William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Explicar el significado y la utilidad del concepto de centro de masa.
Calcular el centro de masa de un sistema dado.
Aplicar el concepto de centro de masa en dos y tres dimensiones.
Calcular la velocidad y la aceleración del centro de masa.

Hasta ahora hemos eludido un asunto importante: cuando decimos que un objeto se mueve (más correctamente, se acelera) de una manera que obedece a la segunda ley de Newton, hemos pasado por alto el hecho de que todos los objetos están hechos realmente de muchas partículas constituyentes. Un auto tiene un motor, un volante, asientos, pasajeros; un balón de fútbol es cuero y goma con aire adentro; un ladrillo está hecho de átomos. Hay muchos tipos diferentes de partículas y, por lo general, no están distribuidas uniformemente en el objeto. ¿Cómo incluimos estos hechos en nuestros cálculos?

Además, un objeto extendido puede cambiar de forma mientras se mueve, como un globo de agua o un gato que cae (Figura 9.26). Esto implica que las partículas constituyentes aplican fuerzas internas entre sí, además de la fuerza externa que actúa en el objeto como un todo. Queremos ser capaces de manejar esto también.

Fotografía de exposición múltiple de un gato cayendo. En la primera imagen, el gato está sujeto por sus patas, boca abajo. Se suelta de esta posición y cae, pero va rotando a medida que gira, de manera que en las últimas imágenes, está del lado correcto hacia arriba.

Figura 9.26 Mientras el gato cae, su cuerpo realiza complicados movimientos para poder caer de pie, pero un punto del sistema se mueve con la simple aceleración uniforme de la gravedad.

El problema que tenemos ante nosotros, por tanto, es determinar qué parte de un objeto extendido obedece a la segunda ley de Newton cuando se aplica una fuerza externa y determinar cómo el movimiento del objeto en su conjunto se ve afectado por las fuerzas internas y externas.

Está advertido: Para tratar correctamente esta nueva situación, debemos ser rigurosos y completamente generales. No haremos ninguna suposición sobre la naturaleza del objeto, ni de las partículas que lo componen, ni de las fuerzas internas o externas. Por lo tanto, los argumentos serán complejos.

Fuerzas internas y externas

Supongamos que tenemos un objeto extendido de masa M, formado por N partículas que interactúan. Vamos a marcar sus masas como $m_{j}$ , donde $j = 1, 2, 3, …, N$ . Observe que

M = \sum_{j = 1}^{N} m_{j} .

9.19

Si aplicamos alguna fuerza externa neta ${\vec{F}}_{ext}$ sobre el objeto, cada partícula experimenta alguna "parte" o alguna fracción de esa fuerza externa. Supongamos que:

{\vec{f}}_{j}^{ext} = la fracción de la fuerza externa que determinada partícula j experimenta.

Observe que estas fracciones de la fuerza total no son necesariamente iguales; de hecho, prácticamente nunca lo son. (Pueden serlo, pero normalmente no lo son). Por lo tanto, en general,

{\vec{f}}_{1}^{ext} \neq {\vec{f}}_{2}^{ext} \neq \dots \neq {\vec{f}}_{N}^{ext} .

Luego, suponemos que cada una de las partículas que componen nuestro objeto puede interactuar (aplicar fuerzas sobre) todas las demás partículas del objeto. No trataremos de adivinar qué tipo de fuerzas son. Sin embargo, en vista de que estas fuerzas son el resultado de partículas del objeto que actúan sobre otras partículas del mismo objeto, nos referimos a ellas como fuerzas internas ${\vec{f}}_{j}^{int}$ ; así:

${\vec{f}}_{j}^{int} =$ la fuerza interna neta que determinada partícula j experimenta de todas las demás partículas que componen el objeto.

Ahora, la fuerza neta, interna más externa, sobre la partícula j determinada es la suma vectorial de estas:

{\vec{f}}_{j} = {\vec{f}}_{j}^{int} + {\vec{f}}_{j}^{ext} .

9.20

donde de nuevo, esto es para todas las N partículas; $j = 1, 2, 3, \dots, N$ .

Como resultado de esta fuerza fraccional, el momento de cada partícula cambia:

\begin{matrix} {\vec{f}}_{j} & = & \frac{d {\vec{p}}_{j}}{d t} \\ {\vec{f}}_{j}^{int} + {\vec{f}}_{j}^{ext} & = & \frac{d {\vec{p}}_{j}}{d t} . \end{matrix}

9.21

La fuerza neta $\vec{F}$ sobre el objeto es la suma vectorial de estas fuerzas:

\begin{matrix} {\vec{F}}_{neta} & = \sum_{j = 1}^{N} ({\vec{f}}_{j}^{i n t} + {\vec{f}}_{j}^{e x t}) \\ = \sum_{j = 1}^{N} {\vec{f}}_{j}^{i n t} + \sum_{j = 1}^{N} {\vec{f}}_{j}^{e x t} . \end{matrix}

9.22

Esta fuerza neta cambia el momento del objeto como un todo, y el cambio neto del momento del objeto deberá ser la suma vectorial todos y cada uno de los cambios del momento de todas las partículas:

{\vec{F}}_{neta} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d {\vec{p}}_{j}}{d t} .

