9.5 Colisiones en varias dimensiones

Es mucho más común que las colisiones se produzcan en dos dimensiones; es decir, el ángulo entre los vectores de la velocidad inicial no es ni cero ni $180\text{°}$. Veamos qué complicaciones surgen de esto.

La primera idea que necesitamos es que el momento es un vector. Como todos los vectores, puede expresarse como una suma de componentes perpendiculares (normalmente, aunque no siempre, un componente x y un componente y, y, si es necesario, un componente z). Así, cuando escribimos el enunciado de la conservación del momento para un problema, nuestros vectores de momento pueden expresarse, y normalmente se expresarán, en forma de componentes.

La segunda idea que necesitamos proviene del hecho de que el momento está relacionado con la fuerza:

Expresando tanto la fuerza como el momento en forma de componentes,

Recuerde que estas ecuaciones son simplemente la segunda ley de Newton, en forma vectorial y en forma de componentes. Sabemos que la segunda ley de Newton se cumple en cada dirección, independientemente de las demás. Por lo tanto, se deduce (a través de la tercera ley de Newton) que la conservación del momento también es cierta en cada dirección de forma independiente.

Estas dos ideas motivan la solución de problemas bidimensionales. Escribimos la expresión de la conservación del momento dos veces: una en la dirección de la xy otra en la dirección de la y.

Este procedimiento se muestra gráficamente en la Figura 9.22.

Figura 9.22 (a) Para los problemas bidimensionales de momento, descomponga los vectores de momento inicial en sus componentes x y y. (b) Sume los componentes x y y por separado. De este modo se obtienen los componentes x y y del momento final, que se muestran como vectores rojos discontinuos. (c) Sumando estos componentes se obtiene el momento final.

Resolvemos cada una de estas dos ecuaciones componentes de forma independiente para obtener los componentes x y y del vector de velocidad deseado:

(Aquí, m representa la masa total del sistema). Finalmente, combine estos componentes mediante el teorema de Pitágoras,

Ejemplo 9.14

Colisión de tráfico

Un auto pequeño de 1.200 kg de masa que viaja hacia el este a 60 km/h colisiona en una intersección con un camión de 3.000 kg de masa que viaja hacia el norte a 40 km/h (Figura 9.23). Los dos vehículos se enganchan. ¿Cuál es la velocidad de los restos combinados del accidente?

Figura 9.23 Un camión grande que circula hacia el norte está a punto de colisionar con un auto pequeño que circula hacia el este. El vector de momento final tiene componentes x y y.

Estrategia

En primer lugar, necesitamos un sistema cerrado. El sistema natural a elegir es el (auto + camión), pero este sistema no es cerrado; la fricción de la carretera actúa sobre ambos vehículos. Evitamos este problema al restringir la pregunta para calcular la velocidad en el instante justo después de la colisión, de modo que la fricción no haya tenido aún ningún efecto sobre el sistema. Con esta restricción, el momento se conserva para este sistema.

Dado que hay dos direcciones involucradas, hacemos la conservación del momento dos veces: una en la dirección de la x y otra en la dirección de la y.

Solución

Antes de la colisión el momento total es

$$\overrightarrow{p}=m_{\text{c}}{\overrightarrow{v}}_{\text{c}}+m_{\text{T}}{\overrightarrow{v}}_{\text{T}}.$$

Después de la colisión, los restos del accidente tienen momento

$$\overrightarrow{p}=\left(m_{\text{c}}+m_{\text{T}}\right){\overrightarrow{v}}_w.$$

En vista de que el sistema es cerrado, el momento debe conservarse, por lo que tenemos

$$m_{\text{c}}{\overrightarrow{v}}_c+m_{\text{T}}{\overrightarrow{v}}_{\text{T}}=\left(m_{\text{c}}+m_{\text{T}}\right){\overrightarrow{v}}_w.$$

Hay que tener cuidado; los dos momentos iniciales no son paralelos. Hay que sumar vectorialmente (Figura 9.24).

Figura 9.24 Suma gráfica de vectores de momento. Observe que, aunque la velocidad del auto es mayor que la del camión, su momento es menor.

