfico superior es el de la posición como una función de tiempo. El eje vertical es la posición y, con un rango de –A a +A. El eje horizontal es el tiempo t, etiquetado en incrementos de T. El gráfico tiene valor y = +A en t = 0 y oscila dos ciclos y un cuarto. La distancia horizontal entre los máximos se etiqueta como T y la distancia vertical entre el eje horizontal y el máximo se etiqueta como amplitud A. El gráfico del medio es de la velocidad como una función de tiempo. El eje vertical es la velocidad v, con un rango de menos v sub máx. a v máx. El eje horizontal es el tiempo t, etiquetado en incrementos de T. El gráfico tiene valor v = 0 y pendiente negativa en t = 0, y oscila dos ciclos y un cuarto. El gráfico inferior es el de la aceleración como una función de tiempo. El eje vertical es la aceleración a, con un rango de menos un sub máx. a un máx. El eje horizontal es el tiempo t, etiquetado en incrementos de T. El gráfico tiene un valor a igual menos un sub máx. y a, y oscila dos ciclos y un cuarto. Debajo de los gráficos hay tres ilustraciones de la bola en el resorte. Las posiciones y = +A, y = 0 y y = –A están etiquetadas a la derecha. En el diagrama de la izquierda, una mano sujeta la bola, y la longitud del resorte está etiquetada como la longitud no tensada. Esta posición está por encima de la posición y = +A. En la imagen del medio, la pelota no está siendo sostenida y se encuentra en una posición inferior etiquetada como posición de equilibrio. Esta posición es y = 0. En el diagrama de la derecha, la pelota se muestra en cuatro posiciones diferentes. Estas posiciones son y = +A, justo por encima de y = 0, justo por debajo de y = 0 y en y = –A. El resorte se muestra solo con su parte inferior unida a la bola en la posición y = +A.
Figura 15.10 Gráficos de y(t), v(t) y a (t) versus t para el movimiento de un objeto sobre un resorte vertical. La fuerza neta sobre el objeto puede ser descrita por la ley de Hooke, por lo que el objeto experimenta SHM. Nótese que la posición inicial tiene el desplazamiento vertical en su valor máximo A; v es inicialmente cero y luego negativo a medida que el objeto se desplaza hacia abajo; la aceleración inicial es negativa, hacia la posición de equilibrio y se vuelve cero en ese punto.
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