9.23

Combinando la Ecuación 9.22 y la Ecuación 9.23 da

\sum_{j = 1}^{N} {\vec{f}}_{j}^{int} + \sum_{j = 1}^{N} {\vec{f}}_{j}^{ext} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d {\vec{p}}_{j}}{d t} .

9.24

Pensemos ahora en estas sumatorias. En primer lugar, considere el término de fuerzas internas; recuerde que cada ${\vec{f}}_{j}^{int}$ es la fuerza que ejercen las demás partículas del objeto sobre la partícula j determinada. Sin embargo, según la tercera ley de Newton, por cada una de estas fuerzas deberá haber otra que tenga la misma magnitud, pero de signo contrario (que apunte en la dirección opuesta). Estas fuerzas no se cancelan; sin embargo, no es eso lo que estamos haciendo en la sumatoria. Más bien, simplemente estamos sumando matemáticamente todos los vectores de fuerza internos. Es decir, en general, las fuerzas internas para cualquier parte individual del objeto no se cancelarán, pero cuando se suman todas las fuerzas internas, estas deben cancelarse por pares. Se deduce, por lo tanto, que la suma de todas las fuerzas internas deberá ser cero:

\sum_{j = 1}^{N} {\vec{f}}_{j}^{int} = 0 .

(Este argumento es sutil, pero crucial; tómese el tiempo suficiente para entenderlo completamente).

En relación con las fuerzas externas, esta suma es simplemente la fuerza externa total que se aplicó a todo el objeto:

\sum_{j = 1}^{N} {\vec{f}}_{j}^{ext} = {\vec{F}}_{ext} .

Como resultado,

{\vec{F}}_{ext} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d {\vec{p}}_{j}}{d t} .

9.25

Este es un resultado importante. La Ecuación 9.25 nos dice que el cambio total del momento de todo el objeto (todas las N partículas) se debe solo a las fuerzas externas; las fuerzas internas no cambian el momento del objeto en su conjunto. Por eso no puede levantarse a sí mismo por los aires al pararse en una cesta y halar las asas. Para el sistema de usted + cesta, su fuerza de tracción hacia arriba es una fuerza interna.

Fuerza y momento

Recuerde que nuestro objetivo real es determinar la ecuación de movimiento para todo el objeto (todo el sistema de partículas). Para ello, definamos:

${\vec{p}}_{CM} =$ el momento total del sistema de N partículas (la razón del subíndice quedará clara en breve)

Entonces tenemos

{\vec{p}}_{CM} \equiv \sum_{j = 1}^{N} {\vec{p}}_{j},

y, por lo tanto, la Ecuación 9.25 puede escribirse simplemente como

\vec{F} = \frac{d {\vec{p}}_{CM}}{d t} .

9.26

Dado que este cambio de momento lo causa únicamente la fuerza externa neta, hemos suprimido el subíndice "ext".

Esta es la segunda ley de Newton, pero ahora para todo el objeto extendido. Si esto le parece un poco anticlimático, recuerde lo que se esconde en su interior: ${\vec{p}}_{CM}$ es la suma vectorial del momento de (en principio) cientos de miles de miles de millones de partículas $(6,02 \times 10^{23})$ , todo ello causado por una simple fuerza externa neta, que se puede calcular.

Centro de masa

Nuestra siguiente tarea es determinar qué parte del objeto extendido, si es que hay alguna, obedece a la Ecuación 9.26.

Es tentador dar el siguiente paso; ¿significa algo la siguiente ecuación?

\vec{F} = M \vec{a}

9.27

Si significa algo (¿aceleración de qué, exactamente?), entonces podríamos escribir

M \vec{a} = \frac{d {\vec{p}}_{CM}}{d t}

y, por lo tanto,

M \vec{a} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d {\vec{p}}_{j}}{d t} = \frac{d}{d t} \sum_{j = 1}^{N} {\vec{p}}_{j} .

lo que se deduce porque la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.

Ahora, ${\vec{p}}_{j}$ es el momento de la partícula j determinada. Definiendo las posiciones de las partículas constituyentes (en relación con algún sistema de coordenadas) como ${\vec{r}}_{j} = (x_{j}, y_{j}, z_{j})$ , así, tenemos

{\vec{p}}_{j} = m_{j} {\vec{v}}_{j} = m_{j} \frac{d {\vec{r}}_{j}}{d t} .

Sustituyendo de nuevo, obtenemos

\begin{matrix} M \vec{a} & = \frac{d}{d t} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \frac{d {\vec{r}}_{j}}{d t} \\ = \frac{d^{2}}{d t^{2}} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{r}}_{j} . \end{matrix}

Dividiendo ambos lados por M (la masa total del objeto extendido) nos da

\vec{a} = \frac{d^{2}}{d t^{2}} (\frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{r}}_{j}) .