Si definimos que la dirección de la x + apunta hacia el este y la dirección de la +y apunta hacia el norte, como en la figura, entonces (convenientemente),

$$\begin{array}{ccc}\hfill {\overrightarrow{p}}_{\text{c}}& =\hfill & p_{\text{c}}\widehat{i}=m_{\text{c}}{v}_{\text{c}}\widehat{i}\hfill \\ \hfill {\overrightarrow{p}}_{\text{T}}& =\hfill & p_{\text{T}}\widehat{j}=m_{\text{T}}{v}_{\text{T}}\widehat{j}.\hfill \end{array}$$

Por lo tanto, en la dirección de la x:

$$\begin{array}{ccc}\hfill m_{\text{c}}{v}_{\text{c}}& =\hfill & \left(m_{\text{c}}+m_{\text{T}}\right)v_{\text{w},x}\hfill \\ \hfill v_{\text{w},x}& =\hfill & \left(\frac{m_{\text{c}}}{m_{\text{c}}+m_{\text{T}}}\right)v_{\text{c}}\hfill \end{array}$$

y en la dirección de la y:

$$\begin{array}{ccc}\hfill m_{\text{T}}{v}_{\text{T}}& =\hfill & \left(m_{\text{c}}+m_{\text{T}}\right)v_{\text{w},y}\hfill \\ \hfill v_{\text{w},y}& =\hfill & \left(\frac{m_{\text{T}}}{m_{\text{c}}+m_{\text{T}}}\right)v_{\text{T}}.\hfill \end{array}$$

Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene

$$\begin{array}{cc}\hfill \left|{\overrightarrow{v}}_w\right|& =\sqrt{{\left[\left(\frac{m_{\text{c}}}{m_{\text{c}}+m_t}\right)v_{\text{c}}\right]}^2+{\left[\left(\frac{m_t}{m_{\text{c}}+m_t}\right)v_t\right]}^2}\hfill \\ & =\sqrt{{\left[\left(\frac{1.200\text{kg}}{4.200\text{kg}}\right)\left(\mathrm{16,67}\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)\right]}^2+{\left[\left(\frac{3.000\text{kg}}{4.200\text{kg}}\right)\left(\mathrm{11,1}\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)\right]}^2}\hfill \\ & =\sqrt{{\left(\mathrm{4,76}\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2+{\left(\mathrm{7,93}\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}\hfill \\ & =\mathrm{9,25}\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx \mathrm{33,3}\frac{\text{km}}{\text{h}}.\hfill \end{array}$$

En cuanto a su dirección, al utilizar el ángulo que se muestra en la figura,

$$\theta ={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{v_{\text{w},x}}{v_{\text{w},y}}\right)={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\mathrm{7,93}\text{m/s}}{\mathrm{4,76}\text{m/s}}\right)=59\text{°}.$$

Este ángulo está al este del norte, o $31\text{°}$ en el sentido contrario de las agujas del reloj desde la dirección de la x +.

Importancia

En la práctica, los investigadores de accidentes suelen trabajar en la "dirección opuesta": miden la distancia de las marcas de derrape en la carretera (lo que da la distancia de frenado) y utilizan el teorema de trabajo-energía junto con la conservación del momento para determinar la rapidez y dirección de los autos antes de la colisión. Hemos visto ese análisis en una sección anterior.

Ejemplo 9.15

Explosión de tanque de buceo

Un tanque de buceo común es un cilindro de aluminio que pesa 31,7 libras vacío (Figura 9.25). Cuando está lleno de aire comprimido, la presión interna está entre 2.500 y 3.000 libras por pulgada cuadrada (pounds per square inch, psi). Supongamos que un tanque de este tipo, que ha estado inmóvil, estalla de repente en tres pedazos. El primer pedazo, que pesa 10 libras, sale disparado horizontalmente a 235 millas por hora; el segundo pedazo (7 libras) sale disparado a 172 millas por hora, también en el plano horizontal, pero a un ángulo de $19\text{°}$ con respecto al primer pedazo. ¿Cuál es la masa y la velocidad inicial del tercer pedazo? (Haga todo el trabajo y exprese su respuesta final en unidades del SI).

Figura 9.25 Un tanque de buceo estalla en tres pedazos.

Estrategia

Para utilizar la conservación del momento, necesitamos un sistema cerrado. Si definimos el sistema como el tanque de buceo, este no es un sistema cerrado, ya que la gravedad es una fuerza externa. Sin embargo, el problema pide solo la velocidad inicial del tercer pedazo, por lo que podemos descartar el efecto de la gravedad y considerar el tanque por sí mismo como un sistema cerrado. Observe que, para este sistema, el vector de momento inicial es cero.

Elegimos un sistema de coordenadas en el que todo el movimiento se produce en el plano xy. Luego, escribimos las ecuaciones de conservación del momento en cada dirección, para obtener los componentes x y y del momento del tercer pedazo, de los que obtenemos su magnitud (mediante el teorema de Pitágoras) y su dirección. Finalmente, al dividir este momento entre la masa del tercer pedazo, obtenemos la velocidad.