9.28

Así, el punto del objeto que traza la trayectoria dictada por la fuerza aplicada en la Ecuación 9.27 está dentro del paréntesis en la Ecuación 9.28.

Si observamos este cálculo, veremos que (dentro del paréntesis) estamos calculando el producto de la masa de cada partícula por su posición, sumando todas las N y dividiendo esta suma entre la masa total de partículas que hemos sumado. Esto recuerda una media; si nos inspiramos en ella, la interpretaremos (vagamente) como la posición media ponderada de la masa del objeto extendido. En realidad, recibe el nombre de centro de masa del objeto. Observe que la posición del centro de masa tiene unidades de metros; eso apunta a una definición:

{\vec{r}}_{CM} \equiv \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{r}}_{j} .

9.29

Así, el punto que obedece a la Ecuación 9.26 (y por tanto también a la Ecuación 9.27) es el centro de masa del objeto, que se encuentra en el vector de posición ${\vec{r}}_{CM}$ .

Quizás le sorprenda saber que no es necesario que haya una masa real en el centro de masa de un objeto. Por ejemplo, una esfera de acero hueca con un vacío en su interior es esféricamente simétrica (lo que significa que su masa se distribuye uniformemente alrededor del centro de la esfera); toda la masa de la esfera está fuera en su superficie, sin masa en su interior. No obstante, se puede demostrar que el centro de masa de la esfera está en su centro geométrico, lo que parece razonable. Así, no hay masa en la posición del centro de masa de la esfera. (Otro ejemplo es una dona). El procedimiento para encontrar el centro de masa se ilustra en la Figura 9.27.

Una ilustración para encontrar el centro de masa de tres partículas. La Figura a muestra la ubicación de las tres partículas en el plano x y. m 1 está en el segundo cuadrante. El vector r 1 comienza en el origen y se extiende hasta la ubicación de m 1. m 2 está en el primer cuadrante. El vector r 2 comienza en el origen y se extiende hasta la ubicación de m 2. m 1 está en el cuarto cuadrante. El vector r 3 comienza en el origen y se extiende hasta la ubicación de m 3. El vector r 1 es el más corto de los vectores del diagrama, y r 2 es el más largo. La Figura b muestra los vectores m 1 r 1, m 2 r 2 y m 3 r 3. El vector m 1 r 1 apunta en la misma dirección que el vector r 1 de la figura a, pero es más largo que r 1. El vector m 2 r 2 apunta en la misma dirección que el vector r 1 de la figura a, pero es más corto que r 2. El vector m 3 r 3 apunta en la misma dirección que el vector r 3 de la figura a, pero es más corto que r 3. El vector m 1 r 1 es el más largo del diagrama. Los vectores m 2 r 2 y m 3 r 3 parecen tener la misma longitud. La Figura c muestra la suma vectorial de m 1 r 1, m2 r 2 y m 3 r 3, que se han dibujado en azul y se han colocado cabeza con cola. El vector rojo m 1 r 1 más m 2 r 2 más m 3 r 3 es el vector que va de la cola de m 1 r 1 a la cabeza de m 3 r 3. La Figura d muestra el vector rojo m 1 r 1 más m 2 r 2 más m 3 r 3 todo dividido por la suma m 1 más m 2 más m 3. Este vector está en la misma dirección que el vector m 1 r 1 más m 2 r 2 más m 3 r 3 de la figura c, pero más corto.

Figura 9.27 Hallar el centro de masa de un sistema de tres partículas diferentes. (a) Se crean vectores de posición para cada objeto. (b) Los vectores de posición se multiplican por la masa del objeto correspondiente. (c) Se suman los vectores escalados de la parte (b). (d) El vector final se divide entre la masa total. Este vector apunta al centro de masa del sistema. Observe que, en el centro de masa de este sistema, no hay ninguna masa.

Dado que ${\vec{r}}_{j} = x_{j} \hat{i} + y_{j} \hat{j} + z_{j} \hat{k}$ , se deduce que:

r_{CM, x} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} x_{j}

9.30

r_{CM, y} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} y_{j}

9.31

r_{CM, z} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} z_{j}

9.32

y, por lo tanto,

\begin{matrix} {\vec{r}}_{CM} = r_{CM, x} \hat{i} + r_{CM, y} \hat{j} + r_{CM, z} \hat{k} \\ r_{CM} = | {\vec{r}}_{CM} | = {(r_{CM, x}^{2} + r_{CM, y}^{2} + r_{CM, z}^{2})}^{1 / 2} . \end{matrix}

Por lo tanto, puede calcular los componentes del vector del centro de masa individualmente.

Por último, para completar la cinemática, la velocidad instantánea del centro de masa se calcula exactamente como se pueda presumir:

{\vec{v}}_{CM} = \frac{d}{d t} (\frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{r}}_{j}) = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{v}}_{j}

9.33

y este, al igual que la posición, tiene componentes x, y y z.

Para calcular el centro de masa en situaciones reales, recomendamos el siguiente procedimiento:

Estrategia de Resolución De Problemas

Calcular del centro de masa

El centro de masa de un objeto es un vector de posición. Así, para calcularlo, siga estos pasos:

Defina su sistema de coordenadas. Normalmente, el origen se sitúa en la ubicación de una de las partículas. Sin embargo, esto no es necesario.
Determine las coordenadas de la x, la y, la z de cada partícula que compone el objeto.
Determine la masa de cada partícula y súmela para obtener la masa total del objeto. Observe que la masa del objeto en el origen deberá incluirse en la masa total.
Calcule los componentes x, y, y z del vector de centro de masa, utilizando la Ecuación 9.30, la Ecuación 9.31, y la Ecuación 9.32.
Si es necesario, utilice el teorema de Pitágoras para determinar su magnitud.

Aquí hay dos ejemplos que le darán una idea de lo que es el centro de masa.

Ejemplo 9.16

Centro de masa del sistema Tierra-Luna

Utilizando los datos del anexo del texto, determine a qué distancia está el centro de masa del sistema Tierra-Luna del centro de la Tierra. Compare esta distancia con el radio de la Tierra y comenta el resultado. Ignore los demás objetos del sistema solar.

Estrategia

Obtenemos las masas y la distancia de separación de la Tierra y la Luna, imponemos un sistema de coordenadas y utilizamos la Ecuación 9.29 con solo

N = 2

objetos. Utilizamos un subíndice "e" para referirnos a la Tierra, y un subíndice "m" para referirnos a la Luna.

Solución

Defina el origen del sistema de coordenadas como el centro de la Tierra. Luego, con solo dos objetos, la Ecuación 9.29 se convierte en

R = \frac{m_{e} r_{e} + m_{m} r_{m}}{m_{e} + m_{m}} .

A partir del Apéndice D,

m_{e} = 5,97 \times 10^{24} kg

m_{m} = 7,36 \times 10^{22} kg

r_{m} = 3,82 \times 10^{8} m .

Definimos el centro de la Tierra como el origen, por lo que $r_{e} = 0 m$ . Insertando esto en la ecuación de R se obtiene

\begin{matrix} R & = \frac{(5,97 \times 10^{24} kg) (0 m) + (7,36 \times 10^{22} kg) (3,82 \times 10^{8} m)}{5,97 \times 10^{24} kg + 7,36 \times 10^{22} kg} \\ = 4,64 \times 10^{6} m. \end{matrix}

Importancia

El radio de la Tierra es

6,37 \times 10^{6} m

, por lo que el centro de masa del sistema Tierra-Luna es (6,37 - 4,64)

\times 10^{6} m = 1,73 \times 10^{6} m = 1.730 km

(aproximadamente 1080 millas) por debajo de la superficie de la Tierra. Se muestra la ubicación del centro de masa (no a escala). La Tierra se dibuja introducida en el origen de un sistema de coordenadas x y. La Luna se encuentra a la derecha de la tierra en el eje de la x. R c m es un vector horizontal desde el origen que apunta hacia la derecha, menor que el radio de la Tierra.

La Tierra se dibuja introducida en el origen de un sistema de coordenadas x y. La Luna se encuentra a la derecha de la tierra en el eje de la x. R c m es un vector horizontal desde el origen que apunta hacia la derecha, menor que el radio de la Tierra.

Compruebe Lo Aprendido 9.11

Supongamos que incluimos el sol en el sistema. ¿Dónde se situaría aproximadamente el centro de masa del sistema Tierra-Luna-Sol? (Siéntase libre de calcularlo realmente).

Ejemplo 9.17

Centro de masa de un cristal de sal

La Figura 9.28 muestra un solo cristal de cloruro de sodio (sal de mesa común). Los iones sodio y cloruro forman una sola unidad, NaCl. Cuando varias unidades de NaCl se agrupan, forman una red cúbica. El cubo más pequeño posible (llamado celda unitaria) está formado por cuatro iones de sodio y cuatro de cloruro, alternados. La longitud de una arista de este cubo (es decir, la longitud de enlace) es

2,36 \times 10^{−10} m

. Halle la ubicación del centro de masa de la celda unitaria. Especifíquelo por sus coordenadas

(r_{CM, x}, r_{CM, y}, r_{CM, z})

, o por

r_{CM}

y dos ángulos.

La estructura cristalina del cloruro de sodio es una red cuadrada, en cuyas intersecciones se alternan iones de sodio (representados como esferas verdes más grandes) y de cloro (representados como esferas rojas más pequeñas). Una celda unitaria se identifica como uno de los cubos que componen la red.

Figura 9.28 Dibujo de un cristal de cloruro de sodio (NaCl).