Solución

En primer lugar, salgamos de todas las conversiones a unidades del SI:

$$\begin{array}{}\\ \\ \mathrm{31,7}\text{lb}\times \frac{1\text{kg}}{\mathrm{2,2}\text{lb}}\to \mathrm{14,4}\text{kg}\hfill \\ 10\text{lb}\to \mathrm{4,5}\text{kg}\hfill \\ 235\frac{\text{millas}}{\text{hora}}\times \frac{1\text{hora}}{3.600\text{s}}\times \frac{1.609\text{m}}{\text{milla}}=105\frac{\text{m}}{\text{s}}\hfill \\ 7\text{lb}\to \mathrm{3,2}\text{kg}\hfill \\ 172\frac{\text{milla}}{\text{hora}}=77\frac{\text{m}}{\text{s}}\hfill \\ m_3=\mathrm{14,4}\text{kg}-\left(\mathrm{4,5}\text{kg}+\mathrm{3,2}\text{kg}\right)=\mathrm{6,7}\text{kg.}\hfill \end{array}$$

Ahora aplicamos la conservación del momento en cada dirección.

dirección de la x:

$$\begin{array}{ccc}\hfill p_{\text{f,}x}& =\hfill & p_{\text{0,}x}\hfill \\ \hfill p_{\text{1,}x}+p_{\text{2,}x}+p_{\text{3,}x}& =\hfill & 0\hfill \\ \hfill m_1{v}_{\text{1,}x}+m_2{v}_{\text{2,}x}+p_{\text{3,}x}& =\hfill & 0\hfill \\ \hfill p_{\text{3,}x}& =\hfill & \text{-}{m}_1{v}_{\text{1,}x}-m_2{v}_{\text{2,}x}\hfill \end{array}$$

dirección de la y:

$$\begin{array}{ccc}\hfill p_{\text{f,}y}& =\hfill & p_{\text{0,}y}\hfill \\ \hfill p_{\text{1,}y}+p_{\text{2,}y}+p_{\text{3,}y}& =\hfill & 0\hfill \\ \hfill m_1{v}_{\text{1,}y}+m_2{v}_{\text{2,}y}+p_{\text{3,}y}& =\hfill & 0\hfill \\ \hfill p_{\text{3,}y}& =\hfill & \text{-}{m}_1{v}_{\text{1,}y}-m_2{v}_{\text{2,}y}\hfill \end{array}$$

A partir de nuestro sistema elegido de coordenadas, escribimos los componentes x como

$$\begin{array}{cc}\hfill p_{3,x}& =\text{-}{m}_1{v}_1-m_2{v}_2\text{cos}\theta \hfill \\ & =\text{-}\left(\mathrm{4,5}\text{kg}\right)\left(105\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)-\left(\mathrm{3,2}\text{kg}\right)\left(77\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)\text{cos}\left(19\text{°}\right)\hfill \\ & =\mathrm{-705}\frac{\text{kg}·\text{m}}{\text{s}}.\hfill \end{array}$$

Para la dirección de la y, tenemos

$$\begin{array}{cc}\hfill p_{3y}& =0-m_2{v}_2\text{sen}\theta \hfill \\ & =\text{-}\left(\mathrm{3,2}\text{kg}\right)\left(77\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)\text{sen}\left(19\text{°}\right)\hfill \\ & =\mathrm{-80,2}\frac{\text{kg}·\text{m}}{\text{s}}.\hfill \end{array}$$

Esto da la magnitud de $p_3$:

$$\begin{array}{cc}\hfill p_3& =\sqrt{p_{\text{3,}x}^2+p_{\text{3,}y}^2}\hfill \\ & =\sqrt{{\left(\mathrm{-705}\frac{\text{kg}·\text{m}}{\text{s}}\right)}^2+\left(\mathrm{-80,2}\frac{\text{kg}·\text{m}}{\text{s}}\right)}\hfill \\ & =710\frac{\text{kg}·\text{m}}{\text{s}}.\hfill \end{array}$$

Por lo tanto, la velocidad del tercer pedazo es

$$v_3=\frac{p_3}{m_3}=\frac{710\frac{\text{kg}·\text{m}}{\text{s}}}{\mathrm{6,7}\text{kg}}=106\frac{\text{m}}{\text{s}}.$$

La dirección de su vector de velocidad es la misma que la de su vector de momento:

$$\varphi ={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{p_{\text{3,}y}}{p_{\text{3,}x}}\right)={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\mathrm{80,2}\frac{\text{kg}·\text{m}}{\text{s}}}{705\frac{\text{kg}·\text{m}}{\text{s}}}\right)=\mathrm{6,49}\text{°}.$$

Dado que $\varphi$ está por debajo del eje de la $\text{-}x$, el ángulo real es $\mathrm{183,5}\text{°}$ desde la dirección de la x +.

Importancia

Las enormes velocidades aquí son típicas; la explosión de un tanque de cualquier gas comprimido puede atravesar fácilmente la pared de una casa y causar lesiones importantes o la muerte. Afortunadamente, este tipo de explosiones son extremadamente raras, en términos porcentuales.