Estrategia

Podemos buscar todas las masas de iones. Si imponemos un sistema de coordenadas a la celda unitaria, esto nos dará las posiciones de los iones. Podemos entonces aplicar la Ecuación 9.30, la Ecuación 9.31 y la Ecuación 9.32 (junto con el teorema de Pitágoras).

Solución

Defina el origen en la ubicación del ion de cloruro en la parte inferior izquierda de la celda unitaria. La Figura 9.29 muestra el sistema de coordenadas.

Ilustración de una celda unitaria de un cristal de N a C l como un cubo con iones en cada esquina. Se muestran cuatro iones verdes, etiquetados como m 1 en el origen, m 3 en la esquina de la diagonal en el plano x y, m 6 en la esquina de la diagonal en el plano x z, y m 8 en la esquina de la diagonal en el plano y z. Se muestran cuatro iones rojos, etiquetados como m 2 en el eje de la x, m 4 en el eje de la y, m 5 en el eje de la z y m 7 en la esquina restante.

Figura 9.29 Una sola celda unitaria de un cristal de NaCl.

Hay ocho iones en este cristal, por lo que N = 8:

{\vec{r}}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{8} m_{j} {\vec{r}}_{j} .

La masa de cada uno de los iones de cloruro es

35,453 u \times \frac{1,660 \times 10^{−27} kg}{u} = 5,885 \times 10^{−26} kg

por lo que tenemos

m_{1} = m_{3} = m_{6} = m_{8} = 5,885 \times 10^{−26} kg .

Para los iones de sodio,

m_{2} = m_{4} = m_{5} = m_{7} = 3,816 \times 10^{−26} kg .

Por lo tanto, la masa total de la celda unitaria es

M = (4) (5,885 \times 10^{−26} kg) + (4) (3,816 \times 10^{−26} kg) = 3,880 \times 10^{−25} kg .

A partir de la geometría, las ubicaciones son

\begin{matrix} {\vec{r}}_{1} = 0 \\ {\vec{r}}_{2} = (2,36 \times 10^{−10} m) \hat{i} \\ {\vec{r}}_{3} = r_{3 x} \hat{i} + r_{3 y} \hat{j} = (2,36 \times 10^{−10} m) \hat{i} + (2,36 \times 10^{−10} m) \hat{j} \\ {\vec{r}}_{4} = (2,36 \times 10^{−10} m) \hat{j} \\ {\vec{r}}_{5} = (2,36 \times 10^{−10} m) \vec{k} \\ {\vec{r}}_{6} = r_{6 x} \hat{i} + r_{6 z} \hat{k} = (2,36 \times 10^{−10} m) \hat{i} + (2,36 \times 10^{−10} m) \hat{k} \\ {\vec{r}}_{7} = r_{7 x} \hat{i} + r_{7 y} \hat{j} + r_{7 z} \hat{k} = (2,36 \times 10^{−10} m) \hat{i} + (2,36 \times 10^{−10} m) \hat{j} + (2,36 \times 10^{−10} m) \hat{k} \\ {\vec{r}}_{8} = r_{8 y} \hat{j} + r_{8 z} \hat{k} = (2,36 \times 10^{−10} m) \hat{j} + (2,36 \times 10^{−10} m) \hat{k} . \end{matrix}

Sustituyendo:

\begin{matrix} | {\vec{r}}_{CM, x} | & = \sqrt{r_{CM, x}^{2} + r_{CM, y}^{2} + r_{CM, z}^{2}} \\ = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{8} m_{j} {(r_{x})}_{j} \\ = \frac{1}{M} (m_{1} r_{1 x} + m_{2} r_{2 x} + m_{3} r_{3 x} + m_{4} r_{4 x} + m_{5} r_{5 x} + m_{6} r_{6 x} + m_{7} r_{7 x} + m_{8} r_{8 x}) \\ = \frac{1}{3,8804 \times 10^{−25} kg} [(5,885 \times 10^{−26} kg) (0 m) + (3,816 \times 10^{−26} kg) (2,36 \times 10^{−10} m) \\ + (5,885 \times 10^{−26} kg) (2,36 \times 10^{−10} m) \\ + (3,816 \times 10^{−26} kg) (2,36 \times 10^{−10} m) + 0 + 0 \\ + (3,816 \times 10^{−26} kg) (2,36 \times 10^{−10} m) + 0] \\ = 1,18 \times 10^{−10} m. \end{matrix}

Cálculos semejantes dan como resultado $r_{CM, y} = r_{CM, z} = 1,18 \times 10^{−10} m$ (se podría argumentar que esto debe ser cierto, por simetría, aunque es una buena idea comprobarlo).

Importancia

Si bien se trata de un buen ejercicio para determinar el centro de masa dado un ion de cloruro en el origen, en realidad el origen podría elegirse en cualquier ubicación. Por lo tanto, no hay ninguna aplicación significativa del centro de masa de una celda unitaria más allá de un ejercicio.

Compruebe Lo Aprendido 9.12

Suponga que tiene un cristal de sal macroscópico (es decir, un cristal lo suficientemente grande como para ser visible a simple vista). Está formado por un gran número de celdas unitarias. ¿Está el centro de masa de este cristal necesariamente en el centro geométrico del mismo?

De estos ejemplos se desprenden dos conceptos cruciales:

Como en todos los problemas, deberá definir el sistema de coordenadas y el origen. En relación con los cálculos del centro de masa, a menudo tiene sentido elegir que el origen esté situado en una de las masas del sistema. Esa elección define automáticamente que su distancia en la Ecuación 9.29 sea cero. Sin embargo, deberá incluir la masa del objeto en su origen en su cálculo de M, la masa total en la Ecuación 9.19. En el ejemplo del sistema Tierra-Luna, esto significa incluir la masa de la Tierra. Si no lo hubiera hecho, habría acabado con el centro de masa del sistema en el centro de la Luna, lo cual es claramente erróneo.
En el segundo ejemplo (el cristal de sal), observe que no hay masa alguna en el lugar del centro de masa. Este es un ejemplo de lo que dijimos anteriormente, que no tiene que haber ninguna masa real en el centro de masa de un objeto.

Centro de masa de objetos continuos

Si el objeto en cuestión tiene su masa distribuida uniformemente en el espacio, y no como una colección de partículas separadas, entonces $m_{j} \to d m$ , y la sumatoria se convierte en una integral:

{\vec{r}}_{CM} = \frac{1}{M} \int \vec{r} d m .

9.34

En este contexto, r es una dimensión característica del objeto (el radio de una esfera, la longitud de una varilla larga). Para generar un integrando que pueda calcularse realmente, es necesario expresar el elemento de masa diferencial dm como una función de la densidad de masa del objeto continuo, y la dimensión r. Un ejemplo lo aclarará.

Ejemplo 9.18

CM de un aro delgado uniforme

Encuentre el centro de masa de un aro (o anillo) delgado uniforme de masa M y radio r.

Estrategia

En primer lugar, la simetría del aro sugiere que el centro de masa debería estar en su centro geométrico. Si definimos nuestro sistema de coordenadas de forma que el origen se encuentre en el centro del aro, la integral debería evaluarse a cero.

Sustituimos dm por una expresión que implica la densidad del aro y el radio del mismo. Entonces tenemos una expresión que podemos integrar realmente. Como el aro se describe como "delgado", lo tratamos como un objeto unidimensional, ignorando el grosor del aro. Por lo tanto, su densidad se expresa como el número de kilogramos de material por metro. Dicha densidad se denomina densidad lineal de masa y recibe el símbolo $λ$ ; esta es la letra griega "lambda", que equivale a la letra inglesa "l" (de "lineal").

Dado que el aro se describe como uniforme, esto significa que la densidad lineal de masa $λ$ es constante. Así, para obtener nuestra expresión para el elemento de masa diferencial dm, multiplicamos $λ$ por una longitud diferencial del aro, sustituimos e integramos (con límites adecuados para la integral definida).

Solución

En primer lugar, definiremos nuestro sistema de coordenadas y las variables pertinentes (Figura 9.30).

Un aro de radio r está centrado en el origen de un sistema de coordenadas x y. Un arco corto de longitud ds en un ángulo theta está resaltado y etiquetado como masa dm. El radio r desde el origen hasta ds es la hipotenusa del triángulo rectángulo con lado inferior de longitud x.

Figura 9.30 Hallar el centro de masa de un aro uniforme. Expresamos las coordenadas de un trozo diferencial del aro, y luego integramos alrededor del aro.

El centro de masa se calcula con la Ecuación 9.34:

{\vec{r}}_{CM} = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} \vec{r} d m .

Tenemos que determinar los límites de integración a y b. Expresando $\vec{r}$ en forma de componentes obtenemos

{\vec{r}}_{CM} = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} [(r cos θ) \hat{i} + (r sen θ) \hat{j}] d m .

En el diagrama, resaltamos un trozo del aro que tiene una longitud diferencial ds; por tanto, tiene una masa diferencial $d m = λ d s$ . Sustituyendo:

{\vec{r}}_{CM} = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} [(r cos θ) \hat{i} + (r sen θ) \hat{j}] λ d s .

Sin embargo, la longitud de arco ds subtiende un ángulo diferencial $d θ$ , por lo que tenemos

d s = r d θ

y, por lo tanto,

{\vec{r}}_{CM} = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} [(r cos θ) \hat{i} + (r sen θ) \hat{j}] λ r d θ .

Un paso más: Dado que $λ$ es la densidad lineal de masa, se calcula al dividir la masa total entre la longitud del aro:

λ = \frac{M}{2 π r}

lo que nos da

\begin{matrix} {\vec{r}}_{CM} & = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} [(r cos θ) \hat{i} + (r sen θ) \hat{j}] (\frac{M}{2 π r}) r d θ \\ = \frac{1}{2 π} \int_{a}^{b} [(r cos θ) \hat{i} + (r sen θ) \hat{j}] d θ . \end{matrix}

Observe que la variable de integración es ahora el ángulo $θ$ . Esto nos dice que los límites de integración (alrededor del aro circular) son $θ = 0 a θ = 2 π$ , así que $a = 0$ y $b = 2 π$ . Además, por comodidad, separamos la integral en los componentes x y y de ${\vec{r}}_{CM}$ . La expresión integral final es

\begin{matrix} {\vec{r}}_{CM} & = r_{CM, x} \hat{i} + r_{CM, y} \hat{j} \\ = [\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} (r cos θ) d θ] \hat{i} + [\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} (r sen θ) d θ] \hat{j} \\ = 0 \hat{i} + 0 \hat{j} = \vec{0} \end{matrix}

como se esperaba.

Centro de masa y conservación del momento

¿Cómo se relaciona todo esto con la conservación del momento?

Suponga que tiene N objetos con masas $m_{1}, m_{2}, m_{3}, ... m_{N}$ y velocidades iniciales ${\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}, {\vec{v}}_{3}, ..., {\vec{v}}_{N}$ . El centro de masa de los objetos es

{\vec{r}}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{r}}_{j} .

Su velocidad es

{\vec{v}}_{CM} = \frac{d {\vec{r}}_{CM}}{d t} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \frac{d {\vec{r}}_{j}}{d t}

9.35

y, por lo tanto, el momento inicial del centro de masa es

\begin{matrix} {[M \frac{d {\vec{r}}_{CM}}{d t}]}_{i} & = & \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \frac{d {\vec{r}}_{j, i}}{d t} \\ M {\vec{v}}_{CM,i} & = & \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{v}}_{j, i} . \end{matrix}

Después de que estas masas se muevan e interactúen entre sí, el momento del centro de masa es

M {\vec{v}}_{CM,f} = \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{v}}_{j, f} .

No obstante, la conservación del momento nos indica que el lado derecho de ambas ecuaciones deberá ser igual, lo que se expresa como

M {\vec{v}}_{CM,f} = M {\vec{v}}_{CM,i} .

9.36

Este resultado implica que la conservación del momento se expresa en términos del centro de masa del sistema. Observe que, cuando un objeto se mueve por el espacio sin ninguna fuerza externa neta que actúe sobre este, una sola partícula del objeto puede acelerar en varias direcciones, con diversas magnitudes, dependiendo de la fuerza interna neta que actúe sobre ese objeto en cualquier momento. (Recuerde que solo desaparece la suma vectorial de todas las fuerzas internas, no la fuerza interna sobre una sola partícula). Así, el momento de dicha partícula no será constante, sino que el momento de todo el objeto extendido lo será, de acuerdo con la Ecuación 9.36.

La Ecuación 9.36 implica otro resultado importante: como M representa la masa de todo el sistema de partículas, es necesariamente constante. (Si no lo es, no tenemos un sistema cerrado, por lo que no podemos esperar que el momento del sistema se conserve). Como resultado, la Ecuación 9.36 implica que, para un sistema cerrado,

{\vec{v}}_{CM,f} = {\vec{v}}_{CM,i} .

9.37

Es decir, en ausencia de una fuerza externa, la velocidad del centro de masa nunca cambia.

Podría encoger los hombros y señalar: "Bueno, sí, eso es solo la primera ley de". No obstante, recuerde que la primera ley de Newton analiza la velocidad constante de una partícula, mientras que la Ecuación 9.37 se aplica al centro de masa de una (posiblemente vasta) colección de partículas que interactúan, ¡y que puede que no haya ninguna partícula en absoluto en el centro de masa! Por lo tanto, este es un resultado realmente notable.

Ejemplo 9.19

Espectáculo de fuegos artificiales

Cuando un cohete de fuegos artificiales explota, miles de fragmentos brillantes vuelan hacia afuera en todas las direcciones, y caen a la Tierra en un elegante y bello espectáculo (Figura 9.31). Describa lo que ocurre, en términos de conservación del momento y del centro de masa.

Fotografía de fuegos artificiales multicolores de distinto tamaño estallando en el cielo.

Figura 9.31 Estos fuegos artificiales que estallan son un claro ejemplo de la conservación del momento y del movimiento del centro de masa.

La imagen muestra una simetría radial en torno a los puntos centrales de las explosiones; esto sugiere la idea de centro de masa. También podemos apreciar el movimiento parabólico de las partículas incandescentes, lo que nos hace pensar en el movimiento de proyectil.

Solución

Inicialmente, el cohete pirotécnico se lanza y vuela más o menos recto hacia arriba; tal es la causa de la estela blanca más o menos recta que se eleva en el cielo por debajo de la explosión en la parte superior derecha de la imagen (la explosión amarilla). Esta estela no es parabólica porque el proyectil explosivo, durante su fase de lanzamiento, es en realidad un cohete; el impulso que le aplica la eyección del combustible ardiendo aplica una fuerza sobre el proyectil durante el intervalo de subida. (Este es un fenómeno que estudiaremos en la siguiente sección). El proyectil tiene múltiples fuerzas sobre este; por lo tanto, no está en caída libre antes de la explosión.

En el momento de la explosión, los miles de fragmentos incandescentes vuelan hacia el exterior, siguiendo un patrón radialmente simétrico. La simetría de la explosión es el resultado de que todas las fuerzas internas sumen cero $(\sum_{j} {\vec{f}}_{j}^{int} = 0);$ por cada fuerza interna, hay otra de igual magnitud y de sentido contrario.

Sin embargo, como aprendimos anteriormente, estas fuerzas internas no pueden cambiar el momento del centro de masa del proyectil (ahora explotado). Dado que la fuerza del cohete ha desaparecido, el centro de masa del proyectil es ahora un proyectil (la única fuerza sobre este es la gravedad), por lo que su trayectoria se vuelve parabólica. Las dos explosiones rojas de la izquierda muestran la trayectoria de sus centros de masa en un momento ligeramente más largo después de la explosión en comparación con la explosión amarilla de la parte superior derecha.

De hecho, si se observan detenidamente las tres explosiones, se puede ver que las estelas brillantes no son realmente simétricas radialmente, sino que son algo más densas en un lado que en el otro. En concreto, la explosión amarilla y la explosión central inferior son ligeramente más densas en su lado derecho, y la explosión superior izquierda es más densa en su lado izquierdo. Esto se debe al momento de sus centros de masa; las diferentes densidades de las estelas se deben al momento que tenía cada pieza del proyectil en el momento de su explosión. El fragmento de la explosión de la parte superior izquierda de la imagen tenía un momento que apuntaba hacia arriba y hacia la izquierda; el momento del fragmento del medio apuntaba hacia arriba y ligeramente hacia la derecha, y la explosión del lado derecho apuntaba claramente hacia arriba y hacia la derecha (como lo demuestra la estela blanca de los gases de escape del cohete visible debajo de la explosión amarilla).

Por último, cada fragmento es un proyectil en sí mismo, que traza miles de parábolas brillantes.

Importancia

En el análisis, aseveramos: "...el centro de masa del proyectil es ahora un proyectil (la única fuerza sobre este es la gravedad)...". Esto no es del todo exacto, ya que puede no haber ninguna masa en el centro de masa; en cuyo caso, no podría haber ninguna fuerza actuando sobre ella. En realidad, esto no es más que una abreviatura verbal para describir el hecho de que las fuerzas gravitacionales sobre todas las partículas actúan de manera tal que el centro de masa cambia de posición exactamente como si toda la masa del proyectil estuviera siempre situada en la posición del centro de masa.

Compruebe Lo Aprendido 9.13

¿Cómo cambiaría el espectáculo de fuegos artificiales en el espacio profundo, lejos de cualquier fuente de gravedad?

A veces se oye a alguien describir una explosión diciendo algo así como: "Los fragmentos del objeto explotado se mueven siempre de forma que el centro de masa sigue moviéndose en su trayectoria original". Esto hace que parezca que el proceso es algo mágico: ¿cómo puede ser que, en cada explosión, siempre parezca que los fragmentos se mueven de la manera correcta para que el movimiento del centro de masa no cambie? Dicho así, sería difícil creer que ninguna explosión hace algo diferente.

La explicación de esta coincidencia aparentemente sorprendente es: Definimos el centro de masa con precisión, así que esto es exactamente lo que obtendríamos. Recordemos que primero definimos el momento del sistema:

{\vec{p}}_{CM} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d {\vec{p}}_{j}}{d t} .

Entonces concluimos que la fuerza externa neta sobre el sistema (si la hay) cambió este momento:

\vec{F} = \frac{d {\vec{p}}_{CM}}{d t}

y luego (y aquí está el punto) definimos una aceleración que obedezca a la segunda ley de Newton. Es decir, exigimos que seamos capaces de escribir

\vec{a} = \frac{\vec{F}}{M}

lo cual requiere que

\vec{a} = \frac{d^{2}}{d t^{2}} (\frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{r}}_{j}) .

donde la cantidad dentro del paréntesis es el centro de masa de nuestro sistema. Por lo tanto, no es sorprendente que el centro de masa obedezca a la segunda ley de Newton; lo definimos para que así fuera.

9.6 Centro de masa

Fuerzas internas y externas

Fuerza y momento

Centro de masa

Calcular del centro de masa

Centro de masa del sistema Tierra-Luna

Estrategia

Solución

Importancia

Centro de masa de un cristal de sal

Estrategia

Solución

Importancia

Centro de masa de objetos continuos

CM de un aro delgado uniforme

Estrategia

Solución

Centro de masa y conservación del momento

Espectáculo de fuegos artificiales

Solución

Importancia